Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos es un tratado y libro de texto sobre dinámica analítica del matemático británico Sir Edmund Taylor Whittaker . Publicado inicialmente en 1904 por Cambridge University Press, el libro se centra en gran medida en el problema de los tres cuerpos y desde entonces ha tenido cuatro ediciones y ha sido traducido al alemán y al ruso. Considerado un libro emblemático de las matemáticas y la física inglesas, el tratado presentó lo que era el estado del arte en el momento de su publicación y, al permanecer impreso durante más de cien años, se considera un libro de texto clásico en el tema. [1] Además de las ediciones originales publicadas en 1904, 1917, 1927 y 1937, en 1989 se publicó una reimpresión de la cuarta edición con un nuevo prólogo de William Hunter McCrea .
El libro tuvo mucho éxito y recibió muchas críticas positivas. [1] Una "biografía" de 2014 sobre el desarrollo del libro escribió que tenía una "longevidad notable" y señaló que el libro sigue siendo más que históricamente influyente. [1] Entre muchos otros, GH Bryan , EB Wilson , P. Jourdain , GD Birkhoff , TM Cherry y R. Thiele han reseñado el libro. La revisión de 1904 de la primera edición realizada por GH Bryan, quien escribió reseñas para las dos primeras ediciones, generó controversia entre los profesores de la Universidad de Cambridge relacionada con el uso de los problemas Cambridge Tripos en los libros de texto. El libro también se menciona en otros libros de texto, incluido Classical Mechanics , donde Herbert Goldstein argumentó en 1980 que, aunque el libro está desactualizado, sigue siendo "una fuente prácticamente única para la discusión de muchos temas especializados". [2]
Whittaker tenía 31 años y trabajaba como profesor en el Trinity College de Cambridge cuando se publicó el libro por primera vez, menos de diez años después de graduarse de la Universidad de Cambridge en 1895. [3] Whittaker fue calificado como Segundo Wrangler en su examen Cambridge Tripos al graduarse. en 1895 y elegido miembro del Trinity College de Cambridge al año siguiente, donde permaneció como profesor hasta 1906. [3] Whittaker publicó su primera obra importante, el célebre libro de texto de matemáticas Un curso de análisis moderno , en 1902, apenas dos años antes de Dinámica Analítica . Tras el éxito de estos trabajos, Whittaker fue nombrado Astrónomo Real de Irlanda en 1906, cargo que llegó con el cargo de Profesor Andrews de Astronomía en el Trinity College de Dublín . [3]
La segunda mitad del tratado es una versión ampliada de un informe que Whittaker completó sobre el problema de los tres cuerpos a principios de siglo a petición de la Asociación Británica de Ciencias (entonces llamada Asociación Británica para el Avance de la Ciencia). [4] En 1898, el consejo de la Asociación Británica aprobó una resolución por la que "se solicitaría al Sr. ET Whittaker que redactara un informe sobre la teoría planetaria". [4] [5] Un año después, Whittaker entregó su informe, titulado “Informe sobre el progreso de la solución del problema de los tres cuerpos”, en una conferencia ante la Asociación, que lo publicó en 1900. [6] Cambió el nombre del "informe sobre la teoría planetaria" original para, en sus propias palabras, mostrar "más definitivamente el objetivo del Informe", que cubría los avances en astronomía teórica que se produjeron entre 1868 y 1898. [4]
El libro es un tratamiento exhaustivo de la dinámica analítica , que abarca temas de la mecánica hamiltoniana y la mecánica celeste y el problema de los tres cuerpos . Se ha observado que el libro se puede dividir naturalmente en dos partes: la primera parte, que consta de doce capítulos, cubre los principios básicos de la dinámica y ofrece una "introducción de vanguardia a los principios de la dinámica tal como estaban". en los primeros años del siglo XX", [7] mientras que la segunda parte, que consta de los últimos cuatro capítulos, se basa en el informe de Whittaker sobre el problema de los tres cuerpos. [8] Si bien la primera parte se mantuvo prácticamente constante a lo largo de las múltiples ediciones del libro, la segunda parte se amplió considerablemente en la segunda y tercera ediciones.
La estructura del libro se mantuvo constante a lo largo de su desarrollo, con quince capítulos en total, aunque la segunda y tercera ediciones agregaron nuevas secciones. [9] Entre otros cambios en el libro, Whittaker amplió considerablemente los capítulos quince y dieciséis y cambió el nombre de los capítulos nueve y dieciséis. [9] El título del capítulo nueve, Los principios de mínima acción y mínima curvatura, era Los principios de Hamilton y Gauss antes de ser rebautizado en la segunda edición y el título del capítulo dieciséis, Integración por series , era Integración por series trigonométricas antes de ser renombrado para la tercera edición. [7] La primera edición tenía un total de 188 secciones numeradas consecutivamente, que aumentaron en la segunda y tercera ediciones del libro. [8] Entre los más modificados, el capítulo quince pasó de catorce secciones a veintidós, mientras que el capítulo dieciséis duplicó su número de secciones de nueve a dieciocho. [9]
La mayoría de las diferencias entre la segunda y la tercera edición fueron la adición de esquemas y referencias a trabajos publicados después de la segunda edición del libro. La edición incluyó una reescritura importante de los capítulos quince y dieciséis para actualizar el libro considerando los desarrollos que habían ocurrido en los once años transcurridos desde la publicación de la segunda edición. [10] [11] Los primeros catorce capítulos de la tercera edición fueron reproducidos fotolitográficamente de la segunda edición, con algunas correcciones y referencias agregadas. [10] [11] El nuevo material contenía una sección sobre la geometría dinámica y el análisis de tensores de Synge . [11] La cuarta edición, publicada en 1937, se diferenciaba de la tercera edición sólo en la corrección de algunos errores y en el suministro de referencias a obras publicadas después de la edición anterior; Aparte de un nuevo prólogo de William Hunter McCrea en una reimpresión de 1989, el volumen representaba el libro en su forma definitiva. [12] [13] [8]
Se ha dicho que la parte I del libro ofrece una "introducción de vanguardia a los principios de la dinámica tal como se entendían en los primeros años del siglo XX". [7] El primer capítulo, sobre preliminares cinemáticos, analiza el formalismo matemático necesario para describir el movimiento de cuerpos rígidos. El segundo capítulo comienza el estudio avanzado de la mecánica, con temas que comienzan con conceptos relativamente simples como movimiento y reposo , marco de referencia , masa , fuerza y trabajo antes de discutir la energía cinética , presentar la mecánica lagrangiana y discutir los movimientos impulsivos . El capítulo tres analiza detalladamente la integración de ecuaciones de movimiento , la conservación de la energía y su papel en la reducción de los grados de libertad y la separación de variables . Los capítulos uno al tres se centran únicamente en sistemas de masas puntuales . Los primeros ejemplos concretos de sistemas dinámicos, incluido el péndulo , las fuerzas centrales y el movimiento sobre una superficie, se presentan en el capítulo cuatro, donde se emplean los métodos de los capítulos anteriores para resolver problemas. [7] El capítulo cinco introduce el momento de inercia y el momento angular para prepararse para el estudio de la dinámica de cuerpos rígidos. [7] El capítulo seis se centra en las soluciones de problemas de dinámica de cuerpos rígidos , con ejercicios que incluyen "el movimiento de una varilla sobre la que se arrastra un insecto" y el movimiento de una peonza . El capítulo siete cubre la teoría de las vibraciones , un componente estándar de los libros de texto de mecánica. El capítulo ocho presenta los sistemas disipativos y no holonómicos , hasta el punto en que todos los sistemas discutidos eran holonómicos y conservadores . El capítulo nueve analiza los principios de acción, como el principio de mínima acción y el principio de mínima curvatura. [7] Los capítulos diez al doce, los tres últimos capítulos de la primera parte, analizan en detalle la dinámica hamiltoniana. [14]
El capítulo trece comienza la segunda parte y se centra en las aplicaciones del material de la primera parte al problema de los tres cuerpos , donde presenta tanto el problema general como varios ejemplos restringidos. [9] El capítulo catorce incluye una prueba del teorema de Brun y una prueba similar de un teorema de Henri Poincaré sobre "la inexistencia de un cierto tipo de integrales en el problema de tres cuerpos". [9] El capítulo quince, La teoría general de las órbitas , describe la mecánica bidimensional de una partícula sujeta a fuerzas conservativas y analiza soluciones de casos especiales del problema de los tres cuerpos . [9] El último capítulo incluye discusiones sobre soluciones de los problemas de capítulos anteriores mediante integración de series, particularmente series trigonométricas . [9]
El libro, que recibió críticas generalmente positivas, ha pasado por cuatro ediciones, cada una con múltiples reseñas. Un crítico de la primera edición señaló que el libro contiene "las líneas generales de una larga serie de investigaciones para las que hasta ahora ha sido necesario consultar transacciones en inglés, francés, alemán e italiano". [15] Una de esas revisiones de la primera edición, realizada por George H. Bryan en 1905, inició una controversia entre profesores de la Universidad de Cambridge relacionada con el uso de los problemas Cambridge Tripos en los libros de texto. En 1980, Herbert Goldstein mencionó el libro en su famoso libro de texto Mecánica clásica, donde señaló que estaba desactualizado, pero seguía siendo una referencia útil para algunos temas especializados. Si bien es un libro de texto histórico sobre el tema, que presenta lo último en el momento de su publicación, una "biografía" de 2014 del desarrollo del libro señaló que el libro sigue siendo influyente para propósitos más que históricos. [1]
La primera edición del libro recibió varias reseñas, entre ellas George H. Bryan en 1905 [16] [17] y Edwin Bidwell Wilson en 1906, [18] [19] así como reseñas alemanas de Gustav Herglotz , también en 1906 [20 ] y Emil Lampe en 1918. [21] [22] Lampe calificó el tratado de "trabajo excelente" y afirma que el tratamiento de Cambridge de la dinámica analítica "ha tenido, como consecuencia, que el estudiante inglés se dirija con gran energía hacia el estudio de mecánica en la que muestra un rendimiento excelente, como se puede comprobar por los muchos, y nada fáciles, problemas que se adjuntan al final de cada capítulo de este libro. [22] [21]
La reseña inicial del libro de Bryan, publicada en 1905, fue una reseña de tres libros publicados por Cambridge University Press aproximadamente al mismo tiempo. [16] [17] Bryan abre la reseña escribiendo que, aunque no le importa que "las editoriales universitarias compitan con empresas privadas", cree que "sólo puede haber una opinión en cuanto a la serie de tratados estándar sobre educación superior". matemáticas que emanan actualmente de Cambridge". [16] [17] Luego señaló que la "falta de interés nacional de Inglaterra en la investigación científica superior, particularmente la investigación matemática, está muy por detrás de la mayoría de los otros países civilizados importantes" [16] y, por lo tanto, era necesario que la "University Press publicara avances trabajos matemáticos." [16] [17] Continuó escribiendo: "Podemos dar por seguro que los presentes volúmenes serán leídos con atención en Alemania y Estados Unidos, y serán tomados como prueba de que Inglaterra contiene buenos matemáticos". [16] [17] Bryan criticó el capítulo cuatro, Los problemas solubles de la dinámica analítica , por "en su mayoría [representar] cosas que no existen". [16] [17] Provocando una controversia publicada bajo el título "Problemas ficticios en matemáticas", Bryan continúa escribiendo: "Es imposible que una partícula se mueva sobre una curva o superficie suave porque, en primer lugar, hay No existe nada parecido a una partícula y, en segundo lugar, no existe nada parecido a una curva o superficie suave. [16] [17] Bryan continuó escribiendo que el libro es "esencialmente matemático y avanzado" y "escrito principalmente para matemáticos avanzados". [16] [17]
La reseña de Wilson se publicó en 1906 y comenzó con una expresión de disgusto por la "inminente invasión por parte de las matemáticas puras de un territorio que tradicionalmente pertenecía a las matemáticas aplicadas", pero luego rápidamente afirma que en ese momento "no parece ningún peligro inmediato", como lo hacen tres libros recientes. publicados por Cambridge University Press eran "volúmenes muy importantes" que "muestran un gran poder matemático y logros dirigidos firme e infaliblemente en la dirección de la investigación física". [18] [19] Al notar la novedad de muchas de las secciones del libro, Wilson escribió que el libro "rompe la barricada y abre el camino para un avance fructífero". [18] [19] Luego señaló que el libro es avanzado y, aunque es autónomo, no es para un estudiante principiante. Explicó escribiendo que "el libro es de naturaleza matemática, escrito con precisión y desarrollado con una lógica que seguramente atraerá a los matemáticos" [18] y la "diversidad de métodos tomados con el estilo compacto hace que el libro sea de lectura difícil para cualquiera que no sea el estudiante algo avanzado". [18] [19] Wilson también expresó su deseo de agregar temas como la mecánica estadística al libro de texto. [18] [19]
La reseña que George H. Bryan publicó en Nature el 27 de abril de 1905 generó controversia entre los profesores de Cambridge de la época. [23] La revisión recibió varias respuestas notables de los colegas de Whittaker, aunque el propio Whittaker nunca habló públicamente de ello. [23] Los principales actores de la polémica, además de Whittaker y Bryan, son un profesor anónimo al que se hace referencia sólo como "Un viejo profesor universitario promedio", Alfred Barnard Basset , Edward Routh y Charles Baron Clarke . La controversia giró en torno a la afirmación de Bryan de que muchos de los problemas incluidos en el libro son "ficticios", similares a los utilizados en los exámenes Cambridge Tripos . [23] De particular controversia fue la afirmación de Bryan de que "un cuerpo perfectamente rugoso colocado sobre una superficie perfectamente lisa constituye un tema de especulación tan interesante como el conocido cuerpo irresistible que se encuentra con el obstáculo impenetrable" [16] [17] y que "[ Lo que el universitario medio olvida es que la rugosidad o la suavidad son cuestiones que conciernen a dos superficies, no a un solo cuerpo". [16] [17] La controversia se extendió del 18 de mayo al 22 de junio con cartas sobre la disputa publicadas en cinco números de Nature . Un crítico escribió más tarde que "100 años después de que fueron escritos, es difícil no ver toda la polémica como provocada por un ataque de sutileza por parte de Bryan", aunque se reconoció que la afirmación original de Bryan era "indudablemente correcta". " y la "polémica" probablemente fue un malentendido. [23]
El número del 18 de mayo de Nature contenía dos cartas que iniciaban la controversia; la primera era una respuesta anónima bajo el título "Problemas ficticios en matemáticas" de un autor que se refería a sí mismo sólo como un viejo profesor universitario promedio , [24] mientras que la segunda era un respuesta de Brayan bajo el mismo título. [25] [23] El antiguo catedrático de la universidad le encargó a Bryan que señalara un número de página donde se usan tales problemas, mientras que Bryan respondió diciendo que los problemas son omnipresentes y que encontrar los lugares donde se usa la definición correcta es más fácil que señalarlos todos. los lugares donde está mal. [23] En la edición del 25 de mayo de Nature , Alfred Barnard Basset [26] y Edward Routh [27] se unieron al debate. Routh explicó que cuando "se dice que los cuerpos son perfectamente rugosos, generalmente se quiere decir que son tan rugosos que ciertamente se puede utilizar la cantidad de fricción necesaria para evitar el deslizamiento en las circunstancias dadas" [23] y afirma que las afirmaciones son abreviaturas destinadas a "hacer la pregunta concisa". [23] En un tono similar, Basset escribió que la redacción se utiliza para designar "un estado ideal de la materia". [23] La edición del 1 de junio de Nature contenía una respuesta de Charles Baron Clarke [28] y otra refutación de Bryan. [29] Charles Baron Clarke insinúa que él es el "viejo catedrático promedio" que escribió la primera carta anónima, y nuevamente enfatiza su queja original. [23] Las dos últimas cartas de la controversia fueron publicadas por Routh [30] y Bryan [31] el ocho y veintidós de junio, respectivamente.
La segunda y tercera ediciones recibieron varias críticas, incluida otra de George H. Bryan , así como de Philip Jourdain , George David Birkhoff y Thomas MacFarland Cherry . Jourdain publicó dos reseñas similares de la segunda edición en diferentes revistas, ambas en 1917. [32] [33] [21] La más detallada de las dos, publicada en The Mathematical Gazette , resume los temas del libro antes de hacer varias críticas de partes específicas. del libro, incluido el "descuido del trabajo publicado entre 1904 y 1908" sobre la investigación sobre el principio de Hamilton y el principio de acción mínima . [32] [21] Después de enumerar varios otros problemas, Jourdain termina la reseña afirmando que "todas estas críticas no tocan el gran valor del libro que ha sido y será el camino principal por el cual los estudiantes de los países de habla inglesa han seguido "Ha sido y será introducido al trabajo moderno sobre los problemas generales y especiales de la dinámica". [32] [21] Bryan también revisó la segunda edición del libro en 1918 en la que critica el libro por no incluir la dinámica de los aviones, un lapso que Bryan cree que fue aceptable para la primera, pero no para la segunda edición del libro. [34] [23] Después de discutir más sobre los aviones y el desarrollo de su dinámica, Bryan cierra la reseña afirmando que el libro "será de gran utilidad para los estudiantes de una generación futura que puedan encontrar tiempo para ampliar su conocimiento". estudio de la dinámica rígida y de partículas fuera de los requisitos de la navegación aérea" [34] [23] y que serviría como "una valiosa fuente de información para aquellos que están en búsqueda de nuevo material de carácter teórico que puedan tomar y se aplican a cualquier clase particular de investigación." [34] [23] George David Birkhoff escribió una reseña en 1920 afirmando que el libro es "invaluable como presentación condensada y sugerente del lado formal de la dinámica analítica". [35] [21] Birkhoff también incluye varias críticas al libro, incluida la afirmación de que estaba incompleto en algunos aspectos, señalando los métodos utilizados en el capítulo dieciséis sobre series trigonométricas. [35] [21]
La tercera edición, publicada en 1927, fue revisada por Thomas MacFarland Cherry , [10] [21] entre otros. [11] [36] La reseña de Cherry de 1928 declaró que el libro "ha sido reconocido durante mucho tiempo como el libro de texto avanzado estándar en este tema". [10] Con respecto al capítulo quince recientemente reescrito, la teoría general de las órbitas , escribió que en su mayor parte "la explicación dada es de naturaleza ilustrativa e introductoria, y desde este punto de vista es excelente y es una gran mejora con respecto a la anterior". edición", pero que en general "el capítulo apenas hace honor a su título". [10] En el capítulo dieciséis, también reescrito recientemente, comentó además que al tratar las soluciones formales para sistemas hamiltonianos utilizando series trigonométricas , la tercera edición reemplazó el método utilizado en ediciones anteriores por uno nuevo publicado por Whittaker en 1916 que Cherry afirma " debe considerarse más sugestivo que concluyente", señalando que no se incluyen todas las pruebas aplicables. [10] Termina diciendo que la "visión optimista" que el libro adopta hacia la convergencia de las series trigonométricas puede ser criticada, y cierra su reseña diciendo "aunque la pregunta es difícil, toda la evidencia sugiere que las series son generalmente divergentes". y sólo excepcionalmente convergente." [10] Otro crítico lamentó que el trabajo de George David Birkhoff no se incluyera en la tercera edición. [11]
La edición final del libro, publicada en 1937, ha recibido varias críticas, incluida una reseña de 1990 en alemán de Rüdiger Thiele . [37] Otro crítico de la edición final señaló que la discusión del problema de los tres cuerpos es breve y avanzada de tal manera que "será de lectura difícil para alguien que no esté familiarizado con el tema" [12] y que las referencias a entonces- Los artículos estadounidenses recientes estaban incompletos y señalaban ejemplos específicos relacionados con la estabilidad de las posiciones del triángulo equilátero para tres masas finitas. [12] El mismo crítico luego argumentó que "esto no resta mérito al texto, que este crítico considera el mejor en su campo en idioma inglés". [12] Otro crítico en 1938 afirma que la consecución de una cuarta edición "demuestra que se ha convertido en la obra estándar sobre los temas que trata". [13] Según Victor Lenzen en 1952, el libro seguía siendo "la mejor exposición del tema al más alto nivel posible". [38]
En la segunda edición de su Mecánica clásica , publicada en 1980, Herbert Goldstein escribió que se trataba de un tratamiento completo, aunque anticuado, de la mecánica analítica con discusiones de temas y notas al margen que rara vez se encuentran en otros lugares, como el examen de las fuerzas centrales que se pueden resolver en términos de funciones elípticas . [2] Sin embargo, criticó el libro por no tener diagramas, lo que perjudicaba las secciones sobre temas como los ángulos de Euler , la tendencia a complicar las cosas más de lo necesario, la negativa a utilizar la notación vectorial y los problemas "pedantes" del tipo encontrado. en el examen Cambridge Tripos . [2] [39] A pesar de los problemas del libro y su necesidad de ser actualizado, continuó escribiendo: "Sin embargo, sigue siendo una fuente prácticamente única para la discusión de muchos temas especializados". [2] [39]
El libro se convirtió rápidamente en un libro de texto clásico en su tema y se dice que tiene una "longevidad notable", habiendo permanecido impreso casi continuamente desde su publicación inicial hace más de cien años. [1] Si bien es un libro de texto histórico sobre el tema, que presenta lo último en el momento de su publicación, en una "biografía" de 2014 sobre el desarrollo del libro se señaló que no se "usa simplemente como documento histórico", destacando que sólo tres de 114 libros y artículos que citaron el libro de texto entre 2000 y 2012 fueron de naturaleza histórica. [1] En ese momento, un libro de texto de ingeniería de 2006, Principios de ingeniería mecánica , afirmaba que el libro es "altamente recomendado para lectores avanzados" y se decía que seguía siendo "uno de los mejores tratamientos matemáticos de la dinámica analítica". [40] En un artículo de 2015 sobre dinámica moderna, Miguel Ángel Fernández Sanjuán escribió: "Cuando pensamos en los libros de texto utilizados para la enseñanza de la mecánica en el siglo pasado, podemos pensar en el libro Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y partículas rígidas. Cuerpos ", así como Principios de Mecánica de John L. Synge y Byron A. Griffith, y Mecánica Clásica de Herbert Goldstein. [41]
Durante la década de 1910, Albert Einstein estaba trabajando en su teoría general de la relatividad cuando se puso en contacto con Constantin Carathéodory para pedirle aclaraciones sobre la ecuación de Hamilton-Jacobi y las transformaciones canónicas . Quería ver una derivación satisfactoria del primero y los orígenes del segundo. Carathéodory explicó algunos detalles fundamentales de las transformaciones canónicas y remitió a Einstein a la Dinámica analítica de ET Whittaker . Einstein estaba tratando de resolver el problema de las "líneas de tiempo cerradas" o geodésicas correspondientes a la trayectoria cerrada de la luz y las partículas libres en un universo estático, que introdujo en 1917. [42]
Se dice que Paul Dirac , un pionero de la mecánica cuántica, está "en deuda" con el libro, ya que contenía el único material que pudo encontrar en los soportes de Poisson , que necesitaba para terminar su trabajo sobre mecánica cuántica en la década de 1920. [1] En septiembre de 1925, Dirac recibió pruebas de un artículo fundamental de Werner Heisenberg sobre la nueva física. Pronto se dio cuenta de que la idea clave del artículo de Heisenberg era la anticonmutatividad de las variables dinámicas y recordó que la construcción matemática análoga en la mecánica clásica eran los corchetes de Poisson. [43]
En una reseña de otros trabajos realizada en 1980, Ian Sneddon afirmó que "el trabajo teórico del siglo y más después de la muerte de Lagrange fue cristalizado por ET Whittaker en un tratado de Whittaker (1904) que no ha sido reemplazado como relato definitivo de la mecánica clásica". ". [44] [39] En otra reseña de 1980 de otras obras, Shlomo Sternberg afirma que los libros reseñados "deberían estar en el estante de todo estudiante serio de mecánica. A uno le gustaría poder informar que dicha colección estaría completa. Desafortunadamente, esto no es así. Existen temas en el repertorio clásico, como los principales de Kowalewskaya , que no están cubiertos en ninguno de estos libros. Así que conserve su copia de Whittaker (1904). [45] [39]
El tratado ha permanecido impreso durante más de cien años, con cuatro ediciones, una reimpresión de 1989 con un nuevo prólogo de William Hunter McCrea y traducciones al alemán y al ruso.
Las cuatro ediciones originales del libro de texto fueron publicadas en Gran Bretaña por Cambridge University Press en 1904, 1917, 1927 y 1937. [8]
Además de las cuatro ediciones y reimpresiones que han mantenido el libro en circulación en inglés durante los últimos cien años, el libro tiene una edición en alemán impresa en 1924 que se basó en la segunda edición del libro y en ruso. edición que se imprimió en 1999. [8] En 1989 se publicó una reimpresión de 1989 de la cuarta edición en inglés con un nuevo prólogo de William Hunter McCrea .
