Los paralelepípedos son una subclase de los prismatoides .
Propiedades
Cualquiera de los tres pares de caras paralelas puede considerarse como el plano base del prisma. Un paralelepípedo tiene tres conjuntos de cuatro aristas paralelas; los bordes dentro de cada conjunto son de igual longitud.
Los paralelepípedos resultan de transformaciones lineales de un cubo (para los casos no degenerados: las transformaciones lineales biyectivas).
Dado que cada cara tiene simetría puntual , un paralelepípedo es un zonoedro . Además, todo el paralelepípedo tiene simetría puntual C i (ver también triclínico ). Cada cara es, vista desde fuera, la imagen especular de la cara opuesta. Las caras son en general quirales , pero el paralelepípedo no.
Un paralelepípedo es un prisma que tiene como base un paralelogramo . Por tanto, el volumen de un paralelepípedo es el producto del área de la base por la altura (ver diagrama). Con
(donde está el ángulo entre los vectores y ), y
(donde es el ángulo entre el vector y la normal a la base), se obtiene:
El producto mixto de tres vectores se llama producto triple . Puede describirse mediante un determinante . Por lo tanto para el volumen es:
Otra forma de probar ( V1 ) es usar el componente escalar en la dirección del vector :
el resultado es el siguiente.
Una representación alternativa del volumen utiliza únicamente propiedades geométricas (ángulos y longitudes de los bordes):
Sea la matriz 3 × 3, cuyas columnas son los vectores (ver arriba). Entonces lo siguiente es cierto:
(Los últimos pasos utilizan , ..., , , , ...)
Tetraedro correspondiente
El volumen de cualquier tetraedro que comparte tres aristas convergentes de un paralelepípedo es igual a una sexta parte del volumen de ese paralelepípedo (ver prueba ).
Área de superficie
El área de superficie de un paralelepípedo es la suma de las áreas de los paralelogramos delimitadores:
(Para el etiquetado: consulte la sección anterior).
Casos especiales por simetría.
Se conoce como cubo al paralelepípedo con simetría Oh , que tiene seis caras cuadradas congruentes.
Se conoce como cuboide cuadrado al paralelepípedo con simetría D 4h , que tiene dos caras cuadradas y cuatro caras rectangulares congruentes.
Al paralelepípedo con simetría D 3d se le conoce como trapezoedro trigonal , que tiene seis caras rómbicas congruentes (también llamado romboedro isoédrico ).
Para paralelepípedos con simetría D 2h , existen dos casos:
Cuboide rectangular : tiene seis caras rectangulares (también llamado paralelepípedo rectangular , o en ocasiones simplemente cuboide ).
Prisma rómbico recto : tiene dos caras rómbicas y cuatro caras rectangulares congruentes.
Nota: el caso especial completamente rómbico, con dos caras rómbicas y cuatro caras cuadradas congruentes , tiene el mismo nombre y el mismo grupo de simetría (D 2h , orden 8).
Para paralelepípedos con simetría C 2h , existen dos casos:
Prisma paralelogramo recto : tiene cuatro caras rectangulares y dos caras paralelogramos.
Prisma rómbico oblicuo : tiene dos caras rómbicas, mientras que de las otras caras, dos adyacentes son iguales y las otras dos también (los dos pares son imagen especular de cada uno).
Paralelepípedo perfecto
Un paralelepípedo perfecto es un paralelepípedo con aristas de longitud entera, diagonales de caras y diagonales espaciales . En 2009, se demostró la existencia de decenas de paralelepípedos perfectos, [3] respondiendo a una pregunta abierta de Richard Guy . Un ejemplo tiene aristas 271, 106 y 103, diagonales de caras menores 101, 266 y 255, diagonales de caras mayores 183, 312 y 323 y diagonales espaciales 374, 300, 278 y 272.
Se conocen algunos paralelepípedos perfectos que tienen dos caras rectangulares. Pero no se sabe si existen alguno con todas las caras rectangulares; tal caso se llamaría cuboide perfecto .
Paralelotopo
Coxeter llamó paralelotopo a la generalización de un paralelepípedo en dimensiones superiores . En la literatura moderna, el término paralelepípedo también se utiliza a menudo en dimensiones superiores (o finitas arbitrarias). [4]
Específicamente en n -espacio dimensional se llama n -paralelotopo dimensional, o simplemente n -paralelotopo (o n -paralelepípedo). Por tanto, un paralelogramo es un paralelotopo de 2 y un paralelepípedo es un paralelotopo de 3.
Los bordes que irradian desde un vértice de un k -paralelotopo forman un k -marco del espacio vectorial, y el paralelotopo se puede recuperar a partir de estos vectores, tomando combinaciones lineales de los vectores, con pesos entre 0 y 1.
El n -volumen de un n -paralelotopo incrustado en donde se puede calcular mediante el determinante de Gram . Alternativamente, el volumen es la norma del producto exterior de los vectores:
Si m = n , esto equivale al valor absoluto del determinante de la matriz formada por los componentes de los n vectores.
Una fórmula para calcular el volumen de un n -paralelotopo P en , cuyos n + 1 vértices son , es
donde está el vector fila formado por la concatenación de los componentes de y 1.
De manera similar, el volumen de cualquier n - simplex que comparte n aristas convergentes de un paralelotopo tiene un volumen igual a uno 1/ n ! del volumen de ese paralelotopo.
Etimología
El término paralelepípedo proviene del griego antiguo παραλληλεπίπεδον ( parallēlepípedon , "cuerpo con superficies planas paralelas"), de parallēl ("paralelo") + epípedon ("superficie plana"), de epí- ("sobre") + pedon ("suelo" ). Así, las caras de un paralelepípedo son planas y las caras opuestas son paralelas. [5] [6]
En inglés, el término paralelipipedón está atestiguado en una traducción de 1570 de los Elementos de Euclides realizada por Henry Billingsley . La ortografía paralelepipedum se utiliza en la edición de 1644 del Cursus mathematicus de Pierre Hérigone . En 1663, el paralelepípedo actual está atestiguado en Chorea gigantum de Walter Charleton . [5]
El Diccionario de Charles Hutton (1795) muestra paralelepípedo y paralelopedón , mostrando la influencia de la forma combinada paralelo- , como si el segundo elemento fuera pipedón en lugar de epipedón . Noah Webster (1806) incluye la grafía paralelepípedo . La edición de 1989 del Diccionario de ingles Oxford describe el paralelopípedo (y paralelipípedo ) explícitamente como formas incorrectas, pero estas se enumeran sin comentarios en la edición de 2004, y sólo se dan pronunciaciones con énfasis en la quinta sílaba pi ( /paɪ/ ).
^ En geometría euclidiana , los cuatro conceptos ( paralelepípedo y cubo en tres dimensiones, paralelogramo y cuadrado en dos dimensiones) están definidos, pero en el contexto de una geometría afín más general , en la que los ángulos no se diferencian, sólo existen paralelogramos y paralelepípedos .
Coxeter, Politopos regulares HSM , 3ª ed. Nueva York: Dover, pág. 122, 1973. (Define el paralelotopo como una generalización de un paralelogramo y un paralelepípedo en n dimensiones).
enlaces externos
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