Cubo

Objeto sólido con seis caras cuadradas iguales.

En geometría , un cubo es un objeto sólido tridimensional delimitado por seis caras cuadradas . Tiene doce aristas y ocho vértices. Se puede representar como un cuboide rectangular con seis caras cuadradas o como un paralelepípedo con aristas iguales. Es un ejemplo de muchos tipos de sólidos: sólido platónico , poliedro regular , paraleloedro , zonoedro y plesioedro . El poliedro dual de un cubo es el octaedro regular .

El cubo se puede representar de muchas formas, una de las cuales es la gráfica conocida como gráfica cúbica . Puede construirse utilizando el producto cartesiano de gráficas . El cubo fue descubierto en la antigüedad. Platón , el fundador del sólido platónico, lo asoció con la naturaleza de la tierra . Fue utilizado como parte del Sistema Solar , propuesto por Johannes Kepler . Se puede derivar de manera diferente para crear más poliedros y tiene aplicaciones para construir un nuevo poliedro uniendo otros. Se puede generalizar como tesseract en un espacio de cuatro dimensiones.

Propiedades

Un cubo es un caso especial de paralelepípedo rectangular en el que las aristas tienen la misma longitud. ^[1] Al igual que otros cuboides, cada cara de un cubo tiene cuatro vértices, cada uno de los cuales se conecta con tres líneas congruentes. Estas aristas forman caras cuadradas, formando el ángulo diédrico de un cubo entre cada dos cuadrados adyacentes siendo el ángulo interior de un cuadrado, 90°. Por tanto, el cubo tiene seis caras, doce aristas y ocho vértices. ^[2] Debido a tales propiedades, se categoriza como uno de los cinco sólidos platónicos , un poliedro en el que todos los polígonos regulares son congruentes y el mismo número de caras se encuentran en cada vértice. ^[3]

Medición y otras propiedades métricas.

Dado que un cubo con longitud de arista . La diagonal de la cara de un cubo es la diagonal de un cuadrado , y la diagonal espacial de un cubo es una línea que conecta dos vértices que no están en la misma cara, formulada como . Ambas fórmulas se pueden determinar utilizando el teorema de Pitágoras . El área de superficie de un cubo es seis veces el área de un cuadrado: ^[4] El volumen de un cuboide es el producto de largo, ancho y alto. Como las aristas de un cubo tienen todas la misma longitud, es: ^[4] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle a{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=6a^{2}.}$$ $${\displaystyle V=a^{3}.}$$

Un cubo unitario es un caso especial en el que la arista de cada cubo tiene 1 unidad de longitud. El área de superficie y el volumen de un cubo unitario es 1. ^{[5] [6]} Tiene la propiedad de Rupert , lo que significa que un poliedro del mismo tamaño o mayor puede pasar por el agujero del cubo unitario. El cubo del Príncipe Ruperto , llamado así en honor al Príncipe Ruperto del Rin , es el cubo más grande que cabe en su interior, siendo su tamaño un 6% mayor. ^[7]

Un cubo unitario y un cubo con el doble de volumen.

Un problema geométrico de duplicar el cubo , también conocido como problema de Delian , requiere la construcción de un cubo con un volumen dos veces mayor que el original utilizando únicamente un compás y una regla . Los antiguos matemáticos no pudieron resolver este viejo problema hasta que el matemático francés Pierre Wantzel demostró en 1837 que era imposible. ^[8]

Relación con las esferas

Con longitud de arista , la esfera inscrita de un cubo es la esfera tangente a las caras de un cubo en sus centroides, con radio . La media esfera de un cubo es la esfera tangente a las aristas de un cubo, con radio . La esfera circunscrita de un cubo es la esfera tangente a los vértices de un cubo, de radio . ^[9] ${\displaystyle a}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}a}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}a}$ ${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$

Para un cubo cuya esfera circunscrita tiene radio , y para un punto dado en su espacio tridimensional con distancias de los ocho vértices del cubo, es: ^[10] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle d_{i}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{8}}\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{4}+{\frac {16R^{4}}{9}}=\left({\frac {1}{8}}\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{2}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2}.}$$

Simetría

El cubo tiene simetría octaédrica . Se compone de simetría de reflexión , una simetría al cortar en dos mitades mediante un plano. Hay nueve simetrías de reflexión: las cinco se cortan en el cubo desde los puntos medios de sus aristas y las cuatro se cortan en diagonal. También se compone de simetría rotacional , una simetría al girarlo alrededor del eje, a partir del cual la apariencia es intercambiable. Tiene simetría de rotación octaédrica : tres ejes pasan por el centroide de las caras opuestas del cubo, seis por los puntos medios de los bordes opuestos del cubo y cuatro por los vértices opuestos del cubo; cada uno de estos ejes tiene, respectivamente, simetría rotacional cuádruple (0°, 90°, 180° y 270°), simetría rotacional doble (0° y 180°) y simetría rotacional triple (0°, 120°). ° y 240°). ^{[11] [12] [13]} ${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle \mathrm {O} }$

El poliedro dual de un cubo es el octaedro regular.

El poliedro dual se puede obtener a partir de cada uno de los vértices del poliedro tangente a un plano mediante el proceso conocido como reciprocidad polar . ^[14] Una propiedad de los poliedros duales en general es que el poliedro y su dual comparten su grupo de puntos de simetría tridimensional . En este caso, el poliedro dual de un cubo es el octaedro regular , y ambos poliedros tienen la misma simetría, la simetría octaédrica. ^[15]

El cubo es transitivo de caras , lo que significa que sus dos cuadrados son iguales y pueden representarse mediante rotación y reflexión. ^[16] Es transitivo de vértices , lo que significa que todos sus vértices son equivalentes y pueden mapearse isométricamente bajo su simetría. ^[17] También es transitivo de aristas , lo que significa que el mismo tipo de caras rodean cada uno de sus vértices en el mismo orden o en orden inverso, las dos caras adyacentes tienen el mismo ángulo diédrico . Por tanto, el cubo es un poliedro regular porque requiere esas propiedades. ^[18]

Clasificaciones

modelo 3D de un cubo

El cubo es un caso especial entre todos los cuboides . Como se mencionó anteriormente, el cubo se puede representar como un cuboide rectangular con aristas de igual longitud y todas sus caras son cuadradas. ^[1] El cubo puede considerarse como un paralelepípedo en el que todas sus aristas son iguales. ^[19]

El cubo es un plesioedro , un tipo especial de poliedro que llena el espacio y que puede definirse como la celda de Voronoi de un conjunto simétrico de Delone . ^[20] Los plesioedros incluyen los paraleloedros , que se pueden trasladar sin rotar para llenar un espacio, llamado panal , en el que cada cara de cualquiera de sus copias está unida a una cara similar de otra copia. Hay cinco tipos de paraleloedros, uno de los cuales es el cuboide. ^[21] Todo paraleloedro tridimensional es zonoedro , un poliedro con simetría central cuyas caras son polígonos con simetría central , ^[22]

Construcción

Redes de un cubo

Una forma elemental de construir un cubo es utilizando la red . Una red es una disposición de polígonos que unen sus bordes y construyen un poliedro conectándolos a lo largo de los bordes de esos polígonos. Aquí hay once redes de cubos diferentes. ^[23]

En geometría analítica , se puede construir un cubo utilizando los sistemas de coordenadas cartesianas . Para un cubo centrado en el origen, con aristas paralelas a los ejes y con una longitud de arista de 2, las coordenadas cartesianas de los vértices son . ^[24] Su interior consta de todos los puntos con para todos . La superficie de un cubo con centro y arista de longitud es el lugar geométrico de todos los puntos tales que ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$ ${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle -1<x_{i}<1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ $${\displaystyle \max\{|x-x_{0}|,|y-y_{0}|,|z-z_{0}|\}=a.}$$

El cubo es politopo de Hanner porque se puede construir utilizando el producto cartesiano de tres segmentos de línea. Su poliedro dual, el octaedro regular, se construye mediante suma directa de tres segmentos de recta. ^[25]

Representación

como un grafico

La gráfica de un cubo y su construcción.

Según el teorema de Steinitz , el grafo se puede representar como el esqueleto de un poliedro; en términos generales, la estructura de un poliedro. Un gráfico así tiene dos propiedades. Es plano , lo que significa que las aristas de un gráfico están conectadas a cada vértice sin cruzar otras aristas. También es un gráfico de 3 conexiones , lo que significa que, siempre que un gráfico con más de tres vértices y dos de los vértices se eliminan, los bordes permanecen conectados. ^{[26] [27]} El esqueleto de un cubo se puede representar como el gráfico, y se llama gráfico cúbico , un gráfico platónico . Tiene el mismo número de vértices y aristas que el cubo, doce vértices y ocho aristas. ^[28]

La gráfica cúbica es un caso especial de gráfica de hipercubo o - cubo, denotada como , porque se puede construir utilizando la operación conocida como producto cartesiano de gráficas . Para decirlo en términos sencillos, su construcción implica dos gráficos que conectan el par de vértices con un borde para formar un nuevo gráfico. ^[29] En el caso de la gráfica cúbica, es el producto de dos ; En términos generales, es un gráfico que se asemeja a un cuadrado. En otras palabras, el gráfico cúbico se construye conectando cada vértice de dos cuadrados con una arista. Notacionalmente, la gráfica cúbica se puede denotar como . ^[30] Es un gráfico de distancia unitaria . ^[31] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Q_{n}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle Q_{3}}$

Al igual que otras gráficas de cuboides, la gráfica cúbica también se clasifica como gráfica prismática . ^[32]

En proyección ortogonal

Un objeto iluminado por rayos de luz paralelos proyecta una sombra en un plano perpendicular a esos rayos, llamada proyección ortogonal . Un poliedro se considera equiproyectivo si, para alguna posición de la luz, su proyección ortogonal es un polígono regular. El cubo es equipoyectivo porque, si la luz es paralela a una de las cuatro rectas que unen un vértice con el vértice opuesto, su proyección es un hexágono regular . Convencionalmente, el cubo tiene 6 equiproyectivos. ^[33]

Como matriz de configuración

El cubo se puede representar como una matriz de configuración . Una matriz de configuración es una matriz en la que las filas y columnas corresponden a los elementos de un poliedro como en los vértices, aristas y caras. La diagonal de una matriz denota el número de cada elemento que aparece en un poliedro, mientras que la no diagonal de una matriz denota el número de elementos de la columna que ocurren en o en el elemento de la fila. Como se mencionó anteriormente, el cubo tiene ocho vértices, doce aristas y seis caras; cada elemento en la diagonal de una matriz se denota como 8, 12 y 6. La primera columna de la fila del medio indica que hay dos vértices en (es decir, en los extremos de) cada borde, denotados como 2; la columna del medio de la primera fila indica que tres aristas se encuentran en cada vértice, denotado como 3. La siguiente matriz es: ^[34] $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&3&3\\2&12&2\\4&4&6\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$$

Apariciones

En la antigüedad

El sólido platónico es un conjunto de poliedros conocidos desde la antigüedad. Debe su nombre a Platón en su diálogo Timeo , quien atribuyó la naturaleza a estos sólidos. Uno de ellos, el cubo, representaba el elemento clásico de la tierra por su estabilidad. ^[35] Los Elementos de Euclides definieron los sólidos platónicos, incluido el cubo, y utilizaron estos sólidos con el problema de encontrar la relación entre el diámetro de la esfera circunscrita y la longitud del borde. ^[36]

Siguiendo su atribución con la naturaleza por parte de Platón, Johannes Kepler en sus Harmonices Mundi esbozó cada uno de los sólidos platónicos, uno de ellos es un cubo en el que Kepler decoró un árbol. ^[35] En su Mysterium Cosmographicum , Kepler también propuso el Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos colocados en otro y separándolos con seis esferas que se asemejan a los seis planetas. Los sólidos ordenados comenzaban desde el más interno hacia el más externo: octaedro regular , icosaedro regular , dodecaedro regular , tetraedro regular y cubo. ^[37]

Poliedro, panales y politopos.

Algunos de los derivados del cubo, el octaedro estrellado y el tetrakis hexaedro .

El cubo puede aparecer en la construcción de un poliedro, y algunos de sus tipos se pueden derivar de manera diferente a los siguientes:

• Al facetar un cubo, es decir, eliminar parte de las caras poligonales sin crear nuevos vértices de un cubo, el poliedro resultante es el octaedro estrellado . ^[38]
• Al unir una pirámide cuadrada a cada cara cuadrada de un cubo se produce su Kleetope , un poliedro conocido como tetrakis hexaedro . ^[39] Supongamos que una y dos pirámides cuadradas equiláteras están unidas a sus caras cuadradas. En ese caso, son la construcción de una pirámide cuadrada alargada y una bipirámide cuadrada alargada respectivamente, los ejemplos del sólido de Johnson . ^[40]
• Cada uno de los vértices del cubo se puede truncar , y el poliedro resultante es el sólido de Arquímedes , el cubo truncado . ^[41] Cuando sus aristas están truncadas, se trata de un rombicuboctaedro . ^[42] De manera relacionada, el rombicuboctaedro también se puede construir separando las caras del cubo y luego extendiéndolo, luego agregando otras caras triangulares y cuadradas entre ellas; esto se conoce como el "cubo expandido". También puede construirse de manera similar mediante el dual del cubo, el octaedro regular. ^[43]
• El cubo chato es un sólido de Arquímedes que se puede construir separando la cara del cuadrado del cubo y llenando sus espacios con triángulos equiláteros de ángulos retorcidos; un proceso conocido como chato . ^[44]

El panal es el relleno o mosaico del espacio tridimensional, es decir, es un objeto en el que la construcción comienza uniendo poliedros en sus caras sin dejar huecos. El cubo se puede representar como la celda , y ejemplos de panal son panal cúbico , panal cúbico de orden 5 , panal cúbico de orden 6 y panal cúbico de orden 7 . ^[45] El cubo se puede construir con seis pirámides cuadradas , embaldosando el espacio uniendo sus ápices. ^[46]

Polycube es un poliedro en el que se unen las caras de muchos cubos. De manera análoga, se puede interpretar como los poliominós en el espacio tridimensional. ^[47] Cuando se apilan cuatro cubos verticalmente y los otros cuatro se unen al segundo cubo desde arriba de la pila, el policubo resultante es la cruz de Dalí , en honor a Salvador Dalí . La cruz de Dalí es un poliedro espacial de mosaicos, ^{[48] [49]} que puede representarse como la red de un teseracto . Un teseracto es un espacio de cuatro dimensiones análogo a un cubo delimitado por veinticuatro cuadrados, y está delimitado por ocho cubos conocidos como sus celdas . ^[50]

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enlaces externos

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