Triángulo de Pascal

Matriz triangular de coeficientes binomiales en matemáticas

${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}$

Un diagrama que muestra las primeras ocho filas del triángulo de Pascal.

En matemáticas , el triángulo de Pascal es una matriz triangular infinita de coeficientes binomiales que desempeñan un papel crucial en la teoría de la probabilidad, la combinatoria y el álgebra. En gran parte del mundo occidental , recibe su nombre del matemático francés Blaise Pascal , aunque otros matemáticos lo estudiaron siglos antes que él en Persia, ^[1] India, ^[2] China, Alemania e Italia. ^[3]

Las filas del triángulo de Pascal se enumeran convencionalmente comenzando con la fila superior (la fila 0). Las entradas de cada fila se numeran desde la izquierda comenzando con y generalmente están escalonadas en relación con los números de las filas adyacentes. El triángulo se puede construir de la siguiente manera: en la fila 0 (la fila superior), hay una única entrada distinta de cero 1. Cada entrada de cada fila posterior se construye sumando el número de arriba y a la izquierda con el número de arriba y a la derecha, tratando las entradas en blanco como 0. Por ejemplo, el número inicial de la fila 1 (o cualquier otra fila) es 1 (la suma de 0 y 1), mientras que los números 1 y 3 en la fila 3 se suman para producir el número 4 en la fila 4. ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle k=0}$

Fórmula

En el triángulo de Pascal, cada número es la suma de los dos números directamente superiores.

En la fila n del triángulo de Pascal, la entrada n se denota , y se pronuncia " n choose k ". Por ejemplo, la entrada superior es . Con esta notación, la construcción del párrafo anterior puede escribirse como ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1}$

$${\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}$$para cualquier entero positivo y cualquier entero . ^[4] Esta recurrencia para los coeficientes binomiales se conoce como regla de Pascal . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

Historia

El triángulo de Yang Hui , tal como lo representan los chinos usando números de varilla , aparece en el Espejo de jade de las cuatro incógnitas , una obra matemática de Zhu Shijie , fechada en 1303.

La versión de Pascal del triángulo

El patrón de números que forma el triángulo de Pascal era conocido mucho antes de la época de Pascal. El matemático persa Al-Karaji (953-1029) escribió un libro ahora perdido que contenía la primera formulación de los coeficientes binomiales y la primera descripción del triángulo de Pascal. ^{[5] [6] [7]} Más tarde fue repetido por Omar Khayyám (1048-1131), otro matemático persa; por lo tanto, el triángulo también se conoce como triángulo de Khayyam ( مثلث خیام ) en Irán. ^[8] Se conocían varios teoremas relacionados con el triángulo, incluido el teorema binomial . Khayyam utilizó un método para encontrar raíces n- ésimas basado en la expansión binomial y, por lo tanto, en los coeficientes binomiales. ^[1]

El triángulo de Pascal se conoció en China a principios del siglo XI gracias al trabajo del matemático chino Jia Xian (1010-1070). Durante el siglo XIII, Yang Hui (1238-1298) definió el triángulo, que en China se conoce como triángulo de Yang Hui (杨辉三角;楊輝三角). ^[9]

En Europa, el triángulo de Pascal apareció por primera vez en la Aritmética de Jordanus de Nemore (siglo XIII). ^[10] Los coeficientes binomiales fueron calculados por Gersonides a principios del siglo XIV, utilizando la fórmula multiplicativa para ellos. ^[11] Petrus Apianus (1495-1552) publicó el triángulo completo en el frontispicio de su libro sobre cálculos comerciales en 1527. ^[12] Michael Stifel publicó una parte del triángulo (desde la segunda hasta la columna del medio en cada fila) en 1544, describiéndolo como una tabla de números figurados . ^[11] En Italia, el triángulo de Pascal se conoce como el triángulo de Tartaglia , llamado así por el algebrista italiano Tartaglia (1500-1577), quien publicó seis filas del triángulo en 1556. ^[11] Gerolamo Cardano también publicó el triángulo, así como las reglas aditivas y multiplicativas para construirlo en 1570. ^[11]

El Tratado del triángulo aritmético de Pascal se publicó póstumamente en 1665. ^[13] En él, Pascal recopiló varios resultados que se conocían entonces sobre el triángulo y los empleó para resolver problemas de teoría de la probabilidad . El triángulo recibió más tarde el nombre de Pascal por Pierre Raymond de Montmort (1708), que lo llamó table de M. Pascal pour les combinaisons (en francés: tabla de M. Pascal para combinaciones) y Abraham de Moivre (1730), que lo llamó Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM (en latín: Triángulo aritmético de Pascal), que se convirtió en la base del nombre occidental moderno. ^[14]

Expansiones binomiales

Visualización del desarrollo binomial hasta la 4ª potencia

El triángulo de Pascal determina los coeficientes que surgen en los desarrollos binomiales . Por ejemplo, en el desarrollo, los coeficientes son las entradas de la segunda fila del triángulo de Pascal: , , . $${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=\mathbf {1} x^{2}y^{0}+\mathbf {2} x^{1}y^{1}+\mathbf {1} x^{0}y^{2},}$$ ${\displaystyle {\tbinom {2}{0}}=1}$ ${\displaystyle {\tbinom {2}{1}}=2}$ ${\displaystyle {\tbinom {2}{2}}=1}$

En general, el teorema del binomio establece que cuando un binomio como se eleva a una potencia entera positiva , la expresión se desarrolla como donde los coeficientes son precisamente los números en la fila del triángulo de Pascal: ${\displaystyle x+y}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{n-k}y^{k}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\ldots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n},}$$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle a_{k}={n \choose k}.}$$

Toda la diagonal izquierda del triángulo de Pascal corresponde al coeficiente de en estas expansiones binomiales, mientras que la siguiente diagonal izquierda corresponde al coeficiente de , y así sucesivamente. ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle x^{n-1}y}$

Para ver cómo se relaciona el teorema del binomio con la construcción simple del triángulo de Pascal, considere el problema de calcular los coeficientes de la expansión de en términos de los coeficientes correspondientes de , donde fijamos para simplificar. Supongamos entonces que Ahora ${\displaystyle (x+y)^{n+1}}$ ${\displaystyle (x+1)^{n}}$ ${\displaystyle y=1}$ $${\displaystyle (x+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}.}$$ $${\displaystyle (x+1)^{n+1}=(x+1)(x+1)^{n}=x(x+1)^{n}+(x+1)^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i+1}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}.}$$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\dbinom {0}{0}}\\{\dbinom {1}{0}}\quad {\dbinom {1}{1}}\\{\dbinom {2}{0}}\quad {\dbinom {2}{1}}\quad {\dbinom {2}{2}}\\{\dbinom {3}{0}}\quad {\dbinom {3}{1}}\quad {\dbinom {3}{2}}\quad {\dbinom {3}{3}}\\{\dbinom {4}{0}}\quad {\dbinom {4}{1}}\quad {\dbinom {4}{2}}\quad {\dbinom {4}{3}}\quad {\dbinom {4}{4}}\\{\dbinom {5}{0}}\quad {\dbinom {5}{1}}\quad {\dbinom {5}{2}}\quad {\dbinom {5}{3}}\quad {\dbinom {5}{4}}\quad {\dbinom {5}{5}}\end{array}}}$

Las primeras seis filas del triángulo de Pascal como coeficientes binomiales

Las dos sumas se pueden volver a indexar y combinar para obtener ${\displaystyle k=i+1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i+1}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}&=\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}x^{k}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}a_{k-1}x^{k}+a_{n}x^{n+1}+a_{0}x^{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}x^{k}\\[4pt]&=a_{0}x^{0}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k-1}+a_{k})x^{k}+a_{n}x^{n+1}\\[4pt]&=x^{0}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k-1}+a_{k})x^{k}+x^{n+1}.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, los coeficientes de los extremos izquierdo y derecho siguen siendo 1 y, para cualquier , el coeficiente del término del polinomio es igual a , la suma de los coeficientes y en la potencia anterior . Esta es, de hecho, la regla de adición descendente para construir el triángulo de Pascal. ${\displaystyle 0<k<n+1}$ ${\displaystyle x^{k}}$ ${\displaystyle (x+1)^{n+1}}$ ${\displaystyle a_{k-1}+a_{k}}$ ${\displaystyle x^{k-1}}$ ${\displaystyle x^{k}}$ ${\displaystyle (x+1)^{n}}$

No es difícil convertir este argumento en una prueba (por inducción matemática ) del teorema del binomio.

Como , los coeficientes son idénticos en la expansión del caso general. ${\displaystyle (a+b)^{n}=b^{n}({\tfrac {a}{b}}+1)^{n}}$

Una consecuencia interesante del teorema binomial se obtiene al establecer ambas variables , de modo que ${\displaystyle x=y=1}$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}={n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=(1+1)^{n}=2^{n}.}$$

En otras palabras, la suma de las entradas en la fila n del triángulo de Pascal es la potencia n de 2. Esto es equivalente a la afirmación de que el número de subconjuntos de un conjunto de elementos es , como se puede ver al observar que cada uno de los elementos puede incluirse o excluirse independientemente de un subconjunto dado. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Combinaciones

Una segunda aplicación útil del triángulo de Pascal es el cálculo de combinaciones . El número de combinaciones de elementos tomados a la vez, es decir, el número de subconjuntos de elementos entre elementos, se puede encontrar mediante la ecuación ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathbf {C} (n,k)=\mathbf {C} _{k}^{n}={_{n}C_{k}}={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$.

Esto es igual a la entrada en la fila del triángulo de Pascal. En lugar de realizar el cálculo multiplicativo, uno puede simplemente buscar la entrada apropiada en el triángulo (construido por adiciones). Por ejemplo, supongamos que se deben contratar 3 trabajadores entre 7 candidatos; entonces, el número de posibles opciones de contratación es 7; elija 3, la entrada 3 en la fila 7 de la tabla anterior, que es . ^[15] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tbinom {7}{3}}=35}$

Relación con la distribución binomial y las convoluciones

Cuando se divide por , la fila n del triángulo de Pascal se convierte en la distribución binomial en el caso simétrico donde . Por el teorema del límite central , esta distribución se aproxima a la distribución normal a medida que aumenta. Esto también se puede ver aplicando la fórmula de Stirling a los factoriales involucrados en la fórmula para combinaciones. ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle n}$

Esto se relaciona con la operación de convolución discreta de dos maneras. Primero, la multiplicación de polinomios corresponde exactamente a la convolución discreta, de modo que convolucionar repetidamente la secuencia consigo misma corresponde a tomar potencias de , y por lo tanto a generar las filas del triángulo. Segundo, convolucionar repetidamente la función de distribución para una variable aleatoria consigo misma corresponde a calcular la función de distribución para una suma de n copias independientes de esa variable; esta es exactamente la situación a la que se aplica el teorema del límite central y, por lo tanto, da como resultado la distribución normal en el límite. (La operación de tomar repetidamente una convolución de algo consigo mismo se llama potencia de convolución ). ${\displaystyle \{\ldots ,0,0,1,1,0,0,\ldots \}}$ ${\displaystyle x+1}$

Patrones y propiedades

El triángulo de Pascal tiene muchas propiedades y contiene muchos patrones de números.

Cada cuadro representa una fila del triángulo de Pascal. Cada columna de píxeles es un número en binario, con el bit menos significativo en la parte inferior. Los píxeles claros representan el 1 y los píxeles oscuros el 0.

Los números de composiciones de n  + 1 en k  + 1 particiones ordenadas forman el triángulo de Pascal.

Filas

• La suma de los elementos de una sola fila es el doble de la suma de la fila anterior. Por ejemplo, la fila 0 (la fila superior) tiene un valor de 1, la fila 1 tiene un valor de 2, la fila 2 tiene un valor de 4, y así sucesivamente. Esto se debe a que cada elemento de una fila produce dos elementos en la siguiente fila: uno a la izquierda y otro a la derecha. La suma de los elementos de la fila  es igual a . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$
• Tomando el producto de los elementos en cada fila, la secuencia de productos (secuencia A001142 en la OEIS ) está relacionada con la base del logaritmo natural, e . ^{[16] [17]} Específicamente, defina la secuencia para todos de la siguiente manera: ${\displaystyle s_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle s_{n}=\prod _{k=0}^{n}{n \choose k}=\prod _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$
  Entonces, la relación de los productos de filas sucesivas es y la relación de estas relaciones es El lado derecho de la ecuación anterior toma la forma de la definición límite de . $${\displaystyle {\frac {s_{n+1}}{s_{n}}}={\frac {\displaystyle (n+1)!^{n+2}\prod _{k=0}^{n+1}{\frac {1}{k!^{2}}}}{\displaystyle n!^{n+1}\prod _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!^{2}}}}}={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}}$$ $${\displaystyle {\frac {s_{n+1}\cdot s_{n-1}}{s_{n}^{2}}}=\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n},~n\geq 1.}$$ ${\displaystyle e}$ $${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$$
• ${\displaystyle \pi }$se puede encontrar en el triángulo de Pascal mediante el uso de la serie infinita Nilakantha . ^[18] $${\displaystyle \pi =3+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2n+1 \choose 1}{{2n+1 \choose 2}{2n+2 \choose 2}}}}$$
• Algunos de los números del triángulo de Pascal se correlacionan con números del triángulo de Lozanić .
• La suma de los cuadrados de los elementos de la fila  n es igual al elemento central de la fila  2 n . Por ejemplo, 1 ² + 4 ² + 6 ² + 4 ² + 1 ² = 70 . En forma general, $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}.}$$
• En cualquier fila par , el término del medio menos el término que se encuentra dos puntos a la izquierda es igual a un número catalán , en concreto . Por ejemplo, en la fila 4, que es 1, 4, 6, 4, 1, obtenemos el tercer número catalán . ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle C_{m-1}={\tbinom {2m}{m}}-{\tbinom {2m}{m-2}}}$ ${\displaystyle C_{3}=6-1=5}$
• En una fila  p , donde p es un número primo , todos los términos de esa fila, excepto los 1, son divisibles por p . Esto se puede demostrar fácilmente a partir de la fórmula multiplicativa . Dado que el denominador no puede tener factores primos iguales a p , p permanece en el numerador después de la división entera, lo que hace que toda la entrada sea un múltiplo de p . ${\displaystyle {\tbinom {p}{k}}={\tfrac {p!}{k!(p-k)!}}}$ ${\displaystyle k!(p-k)!}$
• Paridad : Para contar los términos impares en la fila  n , convierta n a binario . Sea x el número de 1 en la representación binaria. Entonces, el número de términos impares será 2 ^x . Estos números son los valores en la secuencia de Gould . ^[19]
• Cada entrada en la fila 2 ⁿ  − 1, n  ≥ 0, es impar. ^[20]
• Polaridad : Cuando los elementos de una fila del triángulo de Pascal se suman y restan alternativamente, el resultado es 0. Por ejemplo, la fila 6 es 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, por lo que la fórmula es 1 − 6 + 15 − 20 + 15 − 6 + 1 = 0.

Diagonales

Derivación de números símplex a partir de un triángulo de Pascal justificado a la izquierda

Las diagonales del triángulo de Pascal contienen los números figurados de los símplices:

• Las diagonales que recorren los bordes izquierdo y derecho contienen solo 1.
• Las diagonales junto a las diagonales de los bordes contienen los números naturales en orden. Los números símplex unidimensionales aumentan en 1 a medida que los segmentos de línea se extienden hasta el siguiente número entero a lo largo de la línea numérica.
• Moviéndonos hacia adentro, el siguiente par de diagonales contiene los números triangulares en orden.
• El siguiente par de diagonales contiene los números tetraédricos en orden, y el siguiente par da números de pentátopo .

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(n)&=P_{d}(0)=1,\\P_{d}(n)&=P_{d}(n-1)+P_{d-1}(n)\\&=\sum _{i=0}^{n}P_{d-1}(i)=\sum _{i=0}^{d}P_{i}(n-1).\end{aligned}}}$

La simetría del triángulo implica que el n ^-ésimo número d-dimensional es igual al d ^{-ésimo número} n -dimensional.

Una fórmula alternativa que no implica recursión es donde n ^{( d )} es el factorial ascendente . $${\displaystyle P_{d}(n)={\frac {1}{d!}}\prod _{k=0}^{d-1}(n+k)={n^{(d)} \over d!}={\binom {n+d-1}{d}},}$$

El significado geométrico de una función P _d es: P _d (1) = 1 para todo d . Construya un triángulo de dimensión d (un triángulo tridimensional es un tetraedro ) colocando puntos adicionales debajo de un punto inicial, correspondiente a P _d (1) = 1. Coloque estos puntos de manera análoga a la colocación de números en el triángulo de Pascal. Para encontrar P _d ( x ), tenga un total de x puntos que componen la forma objetivo. P _d ( x ) entonces es igual al número total de puntos en la forma. Un triángulo de dimensión 0 es un punto y un triángulo de dimensión 1 es simplemente una línea y, por lo tanto, P ₀ ( x ) = 1 y P ₁ ( x ) = x , que es la secuencia de números naturales. El número de puntos en cada capa corresponde a P _{d  − 1} ( x ).

Calcular una fila o diagonal por sí sola

Existen algoritmos simples para calcular todos los elementos de una fila o diagonal sin calcular otros elementos o factoriales.

Para calcular la fila con los elementos , comience con . Para cada elemento subsiguiente, el valor se determina multiplicando el valor anterior por una fracción con numerador y denominador que cambian lentamente: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$

${\displaystyle {n \choose k}={n \choose k-1}\times {\frac {n+1-k}{k}}.}$

Por ejemplo, para calcular la fila 5, las fracciones son  ,  ,  ,  y , y por lo tanto los elementos son  ,   ,   , etc. (Los elementos restantes se obtienen más fácilmente por simetría). ${\displaystyle {\tfrac {5}{1}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {4}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1}$ ${\displaystyle {\tbinom {5}{1}}=1\times {\tfrac {5}{1}}=5}$ ${\displaystyle {\tbinom {5}{2}}=5\times {\tfrac {4}{2}}=10}$

Para calcular la diagonal que contiene los elementos, comience nuevamente con y obtenga los elementos subsiguientes mediante la multiplicación por ciertas fracciones: ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n+1}{1}},{\tbinom {n+2}{2}},\ldots ,}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$

${\displaystyle {n+k \choose k}={n+k-1 \choose k-1}\times {\frac {n+k}{k}}.}$

Por ejemplo, para calcular la diagonal que comienza en , las fracciones son  , y los elementos son , etc. Por simetría, estos elementos son iguales a , etc. ${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {6}{1}},{\tfrac {7}{2}},{\tfrac {8}{3}},\ldots }$ ${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1,{\tbinom {6}{1}}=1\times {\tfrac {6}{1}}=6,{\tbinom {7}{2}}=6\times {\tfrac {7}{2}}=21}$ ${\displaystyle {\tbinom {5}{5}},{\tbinom {6}{5}},{\tbinom {7}{5}}}$

Secuencia de Fibonacci en el triángulo de Pascal

Patrones y propiedades generales

Una aproximación de nivel 4 a un triángulo de Sierpinski que se obtiene sombreando las primeras 32 filas de un triángulo de Pascal en blanco si el coeficiente binomial es par y en negro si es impar.

• El patrón que se obtiene coloreando únicamente los números impares en el triángulo de Pascal se parece mucho al fractal conocido como triángulo de Sierpinski . Esta semejanza se hace cada vez más precisa a medida que se consideran más filas; en el límite, a medida que el número de filas se acerca al infinito, el patrón resultante es el triángulo de Sierpinski, suponiendo un perímetro fijo. De manera más general, los números podrían colorearse de manera diferente según sean o no múltiplos de 3, 4, etc.; esto da como resultado otros patrones similares.

Como la proporción de números negros tiende a cero al aumentar n , un corolario es que la proporción de coeficientes binomiales impares tiende a cero cuando n tiende a infinito. ^[21]

El triángulo de Pascal superpuesto sobre una cuadrícula da el número de caminos distintos hacia cada cuadrado, asumiendo que solo se consideran los movimientos hacia la derecha y hacia abajo.

• En una parte triangular de una cuadrícula (como en las imágenes siguientes), el número de caminos más cortos de la cuadrícula desde un nodo dado hasta el nodo superior del triángulo es la entrada correspondiente en el triángulo de Pascal. En un tablero de juego de Plinko con forma de triángulo, esta distribución debería dar las probabilidades de ganar los distintos premios.

• Si las filas del triángulo de Pascal están justificadas a la izquierda, las bandas diagonales (codificadas por colores a continuación) suman los números de Fibonacci .

Construcción como matriz exponencial

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp {\begin{pmatrix}.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.\\.&2&.&.&.\\.&.&3&.&.\\.&.&.&4&.\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&.&.&.&.\\1&1&.&.&.\\1&2&1&.&.\\1&3&3&1&.\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\\e^{\text{counting}}&={\text{binomial}}\end{aligned}}}$

Matriz binomial como matriz exponencial. Todos los puntos representan 0.

Debido a su sencilla construcción mediante factoriales, se puede dar una representación muy básica del triángulo de Pascal en términos de la exponencial de la matriz : El triángulo de Pascal es la exponencial de la matriz que tiene la secuencia 1, 2, 3, 4, ... en su subdiagonal y cero en el resto.

Construcción del álgebra de Clifford mediante números simples

El etiquetado de los elementos de cada n-símplex coincide con los elementos base del álgebra de Clifford utilizados como formas en el álgebra geométrica en lugar de matrices. El reconocimiento de las operaciones geométricas, como las rotaciones, permite descubrir las operaciones algebraicas. Así como cada fila, n , comenzando en 0, del triángulo de Pascal corresponde a un (n-1) -símplex, como se describe a continuación, también define el número de formas base nombradas en el álgebra geométrica de n dimensiones . El teorema del binomio se puede utilizar para demostrar la relación geométrica proporcionada por el triángulo de Pascal. ^[22] Esta misma prueba se podría aplicar a los símplices excepto que la primera columna de todos los 1 debe ignorarse, mientras que en el álgebra estos corresponden a los números reales, , con base 1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Relación con la geometría de los politopos

El triángulo de Pascal se puede utilizar como tabla de búsqueda para el número de elementos (como aristas y esquinas) dentro de un politopo (como un triángulo, un tetraedro, un cuadrado o un cubo).

Número de elementos de los simples

Comencemos considerando la tercera línea del triángulo de Pascal, con valores 1, 3, 3, 1. Un triángulo bidimensional tiene un elemento bidimensional (él mismo), tres elementos unidimensionales (líneas o aristas) y tres elementos 0-dimensionales ( vértices o esquinas). El significado del número final (1) es más difícil de explicar (pero véase más abajo). Continuando con nuestro ejemplo, un tetraedro tiene un elemento tridimensional (él mismo), cuatro elementos bidimensionales (caras), seis elementos unidimensionales (aristas) y cuatro elementos 0-dimensionales (vértices). Añadiendo de nuevo el 1 final, estos valores corresponden a la cuarta fila del triángulo (1, 4, 6, 4, 1). La línea 1 corresponde a un punto y la línea 2 corresponde a un segmento de línea (díada). Este patrón continúa hasta los hipertetraedros de dimensiones arbitrarias (conocidos como símplices ).

Para entender por qué existe este patrón, primero hay que entender que el proceso de construcción de un n -símplex a partir de un ( n − 1) -símplex consiste simplemente en añadir un nuevo vértice a este último, posicionado de tal manera que este nuevo vértice se encuentre fuera del espacio del símplex original, y conectarlo a todos los vértices originales. Como ejemplo, considere el caso de construir un tetraedro a partir de un triángulo, el último de cuyos elementos se enumeran por la fila 3 del triángulo de Pascal: 1 cara, 3 aristas y 3 vértices. Para construir un tetraedro a partir de un triángulo, coloque un nuevo vértice sobre el plano del triángulo y conecte este vértice a los tres vértices del triángulo original.

El número de un elemento de una dimensión dada en el tetraedro es ahora la suma de dos números: primero el número de ese elemento que se encuentra en el triángulo original, más el número de elementos nuevos, cada uno de los cuales se construye a partir de elementos de una dimensión menos del triángulo original . Por lo tanto, en el tetraedro, el número de celdas (elementos poliédricos) es 0 + 1 = 1 ; el número de caras es 1 + 3 = 4 ; el número de aristas es 3 + 3 = 6 ; el número de vértices nuevos es 3 + 1 = 4. Este proceso de sumar el número de elementos de una dimensión dada a los de una dimensión menos para llegar al número de los primeros que se encuentran en el símplex inmediatamente superior es equivalente al proceso de sumar dos números adyacentes en una fila del triángulo de Pascal para obtener el número siguiente. De este modo, el significado del número final (1) en una fila del triángulo de Pascal se entiende como la representación del nuevo vértice que se debe añadir al símplex representado por esa fila para obtener el símplex inmediatamente superior representado por la fila siguiente. Este nuevo vértice se une a cada elemento del símplex original para obtener un nuevo elemento de una dimensión superior en el nuevo símplex, y este es el origen del patrón que se ha encontrado que es idéntico al que se observa en el triángulo de Pascal.

Número de elementos de los hipercubos

Se observa un patrón similar en relación con los cuadrados , en contraposición a los triángulos. Para encontrar el patrón, se debe construir un análogo del triángulo de Pascal, cuyas entradas son los coeficientes de ( x + 2) ^{número de fila} , en lugar de ( x + 1) ^{número de fila} . Hay un par de formas de hacer esto. La más sencilla es comenzar con la fila 0 = 1 y la fila 1 = 1, 2. Proceda a construir los triángulos análogos de acuerdo con la siguiente regla:

${\displaystyle {n \choose k}=2\times {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}.}$

Es decir, se elige un par de números según las reglas del triángulo de Pascal, pero se duplica el de la izquierda antes de sumar. Esto da como resultado:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{ 1}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 2}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 4}}\quad {\text{ 4}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 6}}\quad {\text{ 12}}\quad {\text{ 8}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 8}}\quad {\text{ 24}}\quad {\text{ 32}}\quad {\text{ 16}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 10}}\quad {\text{ 40}}\quad {\text{ 80}}\quad {\text{ 80}}\quad {\text{ 32}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 12}}\quad {\text{ 60}}\quad 160\quad 240\quad 192\quad {\text{ 64}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 14}}\quad {\text{ 84}}\quad 280\quad 560\quad 672\quad 448\quad 128\end{matrix}}}$

La otra forma de producir este triángulo es comenzar con el triángulo de Pascal y multiplicar cada entrada por 2 ^k , donde k es la posición en la fila del número dado. Por ejemplo, el segundo valor en la fila 4 del triángulo de Pascal es 6 (la pendiente de 1s corresponde a la entrada cero en cada fila). Para obtener el valor que reside en la posición correspondiente en el triángulo analógico, multiplique 6 por 2 ^{número de posición} = 6 × 2 ² = 6 × 4 = 24 . Ahora que se ha construido el triángulo analógico, el número de elementos de cualquier dimensión que componen un cubo de dimensión arbitraria (llamado hipercubo ) se puede leer de la tabla de una manera análoga al triángulo de Pascal. Por ejemplo, el número de elementos bidimensionales en un cubo bidimensional (un cuadrado) es uno, el número de elementos unidimensionales (lados o líneas) es 4 y el número de elementos de dimensión cero (puntos o vértices) es 4. Esto coincide con la segunda fila de la tabla (1, 4, 4). Un cubo tiene 1 cubo, 6 caras, 12 aristas y 8 vértices, lo que corresponde a la siguiente línea del triángulo análogo (1, 6, 12, 8). Este patrón continúa indefinidamente.

Para entender por qué existe este patrón, primero hay que reconocer que la construcción de un n -cubo a partir de un ( n − 1) -cubo se realiza simplemente duplicando la figura original y desplazándola una cierta distancia (para un n -cubo regular, la longitud de la arista) ortogonal al espacio de la figura original, conectando luego cada vértice de la nueva figura con su vértice correspondiente del original. Este proceso de duplicación inicial es la razón por la que, para enumerar los elementos dimensionales de un n -cubo, uno debe duplicar el primero de un par de números en una fila de este análogo del triángulo de Pascal antes de sumar para obtener el número siguiente. La duplicación inicial produce así el número de elementos "originales" que se encontrarán en el siguiente n -cubo superior y, como antes, los nuevos elementos se construyen sobre los de una dimensión menos (aristas sobre vértices, caras sobre aristas, etc.). Nuevamente, el último número de una fila representa el número de nuevos vértices que se agregarán para generar el siguiente n -cubo superior.

En este triángulo, la suma de los elementos de la fila m es igual a 3 ^m . Nuevamente, para usar los elementos de la fila 4 como ejemplo: 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81 , que es igual a . ${\displaystyle 3^{4}=81}$

Contar vértices en un cubo por distancia

Cada fila del triángulo de Pascal da el número de vértices a cada distancia de un vértice fijo en un cubo n -dimensional. Por ejemplo, en tres dimensiones, la tercera fila (1 3 3 1) corresponde al cubo tridimensional habitual : fijando un vértice V , hay un vértice a la distancia 0 de V (es decir, V mismo), tres vértices a la distancia 1, tres vértices a la distancia √ 2 y un vértice a la distancia √ 3 (el vértice opuesto a V ). La segunda fila corresponde a un cuadrado, mientras que las filas con números mayores corresponden a hipercubos en cada dimensión.

Transformada de Fourier del pecado(incógnita)número +1/incógnita

Como se dijo anteriormente, los coeficientes de ( x  + 1) ⁿ son la n ª fila del triángulo. Ahora los coeficientes de ( x  − 1) ⁿ son los mismos, excepto que el signo alterna de +1 a −1 y viceversa. Después de la normalización adecuada, el mismo patrón de números ocurre en la transformada de Fourier de sen( x ) ^{n +1} / x . Más precisamente: si n es par, tome la parte real de la transformada, y si n es impar, tome la parte imaginaria . Entonces el resultado es una función escalonada , cuyos valores (adecuadamente normalizados) están dados por la n ª fila del triángulo con signos alternados. ^[23] Por ejemplo, los valores de la función escalonada que resulta de:

${\displaystyle {\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{5}}{x}}\right]\right)}$

componen la cuarta fila del triángulo, con signos alternados. Esta es una generalización del siguiente resultado básico (usado a menudo en ingeniería eléctrica ):

${\displaystyle {\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{1}}{x}}\right]\right)}$

es la función boxcar . ^[24] La fila correspondiente del triángulo es la fila 0, que consta solo del número 1.

Si n es congruente con 2 o con 3 módulo 4, entonces los signos empiezan con −1. De hecho, la secuencia de los primeros términos (normalizados) corresponde a las potencias de i , que giran alrededor de la intersección de los ejes con el círculo unitario en el plano complejo: $${\displaystyle +i,-1,-i,+1,+i,\ldots }$$

Extensiones

El triángulo de Pascal puede extenderse hacia arriba, por encima del 1 en el vértice, preservando la propiedad aditiva, pero hay más de una manera de hacerlo. ^[25]

A dimensiones superiores

El triángulo de Pascal tiene generalizaciones de dimensiones superiores . La versión tridimensional se conoce como pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal , mientras que las versiones generales se conocen como símplices de Pascal .

A números complejos

Cuando la función factorial se define como , el triángulo de Pascal puede extenderse más allá de los números enteros a , ya que es meromórfico para todo el plano complejo . ^[26] ${\displaystyle z!=\Gamma (z+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Gamma (z+1)}$

A bases arbitrarias

Isaac Newton observó una vez que las primeras cinco filas del triángulo de Pascal, cuando se leen como los dígitos de un entero, son las potencias de once correspondientes. Afirmó sin prueba que las filas posteriores también generan potencias de once. ^[27] En 1964, Robert L. Morton presentó el argumento más generalizado de que cada fila puede leerse como un numeral de base, donde es la fila terminal hipotética, o límite , del triángulo, y las filas son sus productos parciales. ^[28] Demostró que las entradas de la fila , cuando se interpretan directamente como un numeral de valor posicional, corresponden a la expansión binomial de . Desde entonces se han desarrollado pruebas más rigurosas. ^{[29] [30]} Para comprender mejor el principio detrás de esta interpretación, aquí hay algunas cosas que recordar sobre los binomios: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }11_{a}^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (a+1)^{n}=11_{a}^{n}}$

• Un numeral de base en notación posicional (p. ej . ) es un polinomio univariante en la variable , donde el grado de la variable del término n (que comienza con ) es . Por ejemplo, . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 14641_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 14641_{a}=1\cdot a^{4}+4\cdot a^{3}+6\cdot a^{2}+4\cdot a^{1}+1\cdot a^{0}}$
• Una fila corresponde a la expansión binomial de . La variable puede eliminarse de la expansión estableciendo . La expansión ahora tipifica la forma expandida de un numeral de base, ^{[31] [32]} como se demostró anteriormente. Por lo tanto, cuando las entradas de la fila se concatenan y se leen en base, forman el equivalente numérico de . Si para , entonces el teorema se cumple para con valores impares de que dan como resultado productos de fila negativos. ^{[33] [34] [35]} ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a+1)^{n}=11_{a}^{n}}$ ${\displaystyle c=a+1}$ ${\displaystyle c<0}$ ${\displaystyle a=\{c-1,-(c+1)\}\;\mathrm {mod} \;2c}$ ${\displaystyle n}$

Al establecer el radio de la fila (la variable ) igual a uno y diez, fila se convierte en el producto y , respectivamente. Para ilustrarlo, considere , que produce el producto de fila . La representación numérica de se forma concatenando las entradas de fila . La duodécima fila denota el producto: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 11_{1}^{n}=2^{n}}$ ${\displaystyle 11_{10}^{n}=11^{n}}$ ${\displaystyle a=n}$ ${\displaystyle \textstyle n^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=11_{n}^{n}}$ ${\displaystyle 11_{n}^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle 11_{12}^{12}=1:10:56:164:353:560:650:560:353:164:56:10:1_{12}=27433a9699701_{12}}$

con dígitos compuestos (delimitados por ":") en base doce. Los dígitos desde hasta son compuestos porque estas entradas de fila se calculan como valores mayores o iguales a doce. Para normalizar ^[36] el numeral, simplemente lleve el prefijo de la primera entrada compuesta, es decir, elimine el prefijo del coeficiente desde su dígito más a la izquierda hasta, pero excluyendo, su dígito más a la derecha, y use la aritmética de base doce para sumar el prefijo eliminado con la entrada en su izquierda inmediata, luego repita este proceso, avanzando hacia la izquierda, hasta que se alcance la entrada más a la izquierda. En este ejemplo particular, la cadena normalizada termina con for all . El dígito más a la izquierda es for , que se obtiene al llevar el of en la entrada . De ello se deduce que la longitud del valor normalizado de es igual a la longitud de la fila, . La parte integral de contiene exactamente un dígito porque (la cantidad de lugares a la izquierda que se ha movido el decimal) es uno menos que la longitud de la fila. A continuación se muestra el valor normalizado de . Los dígitos compuestos permanecen en el valor porque son residuos de base representados en base diez: ${\displaystyle k=n-1}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \textstyle {n \choose n-1}}$ ${\displaystyle 01}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 10_{n}}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle 11_{n}^{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle 1.1_{n}^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1.1_{1234}^{1234}}$ ${\displaystyle 1234}$

${\displaystyle 1.1_{1234}^{1234}=2.885:2:35:977:696:\overbrace {\ldots } ^{\text{1227 digits}}:0:1_{1234}=2.717181235\ldots _{10}}$

Véase también

• La máquina de frijoles , el "quincuncio" de Francis Galton
• Triángulo de campana
• Triángulo de Bernoulli
• Expansión binomial
• Autómatas celulares
• Triángulo de Euler
• Triángulo de Floyd
• Coeficiente binomial gaussiano
• Identidad de palo de hockey
• Triángulo armónico de Leibniz
• Multiplicidades de entradas en el triángulo de Pascal (conjetura de Singmaster)
• Matriz de Pascal
• La pirámide de Pascal
• El símplex de Pascal
• RMN de protones , una aplicación del triángulo de Pascal
• Teorema de la estrella de David
• Expansión trinomial
• Triángulo trinomio
• Polinomios que calculan sumas de potencias de progresiones aritméticas

Referencias

1. Coolidge, JL (1949), "La historia del teorema del binomio", The American Mathematical Monthly , 56 (3): 147–157, doi :10.2307/2305028, JSTOR  2305028, MR  0028222.
2. Maurice Winternitz, Historia de la literatura india , vol. III
3. Peter Fox (1998). Biblioteca de la Universidad de Cambridge: las grandes colecciones. Cambridge University Press. pág. 13. ISBN 978-0-521-62647-7.
4. El coeficiente binomial se establece convencionalmente en cero si k es menor que cero o mayor que n . ${\displaystyle \scriptstyle {n \choose k}}$
5. Selin, Helaine (12 de marzo de 2008). Enciclopedia de la historia de la ciencia, la tecnología y la medicina en culturas no occidentales. Springer Science & Business Media. pág. 132. Código bibliográfico : 2008ehst.book.....S. ISBN 9781402045592.
6. El desarrollo de las matemáticas árabes entre la aritmética y el álgebra - R. Rashed "Página 63"
7. Sidoli, Nathan; Brummelen, Glen Van (30 de octubre de 2013). Desde Alejandría a través de Bagdad: encuestas y estudios sobre las ciencias matemáticas de la Grecia antigua y la época medieval islámica en honor a JL Berggren. Springer Science & Business Media. pág. 54. ISBN 9783642367366.
8. Kennedy, E. (1966). Omar Khayyam. El profesor de matemáticas 1958. Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas. págs. 140–142. JSTOR  i27957284.
9. Weisstein, Eric W. (2003). Enciclopedia concisa de matemáticas del CRC , pág. 2169. ISBN 978-1-58488-347-0 . 
10. Hughes, Barnabas (1 de agosto de 1989). "El triángulo aritmético de Jordanus de Nemore". Historia Matemática . 16 (3): 213–223. doi : 10.1016/0315-0860(89)90018-9 .
11. Edwards, AWF (2013), "El triángulo aritmético", en Wilson, Robin; Watkins, John J. (eds.), Combinatoria: antigua y moderna , Oxford University Press, págs. 166-180.
12. Smith, Karl J. (2010), Naturaleza de las matemáticas, Cengage Learning, pág. 10, ISBN 9780538737586.
13. Traité du Triangle Arithmétique, avec quelques autres petitstreatmentez sur la mesme matière at gallica
14. Fowler, David (enero de 1996). "La función de coeficiente binomial". The American Mathematical Monthly . 103 (1): 1–17. doi :10.2307/2975209. JSTOR  2975209.Véase en particular la página 11.
15. "Triángulo de Pascal en probabilidad". 5010.mathed.usu.edu . Consultado el 1 de junio de 2023 .
16. Brothers, HJ (2012), "Encontrar e en el triángulo de Pascal", Mathematics Magazine , 85 : 51, doi :10.4169/math.mag.85.1.51, S2CID  218541210.
17. Brothers, HJ (2012), "El triángulo de Pascal: el almacén oculto " , The Mathematical Gazette , 96 : 145–148, doi :10.1017/S0025557200004204, S2CID  233356674.
18. Foster, T. (2014), "Las huellas de Nilakantha en el Triángulo de Pascal", Mathematics Teacher , 108 : 247, doi :10.5951/mathteacher.108.4.0246
19. Fine, NJ (1947), "Coeficientes binomiales módulo un primo", American Mathematical Monthly , 54 (10): 589–592, doi :10.2307/2304500, JSTOR  2304500, MR  0023257. Véase en particular el Teorema 2, que da una generalización de este hecho para todos los módulos primos.
20. Hinz, Andreas M. (1992), "El triángulo de Pascal y la Torre de Hanoi", The American Mathematical Monthly , 99 (6): 538–544, doi :10.2307/2324061, JSTOR  2324061, MR  1166003Hinz atribuye esta observación a un libro de Édouard Lucas de 1891 , Théorie des nombres (p. 420).
21. Ian Stewart, "Cómo cortar un pastel", Oxford University Press, página 180
22. Wilmot, GP (2023), El álgebra de la geometría
23. Para un ejemplo similar, véase, por ejemplo, Hore, PJ (1983), "Supresión de disolventes en la resonancia magnética nuclear por transformada de Fourier", Journal of Magnetic Resonance , 55 (2): 283–300, Bibcode :1983JMagR..55..283H, doi :10.1016/0022-2364(83)90240-8.
24. Karl, John H. (2012), Introducción al procesamiento de señales digitales, Elsevier, pág. 110, ISBN 9780323139595.
25. Hilton, P.; et al. (1989). "Extensión de los coeficientes binomiales para preservar la simetría y el patrón". Symmetry 2 . En International Series in Modern Applied Mathematics and Computer Science. Pergamon. págs. 89–102. doi :10.1016/B978-0-08-037237-2.50013-1. ISBN 9780080372372..
26. Hilton, P.; et al. (1989). "Extensión de los coeficientes binomiales para preservar la simetría y el patrón". Simetría 2. En la serie internacional de matemáticas aplicadas modernas y ciencias de la computación. Pergamon. págs. 100-102. doi :10.1016/B978-0-08-037237-2.50013-1. ISBN . 9780080372372..
27. Newton, Isaac (1736), "Un tratado del método de fluxiones y series infinitas", The Mathematical Works of Isaac Newton : 1:31–33, Pero observé que en las áreas alternas que se dan eran las mismas que las cifras de las que se componen las distintas potencias ascendentes del número 11, a saber , , , , , etc., es decir, el primero 1; el segundo 1, 1; el tercero 1, 2, 1; el cuarto 1, 3, 3, 1; el quinto 1, 4, 6, 4, 1, y así sucesivamente. ${\displaystyle 11^{0}}$ ${\displaystyle 11^{1}}$ ${\displaystyle 11^{2}}$ ${\displaystyle 11^{3}}$ ${\displaystyle 11^{4}}$.
28. Morton, Robert L. (1964), "El triángulo de Pascal y las potencias de 11", The Mathematics Teacher , 57 (6): 392–394, doi :10.5951/MT.57.6.0392, JSTOR  27957091.
29. Arnold, Robert; et al. (2004), "Los asuntos pendientes de Newton: descubriendo los poderes ocultos del once en el triángulo de Pascal", Actas del Día de las Matemáticas de Grado.
30. Islam, Robiul; et al. (2020), Encontrar cualquier fila del triángulo de Pascal extendiendo el concepto de potencia de 11.
31. Winteridge, David J. (1984), "El triángulo de Pascal y las potencias de 11", Matemáticas en la escuela , 13 (1): 12–13, JSTOR  30213884.
32. Kallós, Gábor (2006), "Una generalización del triángulo de Pascal usando potencias de números base" (PDF) , Annales Mathématiques , 13 (1): 1–15, doi :10.5802/ambp.211.
33. Hilton, P.; et al. (1989). "Extensión de los coeficientes binomiales para preservar la simetría y el patrón". Symmetry 2 . En International Series in Modern Applied Mathematics and Computer Science. Pergamon. págs. 89–91. doi :10.1016/B978-0-08-037237-2.50013-1. ISBN 9780080372372..
34. Mueller, Francis J. (1965), "Más sobre el triángulo de Pascal y las potencias de 11", The Mathematics Teacher , 58 (5): 425–428, doi :10.5951/MT.58.5.0425, JSTOR  27957164.
35. Low, Leone (1966), "Más información sobre el triángulo de Pascal y las potencias de 11", The Mathematics Teacher , 59 (5): 461–463, doi :10.5951/MT.59.5.0461, JSTOR  27957385.
36. Fjelstad, P. (1991), "Extensión del triángulo de Pascal", Computers & Mathematics with Applications , 21 (9): 3, doi : 10.1016/0898-1221(91)90119-O.

Enlaces externos

• "Triángulo de Pascal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "El triángulo de Pascal". MathWorld .
• El diagrama del método antiguo de los siete cuadrados multiplicadores (del Ssu Yuan Yü Chien de Chu Shi-Chieh, 1303, que representa las primeras nueve filas del triángulo de Pascal)
• Tratado de Pascal sobre el triángulo aritmético (imágenes de páginas del tratado de Pascal, 1654; resumen)