campo cúbico

En matemáticas , específicamente en el área de la teoría algebraica de números , un campo cúbico es un campo numérico algebraico de grado tres.

Definición

Si K es una extensión de campo de los números racionales Q de grado [ K : Q ] = 3, entonces K se llama campo cúbico . Cualquier campo de este tipo es isomorfo a un campo de la forma

${\displaystyle \mathbf {Q} [x]/(f(x))}$

donde f es un polinomio cúbico irreducible con coeficientes en Q. Si f tiene tres raíces reales , entonces K se llama campo cúbico totalmente real y es un ejemplo de campo totalmente real . Si, por el contrario, f tiene una raíz no real, entonces a K se le llama campo cúbico complejo .

Un campo cúbico K se llama campo cúbico cíclico si contiene las tres raíces de su polinomio generador f . De manera equivalente, K es un campo cúbico cíclico si es una extensión de Galois de Q , en cuyo caso su grupo de Galois sobre Q es cíclico de orden tres. Esto sólo puede suceder si K es totalmente real. Es algo raro en el sentido de que si el conjunto de campos cúbicos está ordenado por discriminante , entonces la proporción de campos cúbicos que son cíclicos se aproxima a cero a medida que el límite del discriminante se acerca al infinito. ^[1]

Un campo cúbico se llama campo cúbico puro si se puede obtener uniendo la raíz cúbica real de un entero positivo libre de cubos n al campo de números racionales Q. Estos campos son siempre campos cúbicos complejos ya que cada número positivo tiene dos raíces cúbicas complejas no reales. ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}}$

Ejemplos

• Uniendo la raíz cúbica real de 2 a los números racionales se obtiene el campo cúbico . Este es un ejemplo de un campo cúbico puro y, por tanto, de un campo cúbico complejo. De hecho, de todos los campos cúbicos puros, tiene el discriminante más pequeño (en valor absoluto ), es decir, −108. ^[2] ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$
• El campo cúbico complejo obtenido añadiendo a Q una raíz de x ³ + x ² − 1 no es puro. Tiene el discriminante más pequeño (en valor absoluto) de todos los campos cúbicos, es decir, −23. ^[3]
• Al unir una raíz de x ³ + x ² − 2 x − 1 a Q se obtiene un campo cúbico cíclico y, por tanto, un campo cúbico totalmente real. Tiene el discriminante más pequeño de todos los campos cúbicos totalmente reales, a saber, 49. ^[4]
• El campo obtenido al unir a Q una raíz de x ³ + x ² − 3 x − 1 es un ejemplo de un campo cúbico totalmente real que no es cíclico. Su discriminante es 148, el discriminante más pequeño de un campo cúbico totalmente real acíclico. ^[5]
• Ningún campo ciclotómico es cúbico porque el grado de un campo ciclotómico es igual a φ( n ), donde φ es la función totiente de Euler , que solo toma valores pares excepto φ(1) = φ(2) = 1.

Cierre de Galois

Un campo cúbico cíclico K es su propio cierre de Galois con el grupo de Galois Gal ( K / Q ) isomorfo al grupo cíclico de orden tres. Sin embargo, cualquier otro campo cúbico K es una extensión de Q que no es de Galois y tiene una extensión de campo N de grado dos como cierre de Galois. El grupo de Galois Gal ( N / Q ) es isomorfo al grupo simétrico S ₃ en tres letras.

Campo cuadrático asociado

El discriminante de un campo cúbico K se puede escribir únicamente como df ² donde d es un discriminante fundamental . Entonces, K es cíclico si y sólo si d  = 1, en cuyo caso el único subcampo de K es el propio Q. Si d  ≠ 1 entonces el cierre de Galois N de K contiene un campo cuadrático único k cuyo discriminante es d (en el caso d  = 1, el subcampo Q a veces se considera como el campo cuadrático "degenerado" del discriminante 1). El conductor de N sobre k es f , y f ² es el discriminante relativo de N sobre K. El discriminante de N es d ³ f ⁴ . ^{[6] [7]}

El campo K es un campo cúbico puro si y sólo si d  = −3. Este es el caso para el cual el campo cuadrático contenido en la clausura de Galois de K es el campo ciclotómico de raíces cúbicas unitarias . ^[7]

discriminante

Las cruces azules son el número de campos cúbicos totalmente reales de discriminante acotado. La línea negra es la distribución asintótica de primer orden mientras que la línea verde incluye el término de segundo orden. ^[8]

Las cruces azules son el número de campos cúbicos complejos de discriminante acotado. La línea negra es la distribución asintótica de primer orden mientras que la línea verde incluye el término de segundo orden. ^[8]

Dado que el signo del discriminante de un campo numérico K es (−1) ^{r ₂} , donde r ₂ es el número de pares conjugados de incrustaciones complejas de K en C , el discriminante de un campo cúbico será positivo precisamente cuando el campo sea totalmente real, y negativo si se trata de un campo cúbico complejo.

Dado algún número real N  > 0 sólo hay un número finito de campos cúbicos K cuyo discriminante D _K satisface | DK |_​ ≤  norte . ^[9] Se conocen fórmulas que calculan la descomposición prima de D _K , por lo que se puede calcular explícitamente. ^[10]

A diferencia de los campos cuadráticos, varios campos cúbicos no isomorfos K ₁ , ..., K _m pueden compartir el mismo discriminante D. El número m de estos campos se llama multiplicidad ^[11] del discriminante D. Algunos pequeños ejemplos son m  = 2 para D   = −1836, 3969, m  = 3 para D   = −1228, 22356, m   = 4 para D  = −3299, 32009 y m  = 6 para D  = −70956, 3054132.

Cualquier campo cúbico K tendrá la forma K  =  Q (θ) para algún número θ que sea raíz de un polinomio irreducible

${\displaystyle f(X)=X^{3}-aX+b}$

donde a y b son números enteros. El discriminante de f es Δ = 4 a ³  − 27 b ² . Denotando el discriminante de K por D , el índice i (θ) de θ se define entonces por Δ =  i (θ ) ² D.

En el caso de un campo cúbico no cíclico K, esta fórmula de índice se puede combinar con la fórmula del conductor D = f ² d para obtener una descomposición del polinomio discriminante Δ = i (θ) ² f ² d en el cuadrado del producto i (θ) f y el discriminante d del campo cuadrático k asociado al campo cúbico K , donde d es libre de cuadrados hasta un posible factor 2 ² o 2 ³ . Georgy Voronoy dio un método para separar i (θ) y f en la parte cuadrada de Δ. ^[12]

El estudio del número de campos cúbicos cuyo discriminante es menor que un límite determinado es un área de investigación actual. Sea N ⁺ ( X ) (respectivamente N ⁻ ( X )) el número de campos cúbicos totalmente reales (respectivamente complejos) cuyo discriminante está acotado por X en valor absoluto. A principios de la década de 1970, Harold Davenport y Hans Heilbronn determinaron el primer término del comportamiento asintótico de N ^± ( X ) (es decir, cuando X tiende al infinito). ^{[13] [14]} Mediante un análisis del residuo de la función Shintani zeta , combinado con un estudio de las tablas de campos cúbicos compiladas por Karim Belabas (Belabas 1997) y algunas heurísticas , David P. Roberts conjeturó una función más precisa. fórmula asintótica: ^[15]

${\displaystyle N^{\pm }(X)\sim {\frac {A_{\pm }}{12\zeta (3)}}X+{\frac {4\zeta ({\frac {1}{3}})B_{\pm }}{5\Gamma ({\frac {2}{3}})^{3}\zeta ({\frac {5}{3}})}}X^{\frac {5}{6}}}$

donde A _±  = 1 ó 3, B _±  = 1 ó , según el caso totalmente real o complejo, ζ( s ) es la función zeta de Riemann , y Γ( s ) es la función Gamma . Bhargava, Shankar y Tsimerman (2013) han publicado pruebas de esta fórmula utilizando métodos basados ​​en trabajos anteriores de Bhargava, así como Taniguchi y Thorne (2013) basados ​​en la función Shintani zeta. ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

grupo unitario

Según el teorema unitario de Dirichlet , el rango unitario libre de torsión r de un campo numérico algebraico K con r ₁ incrustaciones reales y r ₂ pares de incrustaciones complejas conjugadas se determina mediante la fórmula r = r ₁ + r ₂ − 1. De ahí una El campo cúbico real K con r ₁ = 3, r ₂ = 0 tiene dos unidades independientes ε ₁ , ε ₂ y un campo cúbico complejo K con r ₁ = r ₂ = 1 tiene una única unidad fundamental ε ₁ . Estos sistemas fundamentales de unidades pueden calcularse mediante algoritmos de fracción continua generalizados de Voronoi , ^[16] que han sido interpretados geométricamente por Delone y Faddeev . ^[17]

Notas

1. Harvey Cohn calculó una asintótica para el número de campos cúbicos cíclicos (Cohn 1954), mientras que Harold Davenport y Hans Heilbronn calcularon la asintótica para todos los campos cúbicos (Davenport y Heilbronn 1971).
2. Cohen 1993, §B.3 contiene una tabla de campos cúbicos complejos
3. Cohen 1993, §B.3
4. Cohen 1993, §B.4 contiene una tabla de campos cúbicos totalmente reales e indica cuáles son cíclicos
5. Cohen 1993, §B.4
6. Hasse 1930
7. Cohen 1993, §6.4.5
8. Los recuentos exactos fueron calculados por Michel Olivier y están disponibles en [1]. La asintótica de primer orden se debe a Harold Davenport y Hans Heilbronn (Davenport & Heilbronn 1971). El término de segundo orden fue conjeturado por David P. Roberts (Roberts 2001) y Manjul Bhargava , Arul Shankar y Jacob Tsimerman publicaron una prueba (Bhargava, Shankar y Tsimerman 2013).
9. H. Minkowski , Diphantische Approximationen , capítulo 4, §5.
10. Llorente, P.; Nart, E. (1983). "Determinación efectiva de la descomposición de los números primos racionales en un campo cúbico". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 87 (4): 579–585. doi : 10.1090/S0002-9939-1983-0687621-6 .
11. Mayer, CC (1992). "Multiplicidades de discriminantes diédricos". Matemáticas. comp. 58 (198): 831–847 y S55–S58. Código Bib : 1992MaCom..58..831M. doi : 10.1090/S0025-5718-1992-1122071-3 .
12. GF Voronoi, Sobre los enteros algebraicos derivables de una raíz de una ecuación de tercer grado , Tesis de maestría, San Petersburgo, 1894 (ruso).
13. Davenport y Heilbronn 1971
14. Su trabajo también puede interpretarse como un cálculo del tamaño promedio de la parte de 3 torsión del grupo de clases de un campo cuadrático y, por lo tanto, constituye uno de los pocos casos probados de las conjeturas de Cohen-Lenstra: ver, por ejemplo, Bhargava, Manjul ; Varma, Ila (2014), El número medio de elementos de 3 torsión en los grupos de clases y grupos ideales de órdenes cuadráticos , arXiv : 1401.5875 , Bibcode : 2014arXiv1401.5875B, Este teorema [de Davenport y Heilbronn] produce los únicos dos casos probados de la heurística de Cohen-Lenstra para grupos de clases de campos cuadráticos.
15. Roberts 2001, Conjetura 3.1
16. Voronoi, GF (1896). Sobre una generalización del algoritmo de fracciones continuas (en ruso). Varsovia: Tesis Doctoral.
17. Delone, BN; Faddeev, DK (1964). La teoría de las irracionalidades de tercer grado . Traducciones de monografías matemáticas. vol. 10. Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense.

Referencias

• Şaban Alaca, Kenneth S. Williams, Introducción a la teoría algebraica de números , Cambridge University Press , 2004.
• Belabas, Karim (1997), "Un algoritmo rápido para calcular campos cúbicos", Matemáticas de la Computación , 66 (219): 1213–1237, doi : 10.1090/s0025-5718-97-00846-6 , SEÑOR  1415795
• Bhargava, Manjul ; Shankar, Arul; Tsimerman, Jacob (2013), "Sobre el teorema de Davenport-Heilbronn y los términos de segundo orden", Inventiones Mathematicae , 193 (2): 439–499, arXiv : 1005.0672 , Bibcode :2013InMat.193..439B, doi :10.1007/s00222 -012-0433-0, SEÑOR  3090184, S2CID  253738365
• Cohen, Henri (1993), Un curso de teoría algebraica computacional de números , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 138, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55640-4, señor  1228206
• Cohn, Harvey (1954), "La densidad de los campos cúbicos abelianos", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 5 (3): 476–477, doi : 10.2307/2031963 , JSTOR  2031963, SEÑOR  0064076
• Davenport, Harold ; Heilbronn, Hans (1971), "Sobre la densidad de discriminantes de campos cúbicos. II", Actas de la Royal Society A , 322 (1551): 405–420, Bibcode :1971RSPSA.322..405D, doi :10.1098/rspa .1971.0075, SEÑOR  0491593, S2CID  122814162
• Hasse, Helmut (1930), "Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage", Mathematische Zeitschrift (en alemán), 31 (1): 565–582, doi :10.1007/BF01246435, S2CID  121649559
• Roberts, David P. (2001), "Densidad de discriminantes de campo cúbico", Matemáticas de la Computación , 70 (236): 1699–1705, arXiv : math/9904190 , doi :10.1090/s0025-5718-00-01291-6, SEÑOR  1836927, S2CID  7524750
• Taniguchi, Takashi; Thorne, Frank (2013), "Términos secundarios en funciones de conteo para campos cúbicos", Duke Mathematical Journal , 162 (13): 2451–2508, arXiv : 1102.2914 , doi : 10.1215/00127094-2371752, MR  3127806, S2CID  16463250

enlaces externos

• Medios relacionados con el campo cúbico en Wikimedia Commons