En geometría , un subconjunto de un espacio euclidiano , o más generalmente un espacio afín sobre los reales , es convexo si, dados dos puntos cualesquiera del subconjunto, el subconjunto contiene todo el segmento de recta que los une. De manera equivalente, un conjunto convexo o una región convexa es un subconjunto que intersecta cada línea en un solo segmento de línea (posiblemente vacío). [1] [2] Por ejemplo, un cubo sólido es un conjunto convexo, pero cualquier cosa que sea hueca o tenga una sangría, por ejemplo, una forma de media luna , no es convexa.
El límite de un conjunto convexo en el plano es siempre una curva convexa . La intersección de todos los conjuntos convexos que contienen un subconjunto dado A del espacio euclidiano se llama casco convexo de A. Es el conjunto convexo más pequeño que contiene A.
Una función convexa es una función de valor real definida en un intervalo con la propiedad de que su epígrafe (el conjunto de puntos sobre o encima de la gráfica de la función) es un conjunto convexo. La minimización convexa es un subcampo de optimización que estudia el problema de minimizar funciones convexas sobre conjuntos convexos. La rama de las matemáticas dedicada al estudio de las propiedades de conjuntos convexos y funciones convexas se denomina análisis convexo .
La noción de conjunto convexo se puede generalizar como se describe a continuación.
Sea S un espacio vectorial o un espacio afín sobre los números reales o, más generalmente, sobre algún campo ordenado (esto incluye los espacios euclidianos, que son espacios afines). Un subconjunto C de S es convexo si, para todo x e y en C , el segmento de línea que conecta x e y está incluido en C.
Esto significa que la combinación afín (1 − t ) x + ty pertenece a C para todo x,y en C y t en el intervalo [0, 1] . Esto implica que la convexidad es invariante bajo transformaciones afines . Además, implica que un conjunto convexo en un espacio vectorial topológico real o complejo está conexo por caminos (y por lo tanto también conexo ).
Un conjunto C esestrictamente convexo si cada punto en el segmento de línea que conectaxeydistintosdelospuntos finales está dentro delinterior topológicodeC.Un subconjunto convexo cerrado es estrictamente convexo si y sólo si cada uno de suspuntos límitees unpunto extremo.[3]
Un conjunto C es absolutamente convexo si es convexo y equilibrado .
Los subconjuntos convexos de R (el conjunto de los números reales) son los intervalos y los puntos de R. Algunos ejemplos de subconjuntos convexos del plano euclidiano son los polígonos regulares sólidos , los triángulos sólidos y las intersecciones de triángulos sólidos. Algunos ejemplos de subconjuntos convexos de un espacio tridimensional euclidiano son los sólidos de Arquímedes y los sólidos platónicos . Los poliedros de Kepler-Poinsot son ejemplos de conjuntos no convexos.
Un conjunto que no es convexo se llama conjunto no convexo . Un polígono que no es un polígono convexo a veces se llama polígono cóncavo , [4] y algunas fuentes usan de manera más general el término conjunto cóncavo para referirse a un conjunto no convexo, [5] pero la mayoría de las autoridades prohíben este uso. [6] [7]
El complemento de un conjunto convexo, como el epígrafe de una función cóncava , a veces se denomina conjunto convexo inverso , especialmente en el contexto de la optimización matemática . [8]
Dados r puntos u 1 , ..., u r en un conjunto convexo S , y r números no negativos λ 1 , ..., λ r tales que λ 1 + ... + λ r = 1 , la combinación afín pertenece a S . Como la definición de conjunto convexo es el caso r = 2 , esta propiedad caracteriza a los conjuntos convexos.
Tal combinación afín se llama combinación convexa de u 1 , ..., u r .
La colección de subconjuntos convexos de un espacio vectorial, un espacio afín o un espacio euclidiano tiene las siguientes propiedades: [9] [10]
Los conjuntos convexos cerrados son conjuntos convexos que contienen todos sus puntos límite . Se pueden caracterizar como intersecciones de semiespacios cerrados (conjuntos de puntos en el espacio que se encuentran sobre y a un lado de un hiperplano ).
De lo que se acaba de decir, queda claro que tales intersecciones son convexas y también serán conjuntos cerrados. Para demostrar lo contrario, es decir, todo conjunto convexo cerrado puede representarse como tal intersección, se necesita el teorema del hiperplano de soporte en la forma de que para un conjunto convexo cerrado C dado y un punto P fuera de él, hay un semiespacio cerrado H que contiene C y no P . El teorema del hiperplano de apoyo es un caso especial del teorema de análisis funcional de Hahn-Banach .
Sea C un cuerpo convexo en el plano (un conjunto convexo cuyo interior no está vacío). Podemos inscribir un rectángulo r en C tal que una copia homotética R de r esté circunscrita alrededor de C. La relación de homotecia positiva es como máximo 2 y: [11]
El conjunto de todos los cuerpos convexos planos se puede parametrizar en términos del diámetro del cuerpo convexo D , su radio interior r (el círculo más grande contenido en el cuerpo convexo) y su circunradio R (el círculo más pequeño que contiene el cuerpo convexo). De hecho, este conjunto puede describirse mediante el conjunto de desigualdades dado por [12] [13] y puede visualizarse como la imagen de la función g que asigna un cuerpo convexo al punto R 2 dado por ( r / R , D /2R ) . La imagen de esta función se conoce como ( r , D , R ) diagrama de Blachke-Santaló. [13]
Alternativamente, el conjunto también se puede parametrizar por su ancho (la distancia más pequeña entre dos hiperplanos de soporte paralelos diferentes), perímetro y área. [12] [13]
Sea X un espacio vectorial topológico y convexo.
Cada subconjunto A del espacio vectorial está contenido dentro de un conjunto convexo más pequeño (llamado casco convexo de A ), es decir , la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen A. El operador de casco convexo Conv() tiene las propiedades características de un operador de casco :
La operación de casco convexo es necesaria para que el conjunto de conjuntos convexos forme una red , en la que la operación " unir " es el casco convexo de la unión de dos conjuntos convexos. La intersección de cualquier colección de conjuntos convexos es en sí misma convexa, por lo que el Los subconjuntos convexos de un espacio vectorial (real o complejo) forman una red completa .
En un espacio vectorial real, la suma de Minkowski de dos conjuntos (no vacíos), S 1 y S 2 , se define como el conjunto S 1 + S 2 formado por la suma de vectores por elementos de los conjuntos de sumandos. De manera más general, la suma de Minkowski de una familia finita de conjuntos (no vacíos) S n es el conjunto formado por la suma de vectores por elementos
Para la suma de Minkowski, el conjunto cero {0} que contiene sólo el vector cero 0 tiene especial importancia : para cada subconjunto S no vacío de un espacio vectorial en terminología algebraica, {0} es el elemento identidad de la suma de Minkowski (en la colección de conjuntos no vacíos). [14]
La suma de Minkowski se comporta bien con respecto a la operación de tomar cascos convexos, como lo muestra la siguiente proposición:
Sean S 1 , S 2 subconjuntos de un espacio vectorial real, la cáscara convexa de su suma de Minkowski es la suma de Minkowski de sus cáscaras convexas
Este resultado es válido de manera más general para cada colección finita de conjuntos no vacíos:
En terminología matemática, las operaciones de suma de Minkowski y de formación de cascos convexos son operaciones de conmutación . [15] [16]
La suma de Minkowski de dos conjuntos convexos compactos es compacta. La suma de un conjunto convexo compacto y un conjunto convexo cerrado es cerrada. [17]
El siguiente famoso teorema, demostrado por Dieudonné en 1966, da una condición suficiente para que la diferencia de dos subconjuntos convexos cerrados sea cerrada. [18] Utiliza el concepto de cono de recesión de un subconjunto convexo no vacío S , definido como: donde este conjunto es un cono convexo que contiene y satisface . Tenga en cuenta que si S es cerrado y convexo, entonces es cerrado y para todos ,
Teorema (Dieudonné). Sean A y B subconjuntos no vacíos, cerrados y convexos de un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que sea un subespacio lineal. Si A o B son localmente compactos , entonces A − B es cerrado.
La noción de convexidad en el espacio euclidiano puede generalizarse modificando la definición en unos u otros aspectos. Se utiliza el nombre común de "convexidad generalizada" porque los objetos resultantes conservan ciertas propiedades de los conjuntos convexos.
Sea C un conjunto en un espacio vectorial real o complejo. C es estrella convexa (en forma de estrella) si existe un x 0 en C tal que el segmento de línea desde x 0 hasta cualquier punto y en C esté contenido en C. Por lo tanto, un conjunto convexo no vacío siempre es convexo en estrella, pero un conjunto convexo en estrella no siempre es convexo.
Un ejemplo de convexidad generalizada es la convexidad ortogonal . [19]
Un conjunto S en el espacio euclidiano se llama ortogonalmente convexo u ortoconvexo , si cualquier segmento paralelo a cualquiera de los ejes de coordenadas que conectan dos puntos de S se encuentra totalmente dentro de S. Es fácil demostrar que una intersección de cualquier colección de conjuntos ortoconvexos es ortoconvexa. Algunas otras propiedades de los conjuntos convexos también son válidas.
La definición de conjunto convexo y casco convexo se extiende naturalmente a geometrías que no son euclidianas al definir un conjunto geodésicamente convexo como aquel que contiene las geodésicas que unen dos puntos cualesquiera del conjunto.
La convexidad se puede extender para un conjunto X totalmente ordenado dotado de la topología de orden . [20]
Sea Y ⊆ X . El subespacio Y es un conjunto convexo si para cada par de puntos a , b en Y tal que a ≤ b , el intervalo [ a , b ] = { x ∈ X | a ≤ x ≤ b } está contenido en Y . Es decir, Y es convexo si y sólo si para todo a , b en Y , a ≤ b implica [ a , b ] ⊆ Y.
Un conjunto convexo no es conexo en general: un contraejemplo lo da el subespacio {1,2,3} en Z , que es a la vez convexo y no conexo.
La noción de convexidad puede generalizarse a otros objetos, si ciertas propiedades de la convexidad se seleccionan como axiomas .
Dado un conjunto X , una convexidad sobre X es una colección 𝒞 de subconjuntos de X que satisfacen los siguientes axiomas: [9] [10] [21]
Los elementos de 𝒞 se llaman conjuntos convexos y el par ( X , 𝒞 ) se llama espacio de convexidad . Para la convexidad ordinaria, los dos primeros axiomas se cumplen y el tercero es trivial.
Para obtener una definición alternativa de convexidad abstracta, más adecuada para la geometría discreta , consulte las geometrías convexas asociadas con los antimatroides .
La convexidad se puede generalizar como una estructura algebraica abstracta: un espacio es convexo si es posible tomar combinaciones convexas de puntos.
Una confusión que se ve a menudo es la de un "conjunto cóncavo". Las funciones cóncavas y convexas designan ciertas clases de funciones, no de conjuntos, mientras que un conjunto convexo designa una cierta clase de conjuntos, y no una clase de funciones. Un "conjunto cóncavo" confunde conjuntos con funciones.
No existe un conjunto cóncavo.