Lagrange, Euler y Kovalevskaya encabezan

Cuerpos rígidos integrables en mecánica clásica.

Leonhard Euler , Joseph-Louis Lagrange y Sofía Vasilievna Kovalevskaya

En la mecánica clásica , la rotación de un cuerpo rígido como una peonza bajo la influencia de la gravedad no es, en general, un problema integrable . Sin embargo, hay tres casos famosos que son integrables, el de Euler , el de Lagrange y el de Kovalevskaya , que de hecho son los únicos casos integrables en los que el sistema está sujeto a restricciones holonómicas . ^{[1] [2] [3]} Además de la energía, cada una de estas cimas implica dos constantes de movimiento adicionales que dan lugar a la integrabilidad .

La peonza de Euler describe una peonza libre sin ninguna simetría particular que se mueve en ausencia de cualquier par externo , y cuyo punto fijo es el centro de gravedad . El trompo de Lagrange es un trompo simétrico, en el que dos momentos de inercia son iguales y el centro de gravedad se encuentra en el eje de simetría . La peonza Kovalevskaya ^{[4] [5]} es una peonza simétrica especial con una relación única de momentos de inercia que satisfacen la relación

${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I_{3},}$

Es decir, dos momentos de inercia son iguales, el tercero es la mitad y el centro de gravedad está situado en el plano perpendicular al eje de simetría (paralelo al plano de los dos puntos iguales).

Formulación hamiltoniana de tapas clásicas.

La configuración de una peonza clásica ^[6] se describe a la vez mediante tres ejes principales dependientes del tiempo , definidos por los tres vectores ortogonales , y con sus correspondientes momentos de inercia , y la velocidad angular alrededor de esos ejes. En una formulación hamiltoniana de cimas clásicas, las variables dinámicas conjugadas son las componentes del vector de momento angular a lo largo de los ejes principales. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{1}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{3}}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$ ${\displaystyle {\bf {L}}}$

${\displaystyle (\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3})=(\mathbf {L} \cdot {\hat {\bf {e}}}^{1},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}}}}}$

y las componentes z de los tres ejes principales,

${\displaystyle (n_{1},n_{2},n_{3})=(\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{1},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}$

Las relaciones entre corchetes de Poisson de estas variables están dadas por

${\displaystyle \{\ell _{a},\ell _{b}\}=\varepsilon _{abc}\ell _{c},\ \{\ell _{a},n_{b}\}=\varepsilon _{abc}n_{c},\ \{n_{a},n_{b}\}=0}$

Si la posición del centro de masa está dada por , entonces el hamiltoniano de una peonza está dado por ${\displaystyle {\vec {R}}_{cm}=(a\mathbf {\hat {e}} ^{1}+b\mathbf {\hat {e}} ^{2}+c\mathbf {\hat {e}} ^{3})}$

${\displaystyle H={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg(an_{1}+bn_{2}+cn_{3})={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg{\vec {R}}_{cm}\cdot \mathbf {\hat {z}} ,}$

Las ecuaciones de movimiento luego están determinadas por

${\displaystyle {\dot {\ell }}_{a}=\{H,\ell _{a}\},{\dot {n}}_{a}=\{H,n_{a}\}.}$

Explícitamente, estos son

$${\displaystyle {\dot {\ell }}_{1}=\left({\frac {1}{I_{3}}}-{\frac {1}{I_{2}}}\right)\ell _{2}\ell _{3}+mg(cn_{2}-bn_{3})}$$

$${\displaystyle {\dot {n}}_{1}={\frac {\ell _{3}}{I_{3}}}n_{2}-{\frac {\ell _{2}}{I_{2}}}n_{3}}$$

Descripción matemática del espacio de fases.

En términos matemáticos, la configuración espacial del cuerpo se describe mediante un punto en el grupo de Lie , el grupo de rotación tridimensional , que es la matriz de rotación desde el marco del laboratorio hasta el marco del cuerpo. El espacio de configuración completo o espacio de fase es el haz cotangente , en el que las fibras parametrizan el momento angular en la configuración espacial . El hamiltoniano es una función en este espacio de fase. ${\displaystyle SO(3)}$ ${\displaystyle T^{*}SO(3)}$ ${\displaystyle T_{R}^{*}SO(3)}$ ${\displaystyle R}$

top euler

La cima de Euler, que lleva el nombre de Leonhard Euler , es una cima sin torsión (por ejemplo, una cima en caída libre), con hamiltoniano.

${\displaystyle H_{\rm {E}}={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}},}$

Las cuatro constantes del movimiento son la energía y los tres componentes del momento angular en el marco del laboratorio. ${\displaystyle H_{\rm {E}}}$

${\displaystyle (L_{1},L_{2},L_{3})=\ell _{1}\mathbf {\hat {e}} ^{1}+\ell _{2}\mathbf {\hat {e}} ^{2}+\ell _{3}\mathbf {\hat {e}} ^{3}.}$

Tapa de Lagrange

La cima de Lagrange, ^[7] que lleva el nombre de Joseph-Louis Lagrange , es una cima simétrica con el centro de masa a lo largo del eje de simetría en la ubicación, con hamiltoniano. ${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{3}}$

${\displaystyle H_{\rm {L}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}}{2I}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mghn_{3}.}$

Las cuatro constantes del movimiento son la energía , el componente del momento angular a lo largo del eje de simetría, el momento angular en la dirección z . ${\displaystyle H_{\rm {L}}}$ ${\displaystyle \ell _{3}}$

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

y la magnitud del n -vector

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}$

Kovalevskaya superior

La peonza de Kovalevskaya ^{[4] [5]} es una peonza simétrica en la que , y el centro de masa se encuentra en el plano perpendicular al eje de simetría . Fue descubierto por Sofia Kovalevskaya en 1888 y presentado en su artículo "Sur le problème de la rotación d'un corps solide autour d'un point fixe", que ganó el Prix Bordin de la Academia Francesa de Ciencias en 1888. El hamiltoniano es ${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I}$ ${\displaystyle I_{3}=I}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{1}}$

${\displaystyle H_{\rm {K}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}+2(\ell _{3})^{2}}{2I}}+mghn_{1}.}$

Las cuatro constantes del movimiento son la energía , la invariante de Kovalevskaya ${\displaystyle H_{\rm {K}}}$

${\displaystyle K=\xi _{+}\xi _{-}}$

donde las variables están definidas por ${\displaystyle \xi _{\pm }}$

${\displaystyle \xi _{\pm }=(\ell _{1}\pm i\ell _{2})^{2}-2mghI(n_{1}\pm in_{2}),}$

el componente del momento angular en la dirección z ,

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

y la magnitud del n -vector

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}.}$

Restricciones no holonómicas

Si las restricciones se relajan para permitir restricciones no holonómicas , existen otros posibles vértices integrables además de los tres casos bien conocidos. El top no holonómico Goryachev-Chaplygin (introducido por D. Goryachev en 1900 ^[8] e integrado por Sergey Chaplygin en 1948 ^{[9] [10]} ) también es integrable ( ). Su centro de gravedad se encuentra en el plano ecuatorial . ^[11] ${\displaystyle I_{1}=I_{2}=4I_{3}}$

Ver también

• Portal de física

• Suspensión cardán

Referencias

1. Audin, Michèle (1996), Trompos: un curso sobre sistemas integrables , Nueva York: Cambridge University Press , ISBN 9780521779197.
2. Whittaker, et (1952). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521358835 . 
3. Strogatz, Steven (2019). Poderes infinitos. Nueva York: Houghton Mifflin Harcourt. pag. 287.ISBN​ 978-1786492968. Más importante aún, ella [Sofja Wassiljewna Kowalewskaja] demostró que no podían existir otras cimas con solución. Ella había encontrado el último
4. Kovalevskaya, Sofia (1889), "Sur le problème de la rotación d'un corps solide autour d'un point fixe", Acta Mathematica (en francés), 12 : 177–232
5. Perelemov, AM (2002). Teoret. Estera. Fiz. , Volumen 131, Número 2, págs. (en francés)
6. Herbert Goldstein , Charles P. Poole y John L. Safko (2002). Mecánica clásica (3.ª edición), Addison-Wesley. ISBN 9780201657029 . 
7. Cushman, derecha; Bates, LM (1997), "The Lagrange top", Aspectos globales de los sistemas integrables clásicos , Basilea: Birkhäuser, págs. 187–270, doi :10.1007/978-3-0348-8891-2_5, ISBN 978-3-0348-9817-1.
8. Goryachev, D. (1900). "Sobre el movimiento de un cuerpo material rígido alrededor de un punto fijo en el caso A = B = C", Mat. SB. , 21. (en ruso) . Citado en Bechlivanidis & van Moerbek (1987) y Hazewinkel (2012).
9. Chaplygin, SA (1948). "Un nuevo caso de rotación de un cuerpo rígido, apoyado en un punto", Obras Completas , Vol. Yo, págs. 118-124. Moscú: Gostekhizdat. (en ruso) . Citado en Bechlivanidis & van Moerbek (1987) y Hazewinkel (2012).
10. Bechlivanidis, C.; van Moerbek, P. (1987), "The Goryachev-Chaplygin Top and the Toda Lattice", Communications in Mathematical Physics , 110 (2): 317–324, Bibcode :1987CMaPh.110..317B, doi :10.1007/BF01207371, S2CID  119927045
11. Hazewinkel, Michiel; ed. (2012). Enciclopedia de Matemáticas , págs. 271-2. Saltador. ISBN 9789401512886 . 

enlaces externos

• Kovalevskaya Top - del mundo de la física de Eric Weisstein
• Kovalevskaya superior