La pirámide de Pascal

Las primeras cinco capas de la pirámide de Pascal. Cada cara (cuadrícula naranja) es el triángulo de Pascal. Las flechas muestran la derivación de dos términos de ejemplo.

En matemáticas , la pirámide de Pascal es una disposición tridimensional de los números trinomiales, que son los coeficientes de la expansión trinomial y la distribución trinomial . ^{[1] La pirámide de Pascal es el análogo tridimensional del} triángulo de Pascal bidimensional , que contiene los números binomiales y se relaciona con la expansión binomial y la distribución binomial . Los números binomiales y trinomiales, los coeficientes, las expansiones y las distribuciones son subconjuntos de las construcciones multinomiales con los mismos nombres.

Estructura del tetraedro

Como el tetraedro es un objeto tridimensional, es difícil mostrarlo en una hoja de papel, en una pantalla de computadora o en otro medio bidimensional. Supongamos que el tetraedro está dividido en varios niveles, pisos, rebanadas o capas. La capa superior (el vértice) se denomina "Capa 0". Las demás capas se pueden considerar como vistas aéreas del tetraedro sin las capas anteriores. Las primeras seis capas son las siguientes:

Derivación de los primeros cinco niveles de la pirámide de Pascal: cuando varios valores apuntan a un número, los valores se suman

Las capas del tetraedro se han mostrado deliberadamente con la punta hacia abajo para que no se confundan individualmente con el triángulo de Pascal.

Descripción general del tetraedro

• Hay simetría triple de los números en cada capa.
• El número de términos en la n- ^ésima capa es el ( n +1) ^-ésimo número triangular : ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$ .
• La suma de los valores de los números en la ^capa n es 3 ⁿ .
• Cada número en cualquier capa es la suma de los tres números adyacentes en la capa superior.
• Cada número en cualquier capa es una simple relación de números enteros de los números adyacentes en la misma capa.
• Cada número de cualquier capa es un coeficiente de la distribución trinomial y de la expansión trinomial. Esta disposición no lineal facilita:
  • Mostrar el desarrollo del trinomio de forma coherente;
  • Calcular los coeficientes de la distribución trinominal;
  • Calcular el número de cualquier capa de tetraedro.
• Los números a lo largo de los tres bordes de la n- ^ésima capa son los números de la n ^-ésima línea del triángulo de Pascal. Y casi todas las propiedades enumeradas anteriormente tienen paralelismos con el triángulo de Pascal y los coeficientes multinomiales.

Conexión de expansión trinomial

Los números del tetraedro se derivan de la expansión del trinomio . La ^capa n es la matriz de coeficientes separada (sin variables ni exponentes) de una expresión trinomial (por ejemplo: A + B + C ) elevada a la n ^potencia . La n potencia del trinomio se expande multiplicando repetidamente el trinomio por sí mismo ^:

${\displaystyle (A+B+C)(A+B+C)^{n}=(A+B+C)^{n+1}}$

Capas de la pirámide de Pascal derivadas de los coeficientes de un gráfico ternario invertido de los términos en las expansiones de las potencias de un trinomio

Cada término de la primera expresión se multiplica por cada término de la segunda expresión y luego se suman los coeficientes de los términos iguales (mismas variables y exponentes). Aquí está el desarrollo de ( A + B + C ) ⁴ :

1 A ⁴ B ⁰ C ⁰ + 4 A ³ B ⁰ C ¹ + 6 A ² B ⁰ C ² + 4 A ¹ B ⁰ C ³ + 1 A ⁰ B ⁰ C ⁴ +

4 A ³ B ¹ C ⁰ + 12 A ² B ¹ C ¹ + 12 A ¹ B ¹ C ² + 4 A ⁰ B ¹ C ³ +
6 A ² B ² C ⁰ + 12 A ¹ B ² C ¹ + 6 A ⁰ B ² C ² +
4 A ¹ B ³ C ⁰ + 4 A ⁰ B ³ C ¹ +

1A0B4C0​^​​^​​^​    

Escribir la expansión de esta manera no lineal muestra la expansión de una manera más comprensible. También hace obvia la conexión con el tetraedro: los coeficientes aquí coinciden con los de la capa 4. Todos los coeficientes, variables y exponentes implícitos, que normalmente no se escriben, también se muestran para ilustrar otra relación con el tetraedro. (Por lo general, "1 A " es " A "; " B ¹ " es " B "; y " C ⁰ " es "1"; etc.) Los exponentes de cada término suman el número de capa ( n ), o 4, en este caso. Más significativamente, el valor de los coeficientes de cada término se puede calcular directamente a partir de los exponentes. La fórmula es ⁠( x + y + z )!/x ! y ! z !⁠ , donde x, y, z son los exponentes de A, B, C, respectivamente, y "!" es el factorial, es decir:. Las fórmulas de exponentes para la 4ª capa son: ${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n}$

Los exponentes de cada término de expansión se pueden ver claramente y estas fórmulas se simplifican a los coeficientes de expansión y los coeficientes del tetraedro de la capa 4.

Conexión de distribución trinomial

Los números del tetraedro también se pueden encontrar en la distribución trinomial . Esta es una distribución de probabilidad discreta que se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra una combinación de eventos dados tres resultados posibles: la cantidad de formas en que podrían ocurrir los eventos se multiplica por las probabilidades de que ocurran. La fórmula para la distribución trinomial es:

${\displaystyle {\frac {n!}{x!y!z!}}(P_{A})^{x}(P_{B})^{y}(P_{C})^{z}}$

donde x, y, z son el número de veces que ocurre cada uno de los tres resultados; n es el número de ensayos y es igual a la suma de x+y+z ; y P _A , P _B , P _C son las probabilidades de que cada uno de los tres eventos pueda ocurrir.

Por ejemplo, en una elección con tres candidatos, los votos fueron los siguientes: A, 16 %; B, 30 %; C, 54 %. ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de discusión de cuatro personas seleccionado al azar contenga los siguientes votantes: 1 para A, 1 para B, 2 para C? La respuesta es:

${\displaystyle {\frac {4!}{1!1!2!}}(16\,\%)^{1}(30\,\%)^{1}(54\,\%)^{2}=12\cdot 0.0140=17\,\%}$

El número 12 es el coeficiente de esta probabilidad y es el número de combinaciones que pueden completar este grupo de discusión "112". Hay 15 configuraciones diferentes de grupos de discusión de cuatro personas que se pueden seleccionar. Las expresiones para los 15 coeficientes son:

${\displaystyle \textstyle {4! \over 4!\cdot 0!\cdot 0!}\ {4! \over 3!\cdot 0!\cdot 1!}\ {4! \over 2!\cdot 0!\cdot 2!}\ {4! \over 1!\cdot 0!\cdot 3!}\ {4! \over 0!\cdot 0!\cdot 4!}}$

${\displaystyle \textstyle {4! \over 3!\cdot 1!\cdot 0!}\ {4! \over 2!\cdot 1!\cdot 1!}\ {4! \over 1!\cdot 1!\cdot 2!}\ {4! \over 0!\cdot 1!\cdot 3!}}$

${\displaystyle \textstyle {4! \over 2!\cdot 2!\cdot 0!}\ {4! \over 1!\cdot 2!\cdot 1!}\ {4! \over 0!\cdot 2!\cdot 2!}}$

${\displaystyle \textstyle {4! \over 1!\cdot 3!\cdot 0!}\ {4! \over 0!\cdot 3!\cdot 1!}}$

${\displaystyle \textstyle {4! \over 0!\cdot 4!\cdot 0!}}$

El numerador de estas fracciones (encima de la línea) es el mismo para todas las expresiones. Es el tamaño de la muestra (un grupo de cuatro personas) e indica que los coeficientes de estos arreglos se pueden encontrar en la capa 4 del tetraedro. Los tres números del denominador (debajo de la línea) son el número de miembros del grupo de discusión que votaron por A, B y C, respectivamente.

La abreviatura se utiliza normalmente para expresar funciones combinatorias en el siguiente formato "elegir" (que se lee como "4 elegir 4, 0, 0", etc.).

${\displaystyle \textstyle {4 \choose 4,0,0}\ {4 \choose 3,0,1}\ {4 \choose 2,0,2}\ {4 \choose 1,0,3}\ {4 \choose 0,0,4}}$

${\displaystyle \textstyle {4 \choose 3,1,0}\ {4 \choose 2,1,1}\ {4 \choose 1,1,2}\ {4 \choose 0,1,3}}$

${\displaystyle \textstyle {4 \choose 2,2,0}\ {4 \choose 1,2,1}\ {4 \choose 0,2,2}}$

${\displaystyle \textstyle {4 \choose 1,3,0}\ {4 \choose 0,3,1}}$

${\displaystyle \textstyle {4 \choose 0,4,0}}$

Pero el valor de estas expresiones sigue siendo igual a los coeficientes de la cuarta capa del tetraedro y pueden generalizarse a cualquier capa modificando el tamaño de la muestra ( n ).

Esta notación permite expresar fácilmente la suma de todos los coeficientes de la capa n :

${\displaystyle \textstyle \sum _{x,y,z}{n \choose x,y,z}=3^{n}}$.

Adición de coeficientes entre capas

Los números de cada capa ( n ) del tetraedro son la suma de los tres números adyacentes de la capa ( n −1) "por encima". Esta relación es bastante difícil de ver sin mezclar las capas. A continuación se muestran los números de la capa 3 en cursiva intercalados con los números de la capa 4 en negrita :

La relación se ilustra con el número 12, que se encuentra en el centro de la cuarta capa. Está "rodeado" por tres números de la tercera capa: 6 al "norte", 3 al "suroeste" y 3 al "sureste". (Los números que se encuentran a lo largo del borde tienen solo dos números adyacentes en la capa "superior" y los tres números de las esquinas tienen solo un número adyacente en la capa superior, por lo que siempre son "1". Los números que faltan se pueden asumir como "0", por lo que no hay pérdida de generalidad). Esta relación entre capas adyacentes se produce mediante el proceso de expansión del trinomio en dos pasos.

Continuando con este ejemplo, en el Paso 1, cada término de ( A + B + C ) ³ se multiplica por cada término de ( A + B + C ) ¹ . Solo tres de estas multiplicaciones son de interés en este ejemplo:

Luego, en el paso 2, la suma de términos iguales (mismas variables y exponentes) da como resultado: 12 A ¹ B ² C ¹ , que es el término de ( A + B + C ) ⁴ ; mientras que 12 es el coeficiente de la cuarta capa del tetraedro.

Simbólicamente, la relación aditiva se puede expresar como:

${\displaystyle C(x,y,z)=C(x-1,y,z)+C(x,y-1,z)+C(x,y,z-1)}$

donde C( x,y,z ) es el coeficiente del término con exponentes x, y, z y ⁠ ⁠ ${\displaystyle x+y+z=n}$ es la capa del tetraedro.

Esta relación sólo funcionará si la expansión trinomial se presenta de manera no lineal, tal como se muestra en la sección sobre la "conexión de expansión trinomial".

Relación entre coeficientes de la misma capa

En cada capa del tetraedro, los números son simples cocientes de números enteros de los números adyacentes. Esta relación se ilustra para pares adyacentes horizontalmente en la cuarta capa de la siguiente manera:

1   ⟨1:4⟩   4   ⟨2:3⟩   6   ⟨3:2⟩   4   ⟨4:1⟩   1
4   ⟨1 :3⟩   12   ⟨2:2⟩   12   ⟨3:1⟩   4
6   ⟨1:2⟩   12   ⟨2:1⟩   6
4   ⟨1:1⟩   4
1

Debido a que el tetraedro tiene simetría triple, la relación de proporción también se cumple para los pares diagonales en ambas direcciones, así como para los pares horizontales que se muestran.

Las razones están controladas por los exponentes de los términos adyacentes correspondientes de la expansión del trinomio. Por ejemplo, una razón en la ilustración anterior es:

4   ⟨1:3⟩   12

Los términos correspondientes del desarrollo del trinomio son:

${\displaystyle 4A^{3}B^{1}C^{0}}$y ${\displaystyle 12A^{2}B^{1}C^{1}}$

Las siguientes reglas se aplican a los coeficientes de todos los pares adyacentes de términos de la expansión del trinomio:

• El exponente de una de las variables permanece inalterado ( B en este caso) y puede ignorarse.
• Para las otras dos variables, un exponente aumenta en 1 y el otro disminuye en 1.
  • Los exponentes de A son 3 y 2 (el mayor está en el término izquierdo).
  • Los exponentes de C son 0 y 1 (el mayor está en el término correcto).
• Los coeficientes y exponentes mayores están relacionados:
  • 4 × 3 = 12 × 1
  • 4 / 12 = 1 / 3
• Estas ecuaciones dan como resultado la relación: "1:3".

Las reglas son las mismas para todos los pares horizontales y diagonales. Las variables A, B, C cambiarán.

Esta relación de proporción proporciona otra forma (algo engorrosa) de calcular los coeficientes del tetraedro:

El coeficiente del término adyacente es igual al coeficiente del término actual multiplicado por el exponente del término actual de la variable decreciente dividido por el exponente del término adyacente de la variable creciente.

La relación de los coeficientes adyacentes puede ser un poco más clara si se expresa simbólicamente. Cada término puede tener hasta seis términos adyacentes:

Para x = 0: ${\displaystyle C(x,y,z-1)=C(x,y-1,z)\cdot {\frac {z}{y}},\quad C(x,y-1,z)=C(x,y,z-1)\cdot {\frac {y}{z}}}$

Para y = 0: ${\displaystyle C(x-1,y,z)=C(x,y,z-1)\cdot {\frac {x}{z}},\quad C(x,y,z-1)=C(x-1,y,z)\cdot {\frac {z}{x}}}$

Para z = 0: ${\displaystyle C(x,y-1,z)=C(x-1,y,z)\cdot {\frac {y}{x}},\quad C(x-1,y,z)=C(x,y-1,z)\cdot {\frac {x}{y}}}$

donde C( x,y,z ) es el coeficiente y x, y, z son los exponentes. En la época anterior a las calculadoras de bolsillo y las computadoras personales, este enfoque se utilizaba como un atajo escolar para escribir expansiones binomiales sin las tediosas expansiones algebraicas o los torpes cálculos factoriales.

Esta relación sólo funcionará si la expansión trinomial se presenta de manera no lineal, tal como se muestra en la sección sobre la "conexión de expansión trinomial".

Relación con el triángulo de Pascal

Es bien sabido que los números a lo largo de los tres bordes exteriores de la n ^-ésima capa del tetraedro son los mismos números que los de la n ^-ésima línea del triángulo de Pascal. Sin embargo, la conexión es en realidad mucho más extensa que una sola fila de números. Esta relación se ilustra mejor comparando el triángulo de Pascal hasta la línea 4 con la capa 4 del tetraedro.

Triángulo de Pascal
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Capa del tetraedro 4
1 4 6 4 1
4 12 12 4
6 12 6
4 4
1

Al multiplicar los números de cada línea del triángulo de Pascal hasta la n- ^ésima línea por los números de la n- ^ésima línea se genera la n ^-ésima capa del tetraedro. En el siguiente ejemplo, las líneas del triángulo de Pascal están en cursiva y las filas del tetraedro en negrita . ^[2]

1

× 1 =
1

1 1
× 4 =                        
4 4

1 2 1
× 6 =                             
6 12 6

1 3 3 1
× 4 =                                         
4 12 12 4

1 4 6 4 1
× 1 =                                                

1 4 6 4 1

Los multiplicadores (1 4 6 4 1) componen la línea 4 del triángulo de Pascal.

Esta relación demuestra la forma más rápida y sencilla de calcular los números para cualquier capa del tetraedro sin calcular factoriales, que rápidamente se convierten en números enormes. (Las calculadoras de precisión extendida se vuelven muy lentas más allá de la capa 200 del tetraedro).

Si los coeficientes del triángulo de Pascal se etiquetan como C( i,j ) y los coeficientes del tetraedro se etiquetan como C( n,i,j ), donde n es la capa del tetraedro, i es la fila y j es la columna, entonces la relación se puede expresar simbólicamente como:

${\displaystyle C(i,j)\times C(n,i)=C(n,i,j),\quad 0\leq i\leq n,\ 0\leq j\leq i}$

[ i, j, n no son exponentes aquí, solo índices de etiquetado secuencial].

Paralelismos con el triángulo de Pascal y los coeficientes multinomiales

En esta tabla se resumen las propiedades de la expansión trinomial y de la distribución trinomial y se las compara con las expansiones y distribuciones binomiales y multinomiales:

• ^1 Un símplex es la forma geométrica lineal más simple que existe en cualquier dimensión. Los tetraedros y los triángulos son ejemplos en 3 y 2 dimensiones, respectivamente.
• ^2 La fórmula para el coeficiente binomial generalmente se expresa como¡no !/x !( n − x )!⁠ , donde n − x = y .

Otras propiedades

Construcción exponencial

La capa arbitraria n se puede obtener en un solo paso utilizando la siguiente fórmula:

${\displaystyle \left(b^{d\left(n+1\right)}+b^{d}+1\right)^{n},}$

donde b es el radio y d es el número de dígitos de cualquiera de los coeficientes multinomiales centrales , es decir

${\displaystyle \textstyle d=1+\left\lfloor \log _{b}{n \choose k_{1},k_{2},k_{3}}\right\rfloor ,\ \sum _{i=1}^{3}{k_{i}}=n,\ \left\lfloor {\frac {n}{3}}\right\rfloor \leq k_{i}\leq \left\lceil {\frac {n}{3}}\right\rceil ,}$

luego envolviendo los dígitos de su resultado por d ( n +1), espaciando por d y eliminando los ceros iniciales.

Este método generalizado a una dimensión arbitraria se puede utilizar para obtener porciones de cualquier símplex de Pascal .

Ejemplos

Para base b = 10, n = 5, d = 2:

${\displaystyle \textstyle \left(10^{12}+10^{2}+1\right)^{5}}$

= 1000000000101 5= 1000000000505000000102010000010303010000520302005010510100501 1 1 1 000000000505 00 00 00 00 05 05 .. .. .. .. .5 .5 000000102010 00 00 00 10 20 10 .. .. .. 10 20 10~ 000010303010 ~ 00 00 10 30 30 10 ~ .. .. 10 30 30 10 000520302005 00 05 20 30 20 05 .. .5 20 30 20 .5 010510100501 01 05 10 10 05 01 .1 .5 10 10 .5 .1 envuelto por d(n+1) espaciado por d ceros iniciales eliminados

Para base b = 10, n = 20, d = 9:

${\displaystyle \textstyle \left(10^{189}+10^{9}+1\right)^{20}}$

Capa #20 de la pirámide de Pascal.

Suma de coeficientes de una capa por filas

Sumando los números en cada fila de una capa n de la pirámide de Pascal se obtiene

${\displaystyle \left(b^{d}+2\right)^{n},}$

donde b es el radio y d es el número de dígitos de la suma de la fila 'central' (la que tiene la mayor suma).

Para base b = 10:

1 ~ 1 \ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1--- 1 \ 1 ~ 02 \ 2 \ 2 ~ 04 \ 3 \ 3 ~ 06 \ 4 \ 4 ~ 08 1 ----- 1 \ 2 \ 1 ~ 04 \ 3 \ 6 \ 3 ~ 12 \ 6 \ 12 \ 6 ~ 24 1 02 --------- 1 \ 3 \ 3 \ 1 ~ 08 \ 4 \12 \12 \ 4 ~ 32 1 04 04 ------------- 1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1 ~ 16 1 06 12 08 ------------------ 1 08 24 32 16102 0 102 1 102 2 102 3 102 4

Suma de coeficientes de una capa por columnas

Sumando los números en cada columna de una capa n de la pirámide de Pascal se obtiene

${\displaystyle \left(b^{2d}+b^{d}+1\right)^{n},}$

donde b es el radio y d es el número de dígitos de la suma de la columna 'central' (la que tiene la mayor suma).

Para base b = 10:

1 |1| |1| |1| | 1| | 1|--- 1| |1 |2| |2| |3| |3| | 4| | 4| | 5| | 5| 1 ----- 1| |2| |1 |3| |6| |3| | 6| |12| | 6| |10| |20| |10| 1 1 1 --------- 1| |3| |3| |1 | 4| |12| |12| | 4| |10| |30| |30| |10| 1 2 3 2 1 ------------- 1| | 4| | 6| | 4| | 1 | 5| |20| |30| |20| | 5| 1 3 6 7 6 3 1 -------------------------- 1| | 5| |10| |10| | 5| | 1 1 04 10 16 19 16 10 04 01 -------------------------------- 1 05 15 30 45 51 45 30 15 05 01111 0 111 1 111 2 111 3 10101 4 10101 5

Uso

En genética, es habitual utilizar la pirámide de Pascal para averiguar la proporción entre diferentes genotipos en un mismo cruce. Esto se hace marcando la línea que equivale al número de fenotipos (genotipos + 1). Esa línea será la proporción. ^{[ necesita más explicación ]}

Véase también

• Teorema multinomial
• Expansión trinomial
• Triángulo de Pascal
• El símplex de Pascal

Referencias

1. Staib, J.; Staib, L. (1978). "La pirámide de Pascal". El profesor de matemáticas . 71 (6): 505–510. doi :10.5951/MT.71.6.0505. JSTOR  27961325.
2. Pedersen, Jean ; Hilton, Peter ; Holton, Derek (2002). Vistas matemáticas: desde una habitación con muchas ventanas . Nueva York, NY [ua]: Springer. ISBN 978-0387950648.

Enlaces externos

• Más allá de Flatland: geometría para el siglo XXI. PARTE I: El tetraedro de Pascal
• ¿La pirámide de Pascal o el tetraedro de Pascal?
• Los simplices de Pascal