romboedro

Poliedro con seis rombos como caras.

En geometría , un romboedro (también llamado hexaedro rómbico ^{[1] [2]} o, incorrectamente, romboide ^[a] ) es un caso especial de paralelepípedo en el que las seis caras son rombos congruentes . ^[3] Puede usarse para definir el sistema reticular romboédrico , un panal con células romboédricas. Un romboedro tiene dos ápices opuestos en los que todos los ángulos de las caras son iguales; un romboedro alargado tiene este ángulo común agudo, y un romboedro achatado tiene un ángulo obtuso en estos vértices. Un cubo es un caso especial de romboedro con todos sus lados cuadrados .

Casos especiales

El ángulo común en los dos ápices se expresa aquí como . Hay dos formas generales de romboedro, achatado (aplanado) y alargado (estirado). ${\displaystyle \theta }$

En el caso de los oblatos y en el caso de los prolados . Porque la figura es un cubo. ${\displaystyle \theta >90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta <90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$

Ciertas proporciones de los rombos dan lugar a algunos casos especiales bien conocidos. Por lo general, ocurren tanto en forma alargada como achatada.

Geometria solida

Para un romboedro unitario (es decir, con longitud de lado 1), ^[4] con ángulo agudo rómbico , con un vértice en el origen (0, 0, 0) y con una arista a lo largo del eje x, los tres vectores generadores son ${\displaystyle \theta ~}$

mi ₁  : ${\displaystyle {\biggl (}1,0,0{\biggr )},}$

mi ₂  : ${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,\sin \theta ,0{\biggr )},}$

mi ₃  : ${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,{\cos \theta -\cos ^{2}\theta \over \sin \theta },{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }{\biggr )}.}$

Las otras coordenadas se pueden obtener de la suma de vectores ^[5] de los 3 vectores de dirección: e ₁ + e ₂ , e ₁ + e ₃ , e ₂ + e ₃ y e ₁ + e ₂ + e ₃ .

El volumen de un romboedro, en términos de la longitud de su lado y su ángulo agudo rómbico , es una simplificación del volumen de un paralelepípedo , y viene dado por ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta ~}$

${\displaystyle V=a^{3}(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }}=a^{3}{\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}(1+2\cos \theta )}}=a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }}~.}$

Podemos expresar el volumen de otra manera: ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=2{\sqrt {3}}~a^{3}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {1-{\frac {4}{3}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}}~.}$

Como el área de la base (rómbica) está dada por , y como la altura de un romboedro está dada por su volumen dividido por el área de su base, la altura de un romboedro en términos de la longitud de su lado y su ángulo agudo rómbico es dada por ${\displaystyle a^{2}\sin \theta ~}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle h=a~{(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }} \over \sin \theta }=a~{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }~.}$

Nota:

${\displaystyle h=a~z}$₃ , donde ₃ es la tercera coordenada de e ₃ . ${\displaystyle z}$

La diagonal del cuerpo entre los vértices de ángulos agudos es la más larga. Por simetría rotacional alrededor de esa diagonal, las otras tres diagonales del cuerpo, entre los tres pares de vértices opuestos de ángulos obtusos, tienen todas la misma longitud.

Relación con los tetraedros ortocéntricos

Cuatro puntos que forman vértices no adyacentes de un romboedro forman necesariamente los cuatro vértices de un tetraedro ortocéntrico , y todos los tetraedros ortocéntricos pueden formarse de esta manera. ^[6]

Red romboédrica

El sistema de red romboédrica tiene células romboédricas, con 6 caras rómbicas congruentes que forman un trapezoedro trigonal ^{[ cita necesaria ]} :

Ver también

• Listas de formas

Notas

1. Más exactamente, el romboide es una figura bidimensional.

Referencias

1. Miller, William A. (enero de 1989). "Recurso matemático: rompecabezas de dodecaedros rómbicos". Matemáticas en la escuela . 18 (1): 18–24. JSTOR  30214564.
2. Inchbald, Guy (julio de 1997). "Los duales del panal de Arquímedes". La Gaceta Matemática . 81 (491): 213–219. doi :10.2307/3619198. JSTOR  3619198.
3. Coxeter, HSM. Politopos regulares. Tercera edicion. Dover. pág.26.
4. Líneas, L (1965). Geometría sólida: con capítulos sobre redes espaciales, paquetes de esferas y cristales . Publicaciones de Dover.
5. "Suma de vectores". Wolframio. 17 de mayo de 2016 . Consultado el 17 de mayo de 2016 .
6. Court, NA (octubre de 1934), "Notas sobre el tetraedro ortocéntrico", American Mathematical Monthly , 41 (8): 499–502, doi :10.2307/2300415, JSTOR  2300415.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Romboedro". MundoMatemático .
• Calculadora de volumen https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php