Esta es una lista de algunas de las teorías de homología y cohomología ordinarias y generalizadas (o extraordinarias) en topología algebraica que se definen en las categorías de complejos o espectros CW . Para otros tipos de teorías de homología, consulte los enlaces al final de este artículo.
Si X es un espectro, entonces define las teorías de homología y cohomología generalizadas en la categoría de espectros de la siguiente manera.
Estas son las teorías que satisfacen el "axioma de dimensión" de los axiomas de Eilenberg-Steenrod de que la homología de un punto desaparece en una dimensión distinta de 0. Están determinadas por un grupo de coeficientes abelianos G y se denotan por H ( X , G ) (donde A veces se omite G , especialmente si es Z ). Generalmente G son los números enteros, los racionales, los reales, los números complejos o los números enteros mod a primo p .
Los functores de cohomología de las teorías de cohomología ordinaria están representados por espacios de Eilenberg-MacLane .
En complejos simpliciales, estas teorías coinciden con la homología y cohomología singulares .
Espectro: H ( Espectro de Eilenberg-MacLane de los números enteros).
Anillo de coeficientes: π n (H) = Z si n = 0, 0 en caso contrario.
La teoría de la homología original.
Espectro: HQ (espectro de los racionales de Eilenberg-Mac Lane).
Anillo de coeficientes: π n (HQ) = Q si n = 0, 0 en caso contrario.
Estas son las más fáciles de todas las teorías de homología. Los grupos de homología HQ n ( X ) a menudo se indican con H n ( X , Q ). Los grupos de homología H( X , Q ), H( X , R ), H( X , C ) con coeficientes racionales , reales y complejos son todos similares y se usan principalmente cuando la torsión no es de interés (o es demasiado complicada para hacerlo). ejercicio). La descomposición de Hodge escribe la cohomología compleja de una variedad proyectiva compleja como una suma de grupos de cohomología de gavilla .
Espectro: HZ p (Espectro de Eilenberg-Maclane de los números enteros mod p .)
Anillo de coeficientes: π n (HZ p ) = Z p (Enteros mod p ) si n = 0, 0 en caso contrario.
Las teorías K más simples de un espacio a menudo están relacionadas con paquetes de vectores en el espacio, y diferentes tipos de teorías K corresponden a diferentes estructuras que se pueden colocar en un paquete de vectores.
Espectro: KO
Anillo de coeficientes: Los grupos de coeficientes π i (KO) tienen periodo 8 en i , dado por la secuencia Z , Z 2 , Z 2 ,0, Z , 0, 0, 0, repetida. Como anillo, es generado por una clase η en grado 1, una clase x 4 en grado 4 y una clase invertible v 1 4 en grado 8, sujeta a las relaciones que 2 η = η 3 = ηx 4 = 0, y x 4 2 = 4 v 1 4 .
KO 0 ( X ) es el anillo de clases de equivalencia estable de paquetes de vectores reales sobre X . La periodicidad de Bott implica que los grupos K tienen un período 8.
Espectro: KU (términos pares BU o Z × BU, términos impares U ).
Anillo de coeficientes: El anillo de coeficientes K * (punto) es el anillo de polinomios de Laurent en un generador de grado 2.
K 0 ( X ) es el anillo de clases de equivalencia estable de haces de vectores complejos sobre X . La periodicidad de Bott implica que los grupos K tienen el período 2.
Espectro: KSp
Anillo de coeficientes: Los grupos de coeficientes π i (KSp) tienen período 8 en i , dado por la secuencia Z , 0, 0, 0, Z , Z 2 , Z 2,0 , repetida.
KSp 0 ( X ) es el anillo de clases de equivalencia estable de haces de vectores cuaterniónicos sobre X . La periodicidad de Bott implica que los grupos K tienen un período 8.
Espectro: kg
G es algún grupo abeliano; por ejemplo la localización Z ( p ) en el primo p . A otras teorías K también se les pueden dar coeficientes.
Espectro: KSC
Anillo de coeficiente: por escribir...
Los grupos de coeficientes (KSC) tienen período 4 en i , dado por la secuencia Z , Z 2 , 0, Z , repetida. Introducido por Donald W. Anderson en su Ph.D. inédito de 1964 de la Universidad de California, Berkeley. disertación, "Una nueva teoría de la cohomología".
Espectro: ku para la teoría K conectiva, ko para la teoría K conectiva real.
Anillo de coeficientes: Para ku, el anillo de coeficientes es el anillo de polinomios sobre Z en una sola clase v 1 en dimensión 2. Para ko, el anillo de coeficientes es el cociente de un anillo de polinomios en tres generadores, η en dimensión 1, x 4 en la dimensión 4, y v 1 4 en la dimensión 8, el generador de periodicidad, módulo de las relaciones que 2 η = 0, x 4 2 = 4 v 1 4 , η 3 = 0 y ηx = 0.
En términos generales, esta es la teoría K con las partes de dimensiones negativas eliminadas.
Esta es una teoría de cohomología definida para espacios con involución, de la cual se pueden derivar muchas de las otras teorías K.
El cobordismo estudia variedades , donde una variedad se considera "trivial" si es el límite de otra variedad compacta. Las clases de cobordismo de variedades forman un anillo que suele ser el anillo de coeficientes de alguna teoría de cohomología generalizada. Existen muchas teorías de este tipo, que corresponden aproximadamente a las diferentes estructuras que se pueden poner en una variedad.
Los functores de las teorías del cobordismo suelen estar representados por espacios Thom de ciertos grupos.
Espectro: S ( espectro de esfera ).
Anillo de coeficientes: Los grupos de coeficientes π n ( S ) son los grupos homotópicos estables de esferas , que son notoriamente difíciles de calcular o comprender para n > 0. (Para n < 0 desaparecen, y para n = 0 el grupo es Z. )
La homotopía estable está estrechamente relacionada con el cobordismo de variedades enmarcadas (variedades con una trivialización del paquete normal).
Espectro: MO ( espectro Thom del grupo ortogonal )
Anillo de coeficientes: π * (MO) es el anillo de clases de cobordismo de variedades no orientadas, y es un anillo polinómico sobre el campo con 2 elementos en generadores de grado i para cada i que no sea de la forma 2 n −1. Es decir: dónde se puede representar mediante las clases de while para índices impares se pueden usar variedades Dold apropiadas.
El bordismo no orientado es 2-torsión, ya que 2M es el límite de .
MO es una teoría del cobordismo bastante débil, ya que el espectro MO es isomorfo a H(π * (MO)) ("homología con coeficientes en π * (MO)") - MO es un producto de los espectros de Eilenberg-MacLane . En otras palabras, las teorías de homología y cohomología correspondientes no son más poderosas que la homología y la cohomología con coeficientes en Z /2 Z. Esta fue la primera teoría del cobordismo que se describió completamente.
Espectro: MU (espectro Thom del grupo unitario )
Anillo de coeficientes: π * ( MU ) es el anillo polinomial en generadores de grado 2, 4, 6, 8,... y es naturalmente isomorfo al anillo universal de Lazard , y es el anillo de cobordismo de variedades estables casi complejas .
Espectro: MSO (espectro Thom de grupo ortogonal especial )
Anillo de coeficientes: la clase de cobordismo orientado de una variedad está completamente determinada por sus números característicos: sus números de Stiefel-Whitney y números de Pontryagin , pero el anillo de coeficientes general, denotado, es bastante complicado. Racionalmente, y en 2 (correspondientes a las clases de Pontryagin y Stiefel-Whitney, respectivamente), MSO es un producto de los espectros de Eilenberg-MacLane – y – pero en primos impares no lo es, y la estructura es complicada de describir. El anillo ha sido completamente descrito íntegramente, gracias al trabajo de John Milnor , Boris Averbuch, Vladimir Rokhlin y CTC Wall .
Espectro: MSU (espectro Thom del grupo unitario especial )
Anillo de coeficiente:
Espectro: MSpin (espectro Thom del grupo de giro )
Anillo de coeficientes: Véase (DW Anderson, EH Brown y FP Peterson 1967).
Espectro: MSp (espectro Thom del grupo simpléctico )
Anillo de coeficiente:
Espectro: MPL, MSPL, MTop, MSTop
Anillo de coeficiente:
La definición es similar al cobordismo, excepto que se utilizan variedades lineales o topológicas por partes en lugar de variedades suaves , ya sea orientadas o no orientadas. Los anillos de coeficientes son complicados.
Espectro: PA
Anillo de coeficientes: π * (BP) es un álgebra polinomial sobre Z ( p ) en generadores v n de dimensión 2 ( p n − 1) para n ≥ 1.
La cohomología de Brown-Peterson BP es una sumando de MU p , que es un cobordismo complejo MU localizado en un primo p . De hecho MU ( p ) es una suma de suspensiones de BP.
Espectro: K( n ) (También dependen de un primo p .)
Anillo de coeficientes: F p [ v n , v n −1 ], donde v n tiene grado 2( p n -1).
Estas teorías tienen período 2 ( p n − 1). Llevan el nombre de Jack Morava .
Espectro mi ( norte )
Anillo de coeficientes Z (2) [ v 1 , ..., v n , 1/ v n ] donde v i tiene grado 2(2 i −1)
Espectro:
Anillo de coeficiente:
Espectro: Ell
Espectros: tmf, TMF (anteriormente llamado eo 2 ).
El anillo de coeficientes π * (tmf) se denomina anillo de formas modulares topológicas . TMF es tmf con la potencia 24 de la forma modular Δ invertida y tiene un período 24 2 =576. En el punto primo p = 2, la terminación de tmf es el espectro eo 2 , y la localización K(2) de tmf es el espectro EO 2 de la teoría K real superior de Hopkins-Miller .
![{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}[x_{2},x_{4},x_{5},x_{6},x_{8}\cdots]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d09613e95bba4c89da4ed15a45ccdb4c6640b9)
![{\displaystyle MSO[2]=H(\pi _ {*}(MSO[2]))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b9190fbdc714feee1aba76d01a6e5d9b0415e6)