El principio de Huygens-Fresnel (llamado así en honor al físico holandés Christiaan Huygens y al físico francés Augustin-Jean Fresnel ) establece que cada punto de un frente de onda es en sí mismo la fuente de ondas esféricas, y las ondas secundarias que emanan de diferentes puntos interfieren entre sí. [1] La suma de estas ondas esféricas forma un nuevo frente de onda. Como tal, el principio de Huygens-Fresnel es un método de análisis aplicado a problemas de propagación de ondas luminosas tanto en el límite de campo lejano como en difracción y reflexión de campo cercano .
En 1678, Huygens propuso que todo punto alcanzado por una perturbación luminosa se convierte en fuente de una onda esférica; la suma de estas ondas secundarias determina la forma de la onda en cualquier momento posterior. [2] Supuso que las ondas secundarias viajaban sólo en la dirección "hacia adelante", y en la teoría no se explica por qué es así. Pudo proporcionar una explicación cualitativa de la propagación de ondas lineales y esféricas, y derivar las leyes de reflexión y refracción utilizando este principio, pero no pudo explicar las desviaciones de la propagación rectilínea que ocurren cuando la luz encuentra bordes, aberturas y pantallas, comúnmente conocidas como como efectos de difracción . [3] La resolución de este error fue finalmente explicada por David AB Miller en 1991. [4] La resolución es que la fuente es un dipolo (no el monopolo asumido por Huygens), que se cancela en la dirección reflejada.
En 1818, Fresnel [5] demostró que el principio de Huygens, junto con su propio principio de interferencia , podía explicar tanto la propagación rectilínea de la luz como también los efectos de difracción. Para estar de acuerdo con los resultados experimentales, tuvo que incluir suposiciones arbitrarias adicionales sobre la fase y amplitud de las ondas secundarias, y también un factor de oblicuidad. Estas suposiciones no tienen fundamento físico obvio, pero condujeron a predicciones que coincidían con muchas observaciones experimentales, incluida la mancha de Poisson .
Poisson era miembro de la Academia Francesa, que revisó el trabajo de Fresnel. [6] Utilizó la teoría de Fresnel para predecir que debería aparecer un punto brillante en el centro de la sombra de un disco pequeño, y dedujo de esto que la teoría era incorrecta. Sin embargo, Arago, otro miembro del comité, realizó el experimento y demostró que la predicción era correcta . (Lisle había observado esto cincuenta años antes. [3] [ dudoso ] ) Esta fue una de las investigaciones que llevaron a la victoria de la teoría ondulatoria de la luz sobre la entonces predominante teoría corpuscular .
En teoría e ingeniería de antenas, la reformulación del principio de Huygens-Fresnel para fuentes de corriente radiante se conoce como principio de equivalencia de superficie . [7] [8]
El principio de Huygens-Fresnel proporciona una base razonable para comprender y predecir la propagación clásica de las ondas de la luz. Sin embargo, el principio tiene limitaciones, a saber, las mismas aproximaciones realizadas para derivar la fórmula de difracción de Kirchhoff y las aproximaciones de campo cercano debidas a Fresnel. Estos se pueden resumir en el hecho de que la longitud de onda de la luz es mucho más pequeña que las dimensiones de cualquier componente óptico encontrado. [6]
La fórmula de difracción de Kirchhoff proporciona una base matemática rigurosa para la difracción, basada en la ecuación de onda. Los supuestos arbitrarios hechos por Fresnel para llegar a la ecuación de Huygens-Fresnel surgen automáticamente de las matemáticas en esta derivación. [9]
Un ejemplo sencillo del funcionamiento del principio se puede ver cuando una puerta abierta conecta dos habitaciones y se produce un sonido en un rincón remoto de una de ellas. Una persona en la otra habitación escuchará el sonido como si se originara en la puerta. En lo que respecta a la segunda habitación, la fuente del sonido es la vibración del aire en la entrada.
No todos los expertos están de acuerdo en que el principio de Huygens sea una representación microscópica precisa de la realidad. Por ejemplo, Melvin Schwartz argumentó que "el principio de Huygens en realidad da la respuesta correcta, pero por razones equivocadas". [1]
Esto se puede reflejar en los siguientes hechos:
El principio de Huygens es esencialmente compatible con la teoría cuántica de campos en la aproximación de campo lejano , considerando campos efectivos en el centro de dispersión, considerando pequeñas perturbaciones , y en el mismo sentido que la óptica cuántica es compatible con la óptica clásica , otras interpretaciones son objeto de debates. e investigación activa.
El modelo de Feynman, donde cada punto en un frente de onda imaginario tan grande como la habitación genera una ondícula, también debe interpretarse en estas aproximaciones [12] y en un contexto probabilístico, en este contexto los puntos remotos solo pueden contribuir mínimamente a la probabilidad general. amplitud.
La teoría cuántica de campos no incluye ningún modelo microscópico para la creación de fotones y el concepto de fotón único también se somete a escrutinio a nivel teórico.
Considere el caso de una fuente puntual ubicada en un punto P 0 , que vibra a una frecuencia f . La perturbación puede describirse mediante una variable compleja U 0 conocida como amplitud compleja . Produce una onda esférica con longitud de onda λ, número de onda k = 2 π / λ . Dentro de una constante de proporcionalidad, la amplitud compleja de la onda primaria en el punto Q ubicado a una distancia r 0 de P 0 es:
Tenga en cuenta que la magnitud disminuye en proporción inversa a la distancia recorrida y la fase cambia k veces la distancia recorrida.
Utilizando la teoría de Huygens y el principio de superposición de ondas, la amplitud compleja en otro punto P se encuentra sumando la contribución de cada punto en la esfera de radio r 0 . Para concordar con los resultados experimentales, Fresnel encontró que las contribuciones individuales de las ondas secundarias en la esfera debían multiplicarse por una constante, − i /λ, y por un factor de inclinación adicional, K (χ). La primera suposición significa que las ondas secundarias oscilan a un cuarto de ciclo desfasadas con respecto a la onda primaria y que la magnitud de las ondas secundarias está en una proporción de 1: λ con respecto a la onda primaria. También asumió que K (χ) tenía un valor máximo cuando χ = 0, y era igual a cero cuando χ = π/2, donde χ es el ángulo entre la normal del frente de onda primario y la normal del frente de onda secundario. La amplitud compleja en P , debido a la contribución de las ondas secundarias, viene dada por: [13]
donde S describe la superficie de la esfera y s es la distancia entre Q y P.
Fresnel utilizó un método de construcción de zonas para encontrar valores aproximados de K para las diferentes zonas, [6] lo que le permitió hacer predicciones que estaban de acuerdo con los resultados experimentales. El teorema integral de Kirchhoff incluye la idea básica del principio de Huygens-Fresnel. Kirchhoff demostró que, en muchos casos, el teorema se puede aproximar a una forma más simple que equivale a la formación de la formulación de Fresnel. [6]
Para una iluminación de apertura que consiste en una única onda esférica en expansión, si el radio de curvatura de la onda es suficientemente grande, Kirchhoff dio la siguiente expresión para K (χ): [6]
K tiene un valor máximo en χ = 0 como en el principio de Huygens-Fresnel; sin embargo, K no es igual a cero en χ = π/2, sino en χ = π.
La derivación anterior de K (χ) asumió que la apertura de difracción está iluminada por una única onda esférica con un radio de curvatura suficientemente grande. Sin embargo, el principio es válido para iluminaciones más generales. [13] Una iluminación arbitraria se puede descomponer en una colección de fuentes puntuales, y se puede invocar la linealidad de la ecuación de onda para aplicar el principio a cada fuente puntual individualmente. K (χ) se puede expresar generalmente como: [13]
En este caso, K satisface las condiciones indicadas anteriormente (valor máximo en χ = 0 y cero en χ = π/2).
Muchos libros y referencias, por ejemplo, [14] y [15] se refieren al Principio Generalizado de Huygens como al que se refiere Feynman en esta publicación. [dieciséis]
Feynman define el principio generalizado de la siguiente manera:
"En realidad, el principio de Huygens no es correcto en óptica. Se reemplaza por la modificación de Kirchoff [sic] que requiere que tanto la amplitud como su derivada sean conocidas en la superficie adyacente. Esto es una consecuencia del hecho de que la ecuación de onda en óptica es de segundo orden en el tiempo. La ecuación de onda de la mecánica cuántica es de primer orden en el tiempo; por lo tanto, el principio de Huygens es correcto para las ondas de materia, la acción reemplaza al tiempo."
Esto aclara el hecho de que en este contexto el principio generalizado refleja la linealidad de la mecánica cuántica y el hecho de que las ecuaciones de la mecánica cuántica son de primer orden en el tiempo. Finalmente, sólo en este caso se aplica plenamente el principio de superposición, es decir, la función de onda en un punto P puede ampliarse como una superposición de ondas en una superficie fronteriza que encierra a P. Las funciones de onda pueden interpretarse en el sentido mecánico cuántico habitual como densidades de probabilidad donde el Se aplica el formalismo de las funciones y propagadores de Green . Lo que es digno de mención es que este principio generalizado es aplicable a las "ondas de materia" y ya no a las ondas de luz. El factor de fase ahora se aclara tal como lo da la acción y no hay más confusión por qué las fases de las wavelets son diferentes de la de la onda original y modificadas por los parámetros de Fresnel adicionales.
Según Greiner [14] el principio generalizado se puede expresar de la forma:
donde G es la función de Green habitual que propaga en el tiempo la función de onda . Esta descripción se asemeja y generaliza la fórmula inicial de Fresnel del modelo clásico.
La teoría de Huygens sirvió como explicación fundamental de la naturaleza ondulatoria de la interferencia de la luz y fue desarrollada más adelante por Fresnel y Young, pero no resolvió completamente todas las observaciones, como el experimento de doble rendija de baja intensidad realizado por primera vez por GI Taylor en 1909. No fue hasta principios y mediados del siglo XX que comenzaron las discusiones sobre la teoría cuántica, particularmente las primeras discusiones en la Conferencia Solvay de Bruselas de 1927 , donde Louis de Broglie propuso su hipótesis de que el fotón está guiado por una función de onda. [17]
La función de onda presenta una explicación muy diferente de las bandas claras y oscuras observadas en un experimento de doble rendija. En esta concepción, el fotón sigue un camino que es una elección probabilística de uno de los muchos caminos posibles en el campo electromagnético. Estos caminos probables forman el patrón: en áreas oscuras, no aterrizan fotones, y en áreas brillantes, aterrizan muchos fotones. El conjunto de posibles caminos de los fotones es consistente con la teoría integral de caminos de Richard Feynman, los caminos determinados por el entorno: el punto de origen del fotón (átomo), la rendija y la pantalla y por el seguimiento y la suma de fases. La función de onda es una solución a esta geometría. El enfoque de la función de onda fue respaldado por experimentos adicionales de doble rendija realizados en Italia y Japón en los años 1970 y 1980 con electrones. [18]
El principio de Huygens puede verse como una consecuencia de la homogeneidad del espacio: el espacio es uniforme en todos los lugares. [19] Cualquier perturbación creada en una región suficientemente pequeña de espacio homogéneo (o en un medio homogéneo) se propaga desde esa región en todas las direcciones geodésicas. Las ondas producidas por esta perturbación, a su vez, crean perturbaciones en otras regiones, y así sucesivamente. La superposición de todas las ondas da como resultado el patrón observado de propagación de ondas.
La homogeneidad del espacio es fundamental para la teoría cuántica de campos (QFT), donde la función de onda de cualquier objeto se propaga a lo largo de todos los caminos disponibles sin obstáculos. Cuando se integra a lo largo de todos los caminos posibles , con un factor de fase proporcional a la acción , la interferencia de las funciones de onda predice correctamente los fenómenos observables. Cada punto del frente de onda actúa como fuente de ondas secundarias que se propagan en el cono de luz con la misma velocidad que la onda. El nuevo frente de onda se encuentra construyendo la superficie tangente a las ondas secundarias.
En 1900, Jacques Hadamard observó que el principio de Huygens se rompía cuando el número de dimensiones espaciales era par. [20] [21] [22] A partir de esto, desarrolló un conjunto de conjeturas que siguen siendo un tema activo de investigación. [23] [24] En particular, se ha descubierto que el principio de Huygens se aplica a una gran clase de espacios homogéneos derivados del grupo de Coxeter (así, por ejemplo, los grupos de Weyl de álgebras de Lie simples ). [19] [25]
La formulación tradicional del principio de Huygens para los d'alembertianos da origen a la jerarquía KdV ; De manera análoga, el operador de Dirac da lugar a la jerarquía AKNS . [26] [27]
