Función de Green (teoría de muchos cuerpos)

Correladores de operadores de campo.

En la teoría de muchos cuerpos , el término función de Green (o función de Green ) se utiliza a veces indistintamente con función de correlación , pero se refiere específicamente a correlacionadores de operadores de campo u operadores de creación y aniquilación .

El nombre proviene de las funciones de Green utilizadas para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas , con las que están vagamente relacionadas. (Específicamente, sólo las 'funciones de Green' de dos puntos en el caso de un sistema que no interactúa son funciones de Green en el sentido matemático; el operador lineal que invierten es el operador hamiltoniano , que en el caso que no interactúa es cuadrático en el caso de un sistema que no interactúa. campos.)

Caso espacialmente uniforme

Definiciones basicas

Consideramos una teoría de muchos cuerpos con operador de campo (operador de aniquilación escrito en base a la posición) . ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$

Los operadores de Heisenberg se pueden escribir en términos de operadores de Schrödinger como y el operador de creación es , donde está el hamiltoniano gran canónico . $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=e^{iKt}\psi (\mathbf {x} )e^{-iKt},}$$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,t)=[\psi (\mathbf {x} ,t)]^{\dagger }}$ ${\displaystyle K=H-\mu N}$

De manera similar, para los operadores de tiempo imaginario , [tenga en cuenta que el operador de creación de tiempo imaginario no es el conjugado hermitiano del operador de aniquilación .] $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )=e^{K\tau }\psi (\mathbf {x} )e^{-K\tau }}$$ $${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )=e^{K\tau }\psi ^{\dagger }(\mathbf {x} )e^{-K\tau }.}$$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )}$

En tiempo real, la función -point Green se define por dónde hemos utilizado una notación condensada en la que significa y significa . El operador denota ordenamiento temporal e indica que los operadores de campo que le siguen deben ordenarse de modo que sus argumentos temporales aumenten de derecha a izquierda. ${\displaystyle 2n}$ $${\displaystyle G^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=i^{n}\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,}$$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} _{j},t_{j})}$ ${\displaystyle j'}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} _{j}',t_{j}')}$ ${\displaystyle T}$

En tiempo imaginario, la definición correspondiente es donde significa . (Las variables de tiempo imaginario están restringidas al rango de temperatura inversa ). $${\displaystyle {\mathcal {G}}^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,}$$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{j},\tau _{j}}$ ${\displaystyle \tau _{j}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\textstyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$

Nota sobre los signos y la normalización utilizados en estas definiciones: Los signos de las funciones de Green se han elegido de modo que la transformada de Fourier de la función Green térmica de dos puntos ( ) para una partícula libre sea y la función Green retardada sea donde esté la frecuencia de Matsubara . ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{-i\omega _{n}+\xi _{\mathbf {k} }}},}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +i\eta )+\xi _{\mathbf {k} }}},}$$ $${\displaystyle \omega _{n}={\frac {[2n+\theta (-\zeta )]\pi }{\beta }}}$$

En todo momento, es para bosones y fermiones y denota un conmutador o anticonmutador , según corresponda. ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle [\ldots ,\ldots ]=[\ldots ,\ldots ]_{-\zeta }}$

(Consulte a continuación para obtener más detalles).

Funciones de dos puntos

La función de Green con un solo par de argumentos ( ) se conoce como función de dos puntos o propagador . En presencia de simetría traslacional tanto espacial como temporal, depende sólo de la diferencia de sus argumentos. Al tomar la transformada de Fourier con respecto al espacio y al tiempo, se obtiene dónde está la suma sobre las frecuencias apropiadas de Matsubara (y la integral implica un factor implícito de , como es habitual). ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} \tau \mid \mathbf {x} '\tau ')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} {\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-i\omega _{n}(\tau -\tau ')},}$$ ${\displaystyle (L/2\pi )^{d}}$

En tiempo real, indicaremos explícitamente la función ordenada en el tiempo con un superíndice T: $${\displaystyle G^{\mathrm {T} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} \int {\frac {d\omega }{2\pi }}G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-i\omega (t-t')}.}$$

La función de Green de dos puntos en tiempo real se puede escribir en términos de funciones de Green "retardadas" y "avanzadas", que resultarán tener propiedades de analiticidad más simples. Las funciones Green retardada y avanzada están definidas por y respectivamente. $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=-i\langle [\psi (\mathbf {x} ,t),{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t-t')}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {A} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=i\langle [\psi (\mathbf {x} ,t),{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t'-t),}$$

Están relacionados con la función de Green ordenada en el tiempo por donde está la función de distribución de Bose-Einstein o Fermi-Dirac . $${\displaystyle G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )=[1+\zeta n(\omega )]G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )-\zeta n(\omega )G^{\mathrm {A} }(\mathbf {k} ,\omega ),}$$ $${\displaystyle n(\omega )={\frac {1}{e^{\beta \omega }-\zeta }}}$$

Ordenamiento en tiempo imaginario yb-periodicidad

Las funciones térmicas de Green se definen sólo cuando ambos argumentos de tiempo imaginario están dentro del rango de . La función Green de dos puntos tiene las siguientes propiedades. (Los argumentos de posición o impulso se suprimen en esta sección). ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \beta }$

En primer lugar, depende sólo de la diferencia de los tiempos imaginarios: se permite que el argumento vaya desde hasta . $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau ,\tau ')={\mathcal {G}}(\tau -\tau ').}$$ ${\displaystyle \tau -\tau '}$ ${\displaystyle -\beta }$ ${\displaystyle \beta }$

En segundo lugar, es (anti)periódico bajo cambios de . Debido al pequeño dominio dentro del cual se define la función, esto significa solo para . El ordenamiento temporal es crucial para esta propiedad, lo que se puede demostrar directamente utilizando la ciclicidad de la operación de seguimiento. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau )}$ ${\displaystyle \beta }$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau -\beta )=\zeta {\mathcal {G}}(\tau ),}$$ ${\displaystyle 0<\tau <\beta }$

Estas dos propiedades permiten la representación de la transformada de Fourier y su inversa, $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})=\int _{0}^{\beta }d\tau \,{\mathcal {G}}(\tau )\,e^{i\omega _{n}\tau }.}$$

Finalmente, observe que tiene una discontinuidad en ; esto es consistente con un comportamiento a larga distancia de . ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau )}$ ${\displaystyle \tau =0}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})\sim 1/|\omega _{n}|}$

Representación espectral

Los propagadores en tiempo real e imaginario pueden relacionarse con la densidad espectral (o peso espectral), dada por donde | α ⟩ se refiere a un estado propio (de muchos cuerpos) del gran canónico hamiltoniano H − μN , con valor propio E _α . $${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}2\pi \delta (E_{\alpha }-E_{\alpha '}-\omega )|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}\left(e^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta e^{-\beta E_{\alpha }}\right),}$$

El propagador de tiempo imaginario viene entonces dado por y el propagador retardado por donde el límite está implícito. $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-i\omega _{n}+\omega '}}~,}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-(\omega +i\eta )+\omega '}},}$$ ${\displaystyle \eta \to 0^{+}}$

El propagador avanzado viene dado por la misma expresión, pero con el denominador. ${\displaystyle -i\eta }$

La función ordenada en el tiempo se puede encontrar en términos de y . Como se afirmó anteriormente, y tienen propiedades de analiticidad simples: el primero (último) tiene todos sus polos y discontinuidades en el semiplano inferior (superior). ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {A} }}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\omega )}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {A} }(\omega )}$

El propagador térmico tiene todos sus polos y discontinuidades en el eje imaginario. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$

La densidad espectral se puede encontrar de forma muy sencilla a partir de , utilizando el teorema de Sokhatsky-Weierstrass donde P denota la parte principal de Cauchy . Esto da ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$ $${\displaystyle \lim _{\eta \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\eta }}=P{\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$$ $${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\operatorname {Im} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ).}$$

Esto implica además que obedece a la siguiente relación entre sus partes real e imaginaria: donde denota el valor principal de la integral. ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )}$ $${\displaystyle \operatorname {Re} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=-2P\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\operatorname {Im} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ')}{\omega -\omega '}},}$$ ${\displaystyle P}$

La densidad espectral obedece a una regla de suma, que da como . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}\rho (\mathbf {k} ,\omega )=1,}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\omega )\sim {\frac {1}{|\omega |}}}$$ ${\displaystyle |\omega |\to \infty }$

Transformada de Hilbert

La similitud de las representaciones espectrales de las funciones de Green en tiempo imaginario y real nos permite definir la función que está relacionada con y por y. Obviamente, una expresión similar es válida para . $${\displaystyle G(\mathbf {k} ,z)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,x)}{-z+x}},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=G(\mathbf {k} ,i\omega _{n})}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=G(\mathbf {k} ,\omega +i\eta ).}$$ ${\displaystyle G^{\mathrm {A} }}$

La relación entre y se conoce como transformada de Hilbert . ${\displaystyle G(\mathbf {k} ,z)}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,x)}$

Prueba de representación espectral

Demostramos la prueba de la representación espectral del propagador en el caso de la función térmica de Green, definida como $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {x} ',\tau ')=\langle T\psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',\tau ')\rangle .}$$

Debido a la simetría traslacional, solo es necesario considerar for , dado por Insertar un conjunto completo de estados propios da ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)}$ ${\displaystyle \tau >0}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .}$$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid {\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .}$$

Dado que y son estados propios de , los operadores de Heisenberg se pueden reescribir en términos de operadores de Schrödinger, dando. Al realizar la transformada de Fourier se obtiene ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |\alpha '\rangle }$ ${\displaystyle H-\mu N}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau |\mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}e^{\tau (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {0} )\mid \alpha '\rangle .}$$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}{\frac {1-\zeta e^{\beta (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}}{-i\omega _{n}+E_{\alpha }-E_{\alpha '}}}\int _{\mathbf {k} '}d\mathbf {k} '\langle \alpha \mid \psi (\mathbf {k} )\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} ')\mid \alpha \rangle .}$$

La conservación del momento permite escribir el término final como (hasta posibles factores del volumen), lo que confirma las expresiones de las funciones de Green en la representación espectral. $${\displaystyle |\langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} )\mid \alpha \rangle |^{2},}$$

La regla de la suma se puede probar considerando el valor esperado del conmutador y luego insertando un conjunto completo de estados propios en ambos términos del conmutador: $${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha }\langle \alpha \mid e^{-\beta (H-\mu N)}[\psi _{\mathbf {k} },\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }]_{-\zeta }\mid \alpha \rangle ,}$$ $${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha }}\left(\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \rangle -\zeta \langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha \rangle \right).}$$

Al intercambiar las etiquetas en el primer término se obtiene cuál es exactamente el resultado de la integración de ρ . $${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\left(e^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta e^{-\beta E_{\alpha }}\right)|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}~,}$$

Caso que no interactúa

En el caso de no interacción, es un estado propio con energía (gran canónica) , donde se mide la relación de dispersión de una sola partícula con respecto al potencial químico. Por lo tanto, la densidad espectral se convierte en ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle }$ ${\displaystyle E_{\alpha '}+\xi _{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \xi _{\mathbf {k} }=\epsilon _{\mathbf {k} }-\mu }$ $${\displaystyle \rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\,2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k} }-\omega )\sum _{\alpha '}\langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle (1-\zeta e^{-\beta \xi _{\mathbf {k} }})e^{-\beta E_{\alpha '}}.}$$

De las relaciones de conmutación, con posibles factores del volumen nuevamente. La suma, que involucra el promedio térmico del operador numérico, da simplemente , dejando $${\displaystyle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle =\langle \alpha '\mid (1+\zeta \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\psi _{\mathbf {k} })\mid \alpha '\rangle ,}$$ ${\displaystyle [1+\zeta n(\xi _{\mathbf {k} })]{\mathcal {Z}}}$ $${\displaystyle \rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k} }-\omega ).}$$

El propagador de tiempo imaginario es así y el propagador retardado es $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-i\omega _{n}+\xi _{\mathbf {k} }}}}$$ $${\displaystyle G_{0}^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +i\eta )+\xi _{\mathbf {k} }}}.}$$

Límite de temperatura cero

Como β → ∞ , la densidad espectral se vuelve donde α = 0 corresponde al estado fundamental. Tenga en cuenta que sólo el primer (segundo) término contribuye cuando ω es positivo (negativo). $${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \sum _{\alpha }\left[\delta (E_{\alpha }-E_{0}-\omega )\left|\left\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid 0\right\rangle \right|^{2}-\zeta \delta (E_{0}-E_{\alpha }-\omega )\left|\left\langle 0\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \right\rangle \right|^{2}\right]}$$

Caso general

Definiciones basicas

Podemos usar 'operadores de campo' como arriba, u operadores de creación y aniquilación asociados con otros estados de una sola partícula, tal vez estados propios de la energía cinética (que no interactúa). Luego usamos donde está el operador de aniquilación para el estado de una sola partícula y es la función de onda de ese estado en base a la posición. Esto da una expresión similar para . $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )=\varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )\psi _{\alpha }(\tau ),}$$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}|\beta _{1}\ldots \beta _{n}}^{(n)}(\tau _{1}\ldots \tau _{n}|\tau _{1}'\ldots \tau _{n}')=\langle T\psi _{\alpha _{1}}(\tau _{1})\ldots \psi _{\alpha _{n}}(\tau _{n}){\bar {\psi }}_{\beta _{n}}(\tau _{n}')\ldots {\bar {\psi }}_{\beta _{1}}(\tau _{1}')\rangle }$$ ${\displaystyle G^{(n)}}$

Funciones de dos puntos

Estos dependen sólo de la diferencia de sus argumentos de tiempo, de modo que y $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})\,e^{-i\omega _{n}(\tau -\tau ')}}$$ $${\displaystyle G_{\alpha \beta }(t\mid t')=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}\,G_{\alpha \beta }(\omega )\,e^{-i\omega (t-t')}.}$$

Podemos nuevamente definir funciones retrasadas y avanzadas de la manera obvia; estos están relacionados con la función ordenada en el tiempo de la misma manera que antes.

Las mismas propiedades de periodicidad descritas anteriormente se aplican a . En concreto, y para . ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau -\tau ')}$$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau )={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau +\beta ),}$$ ${\displaystyle \tau <0}$

Representación espectral

En este caso, donde y son estados de muchos cuerpos. $${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m,n}2\pi \delta (E_{n}-E_{m}-\omega )\;\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle \left(e^{-\beta E_{m}}-\zeta e^{-\beta E_{n}}\right),}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Las expresiones para las funciones de Green se modifican de las maneras obvias: y $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-i\omega _{n}+\omega '}}}$$ $${\displaystyle G_{\alpha \beta }^{\mathrm {R} }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-(\omega +i\eta )+\omega '}}.}$$

Sus propiedades de analiticidad son idénticas y definidas en el caso traslacionalmente invariante. La demostración sigue exactamente los mismos pasos, excepto que los dos elementos de la matriz ya no son conjugados complejos. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )}$

Caso de no interacción

Si los estados particulares de una sola partícula que se eligen son 'estados propios de energía de una sola partícula', es decir, entonces para un estado propio: también lo es : y también lo es : $${\displaystyle [H-\mu N,\psi _{\alpha }^{\dagger }]=\xi _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\dagger },}$$ ${\displaystyle |n\rangle }$ $${\displaystyle (H-\mu N)\mid n\rangle =E_{n}\mid n\rangle ,}$$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }\mid n\rangle }$ $${\displaystyle (H-\mu N)\psi _{\alpha }\mid n\rangle =(E_{n}-\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }\mid n\rangle ,}$$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle }$ $${\displaystyle (H-\mu N)\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle =(E_{n}+\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle .}$$

Por lo tanto tenemos $${\displaystyle \langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\delta _{E_{n},E_{m}+\xi _{\alpha }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle .}$$

Luego reescribimos el uso y el hecho de que el promedio térmico del operador numérico da la función de distribución de Bose-Einstein o Fermi-Dirac. $${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m,n}2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle e^{-\beta E_{m}}\left(1-\zeta e^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),}$$ $${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m}2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }e^{-\beta (H-\mu N)}\mid m\rangle \left(1-\zeta e^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),}$$ $${\displaystyle \langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\alpha ,\beta }\langle m\mid \zeta \psi _{\alpha }^{\dagger }\psi _{\alpha }+1\mid m\rangle }$$

Finalmente, la densidad espectral se simplifica para dar de modo que la función de Green térmica sea y la función de Green retardada sea. Tenga en cuenta que la función de Green que no interactúa es diagonal, pero esto no será cierto en el caso de interacción. $${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }=2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\alpha \beta },}$$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-i\omega _{n}+\xi _{\beta }}}}$$ $${\displaystyle G_{\alpha \beta }(\omega )={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-(\omega +i\eta )+\xi _{\beta }}}.}$$

Ver también

• Teorema de fluctuación
• Relaciones Verde-Kubo
• Función de respuesta lineal
• ecuación de Lindblad
• Propagador
• Función de correlación (teoría cuántica de campos)
• Continuación analítica numérica

Referencias

Libros

• Bonch-Bruevich VL, Tyablikov SV (1962): El método de la función verde en mecánica estadística. Compañía editorial de Holanda del Norte.
• Abrikosov, AA, Gorkov, LP y Dzyaloshinski, IE (1963): Métodos de la teoría cuántica de campos en física estadística Englewood Cliffs: Prentice-Hall.
• Negele, JW y Orland, H. (1988): Sistemas cuánticos de muchas partículas AddisonWesley.
• Zubarev DN , Morozov V., Ropke G. (1996): Mecánica estadística de procesos de desequilibrio: conceptos básicos, teoría cinética (Vol. 1). John Wiley e hijos. ISBN  3-05-501708-0 .
• Mattuck Richard D. (1992), Guía de diagramas de Feynman en el problema de muchos cuerpos , Publicaciones de Dover, ISBN 0-486-67047-3 . 

Documentos

• Bogolyubov NN , Tyablikov SV Funciones verdes retrasadas y avanzadas en física estadística, Física soviética Doklady, vol. 4 , pág. 589 (1959).
• Zubarev DN , Funciones verdes de doble tiempo en física estadística, Física soviética Uspekhi 3 (3), 320–345 (1960).

enlaces externos

• Funciones de respuesta lineal en Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt y Alexander Lichtenstein (eds.): DMFT at 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN 978-3-89336-953-9