base de Schauder

herramienta computacional

En matemáticas , una base de Schauder o base contable es similar a la base habitual ( Hamel ) de un espacio vectorial ; la diferencia es que las bases de Hamel usan combinaciones lineales que son sumas finitas, mientras que para las bases de Schauder pueden ser sumas infinitas. Esto hace que las bases de Schauder sean más adecuadas para el análisis de espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita, incluidos los espacios de Banach .

Las bases de Schauder fueron descritas por Juliusz Schauder en 1927, ^{[1] [2]} aunque dichas bases se discutieron anteriormente. Por ejemplo, la base de Haar se dio en 1909, y Georg Faber discutió en 1910 una base para funciones continuas en un intervalo , a veces llamado sistema Faber-Schauder . ^[3]

Definiciones

Sea V un espacio vectorial topológico sobre el campo  F. Una base de Schauder es una secuencia { b _n } de elementos de  V tal que para cada elemento v ∈ V existe una secuencia única {α _n } de escalares en  F de modo que

$${\displaystyle v=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha _{n}b_{n}}{\text{.}}}$$

es decir

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}}=v{\text{,}}}$$

convergencia débilespacio vectorial normadoespacio de Banach^[4]base de Hamelincondicionalmente

Tenga en cuenta que algunos autores definen las bases de Schauder como contables (como se indicó anteriormente), mientras que otros usan el término para incluir bases incontables. En cualquier caso, las sumas mismas siempre son contables. Una base de Schauder incontable es un conjunto ordenado linealmente en lugar de una secuencia, y cada suma hereda el orden de sus términos de este ordenamiento lineal. Pueden surgir y surgen en la práctica. Por ejemplo, un espacio de Hilbert separable sólo puede tener una base de Schauder contable, pero un espacio de Hilbert no separable puede tener una base incontable.

Aunque la definición anterior técnicamente no requiere un espacio normado, es necesaria una norma para decir casi cualquier cosa útil sobre las bases de Schauder. Los resultados siguientes suponen la existencia de una norma.

Se dice que una base de Schauder { b _n } _{n ≥ 0} está normalizada cuando todos los vectores de base tienen norma 1 en el espacio de Banach  V .

Una secuencia { x _n } _{n ≥ 0} en V es una secuencia básica si es una base de Schauder de su tramo lineal cerrado .

Se dice que dos bases de Schauder, { b _n } en V y { c _n } en W , son equivalentes si existen dos constantes c > 0 y C tales que para cada número natural N ≥ 0 y todas las secuencias {α _n } de escalares,

${\displaystyle c\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}\leq \left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}c_{k}\right\|_{W}\leq C\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}.}$

Una familia de vectores en V es total si su tramo lineal (el conjunto de combinaciones lineales finitas) es denso en V. Si V es un espacio de Hilbert , una base ortogonal es un subconjunto total B de V tal que los elementos en B son distintos de cero y ortogonales por pares. Además, cuando cada elemento en B tiene norma 1, entonces B es una base ortonormal de V.

Propiedades

Sea { b _n } una base de Schauder de un espacio de Banach V sobre F  = R o  C. Es una consecuencia sutil del teorema de mapeo abierto que los mapeos lineales { P _n } definidos por

${\displaystyle v=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}b_{k}\ \ {\overset {\textstyle P_{n}}{\longrightarrow }}\ \ P_{n}(v)=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}}$

están uniformemente acotados por alguna constante C . ^[5] Cuando C = 1 , la base se llama base monótona . Las aplicaciones { P _n } son las proyecciones base .

Sea { b* _n } las coordenadas funcionales , donde b* _n asigna a cada vector v en V la coordenada α _n de v en la expansión anterior. Cada b* _n es un funcional lineal acotado en V . De hecho, para cada vector v en V ,

${\displaystyle |b_{n}^{*}(v)|\;\|b_{n}\|_{V}=|\alpha _{n}|\;\|b_{n}\|_{V}=\|\alpha _{n}b_{n}\|_{V}=\|P_{n}(v)-P_{n-1}(v)\|_{V}\leq 2C\|v\|_{V}.}$

Estos funcionales { b* _n } se denominan funcionales biortogonales asociados a la base { b _n }. Cuando la base { b _n } está normalizada, los funcionales coordinados { b* _n } tienen norma ≤ 2 C en el dual continuo V  ′ de  V .

Un espacio de Banach con base de Schauder es necesariamente separable , pero lo contrario es falso. Dado que todo vector v en un espacio de Banach V con base de Schauder es el límite de P _n ( v ), con P _n de rango finito y uniformemente acotado, dicho espacio V satisface la propiedad de aproximación acotada .

Un teorema atribuido a Mazur ^{[6] afirma que cada espacio de Banach} V de dimensión infinita contiene una secuencia básica, es decir , hay un subespacio de V de dimensión infinita que tiene una base de Schauder. El problema de las bases es la pregunta de Banach: si todo espacio separable de Banach tiene una base de Schauder. Per Enflo respondió negativamente a esto, quien construyó un espacio de Banach separable que fallaba en la propiedad de aproximación, por lo tanto, un espacio sin una base de Schauder. ^[7]

Ejemplos

Las bases vectoriales unitarias estándar de c 0 y de ℓ p para 1 ≤ p  < ∞, son bases de Schauder monótonas. En esta base de vector unitario { b _n }, el vector b _n en V = c ₀ o en V = ℓ ^p es la secuencia escalar [ b _{n , j} ] _j donde todas las coordenadas b _{n, j} son 0, excepto la n ésima coordinar:

${\displaystyle b_{n}=\{b_{n,j}\}_{j=0}^{\infty }\in V,\ \ b_{n,j}=\delta _{n,j},}$

donde δ _{n, j} es el delta de Kronecker . El espacio ℓ ^∞ no es separable y, por tanto, no tiene base de Schauder.

Toda base ortonormal en un espacio de Hilbert separable es una base de Schauder. Cada base ortonormal contable es equivalente a la base del vector unitario estándar en ℓ ² .

El sistema de Haar es un ejemplo de base para L ^p ([0, 1]) , cuando 1 ≤ p  < ∞. ^[2] Cuando 1 < p  < ∞ , otro ejemplo es el sistema trigonométrico definido a continuación. El espacio de Banach C ([0, 1]) de funciones continuas en el intervalo [0, 1], con la norma suprema , admite una base de Schauder. El sistema Faber-Schauder es la base Schauder más utilizada para  C ([0, 1]). ^{[3] [8]}

Se descubrieron varias bases para los espacios clásicos antes de que apareciera el libro de Banach (Banach (1932)), pero algunos otros casos permanecieron abiertos durante mucho tiempo. Por ejemplo, la cuestión de si el álgebra de disco A ( D ) tiene una base de Schauder permaneció abierta durante más de cuarenta años, hasta que Bočkarev demostró en 1974 que en A ( D ) existe  una base construida a partir del sistema de Franklin . ^[9] También se puede demostrar que el sistema periódico de Franklin ^[10] es una base para un espacio de Banach A _r isomorfo a A ( D ). ^[11] Este espacio Ar _consta de todas las funciones complejas continuas en el círculo unitario T cuya función conjugada también es continua. El sistema de Franklin es otra base de Schauder para C ([0, 1]), ^[12] y es una base de Schauder en L ^p ([0, 1]) cuando 1 ≤ p < ∞ . ^[13] Los sistemas derivados del sistema de Franklin dan bases en el espacio C ¹ ([0, 1] ² ) de funciones diferenciables en el cuadrado unitario. ^[14] La existencia de una base de Schauder en C ¹ ([0, 1] ² ) era una pregunta del libro de Banach. ^[15]

Relación con la serie de Fourier

Sea { x _n }, en el caso real, la secuencia de funciones

${\displaystyle \{1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),\cos(3x),\sin(3x),\ldots \}}$

o, en el caso complejo,

${\displaystyle \left\{1,e^{ix},e^{-ix},e^{2ix},e^{-2ix},e^{3ix},e^{-3ix},\ldots \right\}.}$

La secuencia { x _n } se llama sistema trigonométrico . Es una base de Schauder para el espacio L ^p ([0, 2 π ]) para cualquier p tal que 1 < p < ∞ . Para p  = 2, este es el contenido del teorema de Riesz-Fischer , y para p  ≠ 2, es una consecuencia de la acotación en el espacio L ^p ([0, 2 π ]) de la transformada de Hilbert en el círculo . De esta acotación se deduce que las proyecciones P _N definidas por

${\displaystyle \left\{f:x\to \sum _{k=-\infty }^{+\infty }c_{k}e^{ikx}\right\}\ {\overset {P_{N}}{\longrightarrow }}\ \left\{P_{N}f:x\to \sum _{k=-N}^{N}c_{k}e^{ikx}\right\}}$

están uniformemente acotados en L ^p ([0, 2 π ]) cuando 1 < p < ∞ . Esta familia de aplicaciones { P _N } es equicontinua y tiende a la identidad en el subconjunto denso formado por polinomios trigonométricos . Se deduce que P _N f tiende a f en L ^p -norma para cada f ∈ L ^p ([0, 2 π ]) . En otras palabras, { x _n } es una base de Schauder de L ^p ([0, 2 π ]). ^[dieciséis]

Sin embargo, el conjunto { x _n } no es una base de Schauder para L ¹ ([0, 2 π ]). Esto significa que hay funciones en L ¹ cuya serie de Fourier no converge en la norma L ¹ , o equivalentemente, que las proyecciones P _N no están uniformemente acotadas en la norma L ¹ . Además, el conjunto { x _n } no es una base de Schauder para C ([0, 2 π ]).

Bases para espacios de operadores

El espacio K (ℓ ² ) de operadores compactos en el espacio de Hilbert ℓ ^​​2 tiene una base de Schauder. Para cada x , y en ℓ ² , sea x ⊗ y el operador de rango uno v ∈ ℓ ² → < v , x > y . Si { e _n } _{n ≥ 1} es la base ortonormal estándar de ℓ ^{2 , la secuencia [17]} da una base para K (ℓ ^{2 )}

${\displaystyle {\begin{aligned}&e_{1}\otimes e_{1},\ \ e_{1}\otimes e_{2},\;e_{2}\otimes e_{2},\;e_{2}\otimes e_{1},\ldots ,\\&e_{1}\otimes e_{n},e_{2}\otimes e_{n},\ldots ,e_{n}\otimes e_{n},e_{n}\otimes e_{n-1},\ldots ,e_{n}\otimes e_{1},\ldots \end{aligned}}}$

Para cada n , la secuencia que consta de los n ² primeros vectores en esta base es un ordenamiento adecuado de la familia { e _j ⊗ e _k }, para 1 ≤ j , k ≤ n .

El resultado anterior se puede generalizar: un espacio de Banach X con una base tiene la propiedad de aproximación , por lo que el espacio K ( X ) de operadores compactos en X es isométricamente isomorfo ^[18] al producto tensor inyectivo

${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X\simeq {\mathcal {K}}(X).}$

Si X es un espacio de Banach con base de Schauder { e _n } _{n ≥ 1} tal que los funcionales biortogonales son base del dual, es decir, un espacio de Banach con base decreciente, entonces el espacio K ( X ) admite una base formada por los operadores de rango uno e * _j ⊗ e _k  : v → e * _j ( v ) e _k , con el mismo orden que antes. ^[17] Esto se aplica en particular a todo espacio reflexivo de Banach X con una base de Schauder.

Por otro lado, el espacio B (ℓ ² ) no tiene base, ya que es inseparable. Además, B (ℓ ² ) no tiene la propiedad de aproximación. ^[19]

Incondicionalidad

Una base de Schauder { b _n } es incondicional si siempre que la serie converge, converge incondicionalmente . Para una base de Schauder { b _n }, esto es equivalente a la existencia de una constante C tal que ${\displaystyle \sum \alpha _{n}b_{n}}$

${\displaystyle {\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}}$

para todos los números naturales n , todos los coeficientes escalares {α _k } y todos los signos ε _k = ±1 . La incondicionalidad es una propiedad importante ya que permite olvidarse del orden de suma. Una base de Schauder es simétrica si es incondicional y uniformemente equivalente a todas sus permutaciones : existe una constante C tal que para cada número natural n , cada permutación π del conjunto {0, 1,..., n }, todas escalares coeficientes {α _k } y todos los signos {ε _k },

${\displaystyle {\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{\pi (k)}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}.}$

Las bases estándar de los espacios de secuencia c ₀ y ℓ ^p para 1 ≤ p  < ∞, así como todas las bases ortonormales en un espacio de Hilbert, son incondicionales. Estas bases también son simétricas.

El sistema trigonométrico no es una base incondicional en L ^p , excepto p  = 2.

El sistema de Haar es una base incondicional en L ^p para cualquier 1 < p  < ∞. El espacio L ¹ ([0, 1]) no tiene una base incondicional. ^[20]

Una pregunta natural es si cada espacio de Banach de dimensión infinita tiene un subespacio de dimensión infinita con una base incondicional. Esto fue resuelto negativamente por Timothy Gowers y Bernard Maurey en 1992. ^[21]

Bases de Schauder y dualidad

Una base { e _n } _{n ≥0} de un espacio de Banach X es acotadamente completa si para cada secuencia { a _n } _{n ≥0} de escalares tales que las sumas parciales

${\displaystyle V_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}e_{k}}$

están acotados en X , la secuencia { V _n } converge en X. La base del vector unitario para ℓ ^p , 1 ≤ p < ∞ , es acotadamente completa. Sin embargo, la base del vector unitario no es acotadamente completa en c ₀ . De hecho, si a _n  = 1 para cada n , entonces

${\displaystyle \|V_{n}\|_{c_{0}}=\max _{0\leq k\leq n}|a_{k}|=1}$

para cada n , pero la secuencia { V _n } no es convergente en c ₀ , ya que || V _{norte +1} − V _norte || = 1 por cada  n .

Un espacio X con una base acotadamente completa { e _n } _{n ≥0} es isomorfo a un espacio dual, es decir, el espacio X es isomorfo al dual del tramo lineal cerrado en el dual X  ′ de los funcionales biortogonales asociados a la base { e _n }. ^[22]

Una base { e _n } _{n ≥0} de X se está reduciendo si para cada funcional lineal acotada f en X , la secuencia de números no negativos

${\displaystyle \varphi _{n}=\sup\{|f(x)|:x\in F_{n},\;\|x\|\leq 1\}}$

tiende a 0 cuando n → ∞ , donde F _n es el tramo lineal de los vectores base e _m para m ≥ n . La base del vector unitario para ℓ ^p , 1 < p < ∞, o para c ₀ , se está reduciendo. No se está reduciendo en ℓ ¹ : si f es el funcional lineal acotado en ℓ ¹ dado por

${\displaystyle f:x=\{x_{n}\}\in \ell ^{1}\ \rightarrow \ \sum _{n=0}^{\infty }x_{n},}$

entonces φ _n ≥ f ( e _n ) = 1 para cada n .

Una base [ e _n ] _{n ≥ 0} de X se está reduciendo si y sólo si los funcionales biortogonales [ e * _n ] _{n ≥ 0} forman una base del dual X  ′ . ^[23]

Robert C. James caracterizó la reflexividad en los espacios de Banach con base: el espacio X con base de Schauder es reflexivo si y sólo si la base es a la vez menguante y acotadamente completa. ^[24] James también demostró que un espacio con una base incondicional es no reflexivo si y sólo si contiene un subespacio isomorfo a c ₀ o ℓ ¹ . ^[25]

Conceptos relacionados

Una base de Hamel es un subconjunto B de un espacio vectorial V tal que cada elemento v ∈ V puede escribirse únicamente como

${\displaystyle v=\sum _{b\in B}\alpha _{b}b}$

con α _b ∈ F , con la condición extra de que el conjunto

${\displaystyle \{b\in B\mid \alpha _{b}\neq 0\}}$

es finito. Esta propiedad hace que la base de Hamel sea difícil de manejar para espacios de Banach de dimensión infinita; Como base de Hamel para un espacio de Banach de dimensión infinita tiene que ser incontable . (Cada subespacio de dimensión finita de un espacio de Banach de dimensión infinita X tiene un interior vacío y no es denso en ninguna parte en X. Luego se deduce del teorema de la categoría de Baire que una unión contable de bases de estos subespacios de dimensión finita no puede servir como base [ ^26] )

Ver también

• base de markushevich
• Serie de Fourier generalizada
• Polinomios ortogonales
• onda de pelo
• espacio banach

Notas

1. ver Schauder (1927).
2. Schauder, Juliusz (1928). "Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems". Mathematische Zeitschrift . 28 : 317–320. doi :10.1007/bf01181164.
3. Faber, Georg (1910), "Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar", Deutsche Math.-Ver (en alemán) 19 : 104-112. ISSN  0012-0456; http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553
4. Karlin, S. (diciembre de 1948). "Bases en espacios de Banach". Revista de Matemáticas de Duke . 15 (4): 971–985. doi :10.1215/S0012-7094-48-01587-7. ISSN  0012-7094.
5. ver Teorema 4.10 en Fabián et al. (2011).
6. para ver una de las primeras pruebas publicadas, consulte la pág. 157, C.3 en Bessaga, C. y Pełczyński, A. (1958), "Sobre bases y convergencia incondicional de series en espacios de Banach", Studia Math. 17 : 151–164. En las primeras líneas de este artículo, Bessaga y Pełczyński escriben que el resultado de Mazur aparece sin pruebas en el libro de Banach, concretamente en la p. 238— pero no aportan una referencia que contenga una prueba.
7. Enflo, Per (julio de 1973). "Un contraejemplo al problema de aproximación en espacios de Banach". Acta Matemática . 130 (1): 309–317. doi : 10.1007/BF02392270 .
8. véanse las págs. 48 y 49 en Schauder (1927). Schauder define allí un modelo general para este sistema, del cual el sistema Faber-Schauder utilizado hoy es un caso especial.
9. ver Bočkarev, SV (1974), "Existencia de una base en el espacio de funciones analíticas en el disco y algunas propiedades del sistema de Franklin", (en ruso) Mat. SB . (NS) 95 (137): 3–18, 159. Traducido en matemáticas. URSS-Sb. 24 (1974), 1–16. La pregunta está en el libro de Banach, Banach (1932) p. 238, §3.
10. Ver pág. 161, III.D.20 en Wojtaszczyk (1991).
11. Ver pág. 192, III.E.17 en Wojtaszczyk (1991).
12. Franklin, Felipe (1928). "Un conjunto de funciones ortogonales continuas". Matemáticas. Ana. 100 : 522–529. doi :10.1007/bf01448860.
13. ver pág. 164, III.D.26 en Wojtaszczyk (1991).
14. ver Ciesielski, Z (1969). "Una construcción de base en C ¹ ( I ² )". Estudia Matemáticas. 33 : 243–247. y Schönefeld, Steven (1969). "Schauder se basa en espacios de funciones diferenciables". Toro. América. Matemáticas. Soc. 75 (3): 586–590. doi : 10.1090/s0002-9904-1969-12249-4 .
15. ver pág. 238, §3 en Banach (1932).
16. ver pág. 40, II.B.11 en Wojtaszczyk (1991).
17. ver Proposición 4.25, p. 88 en Ryan (2002).
18. ver Corolario 4.13, p. 80 en Ryan (2002).
19. ver Szankowski, Andrzej (1981). "B(H) no tiene la propiedad de aproximación". Acta Matemáticas . 147 : 89-108. doi : 10.1007/bf02392870 .
20. ver pág. 24 en Lindenstrauss y Tzafriri (1977).
21. Gowers, W. Timothy; Maurey, Bernard (6 de mayo de 1992). "El problema de la secuencia básica incondicional". arXiv : matemáticas/9205204 .
22. ver pág. 9 en Lindenstrauss y Tzafriri (1977).
23. ver pág. 8 en Lindenstrauss y Tzafriri (1977).
24. Véase James (1950) y Lindenstrauss & Tzafriri (1977, p. 9).
25. Véase James (1950) y Lindenstrauss & Tzafriri (1977, p. 23).
26. Carothers, NL (2005), Un curso breve sobre la teoría del espacio de Banach , Cambridge University Press ISBN 0-521-60372-2 

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Referencias

• Schauder, Juliusz (1927), "Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen", Mathematische Zeitschrift (en alemán), 26 : 47–65, doi :10.1007/BF01475440, hdl : 10338.dmlcz/104881.
• Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoría de las operaciones lineales ] (PDF) . Monografie Matematyczne (en francés). vol. 1. Varsovia: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl  0005.20901. Archivado desde el original (PDF) el 11 de enero de 2014 . Consultado el 11 de julio de 2020 .
• Fabián, Marián; Habala, Petr; Hájek, Petr; Montesinos, Vicente; Zizler, Václav (2011), Teoría del espacio de Banach: la base para el análisis lineal y no lineal , CMS Books in Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4419-7514-0
• James, Robert C. (1950). "Bases y reflexividad de los espacios de Banach". Los Anales de las Matemáticas . 52 (3): 518–527. doi :10.2307/1969430. Señor 39915
• Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (1977), Espacios clásicos de Banach I, Espacios de secuencia , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 92, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4
• Ryan, Raymond A. (2002), Introducción a los productos tensoriales de los espacios de Banach , Springer Monographs in Mathematics, Londres: Springer-Verlag, págs. xiv+225, ISBN 1-85233-437-1
• Schaefer, Helmut H. (1971), Espacios vectoriales topológicos , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 3, Nueva York: Springer-Verlag, págs. xi+294, ISBN 0-387-98726-6.
• Wojtaszczyk, Przemysław (1991), Espacios de Banach para analistas , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 25, Cambridge: Cambridge University Press, págs. xiv+382, ISBN 0-521-35618-0.
• Golubov, BI (2001) [1994], "Sistema Faber-Schauder", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

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• Hola, Christopher E. (1997). "Introducción a la teoría de bases" (PDF) ..
• Sistema Franklin. BI Golubov (creador), Enciclopedia de Matemáticas. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655

Otras lecturas

• Kufner, Alois (2013), Espacios funcionales , Serie De Gruyter en análisis y aplicaciones no lineales, vol. 14, Praga: Editorial Academia de la Academia Checoslovaca de Ciencias, de Gruyter