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Discriminante de un cuerpo de números algebraicos

Dominio fundamental del anillo de números enteros del cuerpo K obtenido a partir de Q mediante la adición de una raíz de x 3  −  x 2  − 2 x  + 1. Este dominio fundamental se encuentra dentro de K  ⊗ Q  R . El discriminante de K es 49 = 7 2 . En consecuencia, el volumen del dominio fundamental es 7 y K solo se ramifica en 7.

En matemáticas , el discriminante de un cuerpo de números algebraicos es un invariante numérico que, en términos generales, mide el tamaño del ( anillo de números enteros del) cuerpo de números algebraicos. Más específicamente, es proporcional al volumen al cuadrado del dominio fundamental del anillo de números enteros y regula qué primos se ramifican .

El discriminante es uno de los invariantes más básicos de un cuerpo numérico y aparece en varias fórmulas analíticas importantes , como la ecuación funcional de la función zeta de Dedekind de K y la fórmula analítica del número de clase para K. Un teorema de Hermite afirma que solo hay un número finito de cuerpos numéricos de discriminante acotado, sin embargo, determinar esta cantidad sigue siendo un problema abierto y el tema de la investigación actual. [1]

El discriminante de K puede denominarse discriminante absoluto de K para distinguirlo del discriminante relativo de una extensión K / L de cuerpos de números. Este último es un ideal en el anillo de números enteros de L y, al igual que el discriminante absoluto, indica qué primos se ramifican en K / L. Es una generalización del discriminante absoluto que permite que L sea mayor que Q ; de hecho, cuando L  =  Q , el discriminante relativo de K / Q es el ideal principal de Z generado por el discriminante absoluto de K.

Definición

Sea K un cuerpo de números algebraicos y sea O K su anillo de enteros . Sea b 1 , ..., b n una base integral de O K (es decir, una base como un Z -módulo ), y sea {σ 1 , ..., σ n } el conjunto de incrustaciones de K en los números complejos (es decir, homomorfismos de anillo inyectivos K  →  C ). El discriminante de K es el cuadrado del determinante de la matriz n por n B cuya ( i , j )-entrada es σ i ( b j ). Simbólicamente,


De manera equivalente, se puede utilizar la traza de K a Q. En concreto, definamos la forma de la traza como la matriz cuya entrada ( i , j ) es Tr K / Q ( b i b j ). Esta matriz es igual a B T B , por lo que el cuadrado del discriminante de K es el determinante de esta matriz.

El discriminante de un orden en K con base integral b 1 , ..., b n se define de la misma manera.

Ejemplos

Un número entero que aparece como discriminante de un campo de números cuadráticos se denomina discriminante fundamental . [3]
donde es la función totiente de Euler , y el producto en el denominador es sobre los primos p dividiendo n .
que es exactamente la definición del discriminante del polinomio mínimo.

Resultados básicos

Historia

Richard Dedekind demostró que cada cuerpo numérico posee una base integral, lo que le permitió definir el discriminante de un cuerpo numérico arbitrario. [16]

La definición del discriminante de un cuerpo numérico algebraico general, K , fue dada por Dedekind en 1871. [16] En este punto, ya conocía la relación entre el discriminante y la ramificación. [17]

El teorema de Hermite es anterior a la definición general del discriminante, ya que Charles Hermite publicó una prueba del mismo en 1857. [18] En 1877, Alexander von Brill determinó el signo del discriminante. [19] Leopold Kronecker fue el primero en enunciar el teorema de Minkowski en 1882, [20] aunque la primera prueba la dio Hermann Minkowski en 1891. [21] Ese mismo año, Minkowski publicó su límite sobre el discriminante. [22] Cerca del final del siglo XIX, Ludwig Stickelberger obtuvo su teorema sobre el residuo del discriminante módulo cuatro. [23] [24]

Discriminante relativo

El discriminante definido anteriormente se denomina a veces discriminante absoluto de K para distinguirlo del discriminante relativo Δ K / L de una extensión de cuerpos numéricos K / L , que es un ideal en O L . El discriminante relativo se define de manera similar al discriminante absoluto, pero debe tener en cuenta que los ideales en O L pueden no ser principales y que puede no haber una base O L de O K . Sea {σ 1 , ..., σ n } el conjunto de incrustaciones de K en C que son la identidad en L . Si b 1 , ..., b n es cualquier base de K sobre L , sea d ( b 1 , ..., b n ) el cuadrado del determinante de la matriz n por n cuya entrada ( i , j ) es σ i ( b j ). Entonces, el discriminante relativo de K / L es el ideal generado por d ( b 1 , ..., b n ) cuando { b 1 , ..., b n } varía sobre todas las bases integrales de K / L . (es decir, bases con la propiedad de que b i  ∈  O K para todo i .) Alternativamente, el discriminante relativo de K / L es la norma de la diferencia de K / L . [25] Cuando L = Q , el discriminante relativo Δ K / Q es el ideal principal de Z generado por el discriminante absoluto Δ K  . En una torre de campos K / L / F los discriminantes relativos están relacionados por

donde denota norma relativa . [26]

Ramificación

El discriminante relativo regula los datos de ramificación de la extensión de campo K / L . Un ideal primo p de L se ramifica en K si, y solo si, divide al discriminante relativo Δ K / L . Una extensión no está ramificada si, y solo si, el discriminante es el ideal unitario. [25] El límite de Minkowski anterior muestra que no hay extensiones no ramificadas no triviales de Q . Los campos mayores que Q pueden tener extensiones no ramificadas: por ejemplo, para cualquier campo con número de clase mayor que uno, su campo de clase de Hilbert es una extensión no ramificada no trivial.

Discriminante de raíz

El discriminante raíz de un cuerpo numérico de grado n K se define mediante la fórmula

[27]

La relación entre discriminantes relativos en una torre de campos muestra que el discriminante raíz no cambia en una extensión no ramificada.

Límites inferiores asintóticos

Dados los números racionales no negativos ρ y σ , no ambos 0, y un entero positivo n tal que el par ( r ,2 s ) = ( ρn , σn ) está en Z  × 2 Z , sea α n ( ρσ ) el ínfimo de rd K cuando K abarca cuerpos de números de grado n con r incrustaciones reales y 2 s incrustaciones complejas, y sea α ( ρσ ) = liminf n →∞  α n ( ρσ ). Entonces

,

y la hipótesis generalizada de Riemann implica el límite más fuerte

[28]

También hay un límite inferior que se cumple en todos los grados, no sólo asintóticamente: para campos totalmente reales, el discriminante raíz es > 14, con 1229 excepciones. [29]

Límites superiores asintóticos

Por otra parte, la existencia de una torre de campos de clase infinita puede dar límites superiores a los valores de α ( ρσ ). Por ejemplo, la torre de campos de clase infinita sobre Q ( - m ) con m  = 3·5·7·11·19 produce campos de grado arbitrariamente grande con discriminante raíz 2 m ≈ 296.276, [28] por lo que α (0,1) < 296.276. Utilizando torres ligeramente ramificadas , Hajir y Maire han demostrado que α (1,0) < 954.3 y α (0,1) < 82.2, [27] mejorando los límites anteriores de Martinet. [28] [30]

Relación con otras magnitudes

Notas

  1. ^ Cohen, Díaz y Díaz & Olivier 2002
  2. ^ ab Manin, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007), Introducción a la teoría de números moderna , Enciclopedia de ciencias matemáticas, vol. 49 (segunda ed.), pág. 130, ISBN 978-3-540-20364-3, ISSN  0938-0396, Zbl  1079.11002
  3. ^ Definición 5.1.2 de Cohen 1993
  4. ^ Proposición 2.7 de Washington de 1997
  5. ^ Dedekind 1878, págs. 30-31
  6. ^ Narkiewicz 2004, pág. 64
  7. ^ Cohen 1993, Teorema 6.4.6
  8. ^ Koch 1997, pág. 11
  9. ^ Lema 2.2 de Washington 1997
  10. ^ Corolario III.2.12 de Neukirch 1999
  11. ^ Conrad, Keith. "Discriminantes y primos ramificados" (PDF) . Teorema 1.3 (Dedekind). Para un cuerpo de números K, un primo p se ramifica en K si y sólo si p divide al entero discZ(OK)
  12. ^ Ejercicio I.2.7 de Neukirch 1999
  13. ^ Proposición III.2.14 de Neukirch 1999
  14. ^ Teorema III.2.17 de Neukirch 1999
  15. ^ Teorema III.2.16 de Neukirch 1999
  16. ^ ab Suplemento X de Dedekind de la segunda edición de Vorlesungen über Zahlentheorie de Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Dedekind 1871)
  17. ^ Bourbaki 1994
  18. ^ Hermita 1857.
  19. ^ Brillante 1877.
  20. ^ Kronecker 1882.
  21. ^ Minkowski 1891a.
  22. ^ Minkowski 1891b.
  23. ^ Stickelberger 1897.
  24. ^ Todos los datos de este párrafo se pueden encontrar en Narkiewicz 2004, pp. 59, 81.
  25. ^ desde Neukirch 1999, §III.2
  26. ^ Corolario III.2.10 de Neukirch 1999 o Proposición III.2.15 de Fröhlich & Taylor 1993
  27. ^ ab Hajir, Farshid; Maire, Christian (2002). "Torres ramificadas mansamente y límites discriminantes para cuerpos numéricos. II". J. Symbolic Comput. 33 : 415–423. doi : 10.1023/A:1017537415688 .
  28. ^ abc Koch 1997, págs. 181-182
  29. ^ Voight 2008
  30. ^ Martinet, Jacques (1978). "Tours de corps declasses et estimaciones de discriminants". Inventiones Mathematicae (en francés). 44 : 65–73. Código Bib : 1978 InMat..44...65M. doi :10.1007/bf01389902. S2CID  122278145. Zbl  0369.12007.
  31. ^ Sección 4.4 de Serre 1967

Referencias

Fuentes primarias

Fuentes secundarias

Lectura adicional