Ecuación de difracción de Fraunhofer

Explicación matemática de la difracción de campo lejano.

En óptica , la ecuación de difracción de Fraunhofer se utiliza para modelar la difracción de ondas cuando el patrón de difracción se observa a gran distancia del objeto que difracta, y también cuando se observa en el plano focal de una lente de imagen . ^{[1] [2]}

La ecuación recibió su nombre en honor a Joseph von Fraunhofer, aunque en realidad él no participó en el desarrollo de la teoría. ^[3]

Este artículo proporciona la ecuación en varias formas matemáticas y proporciona cálculos detallados del patrón de difracción de Fraunhofer para varias formas diferentes de aperturas de difracción, especialmente para ondas planas monocromáticas normalmente incidentes. Se puede encontrar una discusión cualitativa sobre la difracción de Fraunhofer en otros lugares .

Definición

Cuando un obstáculo bloquea parcialmente un haz de luz, parte de la luz se dispersa alrededor del objeto y, a menudo, se ven bandas claras y oscuras en el borde de la sombra; este efecto se conoce como difracción. ^[4] La ecuación de difracción de Kirchhoff proporciona una expresión, derivada de la ecuación de onda , que describe la onda difractada por una apertura; Las soluciones analíticas para esta ecuación no están disponibles para la mayoría de las configuraciones. ^[5]

La ecuación de difracción de Fraunhofer es una aproximación que se puede aplicar cuando la onda difractada se observa en el campo lejano , y también cuando se utiliza una lente para enfocar la luz difractada; en muchos casos, se dispone de una solución analítica simple para la ecuación de Fraunhofer; varias de ellas se derivan a continuación.

En coordenadas cartesianas

Geometría de difracción, que muestra el plano de apertura (u objeto difractor) y el plano de imagen, con sistema de coordenadas.

Si la apertura está en el plano x ′ y ′ , con origen en la apertura y está iluminada por una onda monocromática , de longitud de onda λ, número de onda k con amplitud compleja A ( x ′ , y ′ ) , y la onda difractada se observa en el plano x,y no preparado a lo largo del eje positivo , donde l , m son los cosenos directores del punto x,y con respecto al origen. La amplitud compleja U ( x , y ) de la onda difractada viene dada por la ecuación de difracción de Fraunhofer como: ^[6] ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,y,z)&\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda }}(lx'+my')}\,dx'\,dy'\\&\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-ik(lx'+my')}\,dx'\,dy'\end{aligned}}}$$

Se puede ver en esta ecuación que la forma del patrón de difracción depende sólo de la dirección de visión, por lo que el patrón de difracción cambia de tamaño pero no de forma con el cambio de la distancia de visión.

Explícitamente, la ecuación de difracción de Fraunhofer es ^[7]

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,y,z)\approx {\frac {e^{ikz}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}}{i\lambda z}}\iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-i{\frac {k}{z}}(x'x+y'y)}\,dx'\,dy'\end{aligned}}}$$

${\displaystyle k={2\pi }/{\lambda }}$

Se puede ver que la integral en las ecuaciones anteriores es la transformada de Fourier de la función de apertura evaluada en frecuencias. ^[8]

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&=x/(\lambda z)=l/\lambda \\f_{y}&=y/(\lambda z)=m/\lambda \end{aligned}}}$$

Por tanto, también podemos escribir la ecuación en términos de una transformada de Fourier como:

$${\displaystyle U(x,y,z)\propto {\hat {f}}[A(x',y')]_{f_{x}f_{y}}}$$

ÂA

Otra forma es:

$${\displaystyle U(\mathbf {r} )\propto {\int _{\text{Aperture}}A(\mathbf {r'} )e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r'} -\mathbf {r} )}dr'}={\int _{\text{Aperture}}a_{0}(\mathbf {r'} )e^{i\mathbf {(k_{0}-k)} \cdot (\mathbf {r'} -\mathbf {r} )}dr'}}$$

donde r y r' representan el punto de observación y un punto en la apertura respectivamente, k ₀ y k representan los vectores de onda de la perturbación en la apertura y de las ondas difractadas respectivamente, y a ₀ ( r' ) representa la magnitud de la perturbación en la apertura.

En coordenadas polares

Cuando la apertura de difracción tiene simetría circular, es útil utilizar coordenadas polares en lugar de cartesianas . ^[9]

Un punto en la apertura tiene coordenadas ρ , ω dando:

$${\displaystyle x'=\rho '\cos \omega ';y'=\rho '\sin \omega '}$$

$${\displaystyle x=\rho \cos \omega ;y=\rho \sin \omega }$$

La amplitud compleja en ρ' viene dada por A ( ρ ) , y el área d x d y se convierte en ρ ′ d ρ ′ d ω ′ , dando

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(\rho ,\omega ,z)&\propto \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }A(\rho ')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda z}}(\rho \rho '\cos \omega \cos \omega '+\rho \rho '\sin \omega \sin \omega ')}\rho 'd\rho 'd\omega '\\&\propto \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }A(\rho ')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda z}}\rho \rho '\cos(\omega -\omega ')}\,d\omega '\rho '\,d\rho '\end{aligned}}}$$

Usando la representación integral de la función de Bessel : ^[10]

$${\displaystyle J_{0}(p)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{ip\cos \alpha }\,d\alpha }$$

$${\displaystyle U(\rho ,z)\propto 2\pi \int _{0}^{\infty }A(\rho ')J_{0}\left({\frac {2\pi \rho '\rho }{\lambda z}}\right)\rho '\,d\rho '}$$

donde la integración sobre ω da 2 π ya que la ecuación es circularmente simétrica, es decir, no hay dependencia de ω .

En este caso, tenemos U ( ρ , z ) igual a la transformada de Fourier-Bessel o Hankel de la función de apertura, A ( ρ )

Ejemplo

A continuación se dan ejemplos de difracción de Fraunhofer con una onda plana monocromática normalmente incidente.

En cada caso, el objeto difractor está ubicado en el plano z = 0 , y la amplitud compleja de la onda plana incidente viene dada por

$${\displaystyle A(x',y')=ae^{i2\pi ct/\lambda }=ae^{ikct}}$$

• a es la magnitud de la perturbación de la onda,
• λ es la longitud de onda,
• c es la velocidad de la luz,
• es el momento
• k = 2 π / λ es el número de onda

y la fase es cero en el tiempo t = 0 .

El factor dependiente del tiempo se omite en todos los cálculos, ya que permanece constante y se promedia cuando se calcula la intensidad . La intensidad en r es proporcional a la amplitud multiplicada por su conjugado complejo

$${\displaystyle I(\mathbf {r} )\propto U(\mathbf {r} ){\overline {U}}(\mathbf {r} )}$$

Estas derivaciones se pueden encontrar en la mayoría de los libros de óptica estándar, en formas ligeramente diferentes y utilizando notaciones variables. Se proporciona una referencia para cada uno de los sistemas modelados aquí. Las transformadas de Fourier utilizadas se pueden encontrar aquí .

Hendidura rectangular estrecha

Gráfico e imagen de difracción de rendija simple.

La apertura es una rendija de ancho W que se encuentra a lo largo del eje y ,

Solución por integración

Suponiendo que el centro de la rendija está ubicado en x = 0 , la primera ecuación anterior, para todos los valores de y , es: ^[11]

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&=a\int _{-W/2}^{W/2}e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}\,dx'\\[4pt]&=-{\frac {a\lambda z}{2\pi ix}}\left[e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}\right]_{-W/2}^{W/2}\end{aligned}}}$$

Usando la fórmula de Euler , esto se puede simplificar a:

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&=aW{\frac {\sin \left[{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\right]}{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}\\&=aW\operatorname {sinc} {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\end{aligned}}}$$

donde sinc ( p ) = sin( p )/ p . La función sinc a veces se define como sin( π p )/ π p y esto puede causar confusión al observar derivaciones en diferentes textos.

Esto también se puede escribir como:

$${\displaystyle U(\theta )=aW\operatorname {sinc} \left[{\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right]}$$

θzxsen θ ≈ x / zθ << 1

Solución de transformada de Fourier

La rendija se puede representar mediante la función rect como: ^[12]

$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {x}{W}}\right)}$$

La transformada de Fourier de esta función viene dada por

$${\displaystyle {\hat {f}}(\operatorname {rect} (ax))={\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)}$$

ξsincsin( π x )/( π x )

La frecuencia de la transformada de Fourier aquí es x / λz , dando

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&\propto W{\frac {\sin {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}\\&\propto W\operatorname {sinc} {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\\&\propto W\operatorname {sinc} {\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\\&\propto W\operatorname {sinc} (kW\sin \theta /2)\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que la función sinc se define aquí como sin( x )/( x ) para mantener la coherencia.

Intensidad

La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud y, por tanto, es ^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right]\\&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {kW\sin \theta }{2}}\right]\end{aligned}}}$$

Aberturas

apertura rectangular

Simulación por computadora de la difracción de Fraunhofer mediante una apertura rectangular

Cuando una rendija rectangular de ancho W y altura H se ilumina normalmente (la rendija iluminada en el ángulo normal) por una onda plana monocromática de longitud de onda λ , la amplitud compleja se puede encontrar usando análisis similares a los de la sección anterior, aplicados sobre dos dimensiones ortogonales independientes como: ^{[14] [15] [16]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,y)&\propto \operatorname {sinc} \left({\frac {\pi Wx}{\lambda R}}\right)\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi Hy}{\lambda R}}\right)\\&\propto \operatorname {sinc} \left({\frac {kWx}{2R}}\right)\operatorname {sinc} \left({\frac {kHy}{2R}}\right).\end{aligned}}}$$

La intensidad viene dada por

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi Wx}{\lambda R}}\right)\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi Hy}{\lambda R}}\right)\\&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {kWx}{2R}}\right)\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {kHy}{2R}}\right)\end{aligned}}}$$

donde los ejes xey definen las direcciones transversales en el plano de observación o el plano de la imagen (descrito en la figura anterior), y R es la distancia entre el centro de la rendija y el punto de observación en el plano de la imagen. ${\displaystyle P=(x,y)}$

En la práctica, todas las rendijas son de tamaño finito, por lo que producen difracción en ambas direcciones transversales, a lo largo de los ejes x (ancho W definido) e y (alto H definido). Si la altura H de la rendija es mucho mayor que su ancho W , entonces el espaciado de las franjas de difracción verticales (a lo largo de la altura o del eje y ) es mucho menor que el espaciado de las franjas horizontales (a lo largo del ancho o del eje x ). . Si la separación de las franjas verticales es tan pequeña en una H relativamente tan grande , entonces la observación de las franjas verticales es tan difícil que una persona que observa el patrón de intensidad de la onda difractada en el plano de observación o en el plano de la imagen reconoce sólo las franjas horizontales con sus altura estrecha. Esta es la razón por la cual una rendija de altura larga o un conjunto de rendijas, como una rejilla de difracción, generalmente se analiza solo en la dimensión a lo ancho. Si el haz de luz no ilumina toda la altura de la rendija, entonces la separación de las franjas verticales está determinada por la dimensión del rayo láser a lo largo de la altura de la rendija. Un examen minucioso del patrón de dos rendijas que aparece a continuación muestra que hay franjas de difracción verticales muy finas encima y debajo de los puntos principales, así como franjas horizontales más obvias.

apertura circular

Patrón de difracción aireado

La abertura tiene un diámetro W. La amplitud compleja en el plano de observación viene dada por

$${\displaystyle U(\rho ,z)=2\pi a\int _{0}^{W/2}J_{0}\left({\frac {2\pi \rho '\rho }{\lambda z}}\right)\rho '\,d\rho '}$$

Solución por integración

Usando la relación de recurrencia ^[17]

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[x^{n+1}J_{n+1}(x)\right]=x^{n+1}J_{n}(x)}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{x}x'J_{0}(x')\,dx'=xJ_{1}(x)}$$

si sustituimos

$${\displaystyle x'={\frac {2\pi \rho }{\lambda z}}\rho '}$$

πρW / λz

$${\displaystyle U(\rho ,z)\propto {\frac {J_{1}(\pi W\rho /\lambda z)}{\pi W\rho /\lambda z}}}$$

Poniendo ρ / z = sen θ , obtenemos

$${\displaystyle U(\theta )\propto {\frac {J_{1}(\pi W\sin \theta /\lambda )}{\pi W\sin \theta /\lambda }}}$$

Solución mediante transformada de Fourier-Bessel

Podemos escribir la función de apertura como una función de paso.

$${\displaystyle \Pi (W/2)}$$

La transformada de Fourier-Bessel para esta función viene dada por la relación

$${\displaystyle F[\Pi (r/a)]={\frac {2\pi J_{1}(qa)}{q}}}$$

q/2πρ / λza = W /2

Así, obtenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(\rho )&={\frac {2\pi J_{1}(\pi W\rho /\lambda z)}{2\pi W\rho /\lambda z}}\\&={\frac {2\pi J_{1}(\pi W\sin \theta /\lambda )}{W\sin \theta /\lambda }}\\&={\frac {2\pi J_{1}(kW\sin \theta /2)}{kW\sin \theta /2}}\end{aligned}}}$$

Intensidad

La intensidad viene dada por: ^[18]

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto \left[{\frac {J_{1}(\pi W\sin \theta /\lambda )}{(\pi W\sin \theta /\lambda )}}\right]^{2}\\&\propto \left[{\frac {J_{1}(kW\sin \theta /2)}{(kW\sin \theta /2)}}\right]^{2}\end{aligned}}}$$

Forma del patrón de difracción

Esto se conoce como patrón de difracción de Airy.

El patrón difractado es simétrico con respecto al eje normal.

Apertura con perfil gaussiano.

Intensidad de una onda plana difractada a través de una abertura con perfil gaussiano

Una apertura con perfil gaussiano, por ejemplo, una diapositiva fotográfica cuya transmisión tiene una variación gaussiana, de modo que la amplitud en un punto de la apertura situado a una distancia r' del origen viene dada por

$${\displaystyle A(\rho ')=\exp {\left(-\left[{\frac {\rho '}{\sigma }}\right]^{2}\right)}}$$

$${\displaystyle U(\rho ,z)=2\pi a\int _{0}^{\infty }\exp {\left(-\left[{\frac {\rho '}{\sigma }}\right]^{2}\right)}J_{0}{\left({\frac {2\pi \rho '\rho }{\lambda z}}\right)}\rho '\,d\rho '}$$

Solución mediante transformada de Fourier-Bessel

La transformada de Fourier-Bessel o Hankel se define como

$${\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,dr}$$

J _νfunción de Besselνν ≥ −1/2

La transformada de Hankel es

$${\displaystyle F_{\nu }{\left[e^{(ar)^{2}/2}\right]}={\frac {e^{-k^{2}/2a^{2}}}{a^{2}}}}$$

$${\displaystyle U(\rho ,z)\propto e^{-\left[{\frac {\pi \rho \sigma }{\lambda z}}\right]^{2}}}$$

$${\displaystyle U(\theta )\propto e^{-\left[{\frac {\pi \sigma \sin \theta }{\lambda }}\right]^{2}}}$$

Intensidad

La intensidad viene dada por: ^[19]

$${\displaystyle I(\theta )\propto e^{-{\frac {2\pi \sigma \sin \theta }{\lambda }}}}$$

Esta función está representada a la derecha y se puede ver que, a diferencia de los patrones de difracción producidos por aberturas rectangulares o circulares, no tiene anillos secundarios. Esto se puede utilizar en un proceso llamado apodización : la apertura está cubierta por un filtro cuya transmisión varía como una función gaussiana, dando un patrón de difracción sin anillos secundarios. ^{[20] [21]}

Rendijas

dos rendijas

El patrón que se produce cuando la luz difractada por dos rendijas se superpone es de considerable interés en la física, en primer lugar por su importancia para establecer la teoría ondulatoria de la luz a través del experimento de interferencia de Young y, en segundo lugar, por su papel como experimento mental en el experimento de doble rendija en mecánica cuántica.

hendiduras estrechas

Geometría de difracción de dos rendijas.

Interferencia de dos rendijas utilizando un láser rojo.

Supongamos que tenemos dos rendijas largas iluminadas por una onda plana de longitud de onda λ . Las rendijas están en el plano z = 0 , paralelas al eje y , separadas por una distancia S y son simétricas con respecto al origen. El ancho de las rendijas es pequeño en comparación con la longitud de onda.

Solución por integración

La luz incidente es difractada por las rendijas en ondas esféricas uniformes. Las ondas que viajan en una dirección dada θ desde las dos rendijas tienen fases diferentes. La fase de las ondas de las rendijas superior e inferior con respecto al origen está dada por (2 π / λ )( S /2)sin θ y −(2 π / λ )( S /2)sin θ

La amplitud compleja de las ondas sumadas viene dada por: ^[22]

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(\theta )&=ae^{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}+ae^{-{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}}\\&=a\left(\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}+i\sin {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right)+a\left(\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}-i\sin {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right)\\&=2a\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\end{aligned}}}$$

Solución usando transformada de Fourier

La apertura se puede representar mediante la función: ^[23]

$${\displaystyle a[\delta {(x-S/2)}+\delta {(x+S/2)}]}$$

δfunción delta

Tenemos​

$${\displaystyle {\hat {f}}[\delta (x)]=1}$$

$${\displaystyle {\hat {f}}[g(x-a)]=e^{-2\pi iaf_{x}}{\hat {f}}[g(x)]}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&={\hat {f}}[\delta {(x-S/2)}+\delta {(x+S/2)}]\\&=e^{-i\pi Sx/2\lambda }+e^{i\pi Sx/2\lambda }\\&=2\cos {\frac {\pi Sx}{2\lambda }}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle U(\theta )=2\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{2\lambda }}}$$

Esta es la misma expresión que la derivada anteriormente por integración.

Intensidad

Esto da la intensidad de las ondas combinadas como: ^[24]

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto \cos ^{2}\left[{\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right]\\&\propto \cos ^{2}{\left[{\frac {kS\sin \theta }{2}}\right]}\end{aligned}}}$$

Rendijas de ancho finito

Difracción de rendija simple y doble: la separación de rendijas es de 0,7 mm y el ancho de rendija es de 0,1 mm

El ancho de las rendijas, W, es finito.

Solución por integración

El patrón difractado viene dado por: ^[25]

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(\theta )&=a\left[e^{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}+e^{-{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}}\right]\int _{-W/2}^{W/2}e^{{-2\pi ix'\sin \theta }/\lambda }\,dx'\\[1ex]&=2a\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}W\operatorname {sinc} {\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\end{aligned}}}$$

Solución usando transformada de Fourier

La función de apertura viene dada por: ^[26]

$${\displaystyle a\left[\operatorname {rect} \left({\frac {x-S/2}{W}}\right)+\operatorname {rect} \left({\frac {x+S/2}{W}}\right)\right]}$$

La transformada de Fourier de esta función viene dada por

$${\displaystyle {\hat {f}}(\operatorname {rect} (ax))={\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{2a}}\right)}$$

ξsincsin( πx )/( πx )

$${\displaystyle {\hat {f}}[g(x-a)]=e^{-2\pi iaf_{x}}{\hat {f}}[g(x)]}$$

Tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&={\hat {f}}\left[a\left[\operatorname {rect} \left({\frac {x-S/2}{W}}\right)+\operatorname {rect} \left({\frac {x+S/2}{W}}\right)\right]\right]\\&=2W\left[e^{-i\pi Sx/\lambda z}+e^{i\pi Sx/\lambda z}\right]{\frac {\sin {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}\\&=2a\cos {\frac {\pi Sx}{\lambda z}}W\operatorname {sinc} {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle U(\theta )=2a\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}W\operatorname {sinc} {\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}}$$

Esta es la misma expresión que se obtuvo por integración.

Intensidad

La intensidad viene dada por: ^[27]

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto \cos ^{2}\left[{\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right]\operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right]\\&\propto \cos ^{2}\left[{\frac {kS\sin \theta }{2}}\right]\operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {kW\sin \theta }{2}}\right]\end{aligned}}}$$

Se puede ver que la forma del patrón de intensidad es el producto del patrón de difracción de rendija individual y el patrón de interferencia que se obtendría con rendijas de ancho insignificante. Esto se ilustra en la imagen de la derecha, que muestra la difracción de rendija única por un rayo láser, y también el patrón de difracción/interferencia dado por dos rendijas idénticas.

Rejillas

Una rejilla se define en Born y Wolf como "cualquier disposición que impone a una onda incidente una variación periódica de amplitud o fase, o ambas". ^[28]

Rejilla de hendidura estrecha

Una rejilla simple consta de una pantalla con N rendijas cuyo ancho es significativamente menor que la longitud de onda de la luz incidente con una separación de rendijas de S.

Solución por integración

La amplitud compleja de la onda difractada en un ángulo θ viene dada por: ^[29]

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(\theta )&=a\sum _{n=1}^{N}e^{\frac {-i2\pi nS\sin \theta }{\lambda }}\\&={\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}}$$

ya que esta es la suma de una serie geométrica .

Solución usando transformada de Fourier

La apertura viene dada por

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}\delta (x-nS)}$$

La transformada de Fourier de esta función es: ^[30]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}\left[\sum _{n=0}^{N}\delta (x-nS)\right]&=\sum _{n=0}^{N}e^{-if_{x}nS}\\&={\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}}$$

Intensidad

Patrón de difracción para 50 rejillas de rendija estrecha

Detalle del máximo principal en patrones de difracción de rejilla de rendija estrecha de 20 y 50

La intensidad viene dada por: ^[31]

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto {\frac {1-\cos(2\pi NS\sin \theta /\lambda )}{1-\cos(2\pi S\sin \theta /\lambda )}}\\&\propto {\frac {\sin ^{2}(\pi NS\sin \theta /\lambda )}{\sin ^{2}(\pi S\sin \theta /\lambda )}}\end{aligned}}}$$

Esta función tiene una serie de máximos y mínimos. Hay "máximos principales" regularmente espaciados y varios máximos mucho más pequeños entre los máximos principales. Los máximos principales ocurren cuando

$${\displaystyle \pi S\sin _{n}\theta /\lambda =n\pi ,n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

$${\displaystyle \sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}},n=0,\pm 1\pm 2,\ldots }$$

Esta es la ecuación de rejilla para luz normalmente incidente.

El número de máximos intermedios pequeños es igual al número de rendijas, N − 1 y su tamaño y forma también está determinado por N.

La forma del patrón para N =50 se muestra en la primera figura.

La estructura detallada para rejillas de 20 y 50 rendijas se ilustra en el segundo diagrama.

Rejilla de hendidura de ancho finito

Patrón de difracción de rejilla con rendijas de ancho finito

La rejilla ahora tiene N ranuras de ancho W y separación S

Solución mediante integración

La amplitud viene dada por: ^[32]

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(\theta ,\phi )&\propto a\sum _{n=1}^{N}e^{\frac {-i2\pi nS\sin \theta }{\lambda }}\int _{-W/2}^{W/2}e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}\,dx'\\&\propto a\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right){\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}}$$

Solución usando transformada de Fourier

La función de apertura se puede escribir como: ^[33]

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\operatorname {rect} \left[{\frac {x'-nS}{W}}\right]}$$

Usando el teorema de convolución , que dice que si tenemos dos funciones f ( x ) y g ( x ) , y tenemos

$${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,}$$

∗

$${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\cdot {\hat {g}}(\xi ).}$$

$${\displaystyle \operatorname {rect} (x'/W)*\sum _{n=0}^{N}\delta (x'-nS)}$$

La amplitud viene dada entonces por la transformada de Fourier de esta expresión como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&={\hat {f}}[\operatorname {rect} (x'/W)]{\hat {f}}\left[\sum _{n=0}^{N}\delta (x'-nS)\right]\\&=a\operatorname {sinc} \left({\frac {W\sin \theta }{\lambda }}\right){\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}}$$

Intensidad

La intensidad viene dada por: ^[34]

$${\displaystyle I(\theta )\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {W\sin \theta }{\lambda }}\right){\frac {\sin ^{2}(\pi NS\sin \theta /\lambda )}{\sin ^{2}(\pi S\sin \theta /\lambda )}}}$$

El diagrama muestra el patrón de difracción de una rejilla con 20 rendijas, donde el ancho de las rendijas es 1/5 de la separación de las rendijas. El tamaño de los principales picos difractados se modula con el patrón de difracción de las rendijas individuales.

Otras rejillas

El método de la transformada de Fourier anterior se puede utilizar para encontrar la forma de difracción para cualquier estructura periódica donde se conoce la transformada de Fourier de la estructura. Goodman ^[35] utiliza este método para derivar expresiones para el patrón de difracción obtenido con rejillas de modulación de fase y amplitud sinusoidal. Éstos son de particular interés en la holografía .

Extensiones

Iluminación no normal

Si la apertura está iluminada por una onda plana monocromática incidente en una dirección ( l ₀ , m ₀ , n ₀ ) , la primera versión de la ecuación de Fraunhofer anterior se convierte en: ^[36]

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,y,z)&\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda }}\left[(l-l_{0})x'+(m-m_{0})y'\right]}\,dx'\,dy'\\&\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-ik\left[(l-l_{0})x'+(m-m_{0})y'\right]}\,dx'\,dy'\end{aligned}}}$$

Las ecuaciones utilizadas para modelar cada uno de los sistemas anteriores se modifican sólo mediante cambios en las constantes que multiplican x e y , por lo que los patrones de luz difractada tendrán la forma, excepto que ahora estarán centrados alrededor de la dirección de la onda plana incidente.

La ecuación de la rejilla se convierte en ^[37]

$${\displaystyle \sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}}+\sin \theta _{0},n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

Iluminación no monocromática

En todos los ejemplos anteriores de difracción de Fraunhofer, el efecto de aumentar la longitud de onda de la luz iluminadora es reducir el tamaño de la estructura de difracción y, a la inversa, cuando se reduce la longitud de onda, el tamaño del patrón aumenta. Si la luz no es monocromática, es decir, consta de una gama de diferentes longitudes de onda, cada longitud de onda se difracta en un patrón de tamaño ligeramente diferente al de sus vecinas. Si la dispersión de las longitudes de onda es significativamente menor que la longitud de onda media, los patrones individuales variarán muy poco en tamaño, por lo que la difracción básica seguirá apareciendo con un contraste ligeramente reducido. A medida que aumenta la dispersión de las longitudes de onda, se reduce el número de "franjas" que se pueden observar.

Ver también

• Fórmula de difracción de Kirchhoff
• difracción de Fresnel
• principio de huygens
• disco aireado
• Óptica de Fourier

Referencias

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