En la teoría cuántica de campos térmicos, los campos cuánticos bosónicos y fermiónicos son, respectivamente, periódicos o antiperiódicos en tiempo imaginario , con periodicidad . La suma de Matsubara se refiere a la técnica de expandir estos campos en series de Fourier.
Las frecuencias se denominan frecuencias de Matsubara y toman valores de cualquiera de los siguientes conjuntos (con ):
frecuencias bosónicas:
frecuencias fermiónicas:
que imponen respectivamente condiciones de contorno periódicas y antiperiódicas en el campo .
Una vez realizadas dichas sustituciones, ciertos diagramas que contribuyen a la acción toman la forma de una denominada suma de Mastubara.
La suma convergerá si tiende a 0 en el límite de una manera más rápida que . La suma sobre frecuencias bosónicas se denota como (con ), mientras que sobre frecuencias fermiónicas se denota como (con ). es el signo estadístico.
Además de la teoría cuántica de campos térmicos, el método de suma de frecuencias de Matsubara también juega un papel esencial en el enfoque diagramático de la física del estado sólido, es decir, si se consideran los diagramas a temperatura finita. [2] [3] [4]
En términos generales, si en , un cierto diagrama de Feynman está representado por una integral , a temperatura finita está dado por la suma .
Formalismo de suma
Formalismo general
El truco para evaluar la suma de frecuencias de Matsubara es usar una función de ponderación de Matsubara h η ( z ) que tenga polos simples ubicados exactamente en . [4] Las funciones de ponderación en el caso del bosón η = +1 y el caso del fermión η = −1 difieren. La elección de la función de ponderación se discutirá más adelante. Con la función de ponderación, la suma puede reemplazarse por una integral de contorno que rodea el eje imaginario.
Como en la figura 1, la función de ponderación genera polos (cruces rojas) en el eje imaginario. La integral de contorno recoge el residuo de estos polos, que es equivalente a la suma. Este procedimiento a veces se denomina transformación de Sommerfeld-Watson. [5]
Mediante la deformación de las líneas de contorno para encerrar los polos de g ( z ) (la cruz verde en la Fig. 2), la suma se puede lograr formalmente sumando el residuo de g ( z ) h η ( z ) sobre todos los polos de g ( z ),
Nótese que se produce un signo menos, porque el contorno se deforma para encerrar los polos en el sentido de las agujas del reloj, lo que da como resultado un residuo negativo.
Elección de la función de ponderación de Matsubara
Para producir polos simples en frecuencias de bosones , se puede elegir cualquiera de los dos tipos siguientes de funciones de ponderación de Matsubara
Dependiendo del semiplano en el que se deba controlar la convergencia, controla la convergencia en el semiplano izquierdo (Re z < 0), mientras que controla la convergencia en el semiplano derecho (Re z > 0). Aquí está la función de distribución de Bose-Einstein .
El caso es similar para las frecuencias de fermiones. También hay dos tipos de funciones de ponderación de Matsubara que producen polos simples en
controla la convergencia en el semiplano izquierdo (Re z < 0), mientras que controla la convergencia en el semiplano derecho (Re z > 0). Aquí está la función de distribución de Fermi-Dirac .
En la aplicación al cálculo de la función de Green, g ( z ) siempre tiene la estructura
que diverge en el semiplano izquierdo dado 0 < τ < β . Para controlar la convergencia, siempre se elige la función de ponderación del primer tipo . Sin embargo, no es necesario controlar la convergencia si la suma de Matsubara no diverge. En ese caso, cualquier elección de la función de ponderación de Matsubara conducirá a resultados idénticos.
Tabla de sumas de frecuencias de Matsubara
La siguiente tabla contiene
algunas funciones racionales simples g ( z ). El símbolo η = ±1 es el signo estadístico, +1 para bosones y -1 para fermiones.
[1] Dado que la suma no converge, el resultado puede diferir según la elección de la función de ponderación de Matsubara.
[2] (1 ↔ 2) denota la misma expresión que la anterior pero con los índices 1 y 2 intercambiados.
Aplicaciones en física
Límite de temperatura cero
En este límite , la suma de frecuencias de Matsubara es equivalente a la integración de la frecuencia imaginaria sobre el eje imaginario.
Algunas de las integrales no convergen. Se deben regularizar introduciendo el corte de frecuencia y luego restando la parte divergente ( dependiente de) de la integral antes de tomar el límite de . Por ejemplo, la energía libre se obtiene mediante la integral del logaritmo,
es decir, a temperatura cero, la energía libre simplemente se relaciona con la energía interna por debajo del potencial químico. Además, la función de distribución se obtiene mediante la siguiente integral.
que muestra el comportamiento de la función escalonada a temperatura cero.
Función de Green relacionada
Dominio del tiempo
Consideremos una función G ( τ ) definida en el intervalo de tiempo imaginario (0, β ). Puede expresarse en términos de la serie de Fourier,
donde la frecuencia solo toma valores discretos espaciados por 2 π / β .
La elección particular de la frecuencia depende de la condición de contorno de la función G ( τ ). En física, G ( τ ) representa la representación temporal imaginaria de la función de Green.
Satisface la condición de contorno periódica G ( τ + β )= G ( τ ) para un campo de bosones. Mientras que para un campo de fermiones la condición de contorno es antiperiódica G ( τ + β ) = − G ( τ ).
Dada la función de Green G ( iω ) en el dominio de la frecuencia, su representación temporal imaginaria G ( τ ) se puede evaluar mediante la suma de frecuencias de Matsubara. Dependiendo de las frecuencias de bosones o fermiones que se van a sumar, el G ( τ ) resultante puede ser diferente. Para distinguir, defina
con
Nótese que τ está restringido en el intervalo principal (0, β ). La condición de contorno se puede utilizar para extender G ( τ ) fuera del intervalo principal. Algunos resultados utilizados con frecuencia se deducen de la siguiente tabla.
Efecto de cambio de operador
El tiempo imaginario pequeño juega un papel fundamental aquí. El orden de los operadores cambiará si el tiempo imaginario pequeño cambia de signo.
Función de distribución
La evaluación de la función de distribución se vuelve complicada debido a la discontinuidad de la función de Green G ( τ ) en τ = 0. Para evaluar la suma
Ambas opciones de la función de ponderación son aceptables, pero los resultados son diferentes. Esto se puede entender si alejamos un poco G ( τ ) de τ = 0, entonces para controlar la convergencia, debemos tomar como función de ponderación para , y para .
Bosones
Fermiones
Energía libre
Bosones
Fermiones
Evaluaciones de diagramas
Aquí se evalúan los diagramas que se encuentran con frecuencia con la configuración de modo único. Los problemas de modo múltiple se pueden abordar mediante una integral de función espectral. Aquí se muestra una frecuencia de Matsubara fermiónica, mientras que es una frecuencia de Matsubara bosónica.
Energía propia del fermión
Burbuja de partículas y agujeros
Burbuja partícula-partícula
Apéndice: Propiedades de las funciones de distribución
Funciones de distribución
La notación general representa la función de distribución de Bose ( η = +1) o de Fermi ( η = −1).
Si es necesario, se utilizan las notaciones específicas n B y n F para indicar las funciones de distribución de Bose y Fermi respectivamente.
Relación con funciones hiperbólicas
La función de distribución de Bose está relacionada con la función cotangente hiperbólica por
La función de distribución de Fermi está relacionada con la función tangente hiperbólica por
Paridad
Ambas funciones de distribución no tienen paridad definida,
Otra fórmula está en términos de la función
Sin embargo, sus derivados tienen paridad definida.
Transmutación de Bose-Fermi
Las funciones de distribución de Bose y Fermi se transmutan bajo un desplazamiento de la variable por la frecuencia fermiónica,
Sin embargo, el cambio según las frecuencias bosónicas no hace ninguna diferencia.
Derivados
Primer orden
En términos de producto:
En el límite de temperatura cero:
Segundo orden
Fórmula de la diferencia
Casoa= 0
Casoa→ 0
Casob→ 0
La funcióndoη
Definición:
Para el tipo Bose y Fermi:
Relación con funciones hiperbólicas
Es obvio que es positivo definido.
Para evitar desbordamientos en el cálculo numérico se utilizan las funciones tanh y coth
Agustín Nieto: Evaluación de sumas sobre las frecuencias de Matsubara. arXiv:hep-ph/9311210
Repositorio de Github: MatsubaraSum Un paquete de Mathematica para la suma de frecuencia de Matsubara.
A. Taheridehkordi, S. Curnoe, JPF LeBlanc: Integración algorítmica de Matsubara para modelos tipo Hubbard... arXiv:cond-mat/1808.05188
Referencias
^ Altland, Alexander; Simons, Ben D. (11 de marzo de 2010). Teoría de campos de materia condensada . Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511789984. ISBN 978-0-521-76975-4.