Fórmula de difracción de Kirchhoff

La fórmula de difracción de Kirchhoff ^{[1] [2]} (también llamada fórmula de difracción de Fresnel-Kirchhoff ) aproximala intensidad y la fase de la luz en la difracción óptica : campos de luz en las regiones límite de las sombras. La aproximación se puede utilizar para modelar la propagación de la luz en una amplia gama de configuraciones, ya sea analíticamente o mediante modelado numérico . Da una expresión para la perturbación de la onda cuando una onda esférica monocromática es la onda entrante de una situación bajo consideración. Esta fórmula se deriva aplicando el teorema integral de Kirchhoff , que utiliza la segunda identidad de Green para derivar la solución de la ecuación de onda escalar homogénea, a una onda esférica con algunas aproximaciones.

El principio de Huygens-Fresnel se deriva de la fórmula de difracción de Fresnel-Kirchhoff.

Derivación de la fórmula de difracción de Kirchhoff.

El teorema integral de Kirchhoff , a veces denominado teorema integral de Fresnel-Kirchhoff, ^[3] utiliza la segunda identidad de Green para derivar la solución de la ecuación de onda escalar homogénea en una posición espacial arbitraria P en términos de la solución de la ecuación de onda y su primera derivada de orden en todos los puntos de una superficie cerrada arbitraria como límite de algún volumen, incluido P . ${\displaystyle S}$

La solución proporcionada por el teorema integral para una fuente monocromática es donde es la parte espacial de la solución de la ecuación de onda escalar homogénea (es decir, como la solución de la ecuación de onda escalar homogénea), k es el número de onda y s es la distancia desde P a un elemento de superficie integral (infinitesimalmente pequeño), y denota diferenciación a lo largo del vector unitario normal del elemento de superficie integral (es decir, una derivada normal ), es decir, . Tenga en cuenta que la superficie normal o la dirección de es hacia el interior del volumen encerrado en esta integral; si se utiliza la normal que apunta hacia afuera, más habitual , la integral tendrá el signo opuesto. Y también tenga en cuenta que, en el teorema integral que se muestra aquí, y P son cantidades vectoriales mientras que otros términos son cantidades escalares . $${\displaystyle U({\textbf {P}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left[U{\frac {\partial }{\partial {\textbf {n}}}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial {\textbf {n}}}}\right]dS,}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)=U(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial n}}=\nabla f\cdot n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Para los casos siguientes, se hacen las siguientes suposiciones básicas.

• La distancia entre una fuente puntual de ondas y un área integral, la distancia entre el área integral y un punto de observación P y la dimensión de la abertura S son mucho mayores que la longitud de onda de la onda . ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle U}$y son discontinuos en los límites de la apertura, lo que se denomina condiciones de contorno de Kirchhoff . Esto puede estar relacionado con otra suposición de que las olas en una apertura (o un área abierta) son iguales a las olas que estarían presentes si no hubiera ningún obstáculo para las olas. ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}=\nabla U\cdot n}$

Punto de partida

Disposición geométrica utilizada para derivar la fórmula de difracción de Kirchhoff. El área designada por A ₁ es la abertura (abertura), las áreas marcadas por A ₂ son áreas opacas y A ₃ es el hemisferio como parte de la superficie integral cerrada (que consta de las áreas A ₁ , A ₂ y A ₃ ) para el teorema integral de Kirchhoff .

Considere una fuente puntual monocromática en P ₀ , que ilumina una abertura en una pantalla. La intensidad de la onda emitida por una fuente puntual disminuye como la inversa del cuadrado de la distancia recorrida, por lo que la amplitud disminuye como la inversa de la distancia. La amplitud compleja de la perturbación a distancia está dada por ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle U(r)={\frac {ae^{ikr}}{r}},}$$donde representa la magnitud de la perturbación en la fuente puntual. ${\displaystyle a}$

La perturbación en una posición espacial P se puede encontrar aplicando el teorema integral de Kirchhoff a la superficie cerrada formada por la intersección de una esfera de radio R con la pantalla. La integración se realiza sobre las áreas A ₁ , A ₂ y A ₃ , dando $${\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\left[\int _{A_{1}}+\int _{A_{2}}+\int _{A_{3}}\right]\left(U{\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial n}}\right)dS.}$$

Para resolver la ecuación, se supone que los valores de y en el área de apertura A ₁ son los mismos que cuando la pantalla no está presente, por lo que en la posición Q , donde es la longitud de la línea recta P ₀ Q , y es el ángulo entre una versión recta extendida de P ₀ Q y la normal (hacia adentro) a la apertura. Tenga en cuenta que también lo es un número real positivo en A ₁ . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$ $${\displaystyle U_{A_{1}}={\frac {ae^{ikr}}{r}},}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial U_{A_{1}}}{\partial n}}=\nabla U_{A_{1}}\cdot n={\frac {ae^{ikr}}{r}}\left[ik-{\frac {1}{r}}\right]\cos(n,r),}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (n,r)}$ ${\displaystyle 0<(n,r)<{\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \cos(n,r)}$

En Q , también tenemos dónde es la longitud de la línea recta PQ y es el ángulo entre una versión recta extendida de PQ y la normal (hacia adentro) a la apertura. Tenga en cuenta que también lo es un número real negativo en A ₁ . $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)={\frac {e^{iks}}{s}}\left[ik-{\frac {1}{s}}\right]\cos(n,s),}$$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (n,s)}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<(n,s)<{\frac {3\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \cos(n,s)}$

Se hacen dos suposiciones más siguientes.

• En las derivadas normales anteriores, se supone que los términos y en ambos corchetes son insignificantes en comparación con el número de onda , significa y son mucho mayores que la longitud de onda . ${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$ ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \lambda }$
• Kirchhoff supone que los valores de y sobre las áreas opacas marcadas por A ₂ son cero. Esto implica que y son discontinuos en el borde de la _abertura A1 . Este no es el caso y ésta es una de las aproximaciones utilizadas para derivar la fórmula de difracción de Kirchhoff. ^{[4] [5]} Estos supuestos a veces se denominan condiciones de contorno de Kirchhoff . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$

Se espera que la contribución del hemisferio A ₃ a la integral sea cero y puede justificarse por una de las siguientes razones.

1. Suponga que la fuente comienza a irradiar en un momento determinado y luego haga que R sea lo suficientemente grande, de modo que cuando se considere la perturbación en P , no haya llegado allí ninguna contribución de A _{3 .} ^[1] Tal onda ya no es monocromática , ya que una onda monocromática debe existir en todo momento, pero esa suposición no es necesaria, y se ha derivado un argumento más formal que evita su uso. ^[6]
2. Se espera que una onda emanada de la apertura A ₁ evolucione hacia una onda esférica a medida que se propaga (se pueden encontrar ejemplos de ondas de agua de esto en muchas imágenes que muestran una onda de agua pasando a través de una apertura relativamente estrecha). Entonces, si R es lo suficientemente grande, entonces la integral en A ₃ se convierte en donde y son la distancia desde el centro de la apertura A ₁ a un elemento de superficie integral y el ángulo sólido diferencial en el sistema de coordenadas esféricas , respectivamente. $${\displaystyle U(P)\sim -{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}{\frac {e^{2ik(r')}}{r'^{2}}}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{A_{3}}=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}e^{2ik(r')}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{\Omega }=0}$$ ${\displaystyle r'}$ ${\displaystyle d\Omega }$

Como resultado, finalmente, la integral anterior, que representa la amplitud compleja en P , se convierte en $${\displaystyle U(P)=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{ik(r+s)}}{rs}}[\cos(n,r)-\cos(n,s)]d{A_{1}}.}$$

Esta es la fórmula de difracción de Kirchhoff o Fresnel-Kirchhoff .

Equivalencia al principio de Huygens-Fresnel

Disposición geométrica utilizada para expresar la fórmula de Kirchhoff en una forma similar a Huygens-Fresnel

El principio de Huygens-Fresnel se puede derivar integrando sobre una superficie cerrada diferente (el límite de algún volumen que tiene un punto de observación P ). El área A ₁ anterior se reemplaza por una parte de un frente de onda (emitido desde P ₀ ) en r ₀ , que es el más cercano a la apertura, y una porción de un cono con un vértice en P ₀ , que está etiquetado como A ₄ en el diagrama de la derecha. Si el frente de onda se coloca de manera que esté muy cerca de los bordes de la apertura, entonces la contribución de A ₄ puede despreciarse (se supone aquí). En este nuevo A ₁ , la normal hacia adentro (hacia el volumen encerrado por la superficie integral cerrada, es decir, hacia el lado derecho del diagrama) a A ₁ está a lo largo de la dirección radial desde P ₀ , es decir, la dirección perpendicular al frente de onda. Como resultado, el ángulo y el ángulo están relacionados con el ángulo (el ángulo definido en el principio de Huygens-Fresnel ) como ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n,r)=0}$ ${\displaystyle (n,s)}$ ${\displaystyle \chi }$ $${\displaystyle (n,s)=\pi -\chi .}$$

La amplitud compleja del frente de onda en r ₀ está dada por $${\displaystyle U(r_{0})={\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.}$$

Entonces, la fórmula de difracción es donde la integral se realiza sobre la parte del frente de onda en r ₀ que es la más cercana a la apertura en el diagrama. Esta integral conduce al principio de Huygens-Fresnel (con el factor de oblicuidad ). $${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}{\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}(1+\cos \chi )dS,}$$ ${\textstyle {\frac {1+\cos \chi }{2}}}$

En la derivación de esta integral, en lugar de la geometría representada en el diagrama de la derecha, se pueden usar esferas dobles centradas en P ₀ con un radio de esfera interior r _{0 y un radio de esfera exterior infinito.} ^[7] En esta geometría, el punto de observación P está ubicado en el volumen encerrado por las dos esferas, por lo que se aplica la fórmula de difracción de Fresnel-Kirchhoff sobre las dos esferas. (Las superficies normales en estas superficies integrales son, nuevamente, hacia el volumen encerrado en la fórmula de difracción anterior). En la aplicación de la fórmula, la integral en la esfera exterior es cero por una razón similar a la integral en el hemisferio como cero arriba .

fuente extendida

Supongamos que la apertura está iluminada por una onda fuente extendida. ^[8] La amplitud compleja en la apertura viene dada por U ₀ ( r ).

Se supone, como antes, que los valores de y en el área A ₁ son los mismos que cuando la pantalla no está presente, que los valores de y en A ₂ son cero (condiciones de contorno de Kirchhoff) y que la contribución de A ₃ a la integral también son cero. También se supone que 1/ s es insignificante en comparación con k . entonces tenemos ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$ $${\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{iks}}{s}}\left[ikU_{0}(r)\cos(n,s)-{\frac {\partial U_{0}(r)}{\partial n}}\right]\,dS.}$$

Ésta es la forma más general de la fórmula de difracción de Kirchhoff. Para resolver esta ecuación para una fuente extendida, se requeriría una integración adicional para sumar las contribuciones realizadas por los puntos individuales en la fuente. Sin embargo, si asumimos que la luz de la fuente en cada punto de la apertura tiene una dirección bien definida, lo cual es el caso si la distancia entre la fuente y la apertura es significativamente mayor que la longitud de onda, entonces podemos escribir dónde a ( r ) es la magnitud de la perturbación en el punto r de la apertura. Entonces tenemos y por lo tanto $${\displaystyle U_{0}(r)\approx a(r)e^{ikr},}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial {U_{0}(r)}}{\partial n}}=ika(r)\cos(n,r)}$$ $${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}\int _{S}a(r){\frac {e^{iks}}{s}}[\cos \chi +\cos(n,r)]\,dS.}$$

Ecuaciones de difracción de Fraunhofer y Fresnel

A pesar de las diversas aproximaciones que se hicieron para llegar a la fórmula, es adecuada para describir la mayoría de los problemas en óptica instrumental. Esto se debe principalmente a que la longitud de onda de la luz es mucho más pequeña que las dimensiones de los obstáculos encontrados. Las soluciones analíticas no son posibles para la mayoría de las configuraciones, pero la ecuación de difracción de Fresnel y la ecuación de difracción de Fraunhofer , que son aproximaciones de la fórmula de Kirchhoff para el campo cercano y el campo lejano , se pueden aplicar a una gama muy amplia de sistemas ópticos.

Una de las suposiciones importantes que se hicieron para llegar a la fórmula de difracción de Kirchhoff es que r y s son significativamente mayores que λ. Se puede hacer otra aproximación, que simplifica significativamente aún más la ecuación: las distancias P ₀ Q y QP son mucho mayores que las dimensiones de la apertura. Esto permite hacer dos aproximaciones más:

• cos( n, r ) − cos( n, s ) se reemplaza por 2cos β, donde β es el ángulo entre P ₀ P y la normal a la apertura. El factor 1/ rs se reemplaza por 1/ r ' s ' , donde r ' y s ' son las distancias desde P ₀ y P hasta el origen, que se encuentra en la apertura. La amplitud compleja entonces se convierte en: $${\displaystyle U(P)=-{\frac {ia\cos \beta }{\lambda r's'}}\int _{S}e^{ik(r+s)}\,ds.}$$
• Supongamos que la apertura se encuentra en el plano xy y que las coordenadas de P ₀ , P y Q (un punto general en la apertura) son ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ), ( x , y , z ) y ( x ' , y ' , 0) respectivamente. Entonces tenemos:

  ${\displaystyle ~r^{2}=(x_{0}-x')^{2}+(y_{0}-y')^{2}+z_{0}^{2},}$

  ${\displaystyle ~s^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2},}$

  ${\displaystyle ~r'^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2},}$

  ${\displaystyle ~s'^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$

Podemos expresar r y s de la siguiente manera: $${\displaystyle r=r'\left[1-{\frac {2(x_{0}x'+y_{0}y')}{r'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{r'^{2}}}\right]^{1/2},}$$ $${\displaystyle s=s'\left[1-{\frac {2(xx'+yy')}{s'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{s'^{2}}}\right]^{1/2}.}$$

Estos se pueden expandir como series de potencias : $${\displaystyle r=r'\left[1-{\frac {1}{2r'^{2}}}\left[2(x_{0}x'+y_{0}y')-(x'^{2}+y'^{2})\right]+{\frac {1}{8r'^{4}}}\left[2(x_{0}x'+y_{0}y')-(x'^{2}+y'^{2})\right]^{2}+\cdots \right],}$$ $${\displaystyle s=s'\left[1-{\frac {1}{2s'^{2}}}\left[2(xx'+yy')-(x'^{2}+y'^{2})\right]+{\frac {1}{8s'^{4}}}\left[2(xx'+yy')-(x'^{2}+y'^{2})\right]^{2}+\cdots \right].}$$

La amplitud compleja en P ahora se puede expresar como donde f ( x ' , y ' ) incluye todos los términos en las expresiones anteriores para s y r aparte del primer término en cada expresión y se puede escribir en la forma donde c _i son constantes. $${\displaystyle U(P)=-{\frac {i\cos \beta }{\lambda }}{\frac {ae^{ik(r'+s')}}{r's'}}\int _{S}e^{ikf(x',y')}\,dx'dy',}$$ $${\displaystyle f(x',y')=c_{1}x'+c_{2}y'+c_{3}x'^{2}+c_{4}y'^{2}+c_{5}x'y'\cdots ,}$$

difracción de Fraunhofer

Si todos los términos de f ( x ' , y ' ) pueden despreciarse excepto los términos de x ' e y ' , tenemos la ecuación de difracción de Fraunhofer . Si los cosenos directores de P ₀ Q y PQ son $${\displaystyle {\begin{aligned}l_{0}&=-x_{0}/r',\\m_{0}&=-y_{0}/r',\\l&=x/s',\\m&=y/s'.\end{aligned}}}$$

La ecuación de difracción de Fraunhofer es entonces donde C es una constante. Esto también se puede escribir en la forma donde k ₀ y k son los vectores de onda de las ondas que viajan desde P ₀ a la apertura y desde la apertura a P respectivamente, y r ' es un punto en la apertura. $${\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{ik[(l_{0}-l)x'+(m_{0}-m)y']}\,dx'dy',}$$ $${\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}$$

Si la fuente puntual se reemplaza por una fuente extendida cuya amplitud compleja en la apertura está dada por U ₀ ( r' ), entonces la ecuación de difracción de Fraunhofer es: donde a ₀ ( r' ) es, como antes, la magnitud de la perturbación. en la apertura. $${\displaystyle U(P)\propto \int _{S}a_{0}(\mathbf {r} ')e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}$$

Además de las aproximaciones realizadas para derivar la ecuación de Kirchhoff, se supone que

• r y s son significativamente mayores que el tamaño de la apertura,
• Los términos de segundo y superior orden en la expresión f ( x ' , y ' ) pueden despreciarse.

difracción de Fresnel

Cuando los términos cuadráticos no pueden despreciarse pero sí todos los términos de orden superior, la ecuación se convierte en la ecuación de difracción de Fresnel . Se utilizan las aproximaciones de la ecuación de Kirchhoff y los supuestos adicionales son:

• r y s son significativamente mayores que el tamaño de la apertura,
• Los términos de tercer y superior orden en la expresión f ( x ' , y ' ) pueden despreciarse.

Referencias

1. Nacido, Max ; Lobo, Emil (1999). Principios de la óptica: teoría electromagnética de la propagación, interferencia y difracción de la luz . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 986.ISBN​ 9780521642224.
2. Longhurst, Richard Samuel (1986). Óptica Geométrica Y Física . Orientar Cisne Negro. pag. 651.ISBN​ 8125016236.
3. Kirchhoff, G. (1883). "Zur Theorie der Lichtstrahlen". Annalen der Physik (en alemán). 254 (4). Wiley: 663–695. Código bibliográfico : 1882AnP...254..663K. doi : 10.1002/andp.18832540409.
4. JZ Buchwald y C.-P. Yeang, "La teoría de Kirchhoff para la difracción óptica, su predecesora y desarrollo posterior: la resiliencia de una teoría inconsistente" Archivado el 24 de junio de 2021 en Wayback Machine , Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , vol. 70, núm. 5 (septiembre de 2016), págs. 463–511; doi :10.1007/s00407-016-0176-1.
5. J. Saatsi & P. ​​Vickers, "¿Éxito milagroso? Inconsistencia y falsedad en la teoría de la difracción de Kirchhoff", British J. for the Philosophy of Science , vol. 62, núm. 1 (marzo de 2011), págs. 29 a 46; jstor.org/stable/41241806. (Versión previa a la publicación, con paginación diferente: dro.dur.ac.uk/10523/1/10523.pdf.)
6. M. Born, Optik: ein Lehrbuch der elektromagnetischen Lichttheorie . Berlín, Springer, 1933, reimpreso en 1965, p. 149.
7. Hecht, Eugenio (2017). "10.4 Teoría de la difracción escalar de Kirchhoff". Óptica (5ª edición (global)). Pearson. págs. 532–535. ISBN 978-1-292-09693-3.
8. MV Klein y TE Furtak, 1986, Óptica ; 2da ed. John Wiley & Sons, Nueva York ISBN 0-471-87297-0 . 

Otras lecturas

• panadero, BB; Copson, ET (1939, 1950). La teoría matemática del principio de Huygens . Oxford.
• Woan, Graham (2000). El manual de fórmulas físicas de Cambridge . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521575072.
• J. Goodman (2005). Introducción a la Óptica de Fourier (3ª ed.). Editores de Roberts & Co. ISBN 978-0-9747077-2-3.
• Griffiths, David J. (2012). Introducción a la electrodinámica. Educación Pearson, limitada. ISBN 978-0-321-85656-2.
• Banda, Yehuda B. (2006). Luz y Materia: Electromagnetismo, Óptica, Espectroscopia y Láseres. John Wiley e hijos . ISBN 978-0-471-89931-0.
• Kenyon, Ian (2008). The Light Fantastic: una introducción moderna a la óptica clásica y cuántica . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-856646-5.
• Lerner, Rita G .; George L., Trigg (1991). Enciclopedia de física . VCH. ISBN 978-0-89573-752-6.
• Sybil P., Parker (1993). Enciclopedia de física MacGraw-Hill. McGraw-Hill Ryerson, limitada. ISBN 978-0-07-051400-3.