base de markushevich

En análisis funcional , una base de Markushevich (a veces base M ^[1] ) es un sistema biortogonal que es a la vez completo y total . ^[2]

Definición

Sea el espacio de Banach . Un sistema biortogonal es una base de Markushevich si ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x_{\alpha };f_{\alpha }\}_{x\in \alpha }}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\overline {\text{span}}}\{x_{\alpha }\}=X}$$

$${\displaystyle \{f_{\alpha }\}_{x\in \alpha }}$$

separa los puntos ${\displaystyle X}$

En un espacio separable, la biortogonalidad no es una obstrucción sustancial para una base de Markushevich; cualquier conjunto generador y funcional de separación puede hacerse biortogonal. Pero es un problema abierto si cada espacio de Banach separable admite una base de Markushevich con para todos . ^[3] ${\displaystyle \|x_{\alpha }\|=\|f_{\alpha }\|=1}$ ${\displaystyle \alpha }$

Ejemplos

Cada base de Schauder de un espacio de Banach es también una base de Markushevich; lo contrario no es cierto en general. Un ejemplo de una base de Markushevich que no es una base de Schauder es la secuencia

$${\displaystyle \{e^{2i\pi nt}\}_{n\in \mathbb {Z} }\quad \quad \quad ({\text{ordered }}n=0,\pm 1,\pm 2,\dots )}$$

funciones continuasnúmeros complejos ${\displaystyle {\tilde {C}}[0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}[0,1]}$ ${\displaystyle f\in {\tilde {C}}[0,1]}$

$${\displaystyle \sum _{|n|<N}{\alpha _{N,n}e^{2\pi int}}\to f{\text{.}}}$$

^{[3] [4]} ${\displaystyle f=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\alpha _{n}e^{2\pi nit}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{\alpha _{N,n}\}_{N}}$

El espacio de secuencia no admite base de Markushevich, porque es a la vez Grothendieck e irreflexivo . Pero cualquier espacio separable (como ) tiene complemento dual (resp. ) en un espacio que admite una base de Markushevich. ^[3] ${\displaystyle l^{\infty }}$ ${\displaystyle l^{1}}$ ${\displaystyle l^{\infty }}$

Referencias

1. Hušek, Miroslav; Mill, J. van (2002). Progresos recientes en topología general II. Elsevier. pag. 182.ISBN​ 9780444509802. Consultado el 28 de junio de 2014 .
2. Bierstedt, KD; Bonet, J.; Maestre, M.; J. Schmets (20 de septiembre de 2001). Avances recientes en el análisis funcional. Elsevier. pag. 4.ISBN​ 9780080515922. Consultado el 28 de junio de 2014 .
3. Fabián, Marián J.; Habala, Petr; Hájek, Petr; Montesinos Santalucía, Vicente; Zizler, Václav (2011). Teoría del espacio de Banach: la base del análisis lineal y no lineal (PDF) . Nueva York: Springer. págs. 216-218. doi :10.1007/978-1-4419-7515-7. ISBN 978-1-4419-7515-7.
4. Albiac, Fernando; Kalton, Nigel J. (2006). Temas de la teoría espacial de Banach. GTM 233 (2ª ed.). Suiza: Springer (publicado en 2016). págs. 9-10. doi :10.1007/978-3-319-31557-7. ISBN 978-3-319-31557-7.