En matemáticas y física matemática , la teoría del potencial es el estudio de las funciones armónicas .
El término "teoría del potencial" fue acuñado en la física del siglo XIX cuando se comprendió que dos fuerzas fundamentales de la naturaleza conocidas en ese momento, a saber, la gravedad y la fuerza electrostática, podían modelarse utilizando funciones llamadas potencial gravitacional y potencial electrostático , las cuales satisfacen la ecuación de Poisson —o en el vacío, la ecuación de Laplace .
Existe una superposición considerable entre la teoría del potencial y la teoría de la ecuación de Poisson, hasta el punto de que es imposible establecer una distinción entre estos dos campos. La diferencia es más de énfasis que de contenido y se basa en la siguiente distinción: la teoría del potencial se centra en las propiedades de las funciones en contraposición a las propiedades de la ecuación. Por ejemplo, se diría que un resultado sobre las singularidades de las funciones armónicas pertenece a la teoría del potencial, mientras que un resultado sobre cómo la solución depende de los datos de contorno se diría que pertenece a la teoría de la ecuación de Poisson. Esta no es una distinción estricta y, en la práctica, existe una superposición considerable entre los dos campos, ya que los métodos y resultados de uno se utilizan en el otro.
La teoría del potencial moderna también está íntimamente relacionada con la probabilidad y la teoría de las cadenas de Markov . En el caso continuo, esto está estrechamente relacionado con la teoría analítica. En el caso del espacio de estados finitos, esta conexión se puede introducir introduciendo una red eléctrica en el espacio de estados, con resistencia entre puntos inversamente proporcional a las probabilidades de transición y densidades proporcionales a los potenciales. Incluso en el caso finito, el análogo IK del laplaciano en la teoría del potencial tiene su propio principio de máximo, principio de unicidad, principio de equilibrio y otros.
Un punto de partida útil y un principio organizador en el estudio de las funciones armónicas es la consideración de las simetrías de la ecuación de Laplace. Aunque no es una simetría en el sentido habitual del término, podemos empezar con la observación de que la ecuación de Laplace es lineal . Esto significa que el objeto fundamental de estudio en la teoría del potencial es un espacio lineal de funciones. Esta observación resultará especialmente importante cuando consideremos los enfoques del espacio de funciones para abordar el tema en una sección posterior.
En cuanto a la simetría en el sentido usual del término, podemos empezar con el teorema de que las simetrías de la ecuación de Laplace -dimensional son exactamente las simetrías conformes del espacio euclidiano -dimensional . Este hecho tiene varias implicaciones. En primer lugar, se pueden considerar funciones armónicas que se transforman bajo representaciones irreducibles del grupo conforme o de sus subgrupos (como el grupo de rotaciones o traslaciones). Procediendo de esta manera, se obtienen sistemáticamente las soluciones de la ecuación de Laplace que surgen de la separación de variables, como las soluciones armónicas esféricas y las series de Fourier . Al tomar superposiciones lineales de estas soluciones, se pueden producir grandes clases de funciones armónicas que se puede demostrar que son densas en el espacio de todas las funciones armónicas bajo topologías adecuadas.
En segundo lugar, se puede utilizar la simetría conforme para comprender trucos y técnicas clásicos para generar funciones armónicas, como la transformada de Kelvin y el método de imágenes .
En tercer lugar, se pueden utilizar transformadas conformes para mapear funciones armónicas en un dominio a funciones armónicas en otro dominio. El ejemplo más común de este tipo de construcción es relacionar funciones armónicas en un disco con funciones armónicas en un semiplano.
En cuarto lugar, se puede utilizar la simetría conforme para extender las funciones armónicas a funciones armónicas en variedades riemannianas conformemente planas . Tal vez la extensión más simple de este tipo sea considerar una función armónica definida en la totalidad de R n (con la posible excepción de un conjunto discreto de puntos singulares) como una función armónica en la esfera -dimensional . También pueden darse situaciones más complicadas. Por ejemplo, se puede obtener un análogo de dimensión superior de la teoría de superficies de Riemann expresando una función armónica multivaluada como una función univaluada en una cubierta ramificada de R n o se pueden considerar funciones armónicas que son invariantes bajo un subgrupo discreto del grupo conforme como funciones en una variedad o orbifold conexa múltiple .
Del hecho de que el grupo de transformadas conformes es de dimensión infinita en dos dimensiones y de dimensión finita para más de dos dimensiones, se puede suponer que la teoría del potencial en dos dimensiones es diferente de la teoría del potencial en otras dimensiones. Esto es correcto y, de hecho, cuando uno se da cuenta de que cualquier función armónica bidimensional es la parte real de una función analítica compleja , se ve que el tema de la teoría del potencial bidimensional es sustancialmente el mismo que el del análisis complejo. Por esta razón, cuando se habla de teoría del potencial, se centra la atención en teoremas que se cumplen en tres o más dimensiones. En este sentido, un hecho sorprendente es que muchos resultados y conceptos descubiertos originalmente en el análisis complejo (como el teorema de Schwarz , el teorema de Morera , el teorema de Weierstrass-Casorati , la serie de Laurent y la clasificación de singularidades como removibles , polos y singularidades esenciales ) se generalizan a resultados sobre funciones armónicas en cualquier dimensión. Al considerar qué teoremas del análisis complejo son casos especiales de teoremas de la teoría potencial en cualquier dimensión, uno puede obtener una idea exacta de qué es especial acerca del análisis complejo en dos dimensiones y qué es simplemente la instancia bidimensional de resultados más generales.
Un tema importante en la teoría del potencial es el estudio del comportamiento local de las funciones armónicas. Quizás el teorema más fundamental sobre el comportamiento local es el teorema de regularidad de la ecuación de Laplace, que establece que las funciones armónicas son analíticas. Existen resultados que describen la estructura local de los conjuntos de niveles de funciones armónicas. Existe el teorema de Bôcher , que caracteriza el comportamiento de las singularidades aisladas de las funciones armónicas positivas. Como se mencionó en la última sección, se pueden clasificar las singularidades aisladas de las funciones armónicas como singularidades removibles, polos y singularidades esenciales.
Un enfoque fructífero para el estudio de las funciones armónicas es la consideración de las desigualdades que satisfacen. Quizás la desigualdad más básica de este tipo, de la que se pueden derivar la mayoría de las demás desigualdades, es el principio del máximo . Otro resultado importante es el teorema de Liouville , que establece que las únicas funciones armónicas acotadas definidas en la totalidad de R n son, de hecho, funciones constantes. Además de estas desigualdades básicas, existe la desigualdad de Harnack , que establece que las funciones armónicas positivas en dominios acotados son aproximadamente constantes.
Un uso importante de estas desigualdades es demostrar la convergencia de familias de funciones armónicas o subarmónicas (véase el teorema de Harnack) . Estos teoremas de convergencia se utilizan para demostrar la existencia de funciones armónicas con propiedades particulares. [1]
Como la ecuación de Laplace es lineal, el conjunto de funciones armónicas definidas en un dominio dado es, de hecho, un espacio vectorial . Al definir normas y/o productos internos adecuados , se pueden presentar conjuntos de funciones armónicas que forman espacios de Hilbert o de Banach . De esta manera, se obtienen espacios como el espacio de Hardy , el espacio de Bloch , el espacio de Bergman y el espacio de Sobolev .
