lugar de aragó

Punto brillante que aparece en el centro de la sombra de un objeto circular debido a la difracción de Fresnel.

Foto del spot de Arago a la sombra de un obstáculo circular de 5,8 mm.

Experimento puntual de Arago. Una fuente puntual ilumina un objeto circular y proyecta una sombra en una pantalla. En el centro de la sombra aparece un punto brillante debido a la difracción , lo que contradice la predicción de la óptica geométrica .

Mancha de Arago formándose en la sombra.

Simulación numérica de la intensidad de una luz monocromática de longitud de onda λ = 0,5 μm detrás de un obstáculo circular de radio R = 5 μm = 10λ .

Formación del anuncio de Arago (seleccione "fuente WebM" para obtener buena calidad).

En óptica , la mancha de Arago , mancha de Poisson , ^{[1] [2]} o mancha de Fresnel ^[3] es un punto brillante que aparece en el centro de la sombra de un objeto circular debido a la difracción de Fresnel . ^{[4] [5] [6] [7]} Este lugar jugó un papel importante en el descubrimiento de la naturaleza ondulatoria de la luz y es una forma común de demostrar que la luz se comporta como una onda.

La configuración experimental básica requiere una fuente puntual, como un orificio iluminado o un rayo láser divergente . Las dimensiones de la instalación deben cumplir con los requisitos de difracción de Fresnel . Es decir, el número de Fresnel debe satisfacer donde $${\displaystyle F={\frac {d^{2}}{\ell \lambda }}\gtrsim 1,}$$

• d es el diámetro del objeto circular,
• ℓ es la distancia entre el objeto y la pantalla, y
• λ es la longitud de onda de la fuente.

Finalmente, el borde del objeto circular debe ser suficientemente liso.

Estas condiciones juntas explican por qué el punto brillante no se encuentra en la vida cotidiana. Sin embargo, con las fuentes láser disponibles en la actualidad, no resulta complicado realizar un experimento con el punto Arago. ^[8]

En astronomía , la mancha de Arago también se puede observar en la imagen fuertemente desenfocada de una estrella tomada por un telescopio newtoniano . Allí, la estrella constituye una fuente puntual casi ideal en el infinito, y el espejo secundario del telescopio constituye el obstáculo circular.

Cuando la luz incide sobre el obstáculo circular, el principio de Huygens dice que cada punto en el plano del obstáculo actúa como una nueva fuente puntual de luz. La luz que proviene de puntos en la circunferencia del obstáculo y que va hacia el centro de la sombra recorre exactamente la misma distancia, por lo que toda la luz que pasa cerca del objeto llega a la pantalla en fase e interfiere constructivamente . Esto da como resultado un punto brillante en el centro de la sombra, donde la óptica geométrica y las teorías de partículas de la luz predicen que no debería haber luz alguna.

Historia

A principios del siglo XIX, ganó fuerza la idea de que la luz no se propaga simplemente a lo largo de líneas rectas. Thomas Young publicó su experimento de la doble rendija en 1807. ^[9] El experimento original de la mancha de Arago se llevó a cabo una década más tarde y fue el experimento decisivo sobre la cuestión de si la luz es una partícula o una onda. Se trata, pues, de un ejemplo de experimentum crucis .

En aquella época, muchos favorecían la teoría corpuscular de la luz de Isaac Newton, entre ellos el teórico Siméon Denis Poisson . ^[10] En 1818, la Academia Francesa de Ciencias lanzó un concurso para explicar las propiedades de la luz, donde Poisson fue uno de los miembros del comité de jueces. El ingeniero civil Augustin-Jean Fresnel participó en este concurso presentando una nueva teoría ondulatoria de la luz . ^[11]

Poisson estudió en detalle la teoría de Fresnel y, siendo partidario de la teoría de las partículas de la luz, buscó una manera de demostrar que estaba equivocada. Poisson pensó que había encontrado un error cuando argumentó que una consecuencia de la teoría de Fresnel era que existiría un punto brillante en el eje en la sombra de un obstáculo circular, donde debería haber completa oscuridad según la teoría de partículas de la luz. Esta predicción fue vista como una consecuencia absurda de la teoría ondulatoria, y el fracaso de esa predicción debería ser un argumento fuerte para rechazar la teoría de Fresnel.

Sin embargo, el jefe del comité, Dominique-François-Jean Arago , decidió realizar el experimento. Moldeó un disco metálico de 2 mm en una placa de vidrio con cera. ^[12] Logró observar el punto predicho, lo que convenció a la mayoría de los científicos de la naturaleza ondulatoria de la luz y le dio la victoria a Fresnel. ^[13]

Arago señaló más tarde ^[14] que el fenómeno (más tarde conocido como "mancha de Poisson" o "mancha de Arago") ya había sido observado por Delisle ^[15] y Maraldi ^[16] un siglo antes.

Aunque el resultado experimental de Arago fue una evidencia abrumadora a favor de la teoría ondulatoria, un siglo más tarde, junto con el nacimiento de la mecánica cuántica (y sugerida por primera vez en uno de los artículos Annus Mirabilis de Albert Einstein ), se entendió que la luz (así como como todas las formas de materia y energía) debe describirse como partícula y onda ( dualidad onda-partícula ). Sin embargo, la partícula asociada con las ondas electromagnéticas, el fotón , no tiene nada en común con las partículas imaginadas en la teoría corpuscular que había sido dominante antes del surgimiento de la teoría ondulatoria y la poderosa demostración de Arago. Antes del advenimiento de la teoría cuántica a finales de la década de 1920, sólo la naturaleza ondulatoria de la luz podía explicar fenómenos como la difracción y la interferencia . Hoy en día se sabe que a través de la acumulación de puntos brillantes en forma de mosaico causada por fotones individuales aparece un patrón de difracción, como predijo la teoría cuántica de Dirac. Al aumentar la intensidad de la luz, los puntos brillantes en el patrón de difracción del mosaico se ensamblan más rápido. Por el contrario, la teoría ondulatoria predice la formación de un patrón continuo extendido cuyo brillo general aumenta con la intensidad de la luz.

Teoría

Notación para calcular la amplitud de onda en el punto P ₁ a partir de una fuente puntual esférica en P ₀ .

En el corazón de la teoría ondulatoria de Fresnel se encuentra el principio de Huygens-Fresnel , que establece que cada punto no obstruido de un frente de onda se convierte en la fuente de una ondícula esférica secundaria y que la amplitud del campo óptico E en un punto de la pantalla está dada por la superposición de todas aquellas ondas secundarias teniendo en cuenta sus fases relativas. ^[17] Esto significa que el campo en un punto P ₁ en la pantalla está dado por una integral de superficie: donde el factor de inclinación que asegura que las ondas secundarias no se propaguen hacia atrás está dado por y $${\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{\mathbf {i} kr_{1}}}{r_{1}}}K(\chi )\,dS,}$$ ${\displaystyle K(\chi )}$ $${\displaystyle K(\chi )={\frac {\mathbf {i} }{2\lambda }}(1+\cos(\chi ))}$$

• A es la amplitud de la onda fuente.
• ${\textstyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$es el número de onda
• S es la superficie sin obstáculos.

El primer término fuera de la integral representa las oscilaciones de la onda fuente a una distancia r ₀ . De manera similar, el término dentro de la integral representa las oscilaciones de las ondas secundarias a distancias r ₁ .

Para derivar la intensidad detrás del obstáculo circular utilizando esta integral se supone que los parámetros experimentales cumplen los requisitos del régimen de difracción de campo cercano (el tamaño del obstáculo circular es grande en comparación con la longitud de onda y pequeño en comparación con las distancias g = P ₀ C y b = CP ₁ ). Al ir a coordenadas polares ^{[ dudoso – discutir ]} se obtiene la integral para un objeto circular de radio a (ver, por ejemplo, Born y Wolf ^[18] ): $${\displaystyle U(P_{1})=-{\frac {\mathbf {i} }{\lambda }}{\frac {Ae^{\mathbf {i} k(g+b)}}{gb}}2\pi \int _{a}^{\infty }e^{\mathbf {i} k{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)r^{2}}r\,dr.}$$

La intensidad en el eje en el centro de la sombra de un pequeño obstáculo circular converge a la intensidad sin obstáculos.

Esta integral se puede resolver numéricamente ^{[ dudoso – discutir ]} (ver más abajo). Si g es grande y b es pequeño de modo que el ángulo no es despreciable ^{[ dudoso – discutir ]} se puede escribir la integral para el caso en el eje (P ₁ está en el centro de la sombra) como (ver ^[19] ): ${\displaystyle \chi }$ $${\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kg}}{g}}{\frac {b}{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}e^{\mathbf {i} k{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}.}$$

La intensidad de la fuente , que es el cuadrado de la amplitud del campo, es y la intensidad en la pantalla . Por tanto , la intensidad en el eje en función de la distancia b viene dada por: ${\textstyle I_{0}=\left|{\frac {1}{g}}Ae^{\mathbf {i} kg}\right|^{2}}$ ${\displaystyle I=\left|U(P_{1})\right|^{2}}$ $${\displaystyle I={\frac {b^{2}}{b^{2}+a^{2}}}I_{0}.}$$

Esto muestra que la intensidad en el eje a distancias b mucho mayores que el diámetro del obstáculo circular es la misma que la intensidad de la fuente, como si el objeto circular no estuviera presente en absoluto. Sin embargo, a distancias mayores b , resulta que el tamaño del punto brillante (como se puede ver en las simulaciones a continuación donde b/a aumenta en imágenes sucesivas) es mayor, por lo que el punto es más fácil de discernir.

Cálculo de imágenes de difracción.

Para calcular la imagen de difracción completa que es visible en la pantalla hay que considerar la integral de superficie del apartado anterior. Ya no se puede explotar la simetría circular, ya que la línea entre la fuente y un punto arbitrario en la pantalla no pasa por el centro del objeto circular. Con la función de apertura que es 1 para partes transparentes del plano del objeto y 0 en caso contrario (es decir, es 0 si la línea directa entre la fuente y el punto en la pantalla pasa a través del objeto circular de bloqueo), la integral que debe resolverse es dada por: ${\displaystyle g(r,\theta )}$ $${\displaystyle U(P_{1})\propto \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }g(r,\theta )e^{{\frac {\mathbf {i} \pi \rho ^{2}}{\lambda }}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)}\rho \,d\rho \,d\theta .}$$

El cálculo numérico de la integral utilizando la regla trapezoidal o la regla de Simpson no es eficiente y se vuelve numéricamente inestable, especialmente para configuraciones con un número de Fresnel grande . Sin embargo, es posible resolver la parte radial de la integral de modo que sólo quede por hacer numéricamente la integración sobre el ángulo de acimut. ^[20] Para un ángulo particular se debe resolver la integral de línea para el rayo con origen en el punto de intersección de la línea P ₀ P ₁ con el plano del objeto circular. La contribución de un rayo particular con ángulo de acimut y que pasa por una parte transparente del plano del objeto desde a es: ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle r=s}$ ${\displaystyle r=t}$ $${\displaystyle R(\theta _{1})\propto e^{{\frac {\pi }{2}}\mathbf {i} s^{2}}-e^{{\frac {\pi }{2}}\mathbf {i} t^{2}}.}$$

Entonces, para cada ángulo hay que calcular los puntos de intersección del rayo con el objeto circular y luego sumar las contribuciones para un cierto número de ángulos entre 0 y . Los resultados de dicho cálculo se muestran en las siguientes imágenes. ${\displaystyle I(\theta _{1})}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Las imágenes son simulaciones de la mancha de Arago a la sombra de discos de 4 mm, 2 mm y 1 mm de diámetro, fotografiados 1 m detrás de cada disco. Los discos están iluminados por una luz de longitud de onda de 633 nm, que diverge desde un punto situado a 1 m delante de cada disco. Cada imagen tiene 16 mm de ancho.

Aspectos experimentales

Intensidad y tamaño

Para una fuente puntual ideal , la intensidad de la mancha de Arago es igual a la del frente de onda no perturbado . Sólo la anchura del pico de intensidad del punto Arago depende de las distancias entre la fuente, el objeto circular y la pantalla, así como de la longitud de onda de la fuente y el diámetro del objeto circular. Esto significa que se puede compensar una reducción en la longitud de onda de la fuente aumentando la distancia entre el objeto circular y la pantalla o reduciendo el diámetro del objeto circular.

La distribución de intensidad lateral en la pantalla tiene de hecho la forma de una función de Bessel cero al cuadrado del primer tipo cuando está cerca del eje óptico y utiliza una fuente de onda plana (fuente puntual en el infinito): ^[21] donde $${\displaystyle U(P_{1},r)\propto J_{0}^{2}\left({\frac {\pi rd}{\lambda b}}\right)}$$

• r es la distancia del punto P ₁ en la pantalla desde el eje óptico
• d es el diámetro del objeto circular
• λ es la longitud de onda
• b es la distancia entre el objeto circular y la pantalla.

Las siguientes imágenes muestran la distribución de intensidad radial de las imágenes simuladas del punto Arago arriba:

Las líneas rojas en estos tres gráficos corresponden a las imágenes simuladas arriba, y las líneas verdes se calcularon aplicando los parámetros correspondientes a la función de Bessel al cuadrado dada arriba.

Tamaño de fuente finito y coherencia espacial.

La razón principal por la que la mancha de Arago es difícil de observar en sombras circulares provenientes de fuentes de luz convencionales es que dichas fuentes de luz son malas aproximaciones de las fuentes puntuales. Si la fuente de onda tiene un tamaño finito S, entonces el punto de Arago tendrá una extensión dada por Sb / g , como si el objeto circular actuara como una lente. ^[17] Al mismo tiempo, la intensidad de la mancha de Arago se reduce con respecto a la intensidad del frente de onda no perturbado. Al definir la intensidad relativa como la intensidad dividida por la intensidad del frente de onda no perturbado, la intensidad relativa para una fuente circular extendida de diámetro w se puede expresar exactamente usando la siguiente ecuación: ^[22] donde y son las funciones de Bessel del primer tipo. es el radio del disco que proyecta la sombra, la longitud de onda y la distancia entre la fuente y el disco. Para fuentes grandes se aplica la siguiente aproximación asintótica: ^[22] ${\displaystyle I_{\text{rel}}}$ $${\displaystyle I_{\text{rel}}(w)=J_{0}^{2}\left({\frac {wR\pi }{g\lambda }}\right)+J_{1}^{2}\left({\frac {wR\pi }{g\lambda }}\right)}$$ ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle I_{\text{rel}}(w)\approx {\frac {2g\lambda }{\pi ^{2}wR}}}$$

Desviación de la circularidad

Si la sección transversal del objeto circular se desvía ligeramente de su forma circular (pero todavía tiene un borde afilado en una escala más pequeña), la forma del punto de origen puntual de Arago cambia. En particular, si el objeto tiene una sección transversal elipsoidal, la mancha de Arago tiene la forma de una evoluta . ^[23] Tenga en cuenta que este es sólo el caso si la fuente está cerca de una fuente puntual ideal. Desde una fuente ampliada, la mancha de Arago sólo se ve afectada marginalmente, ya que se puede interpretar la mancha de Arago como una función de dispersión de puntos . Por lo tanto, la imagen de la fuente extendida sólo se desvanece debido a la convolución con la función de dispersión de puntos, pero no disminuye en intensidad general.

Rugosidad de la superficie de un objeto circular.

La mancha de Arago es muy sensible a pequeñas desviaciones de la sección circular ideal. Esto significa que una pequeña cantidad de rugosidad en la superficie del objeto circular puede anular completamente el punto brillante. Esto se muestra en los siguientes tres diagramas que son simulaciones de la mancha de Arago a partir de un disco de 4 mm de diámetro ( g = b = 1 m ):

La simulación incluye una corrugación sinusoidal regular de forma circular con una amplitud de 10 μm, 50 μm y 100 μm, respectivamente. Tenga en cuenta que la corrugación del borde de 100 μm elimina casi por completo el punto brillante central.

Este efecto se puede entender mejor utilizando el concepto de zona de Fresnel . El campo transmitido por un segmento radial que parte de un punto del borde del obstáculo proporciona una contribución cuya fase está ajustada a la posición del punto del borde con respecto a las zonas de Fresnel. Si la variación en el radio del obstáculo es mucho menor que el ancho de la zona de Fresnel cerca del borde, las contribuciones de los segmentos radiales están aproximadamente en fase e interfieren constructivamente. Sin embargo, si la corrugación del borde aleatorio tiene una amplitud comparable o mayor que el ancho de esa zona de Fresnel adyacente, las contribuciones de los segmentos radiales ya no están en fase y se cancelan entre sí, reduciendo la intensidad del punto de Arago.

La zona de Fresnel adyacente viene dada aproximadamente por: ^[24] $${\displaystyle \Delta r\approx {\sqrt {r^{2}+\lambda {\frac {gb}{g+b}}}}-r.}$$

La corrugación del borde no debe ser mucho más del 10% de este ancho para ver un punto Arago cercano al ideal. En las simulaciones anteriores con el disco de 4 mm de diámetro, la zona de Fresnel adyacente tiene un ancho de aproximadamente 77 µm.

Mancha de Arago con ondas de materia.

En 2009, se demostró el experimento de la mancha Arago con un haz de expansión supersónica de moléculas de deuterio (un ejemplo de ondas de materia neutra ). ^{[24] Gracias a} la mecánica cuántica se sabe que las partículas materiales se comportan como ondas . En realidad, la naturaleza ondulatoria de las partículas se remonta a la hipótesis de De Broglie ^[25], así como a los experimentos de Davisson y Germer . ^[26] Una mancha de Arago de electrones, que también constituyen ondas de materia, se puede observar en microscopios electrónicos de transmisión al examinar estructuras circulares de cierto tamaño.

La observación de una mancha de Arago con moléculas grandes, demostrando así su naturaleza ondulatoria, es un tema de investigación actual. ^[24]

Otras aplicaciones

Además de la demostración del comportamiento de las olas, la mancha de Arago también tiene otras aplicaciones. Una de las ideas es utilizar el punto de Arago como referencia de línea recta en sistemas de alineación. ^[27] Otra es investigar las aberraciones en los rayos láser utilizando la sensibilidad del punto a las aberraciones del haz . ^[21] Finalmente, el aragoscopio se ha propuesto como un método para mejorar drásticamente la resolución limitada por difracción de los telescopios espaciales. ^{[28] [29]}

Ver también

• Aragoscopio
• disco de ocultación

Referencias

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3. "Aunque este fenómeno a menudo se llama mancha de Poisson, Poisson probablemente no estaba feliz de haberlo visto porque apoyaba el modelo ondulatorio de la luz. La mancha a veces se llama mancha de Fresnel porque es una consecuencia directa de su trabajo, y mancha de Arago porque Arago ideó el experimento que confirmó su existencia." Katz, Debora M., Física para científicos e ingenieros: fundamentos y conexiones, edición avanzada, volumen 2, Cengage Learning, 2015. ISBN 1305537203 
4. Pedrotti, Frank L.; Pedrotti, Leno S.; Pedrotti, Leno M. (2007), Introducción a la óptica (3.ª ed.), Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson Education , p. 315, ISBN 978-0-13-149933-1
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6. Ohanian, Hans (1989), Física (2ª ed.), WW Norton , p. 984, ISBN 0-393-95786-1
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11. Fresnel, AJ (1868), OEuvres Completes 1, París: Imprimerie impériale
12. Fresnel 1868, pag. 369
13. Aragó (1819). "Rapport fait par M. Arago à l'Académie des Sciences, au nom de la Commission qui avait été chargée d'examiner les Mémoires envoyés au concours pour le prix de la difraction" [Informe presentado por el Sr. Arago a la Academia de Ciencias en nombre de la comisión encargada de examinar las memorias presentadas al concurso para el premio de difracción.]. Annales de Chimie et de Physique . 2da serie (en francés). 11 : 5–30.De la pág. 16: "L'un de vos commissaires, M. Poisson, avait déduit des intégrales rapportées par l'auteur, le résultat singulier que le centre de l'ombre d'un écran circulaire opaque devait, lorsque les rayons y pénétraient sous des incidencias peu obliques, être aussi éclairé que si l'écran n'existait pas. Esta consecuencia a été soumise à l'épreuve d'une expérience directe, et l'observation a parfaitement confirmé le calcule (e)." (Uno de sus comisionados, el Sr. Poisson, había deducido de las integrales [que habían sido] informadas por el autor [es decir, el Sr. Fresnel], el extraño resultado de que el centro de la sombra de una pantalla circular opaca debería - cuando el Los rayos [de luz] penetran en ella [es decir, la sombra] con incidencias ligeramente oblicuas y también se iluminan como si la pantalla no existiera. Este resultado se sometió a la prueba de un experimento directo y la observación confirmó perfectamente el cálculo (. mi).)
14. Arago, F. "Mémoire sur la méthode des interférences appliquée à la recherche des indices de réfraction". Obras completas . págs. 312–334. Cuando un cuerpo opaco está colocado en un marco de luz, su ombre está bordeado en el exterior de bandas de diversos matices y de diversos tamaños. Ces bandes ont été étudiées par Newton dans le premier livre de son Optique; mais ce célèbre physicien ne parle pas des bandes non moins remarquables qui se forment dans l'intérieur de l'ombre des corps déliés, quoique Grimaldi en eût déjà donné una descripción detallada dans son ouvrage, et il afirme même positivment qu'aucune lumière ne pénètre dans l'ombre géométrique. La inexactitud de este resultado fut suffisamment prouvée par Maraldi et De l'Isle, qui, du reste, n'ajoutèrent rien de Saillant à ce que Grimaldi avait decouvert longtemps avant. [Cuando un cuerpo opaco se coloca bajo un haz de luz, su sombra está bordeada por fuera por bandas de diversos tonos y anchos. Estas bandas fueron estudiadas por Newton en el primer libro de su Óptica; pero este célebre físico no habla de las no menos notables bandas que se forman en el interior de la sombra de los cuerpos sueltos, aunque Grimaldi ya había dado una descripción detallada de ellas en su obra, e incluso afirma positivamente que ninguna luz entra en las zonas geométricas. sombra. La inexactitud de este resultado fue suficientemente demostrada por Maraldi y De l'Isle, quienes, además, no añadieron nada destacado a lo que Grimaldi había descubierto mucho antes.]
15. Delisle, J.-N. (1715). "Sur l'expérience que j'ai rapportée à l'Academie d'un anneau lumineux semblable à celui que l'on apperçoit autour de la lune dans les eclipses totales du soleil" [Sobre la experiencia que informé a la Academia sobre un anillo luminoso similar al que se ve alrededor de la luna durante un eclipse solar total]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences ... Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique (en francés): 166–169. Delisle menciona que cuando una pequeña bola era iluminada por la luz del sol, la sombra de la bola contenía anillos brillantes y oscuros alternados concéntricos con el centro de la sombra de la bola.
16. Maraldi, GF (1723). "Diverses expèriences d'optique" [Varios experimentos ópticos]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences ... Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique (en francés): 111–143. De la pág. 140: "La lumiere plus grande au milieu des petites plus petites, fait voir qu'elle circule en plus grande abondance & plus facilement autour des petites boules qu'autour des grandes". (Más luz en el medio de las bolas más pequeñas muestra que [es decir, la luz] se propaga con mayor abundancia y más fácilmente alrededor de las bolas pequeñas que alrededor de las grandes). La Fig. 8 de la Ilustración 6 (siguiendo la página 142) muestra la luz. en el centro de la sombra de una bola (en el régimen donde la mancha y sus franjas cubren la mayor parte de la sombra).
17. Sommerfeld, Arnold (1978), Vorlesungen über Theoretische Physik: Optik (en alemán), vol. 4 (3.ª ed.), Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-87144-377-8
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