celosía de sanguijuela

Patrón repetitivo de puntos de 24 dimensiones.

En matemáticas , la red Leech es una red unimodular par Λ ₂₄ en un espacio euclidiano de 24 dimensiones , que es uno de los mejores modelos para el problema del número de besos . Fue descubierto por John Leech  (1967). Es posible que también haya sido descubierto (pero no publicado) por Ernst Witt en 1940.

Caracterización

La red Leech Λ _{24 es la red única en} el espacio euclidiano de 24 dimensiones , E ²⁴ , con la siguiente lista de propiedades:

• Es unimodular ; es decir, puede ser generado por las columnas de una determinada matriz de 24 × 24 con determinante  1.
• Es parejo; es decir, el cuadrado de la longitud de cada vector en Λ ₂₄ es un número entero par.
• La longitud de cada vector distinto de cero en Λ ₂₄ es al menos 2.

La última condición es equivalente a la condición de que las bolas unitarias centradas en los puntos de Λ ₂₄ no se superpongan. Cada una es tangente a 196.560 vecinas, y se sabe que esta es la mayor cantidad de bolas unitarias de 24 dimensiones no superpuestas que pueden tocar simultáneamente una sola bola unitaria . Esta disposición de 196.560 bolas unitarias centradas alrededor de otra bola unitaria es tan eficiente que no hay espacio para mover ninguna de las bolas; esta configuración, junto con su imagen especular, es la única disposición de 24 dimensiones en la que 196.560 unidades de bolas tocan simultáneamente a otras. Esta propiedad también es cierta en 1, 2 y 8 dimensiones, con 2, 6 y 240 bolas unitarias, respectivamente, según la red de números enteros , el mosaico hexagonal y la red E 8 , respectivamente.

No tiene sistema de raíces y, de hecho, es la primera red unimodular sin raíces (vectores de norma menores que 4) y, por lo tanto, tiene una densidad central de 1. Multiplicando este valor por el volumen de una bola unitaria en 24 dimensiones , se puede derivar su densidad absoluta. ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}}$

Conway (1983) demostró que la red Leech es isométrica al conjunto de raíces simples (o diagrama de Dynkin ) del grupo de reflexión de la red unimodular par Lorentziana de 26 dimensiones II _25,1 . En comparación, los diagramas de Dynkin de II _9,1 y II _17,1 son finitos.

Aplicaciones

El código binario Golay , desarrollado de forma independiente en 1949, es una aplicación en la teoría de la codificación . Más concretamente, se trata de un código corrector de errores capaz de corregir hasta tres errores en cada palabra de 24 bits, y detectar hasta siete. Se utilizó para comunicarse con las sondas Voyager , ya que es mucho más compacto que el código Hadamard utilizado anteriormente .

Los cuantificadores , o convertidores analógicos a digitales , pueden utilizar redes para minimizar el error cuadrático medio promedio . La mayoría de los cuantificadores se basan en la red de enteros unidimensionales , pero el uso de redes multidimensionales reduce el error RMS. La red Leech es una buena solución a este problema, ya que las células de Voronoi tienen un segundo momento bajo .

El álgebra de vértice de la teoría de campos conforme bidimensional que describe la teoría de cuerdas bosónicas , compactada en el toro cociente de 24 dimensiones R ²⁴ /Λ ₂₄ y orbiplegada por un grupo de reflexión de dos elementos, proporciona una construcción explícita del álgebra de Griess que tiene la grupo de monstruos como su grupo de automorfismo. Este álgebra de vértice monstruoso también se utilizó para probar las monstruosas conjeturas del alcohol ilegal.

Construcciones

La red Leech se puede construir de diversas formas. Como todas las celosías, se puede construir tomando el tramo integral de las columnas de su matriz generadora , una matriz de 24×24 con determinante 1.

Matriz generadora de sanguijuelas

Un generador de 24x24 (en convención de filas) para Leech Lattice viene dado por la siguiente matriz dividida por : ${\displaystyle {\sqrt {8}}}$

8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 2 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0−3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

^[1]

Usando el código binario Golay

La red Leech se puede construir explícitamente como el conjunto de vectores de la forma 2 ^−3/2 ( a ₁ , a ₂ , ..., a ₂₄ ) donde a i _son números enteros tales que

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{24}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{24}{\pmod {8}}}$

y para cada clase de residuo fijo módulo 4, la palabra de 24 bits, cuyos unos corresponden a las coordenadas i de manera que a _i pertenece a esta clase de residuo, es una palabra en el código binario Golay . El código Golay, junto con el diseño Witt relacionado, aparece en una construcción para los 196560 vectores mínimos en la red Leech.

La red de sanguijuela (L mod 8) se puede construir directamente combinando los 3 conjuntos siguientes,

${\displaystyle L~=~~(4B+C)\otimes {1_{2^{12}}}~~+~~~{1_{2^{24}}}\otimes 2G~~~}$, ( es un vector unos de tamaño n ), ${\displaystyle {1_{n}}}$

• G - código Golay de 24 bits
• B - Secuencia entera binaria
• C - Secuencia Thue-Morse o suma de paridad de bits enteros (que dan quiralidad a la red)

Golay de 24 bits [ 2 ^ 12 códigos ] Entero de 24 bits [ 2 ^ 24 códigos ] Parity Leech Lattice [ 2 ^ 36 códigos ] G = B = C = L = ( 4 B + C ) ⊕ 2 G 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 0 00000000 00000000 00000000 11111111 00000000 00000000 10000000 00000000 00000000 1 22222222 00000000 00000000 11110000 11110000 00000000 01000000 00000000 00000000 1 22220000 22220000 00000000 00001111 11110000 00000000 11000000 00000000 00000000 0 ... 11001100 11001100 00000000 00100000 00000000 00000000 1 51111111 11111111 11111111 00110011 11001100 00000000 10100000 00000000 00000000 0 73333333 11111111 11111111 00111100 00111100 00000000 01100000 00000000 00000000 0 ... 11000011 00111100 00000000 11100000 00000000 00000000 1 15111111 11111111 11111111 10101010 10101010 00000000 00010000 00000000 00000000 1 37333333 11111111 11111111 01010101 10101010 00000000 10010000 00000000 00000000 0 ... 01011010 01011010 00000000 01010000 00000000 00000000 0 44000000 00000000 00000000 10100101 01011010 00000000 11010000 00000000 00000000 1 66222222 00000000 00 000000                                                                                                                             ... ... ... ... 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 0 66666666 66666666 66666666            

Usando la red de Lorentz II 25,1

La red Leech también se puede construir como donde w es el vector de Weyl: ${\displaystyle w^{\perp }/w}$

${\displaystyle (0,1,2,3,\dots ,22,23,24;70)}$

en la red unimodular par Lorentziana de 26 dimensiones II _25,1 . La existencia de tal vector integral de norma lorentziana cero se basa en el hecho de que 1 ² + 2 ² + ... + 24 ² es un cuadrado perfecto (de hecho 70 ² ); el número 24 es el único número entero mayor que 1 con esta propiedad (ver problema de la bala de cañón ). Esto fue conjeturado por Édouard Lucas , pero la demostración llegó mucho más tarde, basándose en funciones elípticas .

El vector en esta construcción es en realidad el vector de Weyl de la subred par D ₂₄ de la red unimodular impar I ²⁵ . De manera más general, si L es cualquier red unimodular definida positiva de dimensión 25 con al menos 4 vectores de norma 1, entonces el vector de Weyl de sus raíces de norma 2 tiene longitud integral, y existe una construcción similar de la red Leech usando L y esto Vector de Weyl. ${\displaystyle (0,1,2,3,\dots ,22,23,24)}$

Basado en otras celosías

Conway y Sloane (1982) describieron otras 23 construcciones para la red Leech, cada una basada en una red Niemeier . También se puede construir utilizando tres copias de la red E8 , de la misma manera que el código binario Golay se puede construir utilizando tres copias del código Hamming extendido , _H8 . Esta construcción se conoce como la construcción de Turyn de la red Leech.

Como celosía laminada

Comenzando con un solo punto, Λ ₀ , se pueden apilar copias de la red Λ _n para formar una red dimensional ( n  + 1), Λ _{n +1} , sin reducir la distancia mínima entre puntos. Λ ₁ corresponde a la red entera , Λ ₂ es a la red hexagonal y Λ ₃ es el empaquetamiento cúbico centrado en las caras . Conway y Sloane (1982b) demostraron que la red Leech es la única red laminada en 24 dimensiones.

Como una red compleja

La red Leech es también una red de 12 dimensiones sobre los números enteros de Eisenstein . Esto se conoce como red Leech compleja y es isomorfa a la red Leech real de 24 dimensiones. En la compleja construcción de la red Leech, el código binario Golay se reemplaza por el código ternario Golay , y el grupo Mathieu M ₂₄ se reemplaza por el grupo Mathieu M ₁₂ . La red E ₆ , la red E ₈ y la red Coxeter-Todd también tienen construcciones como redes complejas, sobre enteros de Eisenstein o Gauss .

Usando el anillo icosiano

La red Leech también se puede construir utilizando el anillo de icosianos . El anillo icosiano es abstractamente isomorfo a la red E8 , del cual se pueden usar tres copias para construir la red Leech usando la construcción de Turyn.

La construcción de Witt.

En 1972, Witt dio la siguiente construcción, que dijo haber encontrado en 1940, el 28 de enero. Supongamos que H es una matriz de Hadamard de n por n , donde n = 4 ab . Entonces la matriz define una forma bilineal en 2 n dimensiones, cuyo núcleo tiene n dimensiones. El cociente de este núcleo es una forma bilineal no singular que toma valores en (1/2 ) Z. Tiene 3 subredes de índice 2 que son formas bilineales integrales. Witt obtuvo la red Leech como una de estas tres subredes tomando a =2, b =3 y tomando H como la matriz de 24 por 24 (indexada por Z /23 Z ∪ ∞) con entradas Χ( m + n ) donde Χ(∞)=1, Χ(0)=−1, Χ( n )=es el símbolo del residuo cuadrático mod 23 para n distinto de cero . Esta matriz H es una matriz de Paley con algunos cambios de signo insignificantes. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}Ia&H/2\\H/2&Ib\end{pmatrix}}}$

Usando una matriz de Paley

Chapman (2001) describió una construcción utilizando una matriz sesgada de Hadamard de tipo Paley . La red de Niemeier con sistema de raíces se puede convertir en un módulo para el anillo de números enteros del campo . Multiplicar esta red de Niemeier por un ideal no principal del anillo de números enteros da la red de Leech. ${\displaystyle D_{24}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$

Usar códigos de residuos de mayor potencia

Raji (2005) construyó la red Leech utilizando códigos de residuos de mayor potencia sobre el anillo . Se utiliza una construcción similar para construir algunas de las otras celosías de rango 24. ${\displaystyle Z_{4}}$

Usando octoniones

Si L es el conjunto de octoniones con coordenadas en la red , entonces la red Leech es el conjunto de tripletes tales que ${\displaystyle E_{8}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle x,y,z\in L}$

${\displaystyle x+y,y+z,x+z\in L{\bar {s}}}$

${\displaystyle x+y+z\in Ls}$

dónde . Esta construcción se debe a (Wilson 2009). ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})}$

Simetrías

La red Leech es muy simétrica. Su grupo de automorfismo es el grupo de Conway Co ₀ , que es de orden 8 315 553 613 086 720 000. El centro de Co ₀ tiene dos elementos, y el cociente de Co ₀ por este centro es el grupo de Conway Co ₁ , un grupo finito simple grupo. Muchos otros grupos esporádicos , como los restantes grupos de Conway y Mathieu , pueden construirse como estabilizadores de varias configuraciones de vectores en la red Leech.

A pesar de tener un grupo de simetría rotacional tan alto , la red Leech no posee ningún hiperplano de simetría de reflexión. En otras palabras, la red Leech es quiral . También tiene muchas menos simetrías que el hipercubo y el simplex de 24 dimensiones, o incluso el producto cartesiano de tres copias de la red E8 .

El grupo de automorfismo fue descrito por primera vez por John Conway . Los 398034000 vectores de la norma 8 se dividen en 8292375 'cruces' de 48 vectores. Cada cruz contiene 24 vectores mutuamente ortogonales y sus negativos, y así describen los vértices de un ortoplex de 24 dimensiones . Cada una de estas cruces puede considerarse el sistema de coordenadas de la red y tiene la misma simetría del código Golay , es decir, 2 ¹² × |M ₂₄ |. Por lo tanto, el grupo de automorfismo completo de la red Leech tiene orden 8292375 × 4096 × 244823040, o 8 315 553 613 086 720 000.

Geometría

Conway, Parker y Sloane (1982) demostraron que el radio de cobertura de la red Leech es ; en otras palabras, si colocamos una bola cerrada de este radio alrededor de cada punto de la red, entonces éstas simplemente cubren el espacio euclidiano. Los puntos que se encuentran al menos a una distancia de todos los puntos de la red se denominan agujeros profundos de la red Leech. Hay 23 órbitas de ellos bajo el grupo de automorfismo de la red Leech, y estas órbitas corresponden a las 23 redes Niemeier distintas de la red Leech: el conjunto de vértices del agujero profundo es isométrico al diagrama afín de Dynkin de la red Niemeier correspondiente. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

La red Leech tiene una densidad de . Cohn y Kumar (2009) demostraron que proporciona el empaquetamiento de bolas en red más denso en un espacio de 24 dimensiones. Henry Cohn, Abhinav Kumar y Stephen D. Miller et al. (2016) mejoraron esto al mostrar que es el empaquetamiento de esferas más denso, incluso entre los empaquetamientos sin red. ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\approx 0.001930}$

Los 196560 vectores mínimos son de tres variedades diferentes, conocidas como formas :

• ${\displaystyle 1104={\binom {24}{2}}\cdot 2^{2}}$vectores de forma (4 ² ,0 ²² ), para todas las permutaciones y elecciones de signos;
• ${\displaystyle 97152=759\cdot 2^{8}\cdot {\frac {1}{2}}}$vectores de forma (2 ⁸ ,0 ¹⁶ ), donde los '2 corresponden a una octada en el código Golay, y hay un número par de signos menos;
• ${\displaystyle 98304=2^{12}\cdot 24}$vectores de forma (∓3,±1 ²³ ), donde el signo inferior se usa para los '1' de cualquier palabra clave del código Golay, y el '∓3' puede aparecer en cualquier posición.

El código Golay ternario , el código Golay binario y la red Leech proporcionan códigos esféricos de 24 dimensiones muy eficientes de 729, 4096 y 196560 puntos, respectivamente. Los códigos esféricos son análogos de dimensiones superiores del problema de Tammes , que surgió como un intento de explicar la distribución de los poros en los granos de polen. Estos están distribuidos para maximizar el ángulo mínimo entre ellos. En dos dimensiones, el problema es trivial, pero en tres dimensiones y superiores no lo es. Un ejemplo de código esférico en tres dimensiones es el conjunto de los 12 vértices del icosaedro regular.

serie theta

Se puede asociar a cualquier red (positiva-definida) Λ una función theta dada por

${\displaystyle \Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \operatorname {Im} \tau >0.}$

La función theta de una red es entonces una función holomorfa en el semiplano superior . Además, la función theta de una red unimodular par de rango n es en realidad una forma modular de peso n /2 para el grupo modular completo PSL(2, Z ). La función theta de una red integral a menudo se escribe como una serie de potencias de modo que el coeficiente de q ⁿ da el número de vectores de red de norma al cuadrado 2 n . En la red Leech, hay 196560 vectores de norma cuadrática 4, 16773120 vectores de norma cuadrática 6, 398034000 vectores de norma cuadrática 8 y así sucesivamente. La serie theta de la red Leech es ${\displaystyle q=e^{2i\pi \tau }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{\Lambda _{24}}(\tau )&=E_{12}(\tau )-{\frac {65520}{691}}\Delta (\tau )\\[5pt]&=1+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {65520}{691}}\left(\sigma _{11}(m)-\tau (m)\right)q^{m}\\[5pt]&=1+196560q^{2}[phone]q^{3}[phone]q^{4}+\cdots ,\end{aligned}}}$

donde es la serie normalizada de Eisenstein de peso 12, es el discriminante modular , es la función divisora ​​para el exponente 11 y es la función tau de Ramanujan . Se deduce que para m ≥1 el número de vectores de norma al cuadrado 2 m es ${\displaystyle E_{12}(\tau )}$ ${\displaystyle \Delta (\tau )}$ ${\displaystyle \sigma _{11}(n)}$ ${\displaystyle \tau (n)}$

${\displaystyle {\frac {65520}{691}}\left(\sigma _{11}(m)-\tau (m)\right).}$

Historia

Muchas de las secciones transversales de la red Leech, incluida la red Coxeter-Todd y la red Barnes-Wall , en 12 y 16 dimensiones, se encontraron mucho antes que la red Leech. O'Connor y Pall (1944) descubrieron una red unimodular impar relacionada en 24 dimensiones, ahora llamada red Leech impar , uno de cuyos dos vecinos pares es la red Leech. La red Leech fue descubierta en 1965 por John Leech  (1967, 2.31, p. 262), mejorando algunos empaquetamientos de esferas anteriores que encontró (Leech 1964).

Conway  (1968) calculó el orden del grupo de automorfismos de la red Leech y, trabajando con John G. Thompson , descubrió tres nuevos grupos esporádicos como subproducto: los grupos de Conway , Co ₁ , Co ₂ , Co ₃ . También demostraron que otros cuatro grupos esporádicos (entonces) recientemente anunciados, a saber, Higman-Sims , Suzuki , McLaughlin y el grupo Janko J ₂ , podían encontrarse dentro de los grupos de Conway utilizando la geometría de la red Leech. (Ronan, pág. 155)

Bei dem Versuch, eine Form aus einer solchen Klasse wirklich anzugeben, fand ich mehr als 10 verschiedene Klassen in Γ ₂₄

Witt (1941, pág. 324)

Witt (1941, p. 324), tiene una única frase bastante críptica que menciona que encontró más de 10 redes pares unimodulares en 24 dimensiones sin dar más detalles. Witt (1998, p. 328-329) afirmó que encontró 9 de estas redes a principios de 1938, y encontró dos más, la red de Niemeier con A²⁴
₁sistema de raíces y la red Leech (y también alguna que otra red Leech), en 1940.

Ver también

• embalaje de esfera
• E ₈ celosía

Referencias

1. Conway, JH ; Sloane, NJA (1999), Empaquetamientos, celosías y grupos de esferas , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290, con contribuciones de Bannai, E.; Borcherds, RE; Sanguijuela, J.; Norton, SP; Odlyzko, AM; Parker, RA; Reina, L.; Venkov, BB (Tercera ed.), Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5, SEÑOR  0662447, Zbl  0915.52003

• Chapman, Robin (2001), "Matrices de conferencia y celosías unimodulares", European Journal of Combinatorics , 22 (8): 1033–1045, arXiv : math.NT/0007116 , doi :10.1006/eujc.2001.0539, ISSN  0195-6698, Señor  1861046, S2CID  744078, Zbl  0993.05036
• Raji, Mehrdad Ahmadzadeh (2005), "Códigos de residuos de mayor potencia y la red de sanguijuela", Journal of Algebraic Combinatorics , 21 (1): 39–53, doi : 10.1007/s10801-005-6279-4 , ISSN  1572-9192, S2CID  120908420
• Cohn, Enrique; Kumar, Abhinav (2009), "Optimidad y singularidad de la red Leech entre celosías", Annals of Mathematics , 170 (3): 1003–1050, arXiv : math.MG/0403263 , doi :10.4007/annals.2009.170.1003, ISSN  1939-8980, SEÑOR  2600869, S2CID  10696627, Zbl  1213.11144
• Cohn, Enrique; Kumar, Abhinav (2004), "La red más densa en veinticuatro dimensiones", Anuncios de investigación electrónica de la Sociedad Matemática Estadounidense , 10 (7): 58–67, arXiv : math.MG/0408174 , Bibcode : 2004math... ...8174C, doi :10.1090/S1079-6762-04-00130-1, ISSN  1079-6762, SEÑOR  2075897, S2CID  15874595
• Cohn, Enrique; Kumar, Abhinav; Miller, Stephen D.; Radchenko, Danylo; Viazovska, Maryna (2017), "El problema del empaquetamiento de esferas en la dimensión 24", Annals of Mathematics , 185 (3): 1017–1033, arXiv : 1603.06518 , Bibcode :2016arXiv160306518C, doi :10.4007/annals.2017.185.3.8, S2CID  119281758
• Conway, John Horton (1968), "Un grupo perfecto de orden 8.315.553.613.086.720.000 y los grupos simples esporádicos", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 61 (2): 398–400, Bibcode :1968PNAS.. .61..398C, doi : 10.1073/pnas.61.2.398 , SEÑOR  0237634, PMC  225171 , PMID  16591697
• Conway, John Horton (1983), "El grupo de automorfismo de la red de Lorentz unimodular par de 26 dimensiones", Journal of Algebra , 80 (1): 159–163, doi : 10.1016/0021-8693(83)90025-X , ISSN  0021-8693, SEÑOR  0690711
• Conway, John Horton ; Sloane, NJA (1982b), "Celosías laminadas", Annals of Mathematics , Second Series, 116 (3): 593–620, doi :10.2307/2007025, ISSN  0003-486X, JSTOR  2007025, MR  0678483
• Conway, John Horton ; Parker, RA; Sloane, NJA (1982), "El radio de cobertura de la red Leech", Actas de la Royal Society A , 380 (1779): 261–290, Bibcode :1982RSPSA.380..261C, doi :10.1098/rspa.1982.0042, ISSN  0080-4630, SEÑOR  0660415, S2CID  202575323
• Conway, John Horton ; Sloane, NJA (1982), "Veintitrés construcciones para la celosía de sanguijuela", Actas de la Royal Society A , 381 (1781): 275–283, Bibcode :1982RSPSA.381..275C, doi :10.1098/rspa.1982.0071 , ISSN  0080-4630, SEÑOR  0661720, S2CID  202575295
• Conway, JH ; Sloane, NJA (1999), Empaquetamientos, celosías y grupos de esferas , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290, con contribuciones de Bannai, E.; Borcherds, RE; Sanguijuela, J.; Norton, SP; Odlyzko, AM; Parker, RA; Reina, L.; Venkov, BB (Tercera ed.), Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5, SEÑOR  0662447, Zbl  0915.52003
• Du Sautoy, Marcus (2009), Buscando alcohol ilegal , Cuarto poder, ISBN 978-0-00-721462-4
• Griess, Robert L. (1998), Doce grupos esporádicos , Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN 978-3-540-62778-4, señor  1707296
• Leech, John (1964), "Algunos empaquetamientos de esferas en el espacio superior", Canadian Journal of Mathematics , 16 : 657–682, doi : 10.4153/CJM-1964-065-1 , ISSN  0008-414X, MR  0167901, S2CID  123244939
• Leech, John (1967), "Notas sobre empaquetamientos de esferas", Canadian Journal of Mathematics , 19 : 251–267, doi : 10.4153/CJM-1967-017-0 , ISSN  0008-414X, MR  0209983
• O'Connor, RE; Pall, G. (1944), "La construcción de formas cuadráticas integrales del determinante 1", Duke Mathematical Journal , 11 (2): 319–331, doi :10.1215/S0012-7094-44-01127-0, ISSN  0012- 7094, SEÑOR  0010153
• Thompson, Thomas M (1983), Desde códigos de corrección de errores a través de empaquetamientos de esferas hasta grupos simples , Carus Mathematical Monographs, vol. 21, Washington, DC: Asociación Matemática de América, ISBN 978-0-88385-023-7, señor  0749038
• Ronan, Mark (2006), La simetría y el monstruo , Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-280722-9, señor  2215662
• Wilson, Robert A. (2009), "Octonions and the Leech lattice", Journal of Algebra , 322 (6): 2186–2190, doi : 10.1016/j.jalgebra.2009.03.021 , SEÑOR  2542837
• Witt, Ernst (1941), "Eine Identität zwischen Modulformen zweiten Grades", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 14 : 323–337, doi :10.1007/BF02940750, MR  0005508, S2CID  120849019
• Witt, Ernst (1998), Artículos recopilados. Gesammelte Abhandlungen , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-57061-5, señor  1643949

enlaces externos

• Red de sanguijuela (CP4space)
• Weisstein, Eric W. "Enrejado de sanguijuela". MundoMatemático .
• The Leech Lattice, Universidad de Illinois en Chicago, sitio web de Mark Ronan
• Artículos de RE Borcherds