El primer artículo de teoría de conjuntos de Cantor contiene los primeros teoremas de la teoría de conjuntos transfinitos de Georg Cantor , que estudia los conjuntos infinitos y sus propiedades. Uno de estos teoremas es su "descubrimiento revolucionario" de que el conjunto de todos los números reales es incontablemente , en lugar de numerablemente , infinito. [1] Este teorema se demuestra utilizando la primera prueba de incontabilidad de Cantor , que difiere de la prueba más familiar que utiliza su argumento diagonal . El título del artículo, " Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales " ("Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen"), se refiere a su primer teorema: el conjunto de números algebraicos reales es contable. El artículo de Cantor se publicó en 1874. En 1879, modificó su prueba de incontabilidad utilizando la noción topológica de un conjunto que es denso en un intervalo.
El artículo de Cantor también contiene una prueba de la existencia de números trascendentales . Tanto las pruebas constructivas como las no constructivas se han presentado como "pruebas de Cantor". La popularidad de presentar una prueba no constructiva ha llevado a una idea errónea de que los argumentos de Cantor no son constructivos. Dado que la prueba que Cantor publicó construye números trascendentales o no, un análisis de su artículo puede determinar si esta prueba es constructiva o no. [2] La correspondencia de Cantor con Richard Dedekind muestra el desarrollo de sus ideas y revela que tenía una elección entre dos pruebas: una prueba no constructiva que utiliza la incontabilidad de los números reales y una prueba constructiva que no utiliza la incontabilidad.
Los historiadores de las matemáticas han examinado el artículo de Cantor y las circunstancias en las que fue escrito. Por ejemplo, han descubierto que a Cantor se le recomendó que omitiera su teorema de incontabilidad en el artículo que presentó, ya que lo agregó durante la corrección de pruebas . Han rastreado este y otros hechos sobre el artículo a la influencia de Karl Weierstrass y Leopold Kronecker . Los historiadores también han estudiado las contribuciones de Dedekind al artículo, incluidas sus contribuciones al teorema sobre la contabilidad de los números algebraicos reales. Además, han reconocido el papel desempeñado por el teorema de incontabilidad y el concepto de contabilidad en el desarrollo de la teoría de conjuntos, la teoría de la medida y la integral de Lebesgue .
El artículo de Cantor es breve, de menos de cuatro páginas y media. [A] Comienza con una discusión de los números algebraicos reales y una declaración de su primer teorema: El conjunto de números algebraicos reales puede ponerse en correspondencia biunívoca con el conjunto de números enteros positivos. [3] Cantor replantea este teorema en términos más familiares para los matemáticos de su tiempo: "El conjunto de números algebraicos reales puede escribirse como una secuencia infinita en la que cada número aparece sólo una vez". [4]
El segundo teorema de Cantor funciona con un intervalo cerrado [ a , b ], que es el conjunto de números reales ≥ a y ≤ b . El teorema establece: Dada cualquier secuencia de números reales x 1 , x 2 , x 3 , ... y cualquier intervalo [ a , b ], hay un número en [ a , b ] que no está contenido en la secuencia dada. Por lo tanto, hay infinitos números de ese tipo. [5]
Cantor observa que la combinación de sus dos teoremas produce una nueva prueba del teorema de Liouville de que cada intervalo [ a , b ] contiene infinitos números trascendentales . [5]
Cantor luego comenta que su segundo teorema es:
la razón por la cual las colecciones de números reales que forman un llamado continuo (como, por ejemplo, todos los números reales que son ≥ 0 y ≤ 1) no pueden corresponder uno a uno con la colección (ν) [la colección de todos los números enteros positivos]; así he encontrado la clara diferencia entre un llamado continuo y una colección como la totalidad de números algebraicos reales. [6]
Esta observación contiene el teorema de incontabilidad de Cantor, que sólo establece que un intervalo [ a , b ] no puede ponerse en correspondencia biunívoca con el conjunto de los números enteros positivos. No establece que este intervalo sea un conjunto infinito de cardinalidad mayor que el conjunto de los números enteros positivos. La cardinalidad se define en el siguiente artículo de Cantor, que se publicó en 1878. [7]
Cantor sólo enuncia su teorema de incontabilidad, pero no lo utiliza en ninguna demostración. [3]
Para demostrar que el conjunto de números algebraicos reales es numerable, defina la altura de un polinomio de grado n con coeficientes enteros como: n − 1 + | a 0 | + | a 1 | + ... + | a n |, donde a 0 , a 1 , ..., a n son los coeficientes del polinomio. Ordene los polinomios por su altura y ordene las raíces reales de los polinomios de la misma altura por orden numérico. Como solo hay un número finito de raíces de polinomios de una altura dada, estos ordenamientos colocan los números algebraicos reales en una secuencia. Cantor fue un paso más allá y produjo una secuencia en la que cada número algebraico real aparece solo una vez. Lo hizo utilizando solo polinomios que son irreducibles sobre los números enteros. La siguiente tabla contiene el comienzo de la enumeración de Cantor. [9]
Sólo queda por demostrar la primera parte del segundo teorema de Cantor, que establece: Dada cualquier sucesión de números reales x 1 , x 2 , x 3 , ... y cualquier intervalo [ a , b ], hay un número en [ a , b ] que no está contenido en la sucesión dada. [B]
Para encontrar un número en [ a , b ] que no esté contenido en la secuencia dada, construya dos secuencias de números reales de la siguiente manera: Encuentre los dos primeros números de la secuencia dada que estén en el intervalo abierto ( a , b ). Denote el menor de estos dos números por a 1 y el mayor por b 1 . De manera similar, encuentre los dos primeros números de la secuencia dada que estén en ( a 1 , b 1 ). Denote el menor por a 2 y el mayor por b 2 . Continuar con este procedimiento genera una secuencia de intervalos ( a 1 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 3 , b 3 ), ... tales que cada intervalo en la secuencia contiene todos los intervalos sucesivos , es decir, genera una secuencia de intervalos anidados . Esto implica que la secuencia a 1 , a 2 , a 3 , ... es creciente y la secuencia b 1 , b 2 , b 3 , ... es decreciente. [10]
El número de intervalos generados es finito o infinito. Si es finito, sea ( a L , b L ) el último intervalo. Si es infinito, tomemos los límites a ∞ = lim n → ∞ a n y b ∞ = lim n → ∞ b n . Como a n < b n para todo n , o bien a ∞ = b ∞ o bien a ∞ < b ∞ . Por lo tanto, hay tres casos a considerar:
La prueba está completa ya que, en todos los casos, se ha encontrado al menos un número real en [ a , b ] que no está contenido en la secuencia dada. [D]
Las demostraciones de Cantor son constructivas y se han utilizado para escribir un programa informático que genera los dígitos de un número trascendental. Este programa aplica la construcción de Cantor a una secuencia que contiene todos los números algebraicos reales entre 0 y 1. El artículo que analiza este programa ofrece algunos de sus resultados, que muestran cómo la construcción genera un trascendental. [12]
Un ejemplo ilustra cómo funciona la construcción de Cantor. Consideremos la secuencia :1/2 , 1/3 , 2/3 , 1/4 , 3/4 , 1/5 , 2/5 , 3/5 , 4/5 , ... Esta secuencia se obtiene ordenando los números racionales en (0, 1) por denominadores crecientes, ordenando aquellos con el mismo denominador por numeradores crecientes y omitiendo las fracciones reducibles . La siguiente tabla muestra los primeros cinco pasos de la construcción. La primera columna de la tabla contiene los intervalos ( a n , b n ). La segunda columna enumera los términos visitados durante la búsqueda de los primeros dos términos en ( a n , b n ). Estos dos términos están en rojo. [13]
Como la secuencia contiene todos los números racionales en (0, 1), la construcción genera un número irracional , que resulta ser √ 2 − 1. [14]
En 1879, Cantor publicó una nueva prueba de incontabilidad que modifica su prueba de 1874. Primero define la noción topológica de un conjunto de puntos P como " denso en todas partes en un intervalo": [E]
En este análisis de la prueba de Cantor: se utilizan a , b , c , d en lugar de α, β, γ, δ. Además, Cantor solo utiliza su notación de intervalo si el primer punto final es menor que el segundo. Para este análisis, esto significa que ( a , b ) implica que a < b .
Dado que la discusión de la prueba de Cantor de 1874 se simplificó al utilizar intervalos abiertos en lugar de intervalos cerrados, aquí se utiliza la misma simplificación. Esto requiere una definición equivalente de denso en todas partes: un conjunto P es denso en todas partes en el intervalo [ a , b ] si y solo si cada subintervalo abierto ( c , d ) de [ a , b ] contiene al menos un punto de P . [18]
Cantor no especificó cuántos puntos de P debe contener un subintervalo abierto ( c , d ). No necesitaba especificar esto porque la suposición de que cada subintervalo abierto contiene al menos un punto de P implica que cada subintervalo abierto contiene una cantidad infinita de puntos de P . [G]
Cantor modificó su demostración de 1874 con una nueva demostración de su segundo teorema: dada cualquier secuencia P de números reales x 1 , x 2 , x 3 , ... y cualquier intervalo [ a , b ], hay un número en [ a , b ] que no está contenido en P . La nueva demostración de Cantor tiene sólo dos casos. Primero, maneja el caso de que P no sea denso en el intervalo, luego trata el caso más difícil de que P sea denso en el intervalo. Esta división en casos no sólo indica qué secuencias son más difíciles de manejar, sino que también revela el importante papel que juega la densidad en la demostración. [prueba 1]
En el primer caso, P no es denso en [ a , b ]. Por definición, P es denso en [ a , b ] si y solo si para todos los subintervalos ( c , d ) de [ a , b ], existe un x ∈ P tal que x ∈ ( c , d ) . Tomando la negación de cada lado del "si y solo si" se obtiene: P no es denso en [ a , b ] si y solo si existe un subintervalo ( c , d ) de [ a , b ] tal que para todo x ∈ P : x ∉ ( c , d ) . Por lo tanto, todo número en ( c , d ) no está contenido en la secuencia P . [prueba 1] Este caso maneja el caso 1 y el caso 3 de la prueba de Cantor de 1874.
En el segundo caso, que maneja el caso 2 de la prueba de Cantor de 1874, P es denso en [ a , b ]. La densidad de la secuencia P se usa para definir recursivamente una secuencia de intervalos anidados que excluye todos los números en P y cuya intersección contiene un solo número real en [ a , b ]. La secuencia de intervalos comienza con ( a , b ). Dado un intervalo en la secuencia, el siguiente intervalo se obtiene al encontrar los dos números con los índices más bajos que pertenecen a P y al intervalo actual. Estos dos números son los puntos finales del siguiente intervalo abierto. Dado que un intervalo abierto excluye sus puntos finales, cada intervalo anidado elimina dos números del frente de la secuencia P , lo que implica que la intersección de los intervalos anidados excluye todos los números en P . [prueba 1] A continuación se dan detalles de esta prueba y una prueba de que esta intersección contiene un solo número real en [ a , b ].
El desarrollo que condujo al artículo de Cantor de 1874 aparece en la correspondencia entre Cantor y Richard Dedekind . El 29 de noviembre de 1873, Cantor le preguntó a Dedekind si la colección de números enteros positivos y la colección de números reales positivos "pueden corresponderse de modo que cada individuo de una colección corresponda a uno y solo un individuo de la otra". Cantor agregó que las colecciones que tienen tal correspondencia incluyen la colección de números racionales positivos y colecciones de la forma ( a n 1 , n 2 , . . . , n ν ) donde n 1 , n 2 , . . . , n ν y ν son números enteros positivos. [19]
Dedekind respondió que no podía responder a la pregunta de Cantor y dijo que "no merecía demasiado esfuerzo porque no tenía ningún interés práctico particular". Dedekind también envió a Cantor una prueba de que el conjunto de números algebraicos es contable. [20]
El 2 de diciembre, Cantor respondió que su pregunta sí tiene interés: "Sería bueno si pudiera responderse; por ejemplo, siempre que pudiera responderse no , uno tendría una nueva prueba del teorema de Liouville de que hay números trascendentales". [21]
El 7 de diciembre, Cantor envió a Dedekind una prueba por contradicción de que el conjunto de los números reales es incontable. Cantor comienza suponiendo que los números reales en pueden escribirse como una secuencia. Luego, aplica una construcción a esta secuencia para producir un número en que no está en la secuencia, contradiciendo así su suposición. [22] En conjunto, las cartas del 2 y 7 de diciembre proporcionan una prueba no constructiva de la existencia de números trascendentales. [23] Además, la prueba en la carta de Cantor del 7 de diciembre muestra parte del razonamiento que lo llevó a descubrir que los números reales forman un conjunto incontable. [24]
Dedekind recibió la prueba de Cantor el 8 de diciembre. Ese mismo día, Dedekind simplificó la prueba y le envió su prueba a Cantor. Cantor utilizó la prueba de Dedekind en su artículo. [25] La carta que contenía la prueba de Cantor del 7 de diciembre no se publicó hasta 1937. [26]
El 9 de diciembre, Cantor anunció el teorema que le permitió construir números trascendentales así como demostrar la incontabilidad del conjunto de los números reales:
Demuestro directamente que si empiezo con una secuencia
(1) ω 1 , ω 2 , ... , ω n , ...
Puedo determinar, en cada intervalo dado [ α , β ], un número η que no está incluido en (1). [27]
Este es el segundo teorema del artículo de Cantor. Proviene de la comprensión de que su construcción puede aplicarse a cualquier secuencia, no sólo a secuencias que supuestamente enumeran los números reales. De modo que Cantor tenía que elegir entre dos pruebas que demuestran la existencia de números trascendentales: una prueba es constructiva, pero la otra no. Estas dos pruebas pueden compararse partiendo de una secuencia que consta de todos los números algebraicos reales.
La prueba constructiva aplica la construcción de Cantor a esta secuencia y al intervalo [ a , b ] para producir un número trascendental en este intervalo. [5]
La prueba no constructiva utiliza dos pruebas por contradicción:
Cantor decidió publicar la prueba constructiva, que no sólo produce un número trascendental sino que también es más corta y evita dos pruebas por contradicción. La prueba no constructiva de la correspondencia de Cantor es más simple que la anterior porque funciona con todos los números reales en lugar del intervalo [ a , b ]. Esto elimina el paso de subsecuencia y todas las ocurrencias de [ a , b ] en la segunda prueba por contradicción. [5]
Akihiro Kanamori , que se especializa en teoría de conjuntos, afirmó que "los relatos de la obra de Cantor han invertido en su mayoría el orden para deducir la existencia de números trascendentales, estableciendo primero la incontabilidad de los reales y sólo después extrayendo la conclusión de existencia a partir de la contabilidad de los números algebraicos. En los libros de texto la inversión puede ser inevitable, pero esto ha promovido la idea errónea de que los argumentos de Cantor no son constructivos". [29]
Tanto la prueba publicada de Cantor como la prueba de orden inverso utilizan el teorema: Dada una secuencia de números reales, se puede encontrar un número real que no esté en la secuencia. Al aplicar este teorema a la secuencia de números reales algebraicos, Cantor produjo un número trascendental. Luego demostró que los números reales son incontables: Supongamos que existe una secuencia que contiene todos los números reales. La aplicación del teorema a esta secuencia produce un número real que no está en la secuencia, lo que contradice la suposición de que la secuencia contiene todos los números reales. Por lo tanto, los números reales son incontables. [5] La prueba de orden inverso comienza demostrando primero que los números reales son incontables. Luego demuestra que existen los números trascendentales: Si no hubiera números trascendentales, todos los números reales serían algebraicos y, por lo tanto, contables, lo que contradice lo que se acaba de demostrar. Esta contradicción demuestra que los números trascendentales existen sin construir ninguno. [29]
La correspondencia que contenía el razonamiento no constructivo de Cantor se publicó en 1937. Para entonces, otros matemáticos habían redescubierto su prueba no constructiva de orden inverso. Ya en 1921, esta prueba se llamó "prueba de Cantor" y fue criticada por no producir ningún número trascendental. [30] En ese año, Oskar Perron presentó la prueba de orden inverso y luego afirmó: "... La prueba de Cantor para la existencia de números trascendentales tiene, junto con su simplicidad y elegancia, la gran desventaja de que es solo una prueba de existencia; no nos permite especificar realmente ni siquiera un solo número trascendental". [31] [I]
Ya en 1930 algunos matemáticos intentaron corregir esta idea errónea sobre la obra de Cantor. En ese año, el teórico de conjuntos Abraham Fraenkel afirmó que el método de Cantor es "... un método que, por cierto, contrariamente a una interpretación generalizada, es fundamentalmente constructivo y no meramente existencial". [32] En 1972, Irving Kaplansky escribió: "A menudo se dice que la prueba de Cantor no es 'constructiva' y, por lo tanto, no produce un número trascendental tangible. Esta observación no está justificada. Si establecemos una lista definida de todos los números algebraicos... y luego aplicamos el procedimiento diagonal ..., obtenemos un número trascendental perfectamente definido (podría calcularse con cualquier número de decimales)". [33] [J] La prueba de Cantor no solo es constructiva, sino que también es más simple que la prueba de Perron, que requiere el desvío de probar primero que el conjunto de todos los números reales es incontable. [34]
El argumento diagonal de Cantor ha sustituido a menudo su construcción de 1874 en las exposiciones de su prueba. El argumento diagonal es constructivo y produce un programa informático más eficiente que su construcción de 1874. Utilizándolo, se ha escrito un programa informático que calcula los dígitos de un número trascendental en tiempo polinomial . El programa que utiliza la construcción de 1874 de Cantor requiere al menos un tiempo subexponencial . [35] [K]
La presentación de la prueba no constructiva sin mencionar la prueba constructiva de Cantor aparece en algunos libros que tuvieron bastante éxito, medido por el tiempo que tardó en aparecer nuevas ediciones o reimpresiones; por ejemplo: Irrationalzahlen de Oskar Perron (1921; 1960, 4.ª edición), Men of Mathematics de Eric Temple Bell (1937; todavía se reimprime), An Introduction to the Theory of Numbers de Godfrey Hardy y EM Wright (1938; 2008, 6.ª edición), A Survey of Modern Algebra de Garrett Birkhoff y Saunders Mac Lane (1941; 1997, 5.ª edición) y Calculus de Michael Spivak (1967; 2008, 4.ª edición). [36] [L] Desde 2014, han aparecido al menos dos libros que afirman que la prueba de Cantor es constructiva, [37] y al menos cuatro que afirman que su prueba no construye ningún (o un solo) trascendental. [38]
Afirmar que Cantor dio un argumento no constructivo sin mencionar la prueba constructiva que publicó puede llevar a afirmaciones erróneas sobre la historia de las matemáticas . En A Survey of Modern Algebra, Birkhoff y Mac Lane afirman: "El argumento de Cantor para este resultado [No todo número real es algebraico] fue rechazado al principio por muchos matemáticos, ya que no exhibía ningún número trascendental específico". [39] La prueba que publicó Cantor produce números trascendentales, y no parece haber evidencia de que su argumento fuera rechazado. Incluso Leopold Kronecker , que tenía opiniones estrictas sobre lo que es aceptable en matemáticas y que podría haber retrasado la publicación del artículo de Cantor, no lo retrasó. [4] De hecho, aplicar la construcción de Cantor a la secuencia de números algebraicos reales produce un proceso limitante que Kronecker aceptó, es decir, determina un número con cualquier grado requerido de precisión. [M]
Los historiadores de las matemáticas han descubierto los siguientes hechos sobre el artículo de Cantor "Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales":
Para explicar estos hechos, los historiadores han señalado la influencia de los antiguos profesores de Cantor, Karl Weierstrass y Leopold Kronecker. Cantor discutió sus resultados con Weierstrass el 23 de diciembre de 1873. [46] Weierstrass se sorprendió al principio con el concepto de numerabilidad, pero luego encontró útil la numerabilidad del conjunto de números algebraicos reales. [47] Cantor no quería publicar aún, pero Weierstrass sintió que debía publicar al menos sus resultados sobre los números algebraicos. [46]
De su correspondencia se desprende que Cantor sólo discutió su artículo con Weierstrass. Sin embargo, Cantor le dijo a Dedekind: "La restricción que he impuesto a la versión publicada de mis investigaciones se debe en parte a circunstancias locales..." [46] El biógrafo de Cantor, Joseph Dauben, cree que "circunstancias locales" se refiere a Kronecker, quien, como miembro del consejo editorial del Crelle's Journal , había retrasado la publicación de un artículo de 1870 de Eduard Heine , uno de los colegas de Cantor. Cantor enviaría su artículo al Crelle's Journal . [48]
Weierstrass le aconsejó a Cantor que dejara su teorema de incontabilidad fuera del artículo que presentó, pero también le dijo a Cantor que podía agregarlo como una nota marginal durante la corrección de pruebas, lo cual hizo. [43] Aparece en un comentario al final de la introducción del artículo. Las opiniones de Kronecker y Weierstrass jugaron un papel aquí. Kronecker no aceptaba los conjuntos infinitos, y parece que Weierstrass no aceptaba que dos conjuntos infinitos pudieran ser tan diferentes, siendo uno contable y el otro no. [49] Weierstrass cambió su opinión más tarde. [50] Sin el teorema de incontabilidad, el artículo necesitaba un título que no hiciera referencia a este teorema. Cantor eligió "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales"), que se refiere a la contabilidad del conjunto de números algebraicos reales, el resultado que Weierstrass encontró útil. [51]
La influencia de Kronecker aparece en la demostración del segundo teorema de Cantor. Cantor utilizó la versión de Dedekind de la demostración, excepto que omitió por qué existen los límites a ∞ = lim n → ∞ a n y b ∞ = lim n → ∞ b n . Dedekind había utilizado su "principio de continuidad" para demostrar que existen. Este principio (que es equivalente a la propiedad del límite superior mínimo de los números reales) proviene de la construcción de Dedekind de los números reales, una construcción que Kronecker no aceptó. [52]
Cantor restringió su primer teorema al conjunto de números algebraicos reales, aunque Dedekind le había enviado una prueba que manejaba todos los números algebraicos. [20] Cantor hizo esto por razones expositivas y debido a "circunstancias locales". [53] Esta restricción simplifica el artículo porque el segundo teorema funciona con secuencias reales. Por lo tanto, la construcción en el segundo teorema se puede aplicar directamente a la enumeración de los números algebraicos reales para producir "un procedimiento efectivo para el cálculo de números trascendentales". Este procedimiento sería aceptable para Weierstrass. [54]
Desde 1856, Dedekind había desarrollado teorías que involucraban una cantidad infinita de conjuntos infinitos, por ejemplo: los ideales , que utilizó en la teoría algebraica de números , y los cortes de Dedekind , que utilizó para construir los números reales. Este trabajo le permitió comprender y contribuir al trabajo de Cantor. [55]
La primera contribución de Dedekind se refiere al teorema de que el conjunto de números algebraicos reales es numerable. Generalmente se le atribuye a Cantor el mérito de este teorema, pero el historiador matemático José Ferreirós lo llama "teorema de Dedekind". Su correspondencia revela lo que cada matemático aportó al teorema. [56]
En su carta introduciendo el concepto de numerabilidad, Cantor afirmó sin prueba que el conjunto de números racionales positivos es numerable, como lo son los conjuntos de la forma ( a n 1 , n 2 , ..., n ν ) donde n 1 , n 2 , ..., n ν y ν son números enteros positivos. [57] El segundo resultado de Cantor utiliza una familia indexada de números: un conjunto de la forma ( a n 1 , n 2 , ..., n ν ) es el rango de una función desde los índices ν hasta el conjunto de números reales. Su segundo resultado implica su primero: sea ν = 2 y a n 1 , n 2 = número 1/número 2 . La función puede ser bastante general, por ejemplo, a n 1 , n 2 , n 3 , n 4 , n 5 = ( número 1/número 2 ) 1/número 3 + bronceado ( número 4/número 5 ).
Dedekind respondió con una prueba del teorema de que el conjunto de todos los números algebraicos es contable. [20] En su respuesta a Dedekind, Cantor no afirmó haber demostrado el resultado de Dedekind. Sí indicó cómo demostró su teorema sobre las familias indexadas de números: "Su prueba de que ( n ) [el conjunto de números enteros positivos] puede correlacionarse uno a uno con el cuerpo de todos los números algebraicos es aproximadamente la misma que la forma en que pruebo mi afirmación en la última carta. Tomo n 1 2 + n 2 2 + ··· + n ν 2 = y ordeno los elementos en consecuencia". [58] Sin embargo, el ordenamiento de Cantor es más débil que el de Dedekind y no se puede extender a -tuplas de números enteros que incluyan ceros. [59]
La segunda contribución de Dedekind es su demostración del segundo teorema de Cantor. Dedekind envió esta demostración en respuesta a la carta de Cantor que contenía el teorema de incontabilidad, que Cantor demostró utilizando infinitas secuencias. Cantor escribió a continuación que había encontrado una demostración más simple que no utilizaba infinitas secuencias. [60] Así que Cantor tenía una elección de pruebas y decidió publicar la de Dedekind. [61]
Cantor agradeció en privado a Dedekind por su ayuda: "... sus comentarios (que valoro mucho) y su manera de plantear algunos de los puntos me fueron de gran ayuda". [46] Sin embargo, no mencionó la ayuda de Dedekind en su artículo. En artículos anteriores, había reconocido la ayuda recibida de Kronecker, Weierstrass, Heine y Hermann Schwarz . El hecho de que Cantor no mencionara las contribuciones de Dedekind dañó su relación con él. Dedekind dejó de responder a sus cartas y no reanudó la correspondencia hasta octubre de 1876. [62] [N]
El artículo de Cantor introdujo el teorema de incontabilidad y el concepto de numerabilidad. Ambos conducirían a importantes avances en matemáticas. El teorema de incontabilidad demostró que las correspondencias biunívocas pueden utilizarse para analizar conjuntos infinitos. En 1878, Cantor las utilizó para definir y comparar cardinalidades. También construyó correspondencias biunívocas para demostrar que los espacios n -dimensionales R n (donde R es el conjunto de números reales) y el conjunto de números irracionales tienen la misma cardinalidad que R . [63] [O]
En 1883, Cantor extendió los números enteros positivos con sus ordinales infinitos . Esta extensión fue necesaria para su trabajo sobre el teorema de Cantor-Bendixson . Cantor descubrió otros usos para los ordinales; por ejemplo, utilizó conjuntos de ordinales para producir una infinidad de conjuntos con diferentes cardinalidades infinitas. [65] Su trabajo sobre conjuntos infinitos junto con el trabajo de teoría de conjuntos de Dedekind crearon la teoría de conjuntos. [66]
El concepto de contabilidad dio lugar a operaciones y objetos contables que se utilizan en diversas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, en 1878, Cantor introdujo las uniones contables de conjuntos. [67] En la década de 1890, Émile Borel utilizó uniones contables en su teoría de la medida , y René Baire utilizó ordinales contables para definir sus clases de funciones . [68] Basándose en el trabajo de Borel y Baire, Henri Lebesgue creó sus teorías de la medida y la integración , que se publicaron entre 1899 y 1901. [69]
Los modelos contables se utilizan en la teoría de conjuntos. En 1922, Thoralf Skolem demostró que si los axiomas convencionales de la teoría de conjuntos son consistentes , entonces tienen un modelo contable. Dado que este modelo es contable, su conjunto de números reales es contable. Esta consecuencia se llama paradoja de Skolem , y Skolem explicó por qué no contradice el teorema de incontabilidad de Cantor: aunque existe una correspondencia biunívoca entre este conjunto y el conjunto de números enteros positivos, dicha correspondencia biunívoca no es miembro del modelo. Por lo tanto, el modelo considera que su conjunto de números reales es incontable, o más precisamente, la oración de primer orden que dice que el conjunto de números reales es incontable es verdadera dentro del modelo. [70] En 1963, Paul Cohen utilizó modelos contables para demostrar sus teoremas de independencia . [71]
{{citation}}
: CS1 maint: DOI inactive as of November 2024 (link).