Conjugado armónico

Concepto en matemáticas

En matemáticas , se dice que una función de valor real definida en un conjunto abierto conexo tiene un conjugado (función) si y solo si son respectivamente las partes real e imaginaria de una función holomorfa de la variable compleja Es decir, es conjugada a si es holomorfa en Como primera consecuencia de la definición, ambas son funciones de valor real armónicas en . Además, el conjugado de si existe, es único hasta una constante aditiva. También, es conjugada a si y solo si es conjugada a . ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle v(x,y)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z:=x+iy\in \Omega .}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f(z):=u(x,y)+iv(x,y)}$ ${\displaystyle \Omega .}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle -u}$

Descripción

De manera equivalente, es conjugado de en si y solo si y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en Como consecuencia inmediata de la última definición equivalente, si es cualquier función armónica en la función es conjugada de para entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann son justos y la simetría de las derivadas mixtas de segundo orden , Por lo tanto, una función armónica admite una función armónica conjugada si y solo si la función holomorfa tiene una primitiva en en cuyo caso un conjugado de es, por supuesto, Por lo tanto, cualquier función armónica siempre admite una función conjugada siempre que su dominio sea simplemente conexo , y en cualquier caso admite un conjugado localmente en cualquier punto de su dominio. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Omega .}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle -u_{y}}$ ${\displaystyle u_{x}}$ ${\displaystyle \Delta u=0}$ ${\displaystyle u_{xy}=u_{yx}.}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle g(z):=u_{x}(x,y)-iu_{y}(x,y)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f(x+iy).}$

Hay un operador que toma una función armónica u en una región simplemente conexa en su conjugado armónico v (poniendo p. ej. v ( x ₀ ) = 0 en un x ₀ dado para fijar la indeterminación del conjugado hasta constantes). Esto es bien conocido en aplicaciones como (esencialmente) la transformada de Hilbert ; también es un ejemplo básico en análisis matemático , en conexión con operadores integrales singulares . Las funciones armónicas conjugadas (y la transformada entre ellas) también son uno de los ejemplos más simples de una transformada de Bäcklund (dos EDP y una transformada que relaciona sus soluciones), en este caso lineal; las transformadas más complejas son de interés en solitones y sistemas integrables . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Geométricamente, u y v están relacionadas como si tuvieran trayectorias ortogonales , alejándose de los ceros de la función holomorfa subyacente; los contornos en los que u y v son constantes se cruzan en ángulos rectos . En este sentido, u + iv sería el potencial complejo , donde u es la función potencial y v es la función de corriente .

Ejemplos

Por ejemplo, considere la función $${\displaystyle u(x,y)=e^{x}\sin y.}$$

Dado que y satisface ( es el operador de Laplace ) y, por lo tanto, es armónico. Ahora supongamos que tenemos una tal que se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann: $${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=e^{x}\sin y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}=e^{x}\sin y}$$ $${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=e^{x}\cos y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}=-e^{x}\sin y,}$$ $${\displaystyle \Delta u=\nabla ^{2}u=0}$$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle v(x,y)}$

$${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$$y $${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}=e^{x}\cos y.}$$

Simplificando, y que al resolverlo da $${\displaystyle {\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$$ $${\displaystyle {\partial v \over \partial x}=-e^{x}\cos y}$$ $${\displaystyle v=-e^{x}\cos y+C.}$$

Obsérvese que si las funciones relacionadas con u y v se intercambiaran, las funciones no serían conjugadas armónicas, ya que el signo menos en las ecuaciones de Cauchy-Riemann hace que la relación sea asimétrica.

La propiedad de aplicación conforme de las funciones analíticas (en los puntos donde la derivada no es cero) da lugar a una propiedad geométrica de los conjugados armónicos. Claramente, el conjugado armónico de x es y , y las líneas de x constante e y constante son ortogonales. La conformidad dice que los contornos de u ( x , y ) y v ( x , y ) constantes también serán ortogonales donde se cruzan (lejos de los ceros de f  ′( z ) ). Eso significa que v es una solución específica del problema de la trayectoria ortogonal para la familia de contornos dada por u (no la única solución, naturalmente, ya que también podemos tomar funciones de v ): la cuestión, volviendo a las matemáticas del siglo XVII, de encontrar las curvas que cruzan una familia dada de curvas no intersecantes en ángulos rectos.

Conjugado armónico en geometría

Existe una ocurrencia adicional del término conjugado armónico en matemáticas, y más específicamente en geometría proyectiva . Se dice que dos puntos A y B son conjugados armónicos entre sí con respecto a otro par de puntos C, D si la razón cruzada ( ABCD ) es igual a −1.

Referencias

• Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). Variables complejas y aplicaciones (6.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 61. ISBN 0-07-912147-0. Si dos funciones dadas u y v son armónicas en un dominio D y sus derivadas parciales de primer orden satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann (2) en todo D , se dice que v es un conjugado armónico de u .

Enlaces externos

• Relación armónica
• "Funciones armónicas conjugadas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]