Teorema integral de Kirchhoff

El teorema integral de Kirchhoff (a veces denominado teorema integral de Fresnel-Kirchhoff) ^[1] es una integral de superficie para obtener el valor de la solución de la ecuación de onda escalar homogénea en un punto arbitrario P en términos de los valores de la solución. y la derivada de primer orden de la solución en todos los puntos de una superficie cerrada arbitraria (en la que se realiza la integración) que encierraa P. ^[2] Se deriva usando la segunda identidad de Green y la ecuación de onda escalar homogénea que hace que la integración de volumen en la segunda identidad de Green sea cero. ^{[2] [3]}

Integral

onda monocromática

La integral tiene la siguiente forma para una onda monocromática : ^{[2] [3] [4]}

${\displaystyle U(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left[U{\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}\right]dS,}$

donde la integración se realiza sobre una superficie cerrada arbitraria S que encierra el punto de observación , in es el número de onda , in es la distancia desde un elemento de superficie integral (infinitesimalmente pequeño) al punto , es la parte espacial de la solución de la onda escalar homogénea La ecuación (es decir, como solución de ecuación de onda escalar homogénea), es el vector unitario hacia adentro y normal al elemento de superficie integral, es decir, el vector unitario normal a la superficie hacia adentro, y denota diferenciación a lo largo de la superficie normal (es decir, una derivada normal ). es decir, para un campo escalar . Observe que la normal a la superficie está hacia adentro, es decir, hacia el interior del volumen encerrado, en esta integral ; si se utiliza la normal que apunta hacia afuera, más habitual , la integral tendrá el signo opuesto. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e^{iks}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\frac {e^{iks}}{s}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)=U(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}=\nabla f\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle f}$

Esta integral se puede escribir en una forma más familiar.

${\displaystyle U(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left(U\nabla \left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}\nabla U\right)\cdot d{\vec {S}},}$

dónde . ^[3] ${\displaystyle d{\vec {S}}=dS{\hat {\mathbf {n} }}}$

Onda no monocromática

Se puede derivar una forma más general para ondas no monocromáticas. La amplitud compleja de la onda se puede representar mediante una integral de Fourier de la forma

${\displaystyle V(r,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int U_{\omega }(r)e^{-i\omega t}\,d\omega ,}$

donde, por inversión de Fourier , tenemos

${\displaystyle U_{\omega }(r)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int V(r,t)e^{i\omega t}\,dt.}$

El teorema integral (arriba) se aplica a cada componente de Fourier y se obtiene la siguiente expresión: ^[2] ${\displaystyle U_{\omega }}$

${\displaystyle V(r,t)={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left\{[V]{\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {1}{s}}\right)-{\frac {1}{cs}}{\frac {\partial s}{\partial n}}\left[{\frac {\partial V}{\partial t}}\right]-{\frac {1}{s}}\left[{\frac {\partial V}{\partial n}}\right]\right\}dS,}$

donde los corchetes en los términos V denotan valores retrasados, es decir, los valores en el momento t − s / c .

Kirchhoff demostró que la ecuación anterior se puede aproximar a una forma más simple en muchos casos, conocida como Kirchhoff, o fórmula de difracción de Fresnel-Kirchhoff , que es equivalente a la ecuación de Huygens-Fresnel , excepto que proporciona el factor de inclinación, que no es definido en la ecuación de Huygens-Fresnel. La integral de difracción se puede aplicar a una amplia gama de problemas en óptica.

Derivación integral

Aquí se introduce la derivación del teorema integral de Kirchhoff. Primero, se utiliza la segunda identidad de Green como la siguiente.

$${\displaystyle \int _{V}\left(U_{1}\nabla ^{2}U_{2}-U_{2}\nabla ^{2}U_{1}\right)dV=\oint _{\partial V}\left(U_{2}{\partial U_{1} \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}-U_{1}{\partial U_{2} \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}\right)dS,}$$donde el vector unitario normal de la superficie integral aquí está hacia el volumen cerrado por una superficie integral . Las funciones de campo escalar se establecen como soluciones de la ecuación de Helmholtz , donde es el número de onda ( es la longitud de onda), que da la parte espacial de una expresión de onda monocromática (frecuencia única en el tiempo) de valor complejo. (El producto entre la parte espacial y la parte temporal de la expresión de onda es una solución de la ecuación de onda escalar ). Entonces, la parte de volumen de la segunda identidad de Green es cero, por lo que solo la integral de superficie permanece como Ahora se establece como la solución de la ecuación de Helmholtz para encontrar y se establece como la parte espacial de una onda esférica monocromática de valor complejo donde es la distancia desde un punto de observación en el volumen cerrado . Dado que existe una singularidad para en donde (el valor de no definido en ), la superficie integral no debe incluir . (De lo contrario, la integral de volumen cero anterior no está justificada). Una superficie integral sugerida es una esfera interior centrada en con el radio de y una superficie exterior cerrada arbitraria . ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}U+k^{2}U=0}$ ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \oint _{\partial V}\left(U_{2}{\partial U_{1} \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}-U_{1}{\partial U_{2} \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}\right)dS=0.}$$ ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{1}={\frac {e^{iks}}{s}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U_{1}={\frac {e^{iks}}{s}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle {\frac {e^{iks}}{s}}}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$

Entonces la integral de superficie se convierte en Para la integral en la esfera interior , y al introducir el ángulo sólido en , debido a . (El sistema de coordenadas esféricas en el que se encuentra el origen se puede utilizar para derivar esta igualdad). $${\displaystyle \oint _{S_{1}}\left(U_{2}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}{\frac {e^{iks}}{s}}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U_{2}\right)dS+\oint _{S_{2}}\left(U_{2}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}{\frac {e^{iks}}{s}}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U_{2}\right)dS=0.}$$ ${\displaystyle S_{1}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}{\frac {e^{iks}}{s}}=\nabla {\frac {e^{iks}}{s}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=\left({\frac {ik}{s}}-{\frac {1}{s^{2}}}\right)e^{iks},}$$ ${\displaystyle d\Omega }$ ${\displaystyle dS=s^{2}d\Omega }$ $${\displaystyle \oint _{S_{1}}\left(U_{2}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}{\frac {e^{iks}}{s}}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U_{2}\right)dS=\oint _{S_{1}}\left(U_{2}\left({\frac {ik}{s}}-{\frac {1}{s^{2}}}\right)e^{iks}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U_{2}\right)s^{2}d\Omega =\oint _{S_{1}}\left(iksU_{2}-U_{2}-s{\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}U_{2}\right)e^{iks}d\Omega }$$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}U_{2}=\nabla U_{2}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}={\frac {\partial }{\partial s}}U_{2}}$ ${\displaystyle P}$

Al reducir la esfera hacia el radio cero (pero nunca tocarla para evitar la singularidad), el primer y último término de la integral de superficie se vuelven cero, por lo que la integral se convierte en . Como resultado, denotando , la ubicación de , y por , el vector de posición , y respectivamente, ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle e^{iks}\to 1}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle -4\pi U_{2}}$ ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle U(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\left(U{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}{\frac {e^{iks}}{s}}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U\right)dS.}$$

Ver también

• Fórmula de difracción de Kirchhoff
• Cálculo vectorial
• Integral
• Principio de Huygens-Fresnel
• frente de onda
• Integral de superficie

Referencias

1. G. Kirchhoff, Ana. d. Físico. 1883, 2, 18, pág. 663.
2. Max Born y Emil Wolf, Principios de óptica , séptima edición, 1999, Cambridge University Press, Cambridge, págs.
3. Hecht, Eugene (2017). "Apéndice 2: La teoría de la difracción de Kirchhoff". Óptica (5ª y edición global). Educación Pearson. pag. 680.ISBN​ 978-1292096933.
4. Introducción a la óptica de Fourier J. Goodman sec. 3.3.3

Otras lecturas

• Manual de fórmulas físicas de Cambridge , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 
• Introducción a la electrodinámica (tercera edición) , DJ Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3 
• Luz y materia: electromagnetismo, óptica, espectroscopia y láseres , YB Band, John Wiley & Sons, 2010, ISBN 978-0-471-89931-0 
• The Light Fantastic: Introducción a la óptica clásica y cuántica , IR Kenyon, Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-856646-5 
• Enciclopedia de física (segunda edición) , RG Lerner , GL Trigg, editores VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• Enciclopedia de Física McGraw Hill (segunda edición) , CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3