La suma (que suele representarse con el símbolo más + ) es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética , siendo las otras tres la resta , la multiplicación y la división . [2] La suma de dos números enteros da como resultado la cantidad total o la suma de esos valores combinados. El ejemplo de la imagen adyacente muestra dos columnas de tres manzanas y dos manzanas cada una, lo que da un total de cinco manzanas. Esta observación es equivalente a la expresión matemática "3 + 2 = 5" (es decir, "3 más 2 es igual a 5").
Además de contar elementos, la suma también puede definirse y ejecutarse sin hacer referencia a objetos concretos , utilizando en su lugar abstracciones llamadas números , como números enteros , números reales y números complejos . La suma pertenece a la aritmética, una rama de las matemáticas . En el álgebra , otra área de las matemáticas, la suma también puede realizarse sobre objetos abstractos como vectores , matrices , subespacios y subgrupos .
La suma tiene varias propiedades importantes. Es conmutativa , lo que significa que el orden de los operandos no importa, y es asociativa , lo que significa que cuando se suman más de dos números, el orden en el que se realiza la suma no importa. La suma repetida de 1 es lo mismo que contar (consulte Función sucesora ). La suma de no cambia un número. La suma también obedece a reglas predecibles relacionadas con operaciones relacionadas, como la resta y la multiplicación.
La suma es una de las tareas numéricas más sencillas de realizar. La suma de números muy pequeños es accesible para los niños pequeños; la tarea más básica, 1 + 1 , puede ser realizada por bebés de tan solo cinco meses, e incluso por algunos miembros de otras especies animales. En educación primaria , se enseña a los estudiantes a sumar números en el sistema decimal , comenzando con un solo dígito y abordando progresivamente problemas más difíciles. Las ayudas mecánicas van desde el antiguo ábaco hasta la computadora moderna , donde la investigación sobre las implementaciones más eficientes de la suma continúa hasta el día de hoy.
La suma se escribe utilizando el signo más "+" entre los términos; [3] es decir, en notación infija . El resultado se expresa con un signo igual . Por ejemplo,
También hay situaciones en las que se "entiende" la suma, aunque no aparezca ningún símbolo:
La suma de una serie de números relacionados se puede expresar mediante la notación sigma mayúscula , que denota de forma compacta la iteración . Por ejemplo,
Los números o los objetos que se van a sumar en la adición general se denominan colectivamente términos , [ 6] sumandos [ 7] [8] [9] o sumandos ; [10] esta terminología se traslada a la suma de múltiples términos. Esto se debe distinguir de los factores , que se multiplican . Algunos autores llaman al primer sumando augendo . [7] [8] [9] De hecho, durante el Renacimiento , muchos autores no consideraban al primer sumando un "sumando" en absoluto. Hoy, debido a la propiedad conmutativa de la adición, "augenda" rara vez se utiliza, y ambos términos generalmente se denominan sumandos. [11]
Toda la terminología anterior deriva del latín . "Adición" y "añadir" son palabras inglesas derivadas del verbo latino addere , que a su vez es un compuesto de ad "a" y dare "dar", de la raíz protoindoeuropea *deh₃- "dar"; por lo tanto, añadir es dar a . [11] El uso del sufijo gerundivo -nd da como resultado "addend", "cosa que se ha de añadir". [a] Del mismo modo, de augere "aumentar", se obtiene "augend", "cosa que se ha de aumentar".
"Suma" y "sumando" derivan del sustantivo latino summa "lo más alto, lo más alto" y del verbo asociado summare . Esto es apropiado no solo porque la suma de dos números positivos es mayor que cualquiera de ellos, sino porque era común que los antiguos griegos y romanos sumaran hacia arriba, al contrario de la práctica moderna de sumar hacia abajo, de modo que una suma era literalmente mayor que los sumandos. [13] Addere y summare se remontan al menos a Boecio , si no a escritores romanos anteriores como Vitruvio y Frontino ; Boecio también usó varios otros términos para la operación de adición. Los términos posteriores en inglés medio "adden" y "adding" fueron popularizados por Chaucer . [14]
El signo más "+" ( Unicode : U+002B; ASCII : +) es una abreviatura de la palabra latina et , que significa "y". [15] Aparece en obras matemáticas que datan al menos de 1489. [16]
La suma se utiliza para modelar muchos procesos físicos. Incluso para el caso simple de la suma de números naturales , existen muchas interpretaciones posibles e incluso más representaciones visuales.
Posiblemente la interpretación más básica de la suma radica en la combinación de conjuntos :
Esta interpretación es fácil de visualizar y presenta poco peligro de ambigüedad. También es útil en matemáticas superiores (para la definición rigurosa que inspira, véase el apartado Números naturales más adelante). Sin embargo, no resulta obvio cómo se debe ampliar esta versión de la suma para incluir números fraccionarios o números negativos. [17]
Una posible solución es considerar colecciones de objetos que se puedan dividir fácilmente, como pasteles o, mejor aún, varillas segmentadas. [18] En lugar de simplemente combinar colecciones de segmentos, las varillas se pueden unir de extremo a extremo, lo que ilustra otra concepción de la adición: sumar no las varillas sino las longitudes de las varillas.
Una segunda interpretación de la adición proviene de extender una longitud inicial por una longitud dada:
La suma a + b puede interpretarse como una operación binaria que combina a y b , en un sentido algebraico, o puede interpretarse como la adición de b más unidades a a . Bajo la última interpretación, las partes de una suma a + b juegan papeles asimétricos, y la operación a + b se considera como la aplicación de la operación unaria + b a a . [20] En lugar de llamar a a y b sumandos, es más apropiado llamar a a el sugando en este caso, ya que a juega un papel pasivo. La visión unaria también es útil cuando se habla de resta , porque cada operación de adición unaria tiene una operación de resta unaria inversa, y viceversa .
La suma es conmutativa , lo que significa que se puede cambiar el orden de los términos en una suma, pero aun así obtener el mismo resultado. Simbólicamente, si a y b son dos números cualesquiera, entonces
El hecho de que la suma sea conmutativa se conoce como "ley conmutativa de la suma" o "propiedad conmutativa de la suma". Algunas otras operaciones binarias son conmutativas, como la multiplicación, pero muchas otras, como la resta y la división, no lo son.
La suma es asociativa , lo que significa que cuando se suman tres o más números, el orden de las operaciones no cambia el resultado.
Por ejemplo, ¿debería definirse la expresión a + b + c como ( a + b ) + c o a + ( b + c )? Dado que la adición es asociativa, la elección de la definición es irrelevante. Para tres números cualesquiera a , b y c , es cierto que ( a + b ) + c = a + ( b + c ) . Por ejemplo, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3) .
Cuando se utiliza la suma junto con otras operaciones, el orden de las operaciones cobra importancia. En el orden estándar de operaciones, la suma tiene menor prioridad que la exponenciación , las raíces enésimas , la multiplicación y la división, pero tiene la misma prioridad que la resta. [21]
Añadir cero a cualquier número no cambia el número; esto significa que el cero es el elemento de identidad para la adición, y también se conoce como identidad aditiva . En símbolos, para cada a , se tiene
Esta ley fue identificada por primera vez en el Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta en el año 628 d. C., aunque la escribió como tres leyes separadas, dependiendo de si a es negativo, positivo o cero en sí mismo, y utilizó palabras en lugar de símbolos algebraicos. Los matemáticos indios posteriores refinaron el concepto; alrededor del año 830, Mahavira escribió: "cero se convierte en lo mismo que lo que se le agrega", lo que corresponde al enunciado unario 0 + a = a . En el siglo XII, Bhaskara escribió: "En la adición de una cifra, o la sustracción de la misma, la cantidad, positiva o negativa, permanece igual", lo que corresponde al enunciado unario a + 0 = a . [22]
En el contexto de los números enteros, la adición de uno también juega un papel especial: para cualquier número entero a , el número entero ( a + 1) es el menor número entero mayor que a , también conocido como el sucesor de a . [23] Por ejemplo, 3 es el sucesor de 2 y 7 es el sucesor de 6. Debido a esta sucesión, el valor de a + b también puede verse como el b ésimo sucesor de a , lo que hace que la adición sea una sucesión iterada. Por ejemplo, 6 + 2 es 8, porque 8 es el sucesor de 7, que es el sucesor de 6, lo que hace que 8 sea el segundo sucesor de 6.
Para sumar numéricamente cantidades físicas con unidades , estas deben expresarse con unidades comunes. [24] Por ejemplo, sumar 50 mililitros a 150 mililitros da 200 mililitros. Sin embargo, si una medida de 5 pies se amplía en 2 pulgadas, la suma es 62 pulgadas, ya que 60 pulgadas es sinónimo de 5 pies. Por otro lado, normalmente no tiene sentido intentar sumar 3 metros y 4 metros cuadrados, ya que esas unidades son incomparables; este tipo de consideración es fundamental en el análisis dimensional . [25]
Los estudios sobre el desarrollo matemático que comenzaron alrededor de la década de 1980 han explotado el fenómeno de la habituación : los bebés miran durante más tiempo las situaciones inesperadas. [26] Un experimento seminal de Karen Wynn en 1992 con muñecos de Mickey Mouse manipulados detrás de una pantalla demostró que los bebés de cinco meses esperan que 1 + 1 sea 2, y se sorprenden comparativamente cuando una situación física parece implicar que 1 + 1 es 1 o 3. Este hallazgo ha sido confirmado desde entonces por una variedad de laboratorios que utilizan diferentes metodologías. [27] Otro experimento de 1992 con niños mayores , entre 18 y 35 meses, explotó su desarrollo del control motor al permitirles recuperar pelotas de ping-pong de una caja; los más pequeños respondieron bien para números pequeños, mientras que los sujetos mayores pudieron calcular sumas de hasta 5. [28]
Incluso algunos animales no humanos muestran una capacidad limitada para sumar, en particular los primates . En un experimento de 1995 que imitaba el resultado de Wynn de 1992 (pero utilizando berenjenas en lugar de muñecos), los macacos rhesus y los monos tamarinos de cabeza de algodón se desempeñaron de manera similar a los bebés humanos. Más espectacular aún, después de que se le enseñara el significado de los números arábigos del 0 al 4, un chimpancé pudo calcular la suma de dos números sin más entrenamiento. [29] Más recientemente, los elefantes asiáticos han demostrado una capacidad para realizar operaciones aritméticas básicas. [30]
Por lo general, los niños primero dominan el conteo . Cuando se les da un problema que requiere que se combinen dos y tres elementos, los niños pequeños modelan la situación con objetos físicos, a menudo los dedos o un dibujo, y luego cuentan el total. A medida que ganan experiencia, aprenden o descubren la estrategia de "contar hacia adelante": se les pide que encuentren dos más tres, los niños cuentan tres más dos, dicen "tres, cuatro, cinco " (generalmente marcando con los dedos) y llegan a cinco. Esta estrategia parece casi universal; los niños pueden aprenderla fácilmente de sus compañeros o maestros. [31] La mayoría la descubre de forma independiente. Con experiencia adicional, los niños aprenden a sumar más rápidamente explotando la conmutatividad de la adición contando hacia arriba desde el número mayor, en este caso, comenzando con tres y contando "cuatro, cinco ". Finalmente, los niños comienzan a recordar ciertos hechos de adición (" vínculos numéricos "), ya sea a través de la experiencia o la memorización. Una vez que algunos hechos se memorizan, los niños comienzan a derivar hechos desconocidos de los conocidos. Por ejemplo, un niño al que se le pide que sume seis y siete puede saber que 6 + 6 = 12 y luego razonar que 6 + 7 es uno más, o 13. [32] Estos hechos derivados se pueden encontrar muy rápidamente y la mayoría de los estudiantes de la escuela primaria eventualmente dependen de una mezcla de hechos memorizados y derivados para sumar con fluidez. [33]
Distintos países introducen los números enteros y la aritmética a distintas edades, y en muchos países se enseña la suma en preescolar. [34] Sin embargo, en todo el mundo, la suma se enseña al final del primer año de la escuela primaria. [35]
A menudo se les presenta a los niños la tabla de suma de pares de números del 0 al 9 para que la memoricen. Sabiéndola, los niños pueden realizar cualquier suma.
El requisito previo para la suma en el sistema decimal es recordar o derivar con fluidez los 100 "hechos de suma" de un solo dígito. Uno podría memorizar todos los hechos de memoria , pero las estrategias basadas en patrones son más esclarecedoras y, para la mayoría de las personas, más eficientes: [36]
A medida que los estudiantes crecen, memorizan más datos y aprenden a deducir otros datos con rapidez y fluidez. Muchos estudiantes nunca memorizan todos los datos, pero aún así pueden encontrar cualquier dato básico rápidamente. [33]
El algoritmo estándar para sumar números de varios dígitos consiste en alinear los sumandos verticalmente y sumar las columnas, comenzando por la columna de las unidades a la derecha. Si una columna tiene más de nueve dígitos, el dígito adicional se " traslada " a la siguiente columna. Por ejemplo, en la suma 27 + 59
¹ 27+ 59———— 86
7 + 9 = 16, y el dígito 1 es el acarreo. [b] Una estrategia alternativa comienza a sumar desde el dígito más significativo de la izquierda; esta ruta hace que el acarreo sea un poco más complicado, pero es más rápido para obtener una estimación aproximada de la suma. Hay muchos métodos alternativos.
Desde finales del siglo XX, algunos programas estadounidenses, incluido TERC, decidieron eliminar el método tradicional de transferencia de su currículo. [37] Esta decisión fue criticada, [38] razón por la cual algunos estados y condados no apoyaron este experimento.
Las fracciones decimales se pueden sumar mediante una simple modificación del proceso anterior. [39] Se alinean dos fracciones decimales una sobre la otra, con el punto decimal en la misma ubicación. Si es necesario, se pueden agregar ceros finales a un decimal más corto para que tenga la misma longitud que el decimal más largo. Finalmente, se realiza el mismo proceso de suma que el anterior, excepto que el punto decimal se coloca en la respuesta, exactamente donde se colocó en los sumandos.
A modo de ejemplo, 45,1 + 4,34 se puede resolver de la siguiente manera:
4 5 . 1 0+ 0 4 . 3 4———————————— 4 9 . 4 4
En notación científica , los números se escriben en la forma , donde es el mantis y es la parte exponencial. La suma requiere que dos números en notación científica se representen utilizando la misma parte exponencial, de modo que los dos mantis se puedan sumar de manera sencilla.
Por ejemplo:
La suma en otras bases es muy similar a la suma decimal. Como ejemplo, se puede considerar la suma en binario. [40] Sumar dos números binarios de un solo dígito es relativamente simple, utilizando una forma de acarreo:
La suma de dos dígitos "1" produce un dígito "0", mientras que el 1 debe agregarse a la siguiente columna. Esto es similar a lo que sucede en el sistema decimal cuando se suman ciertos números de un solo dígito; si el resultado es igual o mayor que el valor de la base (10), se incrementa el dígito de la izquierda:
Esto se conoce como llevar . [41] Cuando el resultado de una suma excede el valor de un dígito, el procedimiento es "llevar" la cantidad excedente dividida por la base (es decir, 10/10) a la izquierda, sumándola al siguiente valor posicional. Esto es correcto ya que la siguiente posición tiene un peso que es mayor por un factor igual a la base. El llevar funciona de la misma manera en binario:
1 1 1 1 1 (dígitos transportados) 0 1 1 0 1+ 1 0 1 1 1————————————— 1 0 0 1 0 0 = 36En este ejemplo, se suman dos números: 01101 2 (13 10 ) y 10111 2 (23 10 ). La fila superior muestra los bits de acarreo utilizados. Empezando por la columna más a la derecha, 1 + 1 = 10 2 . El 1 se lleva a la izquierda y el 0 se escribe en la parte inferior de la columna más a la derecha. Se suma la segunda columna desde la derecha: 1 + 0 + 1 = 10 2 de nuevo; se lleva el 1 y se escribe el 0 en la parte inferior. La tercera columna: 1 + 1 + 1 = 11 2 . Esta vez, se lleva un 1 y se escribe un 1 en la fila inferior. Procediendo de esta manera, se obtiene la respuesta final 100100 2 (36 10 ).
Las computadoras analógicas trabajan directamente con cantidades físicas, por lo que sus mecanismos de adición dependen de la forma de los sumandos. Un sumador mecánico podría representar dos sumandos como las posiciones de bloques deslizantes, en cuyo caso se pueden sumar con una palanca de promediado . Si los sumandos son las velocidades de rotación de dos ejes , se pueden sumar con un diferencial . Un sumador hidráulico puede sumar las presiones en dos cámaras explotando la segunda ley de Newton para equilibrar las fuerzas en un conjunto de pistones . La situación más común para una computadora analógica de propósito general es sumar dos voltajes (referenciados a tierra ); esto se puede lograr aproximadamente con una red de resistencias , pero un mejor diseño explota un amplificador operacional . [42]
La suma también es fundamental para el funcionamiento de las computadoras digitales , donde la eficiencia de la suma, en particular el mecanismo de acarreo , es una limitación importante para el rendimiento general.
El ábaco , también llamado marco de conteo, es una herramienta de cálculo que se utilizó siglos antes de la adopción del sistema numérico escrito moderno y todavía es ampliamente utilizado por comerciantes, comerciantes y oficinistas en Asia , África y otros lugares; se remonta al menos al 2700-2300 a. C., cuando se utilizó en Sumeria . [43]
Blaise Pascal inventó la calculadora mecánica en 1642; [44] fue la primera máquina sumadora operativa . Hacía uso de un mecanismo de acarreo asistido por gravedad. Fue la única calculadora mecánica operativa en el siglo XVII [45] y la primera computadora digital automática. La calculadora de Pascal estaba limitada por su mecanismo de acarreo, que obligaba a sus ruedas a girar solo en un sentido para poder sumar. Para restar, el operador tenía que usar el complemento de la calculadora de Pascal , que requería tantos pasos como una adición. Giovanni Poleni siguió a Pascal, construyendo la segunda calculadora mecánica funcional en 1709, un reloj calculador hecho de madera que, una vez configurado, podía multiplicar dos números automáticamente.
Los sumadores ejecutan la suma de números enteros en las computadoras digitales electrónicas, generalmente utilizando aritmética binaria . La arquitectura más simple es el sumador de acarreo de ondulación, que sigue el algoritmo estándar de múltiples dígitos. Una ligera mejora es el diseño de salto de acarreo , que nuevamente sigue la intuición humana; uno no realiza todos los acarreos al calcular 999 + 1 , sino que se salta el grupo de 9 y se salta a la respuesta. [46]
En la práctica, la suma computacional puede lograrse mediante operaciones lógicas XOR y AND bit a bit junto con operaciones de desplazamiento de bits como se muestra en el pseudocódigo a continuación. Tanto las puertas XOR como AND son fáciles de implementar en la lógica digital, lo que permite la realización de circuitos sumadores completos que a su vez pueden combinarse en operaciones lógicas más complejas. En las computadoras digitales modernas, la suma de números enteros suele ser la instrucción aritmética más rápida, pero tiene el mayor impacto en el rendimiento, ya que subyace a todas las operaciones de punto flotante , así como a tareas básicas como la generación de direcciones durante el acceso a la memoria y la obtención de instrucciones durante la ramificación . Para aumentar la velocidad, los diseños modernos calculan dígitos en paralelo ; estos esquemas se conocen con nombres como carry select, carry lookahead y el pseudocarry de Ling . Muchas implementaciones son, de hecho, híbridos de estos últimos tres diseños. [47] [48] A diferencia de la suma en papel, la suma en una computadora a menudo cambia los sumandos. En el antiguo ábaco y tablero de suma, ambos sumandos se destruyen, dejando solo la suma. La influencia del ábaco en el pensamiento matemático fue tan fuerte que los primeros textos latinos solían afirmar que en el proceso de sumar "un número a otro número", ambos números desaparecen. [49] En tiempos modernos, la instrucción ADD de un microprocesador a menudo reemplaza el augendo con la suma pero conserva el sumando. [50] En un lenguaje de programación de alto nivel , evaluar a + b no cambia ni a ni b ; si el objetivo es reemplazar a con la suma, esto debe solicitarse explícitamente, típicamente con la declaración a = a + b . Algunos lenguajes como C o C++ permiten abreviar esto como a += b .
// Algoritmo iterativo int add ( int x , int y ) { int carry = 0 ; while ( y != 0 ) { carry = AND ( x , y ); // AND lógico x = XOR ( x , y ); // XOR lógico y = carry << 1 ; // desplazamiento de bit a la izquierda en uno } return x ; } // Algoritmo recursivo int add ( int x , int y ) { devuelve x si ( y == 0 ) de lo contrario add ( XOR ( x , y ), AND ( x , y ) << 1 ); } En una computadora, si el resultado de una suma es demasiado grande para almacenarse, se produce un desbordamiento aritmético , lo que da como resultado una respuesta incorrecta. El desbordamiento aritmético imprevisto es una causa bastante común de errores de programa . Estos errores de desbordamiento pueden ser difíciles de descubrir y diagnosticar porque pueden manifestarse solo para conjuntos de datos de entrada muy grandes, que tienen menos probabilidades de usarse en pruebas de validación. [51] El problema del año 2000 fue una serie de errores en los que se produjeron errores de desbordamiento debido al uso de un formato de 2 dígitos durante años. [52]
Para demostrar las propiedades usuales de la adición, primero se debe definir la adición para el contexto en cuestión. La adición se define primero en los números naturales . En la teoría de conjuntos , la adición se extiende luego a conjuntos progresivamente más grandes que incluyen los números naturales: los números enteros , los números racionales y los números reales . [53] (En educación matemática , [54] las fracciones positivas se suman antes de que se consideren los números negativos; esta es también la ruta histórica. [55] )
Existen dos formas populares de definir la suma de dos números naturales a y b . Si se definen los números naturales como las cardinalidades de conjuntos finitos (la cardinalidad de un conjunto es el número de elementos del conjunto), entonces es apropiado definir su suma de la siguiente manera:
Aquí, A ∪ B es la unión de A y B. Una versión alternativa de esta definición permite que A y B posiblemente se superpongan y luego realiza su unión disjunta , un mecanismo que permite separar los elementos comunes y, por lo tanto, contarlos dos veces.
La otra definición popular es recursiva:
Nuevamente, existen pequeñas variaciones sobre esta definición en la literatura. Tomada literalmente, la definición anterior es una aplicación del teorema de recursión al conjunto parcialmente ordenado N 2 . [58] Por otro lado, algunas fuentes prefieren usar un teorema de recursión restringido que se aplica solo al conjunto de números naturales. Entonces se considera que a está temporalmente "fijo", se aplica la recursión sobre b para definir una función " a + " y se juntan estas operaciones unarias para todos los a para formar la operación binaria completa. [59]
Esta formulación recursiva de la adición fue desarrollada por Dedekind ya en 1854, y la ampliaría en las décadas siguientes. [60] Demostró las propiedades asociativas y conmutativas, entre otras, mediante inducción matemática .
La concepción más simple de un entero es que consta de un valor absoluto (que es un número natural) y un signo (generalmente positivo o negativo ). El entero cero es un tercer caso especial, ya que no es ni positivo ni negativo. La definición correspondiente de adición debe proceder por casos:
Aunque esta definición puede ser útil para problemas concretos, el número de casos a considerar complica innecesariamente las demostraciones. Por ello, el siguiente método se utiliza habitualmente para definir números enteros. Se basa en la observación de que todo número entero es la diferencia de dos números enteros naturales y que dos de esas diferencias, a – b y c – d, son iguales si y sólo si a + d = b + c . Por tanto, se pueden definir formalmente los números enteros como las clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales bajo la relación de equivalencia.
La clase de equivalencia de ( a , b ) contiene ( a – b , 0) si a ≥ b , o (0, b – a ) en caso contrario. Si n es un número natural, se puede denotar con + n la clase de equivalencia de ( n , 0) , y con – n la clase de equivalencia de (0, n ) . Esto permite identificar el número natural n con la clase de equivalencia + n .
La adición de pares ordenados se realiza componente por componente:
Un cálculo sencillo muestra que la clase de equivalencia del resultado depende únicamente de las clases de equivalencia de los sumandos, y por lo tanto, que esto define una adición de clases de equivalencia, es decir, números enteros. [62] Otro cálculo sencillo muestra que esta adición es la misma que la definición del caso anterior.
Esta forma de definir los números enteros como clases de equivalencia de pares de números naturales, puede utilizarse para incorporar a un grupo cualquier semigrupo conmutativo con propiedad de cancelación . Aquí, el semigrupo está formado por los números naturales y el grupo es el grupo aditivo de los números enteros. Los números racionales se construyen de forma similar, tomando como semigrupo los números enteros distintos de cero con multiplicación.
Esta construcción ha sido también generalizada bajo el nombre de grupo de Grothendieck al caso de cualquier semigrupo conmutativo. Sin la propiedad de cancelación el homomorfismo de semigrupos del semigrupo al grupo puede ser no inyectivo. Originalmente, el grupo de Grothendieck era, más específicamente, el resultado de esta construcción aplicada a las clases de equivalencias bajo isomorfismos de los objetos de una categoría abeliana , con la suma directa como operación de semigrupo.
La suma de números racionales se puede calcular utilizando el mínimo común denominador , pero una definición conceptualmente más simple implica solo la suma y multiplicación de números enteros:
A modo de ejemplo, la suma .
La suma de fracciones es mucho más sencilla cuando los denominadores son los mismos; en este caso, uno puede simplemente sumar los numeradores dejando el denominador igual: , entonces . [63]
La conmutatividad y asociatividad de la suma racional es una consecuencia fácil de las leyes de la aritmética de números enteros. [64] Para una discusión más rigurosa y general, véase el campo de las fracciones .
Una construcción común del conjunto de números reales es la compleción de Dedekind del conjunto de números racionales. Un número real se define como un corte de Dedekind de racionales: un conjunto no vacío de racionales que es cerrado hacia abajo y no tiene ningún elemento mayor . La suma de los números reales a y b se define elemento por elemento:
Esta definición fue publicada por primera vez, en una forma ligeramente modificada, por Richard Dedekind en 1872. [66] La conmutatividad y asociatividad de la adición real son inmediatas; al definir el número real 0 como el conjunto de racionales negativos, se ve fácilmente que es la identidad aditiva. Probablemente la parte más complicada de esta construcción en relación con la adición es la definición de inversos aditivos. [67]
Desafortunadamente, tratar con la multiplicación de cortes de Dedekind es un proceso que requiere mucho tiempo y que se analiza caso por caso, similar a la suma de números enteros con signo. [68] Otro enfoque es la completitud métrica de los números racionales. Un número real se define esencialmente como el límite de una secuencia de Cauchy de racionales, lim a n . La suma se define término por término:
Esta definición fue publicada por primera vez por Georg Cantor , también en 1872, aunque su formalismo era ligeramente diferente. [70] Hay que demostrar que esta operación está bien definida y que se trata de secuencias de co-Cauchy. Una vez realizada esa tarea, todas las propiedades de la adición real se deducen inmediatamente de las propiedades de los números racionales. Además, las demás operaciones aritméticas, incluida la multiplicación, tienen definiciones sencillas y análogas. [71]
Los números complejos se suman sumando las partes reales e imaginarias de los sumandos. [72] [73] Es decir:
Utilizando la visualización de los números complejos en el plano complejo, la suma tiene la siguiente interpretación geométrica: la suma de dos números complejos A y B , interpretados como puntos del plano complejo, es el punto X que se obtiene al construir un paralelogramo tres de cuyos vértices son O , A y B . Equivalentemente, X es el punto tal que los triángulos con vértices O , A , B , y X , B , A , son congruentes .
Existen muchas operaciones binarias que pueden considerarse como generalizaciones de la operación de adición en los números reales. El campo del álgebra abstracta se ocupa principalmente de estas operaciones generalizadas, que también aparecen en la teoría de conjuntos y la teoría de categorías .
En álgebra lineal , un espacio vectorial es una estructura algebraica que permite sumar dos vectores cualesquiera y escalarlos. Un espacio vectorial conocido es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales; el par ordenado ( a , b ) se interpreta como un vector desde el origen en el plano euclidiano hasta el punto ( a , b ) en el plano. La suma de dos vectores se obtiene sumando sus coordenadas individuales:
Esta operación de adición es fundamental para la mecánica clásica , en la que las velocidades , aceleraciones y fuerzas están todas representadas por vectores. [74]
La suma de matrices se define para dos matrices de las mismas dimensiones. La suma de dos matrices m × n (pronunciadas "m by n") A y B , denotadas por A + B , es nuevamente una matriz m × n calculada mediante la suma de los elementos correspondientes: [75] [76]
Por ejemplo:
En la aritmética modular , el conjunto de números disponibles está restringido a un subconjunto finito de los enteros, y la adición "se envuelve" al alcanzar un cierto valor, llamado módulo. Por ejemplo, el conjunto de números enteros módulo 12 tiene doce elementos; hereda una operación de adición de los enteros que es central para la teoría de conjuntos musicales . El conjunto de números enteros módulo 2 tiene solo dos elementos; la operación de adición que hereda se conoce en lógica booleana como la función " o exclusiva ". Una operación de "envolvimiento" similar surge en geometría , donde la suma de las medidas de dos ángulos a menudo se toma como su suma como números reales módulo 2π. Esto equivale a una operación de adición en el círculo , que a su vez se generaliza a operaciones de adición en toros multidimensionales .
La teoría general del álgebra abstracta permite que una operación de "suma" sea cualquier operación asociativa y conmutativa sobre un conjunto. Las estructuras algebraicas básicas con una operación de suma de este tipo incluyen los monoides conmutativos y los grupos abelianos .
Una generalización de gran alcance de la suma de números naturales es la suma de números ordinales y cardinales en la teoría de conjuntos. Estas dan dos generalizaciones diferentes de la suma de números naturales al transfinito . A diferencia de la mayoría de las operaciones de suma, la suma de números ordinales no es conmutativa. [77] Sin embargo, la suma de números cardinales es una operación conmutativa estrechamente relacionada con la operación de unión disjunta .
En la teoría de categorías , la unión disjunta se considera un caso particular de la operación de coproducto , [78] y los coproductos generales son quizás las más abstractas de todas las generalizaciones de la adición. Algunos coproductos, como la suma directa y la suma en cuña , se nombran para evocar su conexión con la adición.
La suma, junto con la resta, la multiplicación y la división, se considera una de las operaciones básicas y se utiliza en la aritmética elemental .
La resta puede considerarse como una especie de adición, es decir, la adición de un inverso aditivo . La resta es en sí misma una especie de inversa de la adición, en el sentido de que sumar x y restar x son funciones inversas .
Dado un conjunto con una operación de adición, no siempre se puede definir una operación de sustracción correspondiente en ese conjunto; el conjunto de números naturales es un ejemplo sencillo. Por otra parte, una operación de sustracción determina de forma única una operación de adición, una operación inversa aditiva y una identidad aditiva; por esta razón, un grupo aditivo puede describirse como un conjunto cerrado bajo sustracción. [79]
La multiplicación puede considerarse como una suma repetida . Si un solo término x aparece en una suma n veces, entonces la suma es el producto de n y x . Si n no es un número natural , el producto puede tener sentido; por ejemplo, la multiplicación por −1 da como resultado el inverso aditivo de un número.
En los números reales y complejos, la suma y la multiplicación se pueden intercambiar por la función exponencial : [80]
Esta identidad permite realizar la multiplicación consultando una tabla de logaritmos y calculando la suma a mano; también permite la multiplicación con una regla de cálculo . La fórmula sigue siendo una buena aproximación de primer orden en el contexto amplio de los grupos de Lie , donde relaciona la multiplicación de elementos de grupos infinitesimales con la suma de vectores en el álgebra de Lie asociada . [81]
Existen incluso más generalizaciones de la multiplicación que de la suma. [82] En general, las operaciones de multiplicación siempre son distributivas respecto de la suma; este requisito se formaliza en la definición de un anillo . En algunos contextos, como en el de los números enteros, la distributividad respecto de la suma y la existencia de una identidad multiplicativa son suficientes para determinar de forma única la operación de multiplicación. La propiedad distributiva también proporciona información sobre la suma; al desarrollar el producto (1 + 1)( a + b ) en ambos sentidos, se concluye que la suma está obligada a ser conmutativa. Por esta razón, la suma en anillo es conmutativa en general. [83]
La división es una operación aritmética remotamente relacionada con la suma. Como a / b = a ( b −1 ) , la división es distributiva por la derecha respecto de la suma: ( a + b ) / c = a / c + b / c . [84] Sin embargo, la división no es distributiva por la izquierda respecto de la suma; 1 / (2 + 2) no es lo mismo que 1/2 + 1/2 .
La operación máxima "max( a , b )" es una operación binaria similar a la suma. De hecho, si dos números no negativos a y b son de órdenes de magnitud diferentes , entonces su suma es aproximadamente igual a su máximo. Esta aproximación es extremadamente útil en las aplicaciones de las matemáticas, por ejemplo, en el truncamiento de series de Taylor . Sin embargo, presenta una dificultad perpetua en el análisis numérico , esencialmente porque "max" no es invertible. Si b es mucho mayor que a , entonces un cálculo sencillo de ( a + b ) − b puede acumular un error de redondeo inaceptable , tal vez incluso devolviendo cero. Véase también Pérdida de significancia .
La aproximación se vuelve exacta en una especie de límite infinito; si a o b es un número cardinal infinito , su suma cardinal es exactamente igual al mayor de los dos. [86] En consecuencia, no hay operación de resta para cardinales infinitos. [87]
La maximización es conmutativa y asociativa, como la suma. Además, dado que la suma preserva el orden de los números reales, la suma se distribuye sobre "máximo" de la misma manera que la multiplicación se distribuye sobre la suma:
Por estas razones, en geometría tropical se sustituye la multiplicación por la suma y la suma por la maximización. En este contexto, la suma se denomina "multiplicación tropical", la maximización se denomina "suma tropical" y la "identidad aditiva" tropical es el infinito negativo . [88] Algunos autores prefieren sustituir la suma por la minimización; entonces, la identidad aditiva es el infinito positivo. [89]
Uniendo estas observaciones, la adición tropical está aproximadamente relacionada con la adición regular a través del logaritmo :
que se vuelve más precisa a medida que aumenta la base del logaritmo. [90] La aproximación se puede hacer exacta extrayendo una constante h , nombrada por analogía con la constante de Planck de la mecánica cuántica , [91] y tomando el " límite clásico " cuando h tiende a cero:
En este sentido, la operación máxima es una versión descuantificada de la suma. [92]
La incrementación, también conocida como operación sucesora , es la suma de 1 a un número.
La sumatoria describe la adición de una cantidad arbitraria de números, normalmente más de dos. Incluye la idea de la suma de un único número, que es él mismo, y la suma vacía , que es cero . [93] Una suma infinita es un procedimiento delicado conocido como serie . [94]
Contar un conjunto finito equivale a sumar 1 sobre el conjunto.
La integración es una especie de "suma" sobre un continuo o, de manera más precisa y general, sobre una variedad diferenciable . La integración sobre una variedad de dimensión cero se reduce a la suma.
Las combinaciones lineales combinan la multiplicación y la suma; son sumas en las que cada término tiene un multiplicador, normalmente un número real o complejo . Las combinaciones lineales son especialmente útiles en contextos en los que una simple suma violaría alguna regla de normalización, como la mezcla de estrategias en la teoría de juegos o la superposición de estados en la mecánica cuántica . [95]
La convolución se utiliza para sumar dos variables aleatorias independientes definidas por funciones de distribución . Su definición habitual combina integración, resta y multiplicación. [96] En general, la convolución es útil como un tipo de suma del lado del dominio; por el contrario, la suma vectorial es un tipo de suma del lado del rango.
