Zonoedro

Poliedro convexo proyectado desde un hipercubo

En geometría , un zonoedro es un poliedro convexo que es centralmente simétrico , cada cara del cual es un polígono que es centralmente simétrico (un zonogon ). Cualquier zonoedro puede describirse de manera equivalente como la suma de Minkowski de un conjunto de segmentos de línea en un espacio tridimensional, o como una proyección tridimensional de un hipercubo . Los zonoedros fueron definidos y estudiados originalmente por ES Fedorov , un cristalógrafo ruso . De manera más general, en cualquier dimensión, la suma de Minkowski de segmentos de recta forma un politopo conocido como zonotopo .

Zonoedros ese espacio en mosaico

La motivación original para estudiar los zonoedros es que el diagrama de Voronoi de cualquier red forma un panal uniforme convexo en el que las células son zonoedros. Cualquier zonoedro formado de esta manera puede teselar el espacio tridimensional y se llama paraleloedro primario . Cada paraleloedro primario es combinatoriamente equivalente a uno de cinco tipos: el romboedro (incluido el cubo ), el prisma hexagonal , el octaedro truncado , el dodecaedro rómbico y el dodecaedro rombo-hexagonal .

Zonoedros de las sumas de Minkowski

Un zonotopo es la suma de Minkowski de segmentos de recta. Los dieciséis puntos de color rojo oscuro (a la derecha) forman la suma de Minkowski de los cuatro conjuntos no convexos (a la izquierda), cada uno de los cuales consta de un par de puntos rojos. Sus cascos convexos (sombreados en rosa) contienen signos más (+): el signo más derecho es la suma de los signos más izquierdos.

Sea una colección de vectores tridimensionales . A cada vector podemos asociar un segmento de recta . La suma de Minkowski forma un zonoedro, y todos los zonoedros que contienen el origen tienen esta forma. Los vectores a partir de los cuales se forma el zonoedro se denominan generadores . Esta caracterización permite generalizar la definición de zonoedros a dimensiones superiores, dando zonotopos. ${\displaystyle \{v_{0},v_{1},\dots \}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\textstyle \{x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$

Cada arista de un zonoedro es paralela a al menos uno de los generadores y tiene una longitud igual a la suma de las longitudes de los generadores a los que es paralelo. Por lo tanto, al elegir un conjunto de generadores sin pares de vectores paralelos y al igualar todas las longitudes de los vectores, podemos formar una versión equilátera de cualquier tipo combinatorio de zonoedro.

Al elegir conjuntos de vectores con altos grados de simetría, podemos formar de esta manera zonoedros con al menos tanta simetría. Por ejemplo, generadores equiespaciados alrededor del ecuador de una esfera, junto con otro par de generadores a través de los polos de la esfera, forman zonoedros en forma de prisma sobre gónos regulares : el cubo , el prisma hexagonal , el prisma octogonal , el prisma decagonal , prisma dodecagonal , etc. Los generadores paralelos a las aristas de un octaedro forman un octaedro truncado , y los generadores paralelos a las diagonales largas de un cubo forman un dodecaedro rómbico . ^[1] ${\displaystyle 2k}$

La suma de Minkowski de dos zonoedros cualesquiera es otro zonoedro, generado por la unión de los generadores de los dos zonoedros dados. Así, la suma de Minkowski de un cubo y un octaedro truncado forma el cuboctaedro truncado , mientras que la suma de Minkowski del cubo y el dodecaedro rómbico forma el dodecaedro rómbico truncado . Ambos zonoedros son simples (tres caras se encuentran en cada vértice), al igual que el pequeño rombicuboctaedro truncado formado a partir de la suma de Minkowski del cubo, el octaedro truncado y el dodecaedro rómbico. ^[1]

Zonoedros de arreglos

El mapa de Gauss de cualquier poliedro convexo asigna cada cara del polígono a un punto de la esfera unitaria y asigna cada borde del polígono que separa un par de caras a un arco de círculo máximo que conecta los dos puntos correspondientes. En el caso de un zonoedro, las aristas que rodean cada cara se pueden agrupar en pares de aristas paralelas y, cuando se traducen mediante el mapa de Gauss, cualquier par de esos pares se convierte en un par de segmentos contiguos en el mismo círculo máximo. Por lo tanto, los bordes del zonoedro se pueden agrupar en zonas de bordes paralelos, que corresponden a los segmentos de un gran círculo común en el mapa de Gauss, y el esqueleto 1 del zonoedro se puede ver como el gráfico dual plano de una disposición. de grandes círculos en la esfera. Por el contrario, cualquier disposición de círculos máximos puede formarse a partir del mapa de Gauss de un zonoedro generado por vectores perpendiculares a los planos que pasan por los círculos.

Cualquier zonoedro simple corresponde de esta manera a una disposición simple , aquella en la que cada cara es un triángulo. Las disposiciones simples de círculos máximos corresponden mediante proyección central a disposiciones simples de líneas en el plano proyectivo . Hay tres familias infinitas conocidas de arreglos simpliciales, una de las cuales conduce a los prismas cuando se convierte en zonoedros, y las otras dos corresponden a familias infinitas adicionales de zonoedros simples. También hay muchos ejemplos esporádicos que no encajan en estas tres familias. ^[2]

De la correspondencia entre zonoedros y arreglos, y del teorema de Sylvester-Gallai que (en su forma dual proyectiva ) demuestra la existencia de cruces de sólo dos líneas en cualquier arreglo, se deduce que cada zonoedro tiene al menos un par de caras de paralelogramo opuestas. . (Los cuadrados, rectángulos y rombos cuentan para este propósito como casos especiales de paralelogramos). Más claramente, cada zonoedro tiene al menos seis caras de paralelogramo, y cada zonoedro tiene un número de caras de paralelogramo que es lineal en su número de generadores. ^[3]

Tipos de zonoedros

Cualquier prisma situado sobre un polígono regular de número par de lados forma un zonoedro. Estos prismas se pueden formar de manera que todas las caras sean regulares: dos caras opuestas son iguales al polígono regular a partir del cual se formó el prisma y están conectadas por una secuencia de caras cuadradas. Los zonoedros de este tipo son el cubo , el prisma hexagonal , el prisma octogonal , el prisma decagonal , el prisma dodecagonal , etc.

Además de esta familia infinita de zonoedros de caras regulares, existen tres sólidos de Arquímedes , todos omnitruncamientos de las formas regulares:

• El octaedro truncado , con 6 caras cuadradas y 8 hexagonales. (Tetraedro omnitruncado)
• El cuboctaedro truncado , con 12 cuadrados, 8 hexágonos y 6 octágonos. (Cubo omnitruncado)
• El icosidodecaedro truncado , con 30 cuadrados, 20 hexágonos y 12 decágonos. (Dodecaedro omnitruncado)

Además, ciertos sólidos catalanes (duales de sólidos de Arquímedes) vuelven a ser zonoedros:

• El dodecaedro rómbico de Kepler es el dual del cuboctaedro .
• El triacontaedro rómbico es el dual del icosidodecaedro .

Otros con caras rómbicas congruentes:

• Dodecaedro rómbico de Bilinski .
• Icosaedro rómbico
• romboedro

Hay infinitos zonoedros con caras rómbicas que no son todos congruentes entre sí. Incluyen:

• Eneacontaedro rómbico

Disección de zonoedros

Todo zonoedro con zonas se puede dividir en paralelepípedos , teniendo cada uno de ellos tres zonas iguales, y con un paralelepípedo por cada triple de zonas. ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{3}}}$

El invariante de Dehn de cualquier zonoedro es cero. Esto implica que dos zonoedros cualesquiera con el mismo volumen pueden diseccionarse entre sí. Esto significa que es posible cortar uno de los dos zonoedros en piezas poliédricas que se pueden volver a ensamblar en el otro. ^[5]

Zonoedrificación

La zonohedrificación es un proceso definido por George W. Hart para crear un zonohedro a partir de otro poliedro. ^{[6] [7]}

Primero, los vértices de cualquier poliedro semilla se consideran vectores del centro del poliedro. Estos vectores crean el zonoedro que llamamos zonoedrificación del poliedro original. Si el poliedro semilla tiene simetría central , los puntos opuestos definen la misma dirección, por lo que el número de zonas en el zonoedro es la mitad del número de vértices de la semilla. Para dos vértices cualesquiera del poliedro original, hay dos planos opuestos de la zonoedrificación, cada uno de los cuales tiene dos aristas paralelas a los vectores de los vértices.

Zonotopos

La suma de Minkowski de segmentos de recta en cualquier dimensión forma un tipo de politopo llamado zonotopo . De manera equivalente, un zonotopo generado por vectores viene dado por . Tenga en cuenta que en el caso especial en el que , el zonótopo es un paralelotopo (posiblemente degenerado) . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle v_{1},...,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Z=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}|\;\forall (j)a_{j}\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle Z}$

Las facetas de cualquier zonotopo son en sí mismas zonotopos de una dimensión inferior; por ejemplo, las caras de los zonoedros son zonogonos . Ejemplos de zonotopos de cuatro dimensiones incluyen el tesseract (sumas de Minkowski de d segmentos de línea de igual longitud mutuamente perpendiculares), el omnitruncado de 5 celdas y el truncado de 24 celdas . Todo permutoedro es un zonótopo.

Zonotopos y matroides

Fije un zonotopo definido a partir del conjunto de vectores y sea la matriz cuyas columnas sean . Entonces, el vector matroide en las columnas de codifica una gran cantidad de información sobre , es decir, muchas propiedades de son de naturaleza puramente combinatoria. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle V=\{v_{1},\dots ,v_{n}\}\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d\times n}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle {\underline {\mathcal {M}}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

Por ejemplo, los pares de facetas opuestas de están indexados naturalmente por los cocircuitos de y si consideramos la matroide orientada representada por , entonces obtenemos una biyección entre las facetas de y los cocircuitos con signo de que se extiende a un antiisomorfismo poset entre la red de caras de y los covectores de ordenados por extensión de componentes de . En particular, si y son dos matrices que difieren por una transformación proyectiva, entonces sus respectivos zonotopos son combinatoriamente equivalentes. Lo contrario de la afirmación anterior no se cumple: el segmento es un zonotopo y es generado por ambos y por cuyas matrices correspondientes, y , no difieren por una transformación proyectiva. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {M}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle 0\prec +,-}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [0,2]\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{2\mathbf {e} _{1}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{1}\}}$ ${\displaystyle [2]}$ ${\displaystyle [1~1]}$

Azulejos

Las propiedades de mosaico del zonotopo también están estrechamente relacionadas con la matroide orientada asociada a él. Primero consideramos la propiedad del mosaico espacial. Se dice que el zonotopo se mosaico si hay un conjunto de vectores tales que la unión de todas las traslaciones ( ) es y dos traslaciones cualesquiera se cruzan en una cara (posiblemente vacía) de cada una. Un zonotopo de este tipo se denomina zonotopo de mosaico espacial. La siguiente clasificación de zonotopos de mosaico espacial se debe a McMullen: ^[8] El zonotopo generado por el espacio de mosaicos de vectores si y sólo si la matroide orientada correspondiente es regular . Por lo tanto, la condición aparentemente geométrica de ser un zonotopo espacial en realidad depende sólo de la estructura combinatoria de los vectores generadores. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle Z+\lambda }$ ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle V}$

Otra familia de teselados asociados al zonotopo son los teselados de zonotopo . Una colección de zonotopos es un mosaico zonotopal si es un complejo poliédrico con soporte , es decir, si la unión de todos los zonotopos de la colección es y dos cualesquiera se cruzan en una cara común (posiblemente vacía) de cada uno. Muchas de las imágenes de zonoedros en esta página pueden verse como mosaicos zonotopales de un zonotopo bidimensional simplemente considerándolos como objetos planos (a diferencia de representaciones planas de objetos tridimensionales). El teorema de Bohne-Dress establece que existe una biyección entre los mosaicos zonotópicos del zonótopo y los levantamientos de un solo elemento de la matroide orientada asociada a . ^{[9] [10]} ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle Z}$

Volumen

Los zonoedros y los zonotopos n -dimensionales en general son dignos de mención por admitir una fórmula analítica simple para su volumen. ^[11]

Sea el zonotopo generado por un conjunto de vectores . Entonces el volumen n-dimensional de está dado por ${\displaystyle Z(S)}$ ${\displaystyle Z=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}|\;\forall (j)a_{j}\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle S=\{v_{1},\dots ,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}\}}$ ${\displaystyle Z(S)}$

${\displaystyle \sum _{T\subset S\;:\;|T|=n}|\det(Z(T))|}$

El determinante en esta fórmula tiene sentido porque (como se señaló anteriormente) cuando el conjunto tiene una cardinalidad igual a la dimensión del espacio ambiental, el zonotopo es un paralelotopo. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$

Tenga en cuenta que cuando , esta fórmula simplemente establece que el zonotopo tiene n-volumen cero. ${\displaystyle k<n}$

Referencias

1. Eppstein, David (1996). "Zonoedros y zonotopos". Matemática en Educación e Investigación . 5 (4): 15-21.
2. Grünbaum, Branko (2009). "Un catálogo de arreglos simpliciales en el plano proyectivo real". Ars Mathematica Contemporanea . 2 (1): 1–25. doi : 10.26493/1855-3974.88.e12 . hdl : 1773/2269 . SEÑOR  2485643.
3. Shephard, GC (1968). "Veinte problemas sobre poliedros convexos, parte I". La Gaceta Matemática . 52 (380): 136-156. doi :10.2307/3612678. JSTOR  3612678. SEÑOR  0231278. S2CID  250442107.
4. Coxeter, HSM (1948). Politopos regulares (3ª ed.). Methuen. pag. 258.
5. Akiyama, Jin ; Matsunaga, Kiyoko (2015), "15.3 El tercer problema de Hilbert y el teorema de Dehn", Treks Into Intuitive Geometry , Springer, Tokio, págs. 382–388, doi : 10.1007/978-4-431-55843-9 , ISBN 978-4-431-55841-5, señor  3380801.
6. "Zonohedrificación".
7. Zonoedrificación , George W. Hart, The Mathematica Journal , 1999, volumen: 7, número: 3, págs. 374-389 [1] [2]
8. McMullen, Peter (1975). "Zonotopos de mosaico espacial". Matemática . 22 (2): 202–211. doi :10.1112/S0025579300006082.
9. J. Bohne, Eine kombinatorische Analyse zonotopaler Raumaufteilungen, Disertación, Bielefeld 1992; Preimpresión 92-041, SFB 343, Universität Bielefeld 1992, 100 páginas.
10. Richter-Gebert, J. y Ziegler, GM (1994). Los mosaicos zonotópicos y el teorema de Bohne-Dress. Matemáticas Contemporáneas, 178, 211-211.
11. McMullen, Peter (1 de mayo de 1984). "Volúmenes de Proyecciones de Cubos unitarios". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 16 (3): 278–280. doi :10.1112/blms/16.3.278. ISSN  0024-6093.

• Coxeter, HS M (1962). "La clasificación de zonoedros mediante diagramas proyectivos". J. Matemáticas. Pures Appl . 41 : 137-156. Reimpreso en Coxeter, HS M (1999). La belleza de la geometría . Mineola, Nueva York: Dover. págs. 54–74. ISBN 0-486-40919-8.
• Fedorov, ES (1893). "Elementos de la Gestaltenlehre". Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie . 21 : 671–694.
• Rolf Schneider, Capítulo 3.5 "Zonoides y otras clases de cuerpos convexos" en Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
• Shephard, GC (1974). "Zonotopos que llenan el espacio". Matemática . 21 (2): 261–269. doi :10.1112/S0025579300008652.
• Taylor, Jean E. (1992). "Zonoedros y zonoedros generalizados". Mensual Matemático Estadounidense . 99 (2): 108-111. doi :10.2307/2324178. JSTOR  2324178.
• Beck, M.; Robins, S. (2007). Calcular la continua discretamente . Springer Science+ Business Media, LLC.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Zonoedro". MundoMatemático .
• Eppstein, David . "El depósito de chatarra de geometría: zonoedros y zonotopos".
• Hart, George W. "Poliedros virtuales: Zonoedros".
• Weisstein, Eric W. "Paraleloedro primario". MundoMatemático .
• Bulatov, Vladímir. "Finalización de poliedros zonoédricos".
• Centore, Pablo. «Cap. 2 de La geometría del color» (PDF) .