En geometría , un trapezoedro n -gonal , n -trapezoedro , n -antidipirámide , n -antibipirámide o n -deltoedro es el poliedro dual de un antiprisma n -gonal . Las 2 n caras de un n -trapezoedro son congruentes y están escalonadas simétricamente; se les llama cometas retorcidas. De mayor simetría, sus 2n caras son cometas ( también llamadas deltoides ). [3]
La parte " n -gonal " del nombre no se refiere aquí a caras, sino a dos disposiciones de cada n vértices alrededor de un eje de n simetría . El antiprisma dual n -gonal tiene dos caras n -gonales reales .
Un trapezoedro n -gonal se puede diseccionar en dos pirámides n -gonales iguales y un antiprisma n -gonal .
Estas figuras, a veces llamadas delt o hedra, no deben confundirse con delt a hedra , cuyas caras son triángulos equiláteros.
Los trapezoedros trigonales , tetragonales y hexagonales retorcidos (con seis, ocho y doce caras de cometa congruentes retorcidas ) existen como cristales; en cristalografía (que describe los hábitos cristalinos de los minerales ), se les llama simplemente trapezoedros trigonales , tetragonales y hexagonales . No tienen plano de simetría ni centro de simetría de inversión; [4] , [5] pero tienen un centro de simetría : el punto de intersección de sus ejes de simetría. El trapezoedro trigonal tiene un eje de simetría triple, perpendicular a tres ejes de simetría doble. [4] El trapezoedro tetragonal tiene un eje de simetría cuádruple, perpendicular a cuatro ejes de simetría doble de dos tipos. El trapezoedro hexagonal tiene un eje de simetría de 6 veces, perpendicular a seis ejes de simetría de 2 veces de dos tipos. [6]
Las disposiciones cristalinas de los átomos pueden repetirse en el espacio con células de trapezoedro trigonales y hexagonales. [7]
También en cristalografía, la palabra trapezoedro se usa a menudo para el poliedro con 24 caras de cometa no retorcidas congruentes conocido propiamente como icositetraedro deltoidal , [8] que tiene dieciocho vértices de orden 4 y ocho vértices de orden 3. Esto no debe confundirse con el trapezoedro dodecagonal , que también tiene 24 caras de cometa congruentes, pero dos ápices de orden 12 (es decir, polos) y dos anillos de doce vértices de orden 3 cada uno.
Todavía en cristalografía, el dodecaedro deltoideo [9] tiene 12 caras de cometa no torcidas congruentes, seis vértices de orden 4 y ocho vértices de orden 3 (el dodecaedro rómbico es un caso especial). Esto no debe confundirse con el trapezoedro hexagonal , que también tiene 12 caras de cometa congruentes, [6] pero dos ápices de orden 6 (es decir, polos) y dos anillos de seis vértices de orden 3 cada uno.
Un n -trapezoedro se define por una base regular en zig-zag sesgada de 2 n -gon, dos ápices simétricos sin grado de libertad justo encima y justo debajo de la base, y caras cuadriláteras que conectan cada par de bordes basales adyacentes a un vértice.
Un n -trapezoedro tiene dos vértices apicales en su eje polar y 2 n vértices basales en dos anillos n -gonales regulares. Tiene 2 n caras de cometa congruentes y es isoédrica .
Casos especiales:
El grupo de simetría de un trapezoedro n -gonal es D n d = D n v , de orden 4 n , excepto en el caso de n = 3 : un cubo tiene el grupo de simetría mayor O d de orden 48 = 4×(4× 3) , que tiene cuatro versiones de D 3d como subgrupos.
El grupo de rotación de un n -trapezoedro es D n , de orden 2 n , excepto en el caso de n = 3 : un cubo tiene el grupo de rotación mayor O de orden 24 = 4×(2×3) , que tiene cuatro versiones. de D 3 como subgrupos.
Nota: Cada n -trapezoedro con una inclinación regular en zig-zag de 2 n -base de góndola y 2 n caras de cometa no retorcidas congruentes tiene el mismo grupo de simetría (diédrico) que el n -trapezoedro uniforme dual , para n ≥ 4 .
Un grado de libertad dentro de la simetría de D n d (orden 4 n ) a D n (orden 2 n ) cambia las cometas congruentes en cuadriláteros congruentes con tres longitudes de aristas, llamados cometas retorcidas , y el n -trapezoedro se llama trapezoedro retorcido . (En el límite, un borde de cada cuadrilátero tiene una longitud cero y el n -trapezoedro se convierte en una n -bipirámide ) .
Si las cometas que rodean los dos picos no están torcidas sino que tienen dos formas diferentes, el n -trapezoedro sólo puede tener simetría C n v (cíclica con espejos verticales), de orden 2 n , y se llama trapezoedro desigual o asimétrico . Su dual es un n- antiprisma desigual , con los n -gonos superior e inferior de diferentes radios.
Si las cometas están torcidas y tienen dos formas diferentes, el n -trapezoedro sólo puede tener simetría C n (cíclica), de orden n , y se llama trapezoedro torcido desigual .
Una estrella p / q -trapezoedro (donde 2 ≤ q < 1 p ) se define por una estrella sesgada en zig-zag regular con una base de 2 p / q -gon , dos ápices simétricos sin grado de libertad justo encima y justo debajo de la base, y caras cuadriláteras que conectan cada par de bordes basales adyacentes a un vértice.
Una estrella p / q -trapezoedro tiene dos vértices apicales en su eje polar y 2 p vértices basales en dos anillos p -gonales regulares. Tiene 2 p caras de cometa congruentes y es isoédrica .
Tal estrella p / q -trapezoedro es una forma autointersectante , cruzada o no convexa . Existe para cualquier estrella sesgada en zig-zag regular con base 2 p / q -gon (donde 2 ≤ q < 1 p ).
Pero sipag/q<3/2, entonces ( p − q )360°/pag<q/2360°/pag, por lo que el antiprisma de estrella dual (del trapezoedro de estrella) no puede ser uniforme (es decir, no puede tener longitudes de borde iguales); y sipag/q=3/2, entonces ( p − q )360°/pag=q/2360°/pag, por lo que el antiprisma de estrella dual debe ser plano, por lo tanto degenerado, para ser uniforme.
Una estrella de doble uniforme p / q -trapezoedro tiene un diagrama de Coxeter-Dynkin 
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