Los poliedros transitivos de caras comprenden un conjunto de 9 poliedros regulares, dos conjuntos finitos que comprenden 66 poliedros no regulares y dos conjuntos infinitos:
La serie infinita de bipirámides , que son duales a los prismas uniformes , tanto convexos como estrellados.
La serie infinita de trapezoedros , que son duales a los antiprismas uniformes , tanto convexos como estrellados.
Wenninger describe el conjunto completo, junto con las instrucciones para construir modelos, en su libro Dual Models .
Construcción Dorman Luke
La ilustración aquí muestra la figura del vértice (rojo) del cuboctaedro que se utiliza para derivar la cara correspondiente (azul) del dodecaedro rómbico .
Para un poliedro uniforme , cada cara del poliedro dual puede derivarse de la figura de vértice correspondiente del poliedro original utilizando la construcción de Dorman Luke . [2] La construcción de Dorman Luke procede de la siguiente manera:
Marque los puntos A , B , C , D de cada arista conectada al vértice V (en este caso, los puntos medios) de manera que VA = VB = VC = VD .
Dibuja la figura del vértice ABCD .
Dibuja la circunferencia circunscrita de ABCD .
Dibuja la línea tangente a la circunferencia circunstante en cada esquina A , B , C , D.
Marque los puntos E , F , G , H , donde se encuentran cada dos rectas tangentes adyacentes.
Los segmentos de recta EF , FG , GH , HE ya están dibujados, como partes de las rectas tangentes. El polígono EFGH es la cara del poliedro dual que corresponde al vértice original V.
En este ejemplo, el tamaño de la figura del vértice se eligió de modo que su círculo circunstante se encuentre en la interesfera del cuboctaedro, que también se convierte en la interesfera del dodecaedro rómbico dual. La construcción de Dorman Luke sólo se puede utilizar cuando un poliedro tiene una interesfera tal que la figura del vértice tiene un círculo circunstante. Por ejemplo, se puede aplicar a los poliedros uniformes .
Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), "Dualidad de poliedros", Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología , 36 (6): 617–642, doi :10.1080/00207390500064049, S2CID 120818796.
Herrmann, Diane L.; Sally, Paul J. (2013). Números, formas y simetría: una introducción a la teoría de números, la geometría y la teoría de grupos. Prensa CRC. ISBN 978-1-4665-5464-1.
