Expansión trinomial

Capas de la pirámide de Pascal derivadas de coeficientes en un gráfico ternario invertido de los términos en las expansiones de las potencias de un trinomio – el número de términos es claramente un número triangular

En matemáticas , una expansión de trinomio es la expansión de una potencia de una suma de tres términos en monomios . La expansión está dada por

${\displaystyle (a+b+c)^{n}=\sum _{{i,j,k} \atop {i+j+k=n}}{n \choose i,j,k}\,a^{i}\,b^{\;\!j}\;\!c^{k},}$

donde n es un entero no negativo y la suma se toma sobre todas las combinaciones de índices no negativos i , j y k tales que i + j + k = n . ^[1] Los coeficientes trinomiales se dan por

${\displaystyle {n \choose i,j,k}={\frac {n!}{i!\,j!\,k!}}\,.}$

Esta fórmula es un caso especial de la fórmula multinomial para m = 3. Los coeficientes se pueden definir con una generalización del triángulo de Pascal a tres dimensiones, llamada pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal. ^[2]

Derivación

La expansión trinomial se puede calcular aplicando la expansión binomial dos veces, estableciendo , lo que conduce a ${\displaystyle d=b+c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)^{n}&=(a+d)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{n-r}\,d^{r}\\&=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{n-r}\,(b+c)^{r}\\&=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{n-r}\,\sum _{s=0}^{r}{r \choose s}\,b^{r-s}\,c^{s}.\end{aligned}}}$

Arriba, el resultado de la segunda línea se evalúa mediante la segunda aplicación de la expansión binomial, introduciendo otra suma sobre el índice . ${\displaystyle (b+c)^{r}}$ ${\displaystyle s}$

El producto de los dos coeficientes binomiales se simplifica acortando , ${\displaystyle r!}$

${\displaystyle {n \choose r}\,{r \choose s}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}{\frac {r!}{s!(r-s)!}}={\frac {n!}{(n-r)!(r-s)!s!}},}$

y comparando las combinaciones de índices aquí con las de los exponentes, se pueden reetiquetar como , lo que proporciona la expresión dada en el primer párrafo. ${\displaystyle i=n-r,~j=r-s,~k=s}$

Propiedades

El número de términos de un trinomio desarrollado es el número triangular

${\displaystyle t_{n+1}={\frac {(n+2)(n+1)}{2}},}$

donde n es el exponente al que se eleva el trinomio. ^[3]

Ejemplo

Un ejemplo de una expansión trinomial con es: ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca}$

Véase también

• Expansión binomial
• La pirámide de Pascal
• Coeficiente multinomial
• Triángulo trinomio

Referencias

1. Koshy, Thomas (2004), Matemáticas discretas con aplicaciones, Academic Press, pág. 889, ISBN 9780080477343.
2. Harris, John; Hirst, Jeffry L.; Mossinghoff, Michael (2009), Combinatoria y teoría de grafos, Textos de pregrado en matemáticas (2.ª ed.), Springer, pág. 146, ISBN 9780387797113.
3. Rosenthal, ER (1961), "Una pirámide de Pascal para coeficientes trinomiales", The Mathematics Teacher , 54 (5): 336–338, doi :10.5951/MT.54.5.0336.