difracción de Fraunhofer

En óptica , la ecuación de difracción de Fraunhofer se utiliza para modelar la difracción de ondas cuando ondas planas inciden sobre un objeto que difracta, y el patrón de difracción se ve a una distancia suficientemente larga (una distancia que satisface la condición de Fraunhofer) del objeto (en la distancia). -región de campo), y también cuando se ve en el plano focal de una lente de imagen . ^[1]^[2] Por el contrario, el patrón de difracción creado cerca del objeto difractor y (en la región del campo cercano ) viene dado por la ecuación de difracción de Fresnel .

La ecuación recibió su nombre en honor a Joseph von Fraunhofer ^[3] aunque en realidad no participó en el desarrollo de la teoría. ^{[ cita necesaria ]}

Este artículo explica dónde se puede aplicar la ecuación de Fraunhofer y muestra los patrones de difracción de Fraunhofer para varias aperturas. En la ecuación de difracción de Fraunhofer se proporciona un tratamiento matemático detallado de la difracción de Fraunhofer .

Ecuación

Ejemplo de difracción de campo lejano (Fraunhofer) para algunas formas de apertura.

Cuando un obstáculo bloquea parcialmente un haz de luz , parte de la luz se dispersa alrededor del objeto y a menudo se ven bandas claras y oscuras en el borde de la sombra; este efecto se conoce como difracción . ^[4] Estos efectos se pueden modelar utilizando el principio de Huygens-Fresnel ; Huygens postuló que cada punto en un frente de onda actúa como una fuente de ondas secundarias esféricas y la suma de estas ondas secundarias determina la forma de la onda que procede en cualquier momento posterior, mientras que Fresnel desarrolló una ecuación utilizando las ondas de Huygens junto con el principio de superposición. de ondas, que modela bastante bien estos efectos de difracción.

Generalmente no es sencillo calcular la amplitud de onda dada por la suma de las ondas secundarias (la suma de ondas también es una onda), cada una de las cuales tiene su propia amplitud , fase y dirección de oscilación ( polarización ), ya que esto implica la suma. de muchas ondas de diferente amplitud, fase y polarización. Cuando se suman dos ondas de luz como campos electromagnéticos ( suma vectorial ), la amplitud de la suma de ondas depende de las amplitudes, las fases e incluso las polarizaciones de las ondas individuales. En una determinada dirección donde se proyectan campos de ondas electromagnéticas (o considerando una situación donde dos ondas tienen la misma polarización), dos ondas de igual amplitud (proyectada) que están en fase (misma fase) dan la amplitud de la suma de ondas resultante como doble las amplitudes de onda individuales, mientras que dos ondas de igual amplitud que están en fases opuestas dan la amplitud cero de la onda resultante cuando se cancelan entre sí. Generalmente, se debe resolver una integral bidimensional sobre variables complejas y, en muchos casos, no se dispone de una solución analítica. ^[5]

La ecuación de difracción de Fraunhofer es una versión simplificada de la fórmula de difracción de Kirchhoff y se puede utilizar para modelar la difracción de la luz cuando tanto una fuente de luz como un plano de observación (un plano de observación donde se observa la onda difractada) están efectivamente infinitamente distantes de una apertura de difracción. . ^[6] Con una fuente de luz suficientemente distante de una apertura difractora, la luz incidente en la apertura es efectivamente una onda plana , de modo que la fase de la luz en cada punto de la apertura es la misma. En un plano de observación suficientemente alejado de la apertura, la fase de la onda procedente de cada punto de la apertura varía linealmente con la posición del punto en la apertura, lo que hace que el cálculo de la suma de las ondas en un punto de observación en el plano de La observación es relativamente sencilla en muchos casos. Incluso las amplitudes de las ondas secundarias que provienen de la apertura en el punto de observación pueden tratarse como iguales o constantes para un simple cálculo de ondas de difracción en este caso. La difracción en tal requisito geométrico se llama difracción de Fraunhofer , y la condición en la que la difracción de Fraunhofer es válida se llama condición de Fraunhofer , como se muestra en el cuadro de la derecha. ^[7] Una onda difractada a menudo se denomina campo lejano si satisface al menos parcialmente la condición de Fraunhofer de modo que la distancia entre la apertura y el plano de observación sea . $L$ $L\gg {\frac {W^{2}}{\lambda }}$

Por ejemplo, si un agujero circular de 0,5 mm de diámetro se ilumina con una luz láser con una longitud de onda de 0,6 μm, entonces se produce la difracción de Fraunhofer si la distancia de visión es superior a 1000 mm.

Derivación de la condición de Fraunhofer

La derivación de la condición de Fraunhofer aquí se basa en la geometría descrita en el cuadro de la derecha. ^[8] La trayectoria de la onda difractada r ₂ se puede expresar en términos de otra trayectoria de la onda difractada r ₁ y la distancia b entre dos puntos de difracción utilizando la ley de los cosenos ;

{r_{2}}={\left(r_{1}^{2}+b^{2}-2b{r_{1}}\cos \left({\frac {\pi }{2 }}-\theta \right)\right)}^{\frac {1}{2}}={r_{1}}{\left(1+{\frac {b^{2}}{r_{1) }^{2}}}-2{\frac {b}{r_{1}}}\sin \theta \right)}^{\frac {1}{2}}.

Esto se puede ampliar calculando la serie de Taylor de la expresión a segundo orden con respecto a , ${\frac {b}{r_{1}}}$

{r_{2}}={r_{1}}\left(1-{\frac {b}{r_{1}}}\sin \theta +{\frac {b^{2}}{ 2r_{1}^{2}}}\cos ^{2}\theta +\cdots \right)={r_{1}}-b\sin \theta +{\frac {b^{2}}{2r_ {1}}}\cos ^{2}\theta +\cdots ~.

La diferencia de fase entre las ondas que se propagan a lo largo de las trayectorias r ₂ y r ₁ son, con el número de onda donde λ es la longitud de onda de la luz,

k{r_{2}}-k{r_{1}}=-kb\sin \theta +k{\frac {b^{2}}{2r_{1}}}\cos ^{2}\theta +\cdots .

Si es así , entonces la diferencia de fase es . La implicación geométrica de esta expresión es que las trayectorias r ₂ y r ₁ son aproximadamente paralelas entre sí. Dado que puede haber un plano de difracción - plano de observación de la trayectoria de la onda difractada cuyo ángulo con respecto a una línea recta paralela al eje óptico es cercano a 0, esta condición de aproximación se puede simplificar aún más como donde L es la distancia entre dos planos a lo largo del eje óptico. eje. Debido al hecho de que una onda incidente en un plano difractor es efectivamente una onda plana si donde L es la distancia entre el plano difractor y la fuente de onda puntual se cumple, la condición de Fraunhofer es donde L es la menor de las dos distancias, una es entre el plano de difracción y el plano de observación y el otro está entre el plano de difracción y la fuente de onda puntual. $k{\frac {b^{2}}{2{r_{1}}}}\cos ^{2}\theta =\pi {\frac {b^{2}}{\lambda r_{1}}}\cos ^{2}\theta \ll \pi$ ${\frac {b^{2}}{\lambda r_{1}}}\cos ^{2}\theta \ll 1$ $kr_{2}-kr_{1}\approx -kb\sin \theta$ ${\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L$ ${\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L$ ${\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L$

Plano focal de una lente positiva como plano de campo lejano

En el campo lejano, las trayectorias de propagación de las ondas desde cada punto de una apertura hasta un punto de observación son aproximadamente paralelas, y una lente positiva (lente de enfoque) enfoca los rayos paralelos hacia la lente hasta un punto en el plano focal (la posición del punto de enfoque). en el plano focal depende del ángulo de los rayos paralelos con respecto al eje óptico). Entonces, si se coloca una lente positiva con una distancia focal suficientemente larga (para que las diferencias entre las orientaciones del campo eléctrico de las ondas en el foco) se coloque después de una apertura, entonces la lente prácticamente genera el patrón de difracción de Fraunhofer de la apertura en su focal. plano cuando los rayos paralelos se encuentran en el foco. ^[9]

Ejemplos

En cada uno de estos ejemplos, la apertura está iluminada por una onda plana monocromática con incidencia normal.

Difracción por una rendija rectangular estrecha

El ancho de la rendija es $W.$ El patrón de difracción de Fraunhofer se muestra en la imagen junto con un gráfico de la intensidad frente al ángulo $θ$ . ^[10] El patrón tiene una intensidad máxima en $θ = 0$ y una serie de picos de intensidad decreciente. La mayor parte de la luz difractada cae entre los primeros mínimos. El ángulo, $α$ , subtendido por estos dos mínimos viene dado por: ^[11]

\alpha \approx {\frac {2\lambda }{W}}

Por tanto, cuanto menor es la apertura, mayor es el ángulo $α$ subtendido por las bandas de difracción. El tamaño de la banda central a una distancia $z$ viene dado por

d_{f}={\frac {2\lambda z}{W}}

Por ejemplo, cuando una rendija de 0,5 mm de ancho se ilumina con luz de longitud de onda de 0,6 μm y se ve a una distancia de 1000 mm, el ancho de la banda central en el patrón de difracción es de 2,4 mm.

Las franjas se extienden hasta el infinito en la dirección $y$ ya que la rendija y la iluminación también se extienden hasta el infinito.

Si $W < λ$ , la intensidad de la luz difractada no cae a cero, y si $D << λ$ , la onda difractada es cilíndrica.

Análisis semicuantitativo de difracción de rendija simple.

Podemos encontrar el ángulo en el que se obtiene un primer mínimo en la luz difractada mediante el siguiente razonamiento. Considere la luz difractada en un ángulo $θ$ donde la distancia $CD$ es igual a la longitud de onda de la luz que ilumina. El ancho de la rendija es la distancia $AC$ . La componente de la ondícula emitida desde el punto A que viaja en la dirección $θ está en$ antifase con la onda del punto $B$ en el medio de la rendija, de modo que la contribución neta en el ángulo $θ$ de estas dos ondas es cero. . Lo mismo se aplica a los puntos justo debajo de $A$ y $B$ , y así sucesivamente. Por tanto, la amplitud de la onda total que viaja en la dirección $θ$ es cero. Tenemos:

\theta _{\text{min}}\approx {\frac {CD}{AC}}={\frac {\lambda }{W}}.

El ángulo subtendido por los primeros mínimos a cada lado del centro es entonces, como arriba:

\alpha =2\theta _{\text{min}}={\frac {2\lambda }{W}}.

No existe un argumento tan simple que nos permita encontrar los máximos del patrón de difracción.

Difracción por rendija única según el principio de Huygens

Conjunto continuo de fuentes puntuales de longitud a .

Podemos desarrollar una expresión para el campo lejano de un conjunto continuo de fuentes puntuales de amplitud uniforme y de la misma fase. Sea la matriz de longitud a paralela al eje y con su centro en el origen como se indica en la figura de la derecha. Entonces el campo diferencial es: ^[12]

dE={\frac {A}{r_{1}}}e^{i\omega [t-(r_{1}/c)]}dy={\frac {A}{r_{1}}}e^{i(\omega t-\beta r_{1})}dy

dónde . Sin embargo e integrando de a , $\beta =\omega /c=2\pi /\lambda$ $r_{1}=r-y\sin \theta$ $-a/2$ $a/2$

E\simeq A'\int _{-a/2}^{a/2}e^{i\beta y\sin \theta }dy

A'={\frac {Ae^{i(\omega t-\beta r)}}{r}}

Integrando obtenemos entonces

E={\frac {2A'}{\beta \sin \theta }}\sin \left({\frac {\beta a}{2}}\sin \theta \right)

Dejando que la longitud de la matriz en radianes sea , entonces, ^[12] $\psi ^{'}=\beta a\sin \theta =\alpha _{r}\sin \theta$ $a_{r}=\beta a=2\pi a/\lambda$

E=A'a{\frac {\sin(\psi ^{'}/2)}{\psi ^{'}/2}}

Difracción por una apertura rectangular.

La forma del patrón de difracción dada por una abertura rectangular se muestra en la figura de la derecha (o arriba, en formato de tableta). ^[13] Hay un pico central semirectangular, con una serie de franjas horizontales y verticales. Las dimensiones de la banda central están relacionadas con las dimensiones de la rendija mediante la misma relación que para una rendija única, de modo que la dimensión mayor en la imagen difractada corresponde a la dimensión más pequeña en la rendija. La separación de las franjas también es inversamente proporcional a la dimensión de la hendidura.

Si el haz de luz no ilumina toda la longitud vertical de la rendija, la separación de las franjas verticales está determinada por las dimensiones del haz de luz. Un examen minucioso del patrón de difracción de doble rendija a continuación muestra que hay franjas de difracción horizontales muy finas encima y debajo del punto principal, así como las franjas horizontales más obvias.

Difracción por una apertura circular.

Simulación por computadora del patrón de difracción de Airy.

El patrón de difracción dado por una apertura circular se muestra en la figura de la derecha. ^[14] Esto se conoce como patrón de difracción de Airy . Se puede observar que la mayor parte de la luz se encuentra en el disco central. El ángulo subtendido por este disco, conocido como disco de Airy, es

\alpha \approx {\frac {1.22\lambda }{W}}

W

El disco de Airy puede ser un parámetro importante para limitar la capacidad de un sistema de imágenes para resolver objetos ubicados muy cerca.

Difracción por una apertura con perfil gaussiano.

El patrón de difracción obtenido dado por una apertura con perfil gaussiano , por ejemplo, una diapositiva fotográfica cuya transmisividad tiene una variación gaussiana, también es una función gaussiana. La forma de la función está representada a la derecha (arriba, para una tableta) y se puede ver que, a diferencia de los patrones de difracción producidos por aberturas rectangulares o circulares, no tiene anillos secundarios. ^[15] Esta técnica se puede utilizar en un proceso llamado apodización : la apertura está cubierta por un filtro gaussiano, dando un patrón de difracción sin anillos secundarios.

El perfil de salida de un rayo láser monomodo puede tener un perfil de intensidad gaussiano y la ecuación de difracción se puede utilizar para mostrar que mantiene ese perfil por muy lejos que se propague de la fuente. ^[dieciséis]

Difracción por doble rendija

En el experimento de la doble rendija , las dos rendijas se iluminan con un único haz de luz. Si el ancho de las rendijas es lo suficientemente pequeño (menos que la longitud de onda de la luz), las rendijas difractan la luz en ondas cilíndricas. Estos dos frentes de onda cilíndricos están superpuestos, y la amplitud, y por tanto la intensidad, en cualquier punto de los frentes de onda combinados depende tanto de la magnitud como de la fase de los dos frentes de onda. ^[17] Estas franjas se conocen a menudo como franjas de Young .

El espaciado angular de las franjas está dado por

\theta _{\text{f}}=\lambda /d.

El espaciado de las franjas a una distancia $z$ de las rendijas viene dado por ^[18]

w_{\text{f}}=z\theta _{f}=z\lambda /d,

d

Las franjas de la imagen se obtuvieron utilizando luz amarilla de una luz de sodio (longitud de onda = 589 nm), con rendijas separadas por 0,25 mm, y proyectadas directamente sobre el plano de la imagen de una cámara digital.

Las franjas de interferencia de doble rendija se pueden observar cortando dos rendijas en un trozo de tarjeta, iluminándola con un puntero láser y observando la luz difractada a una distancia de 1 m. Si la separación de las rendijas es de 0,5 mm y la longitud de onda del láser es de 600 nm, entonces la separación de las franjas vistas a una distancia de 1 m sería de 1,2 mm.

Explicación semicuantitativa de las franjas de doble rendija.

La diferencia de fase entre las dos ondas está determinada por la diferencia en la distancia recorrida por las dos ondas.

Si la distancia de visión es grande en comparación con la separación de las rendijas (el campo lejano ), la diferencia de fase se puede encontrar usando la geometría que se muestra en la figura. La diferencia de trayectoria entre dos ondas que viajan en un ángulo $θ$ está dada por

d\sin \theta \approx d\theta .

Cuando las dos ondas están en fase, es decir, la diferencia de trayectoria es igual a un número entero de longitudes de onda, la amplitud sumada y, por lo tanto, la intensidad sumada es máxima, y cuando están en antifase, es decir, la diferencia de trayectoria es igual a la mitad. una longitud de onda, una longitud de onda y media, etc., entonces las dos ondas se cancelan y la intensidad sumada es cero. Este efecto se conoce como interferencia .

Los máximos de la franja de interferencia se producen en ángulos

d\theta _{n}=n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots

λ

longitud de onda

\theta _{\text{f}}\approx \lambda /d.

Cuando la distancia entre las rendijas y el plano de visión es $z$ , el espaciado de las franjas es igual a $zθ$ y es el mismo que el anterior:

w=z\lambda /d.

Difracción por rejilla

Born y Wolf definen una rejilla como "cualquier disposición que impone a una onda incidente una variación periódica de amplitud o fase, o ambas".

Una rejilla cuyos elementos están separados por $S$ difracta un haz de luz normalmente incidente en un conjunto de haces, en ángulos $θ n$ dados por: ^[19]

~\sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots

Esto se conoce como ecuación de rejilla . Cuanto menor sea la separación de las rejillas, mayor será la separación angular de los haces difractados.

Si la luz incide en un ángulo $θ 0$ , la ecuación de la rejilla es:

\sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}}+\sin \theta _{0},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots

La estructura detallada del patrón repetido determina la forma de los haces difractados individuales, así como su intensidad relativa, mientras que el espaciado de la rejilla siempre determina los ángulos de los haces difractados.

La imagen de la derecha muestra un rayo láser difractado por una rejilla en $n$ = 0 y ±1 haces. Los ángulos de las vigas de primer orden son de unos 20°; Si suponemos que la longitud de onda del rayo láser es de 600 nm, podemos inferir que la separación de la rejilla es de aproximadamente 1,8 μm.

Explicación semicuantitativa

Una rejilla simple consta de una serie de rendijas en una pantalla. Si la luz que viaja en un ángulo $θ$ desde cada rendija tiene una diferencia de trayectoria de una longitud de onda con respecto a la rendija adyacente, todas estas ondas se sumarán, de modo que la intensidad máxima de la luz difractada se obtiene cuando:

W\sin \theta =n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots

Esta es la misma relación que se da arriba.

Ver también

Referencias

^ Nacido y lobo 1999, pag. 427
^ Jenkins y White 1957, pág. 288
^ "Fraunhofer, Joseph von (1787-1826) - del mundo de la biografía científica de Eric Weisstein".
^ Cielos, sistema operativo; Ditchburn, RW (1991). Conocimiento de la óptica. Chichester: Longman e hijos. pag. 62.ISBN _ 0-471-92769-4. OCLC 22114471.
^ Nacido y lobo 1999, pag. 425
^ Jenkins y White 1957, sección 15.1, p. 288
^ Lipson, A.; Lipson, SG; Lipson, H. (2011). Física óptica (4ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 203.ISBN _ 978-0-521-49345-1. OCLC 637708967.
^ Hecht, Eugenio (2017). "Problema 9.21". Óptica (5ª ed.). Pearson. pag. 453.ISBN _ 978-1-292-09693-3.
^ Hecht 2002, pag. 448
^ Hecht 2002, Figuras 10.6 (b) y 10.7 (e)
^ Jenkins y White 1957, pág. 297
^ ab Kraus, John Daniel; Marhefka, Ronald J. (2002). Antenas para todas las aplicaciones. McGraw-Hill. ISBN 9780072321036.
^ Born & Wolf 1999, Figura 8.10
^ Born & Wolf 1999, Figura 8.12
^ Hecht 2002, Figura 11.33
^ Hecht 2002, Figura 13.14
^ Born & Wolf 1999, Figura 7.4
^ Hecht 2002, ecuación. (9.30).
^ Longhurst, RS (1967). Óptica geométrica y física (2ª ed.). Londres: Longmans. ecuación (12.1).

Fuentes

Goodman, José W. (1996). Introducción a la Óptica de Fourier (segunda ed.). Singapur: The McGraw-Hill Companies, Inc. p. 73.ISBN _ 0-07-024254-2.
Nacido, Max ; Lobo, Emil (1999). Principios de la óptica: teoría electromagnética de la propagación, interferencia y difracción de la luz (7ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-64222-4. OCLC 40200160.
Hecht, Eugenio (2002). Óptica (4ª ed.). Lectura, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-321-18878-0. OCLC 47126713.
Jenkins, FA; Blanco, ÉL (1957). Fundamentos de Óptica (3ª ed.). Nueva York: McGraw Hill.

enlaces externos

Difracción de Fraunhofer en ScienceWorld
Difracción de Fraunhofer en Hiperfísica