Convergencia incondicional

Convergencia de una secuencia independiente del orden

En matemáticas , específicamente en análisis funcional , una serie es incondicionalmente convergente si todos los reordenamientos de la serie convergen al mismo valor. Por el contrario, una serie es condicionalmente convergente si converge pero los diferentes ordenamientos no convergen todos al mismo valor. La convergencia incondicional es equivalente a la convergencia absoluta en espacios vectoriales de dimensión finita , pero es una propiedad más débil en dimensiones infinitas.

Definición

Sea un espacio vectorial topológico . Sea un conjunto de índices y para todos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x_{i}\in X}$ ${\displaystyle i\in I.}$

La serie se llama incondicionalmente convergente si ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}x_{i}}$ ${\displaystyle x\in X,}$

• el conjunto de indexación es contable y ${\displaystyle I_{0}:=\left\{i\in I:x_{i}\neq 0\right\}}$
• para cada permutación ( biyección ) de la siguiente relación se cumple: ${\displaystyle \sigma :I_{0}\to I_{0}}$ ${\displaystyle I_{0}=\left\{i_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{\sigma \left(i_{k}\right)}=x.}$

Definición alternativa

La convergencia incondicional a menudo se define de manera equivalente: una serie es incondicionalmente convergente si para cada secuencia con la serie ${\displaystyle \left(\varepsilon _{n}\right)_{n=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}\in \{-1,+1\},}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}}$$

Si es un espacio de Banach , toda serie absolutamente convergente es incondicionalmente convergente, pero la implicación inversa no se cumple en general. De hecho, si es un espacio de Banach de dimensión infinita, entonces, según el teorema de Dvoretzky-Rogers , siempre existe una serie incondicionalmente convergente en este espacio que no es absolutamente convergente. Sin embargo, según el teorema de la serie de Riemann , la serie es incondicionalmente convergente si y sólo si es absolutamente convergente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n},}$ ${\textstyle \sum _{n}x_{n}}$

Ver también

• Convergencia absoluta  - Modo de convergencia de una serie infinita
• Modos de convergencia (índice anotado)  : índice anotado de varios modos de convergencia
• Reordenamientos y convergencia incondicional/Teorema de Dvoretzky-Rogers  – Modo de convergencia de una serie infinita
• Teorema de la serie de Riemann  : las series incondicionales convergen absolutamente

Referencias

• Cap. Heil: una introducción a la teoría básica
• Knopp, Konrad (1956). Secuencias y Series Infinitas . Publicaciones de Dover. ISBN 9780486601533.
• Knopp, Konrad (1990). Teoría y Aplicación de Series Infinitas . Publicaciones de Dover. ISBN 9780486661650.
• Wojtaszczyk, P. (1996). Espacios de Banach para analistas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521566759.

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