Propagador

Función en la teoría cuántica de campos que muestra amplitudes de probabilidad de partículas en movimiento

En mecánica cuántica y teoría cuántica de campos , el propagador es una función que especifica la amplitud de probabilidad de que una partícula viaje de un lugar a otro en un período de tiempo determinado, o que viaje con una determinada energía y momento. En los diagramas de Feynman , que sirven para calcular la tasa de colisiones en la teoría cuántica de campos , las partículas virtuales contribuyen con su propagador a la tasa del evento de dispersión descrito por el diagrama respectivo. Los propagadores también pueden verse como el inverso del operador de onda apropiado para la partícula y, por lo tanto, a menudo se les llama funciones (causales) de Green (llamadas " causales " para distinguirlas de la función elíptica laplaciana de Green). ^{[1] [2]}

Propagadores no relativistas

En la mecánica cuántica no relativista, el propagador proporciona la amplitud de probabilidad de que una partícula viaje desde un punto espacial (x') en un momento (t') a otro punto espacial (x) en un momento posterior (t).

Considere un sistema con Hamiltoniano H. La función de Green G ( solución fundamental ) para la ecuación de Schrödinger es una función

${\displaystyle G(x,t;x',t')={\frac {1}{i\hbar }}\Theta (t-t')K(x,t;x',t')}$

satisfactorio

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-H_{x}\right)G(x,t;x',t')=\delta (x-x')\delta (t-t'),}$

donde H _x denota el hamiltoniano escrito en términos de las coordenadas x , δ ( x ) denota la función delta de Dirac , Θ ( t ) es la función escalonada de Heaviside y K ( x , t  ; x′ , t′ ) es el núcleo del operador diferencial de Schrödinger anterior entre paréntesis grandes. El término propagador se utiliza a veces en este contexto para referirse a G y, a veces, a K. Este artículo utilizará el término para referirse a K (ver principio de Duhamel ).

Este propagador también se puede escribir como la amplitud de transición.

${\displaystyle K(x,t;x',t')={\big \langle }x{\big |}{\hat {U}}(t,t'){\big |}x'{\big \rangle },}$

donde Û ( t , t′ ) es el operador unitario de evolución temporal para el sistema que lleva estados en el momento t′ a estados en el momento t . Tenga en cuenta la condición inicial impuesta por . ${\displaystyle \lim _{t\to t'}K(x,t;x',t')=\delta (x-x')}$

El propagador mecánico cuántico también se puede encontrar utilizando una integral de trayectoria :

${\displaystyle K(x,t;x',t')=\int \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t'}^{t}L({\dot {q}},q,t)\,dt\right]D[q(t)],}$

donde las condiciones de contorno de la integral de trayectoria incluyen q ( t ) = x , q ( t′ ) = x′ . Aquí L denota el Lagrangiano del sistema. Los caminos que se suman avanzan sólo en el tiempo y se integran con el diferencial que sigue el camino en el tiempo. ${\displaystyle D[q(t)]}$

En mecánica cuántica no relativista , el propagador permite encontrar la función de onda de un sistema, dada una función de onda inicial y un intervalo de tiempo. La nueva función de onda está especificada por la ecuación

${\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')\,dx'.}$

Si K ( x , t ; x ′, t ′) solo depende de la diferencia x − x′ , esta es una convolución de la función de onda inicial y el propagador.

Ejemplos básicos: propagador de partículas libres y oscilador armónico

Para un sistema invariante traslacionalmente en el tiempo, el propagador solo depende de la diferencia de tiempo t − t ′ , por lo que puede reescribirse como

$${\displaystyle K(x,t;x',t')=K(x,x';t-t').}$$

El propagador de una partícula libre unidimensional , que se puede obtener, por ejemplo, a partir de la integral de trayectoria , es entonces

${\displaystyle K(x,x';t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }dk\,e^{ik(x-x')}e^{-{\frac {i\hbar k^{2}t}{2m}}}=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {m(x-x')^{2}}{2i\hbar t}}}.}$

De manera similar, el propagador de un oscilador armónico cuántico unidimensional es el núcleo de Mehler , ^{[3] [4]}

${\displaystyle K(x,x';t)=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega t}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {m\omega {\big (}(x^{2}+x'^{2})\cos \omega t-2xx'{\big )}}{2i\hbar \sin \omega t}}\right).}$

Este último se puede obtener a partir del resultado anterior de partículas libres haciendo uso de la identidad del grupo Lie SU(1,1) de van Kortryk, ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\exp \left(-{\frac {it}{\hbar }}\left({\frac {1}{2m}}{\mathsf {p}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\mathsf {x}}^{2}\right)\right)\\&=\exp \left(-{\frac {im\omega }{2\hbar }}{\mathsf {x}}^{2}\tan {\frac {\omega t}{2}}\right)\exp \left(-{\frac {i}{2m\omega \hbar }}{\mathsf {p}}^{2}\sin(\omega t)\right)\exp \left(-{\frac {im\omega }{2\hbar }}{\mathsf {x}}^{2}\tan {\frac {\omega t}{2}}\right),\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\mathsf {x}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {p}}}$ ${\displaystyle [{\mathsf {x}},{\mathsf {p}}]=i\hbar }$

Para el caso N -dimensional, el propagador puede obtenerse simplemente mediante el producto

$${\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {x}}';t)=\prod _{q=1}^{N}K(x_{q},x_{q}';t).}$$

Propagadores relativistas

En la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos, los propagadores son invariantes de Lorentz . Dan la amplitud para que una partícula viaje entre dos eventos del espacio-tiempo .

propagador escalar

En la teoría cuántica de campos, la teoría de un campo escalar libre (o que no interactúa) es un ejemplo útil y sencillo que sirve para ilustrar los conceptos necesarios para teorías más complicadas. Describe partículas de espín cero. Hay varios propagadores posibles para la teoría de campos escalares libres. A continuación describimos los más comunes.

Espacio de posición

Los propagadores del espacio de posiciones son funciones de Green para la ecuación de Klein-Gordon . Esto significa que son funciones G ( x , y ) que satisfacen

$${\displaystyle \left(\square _{x}+m^{2}\right)G(x,y)=-\delta (x-y),}$$

• x, y son dos puntos en el espacio-tiempo de Minkowski ,
• ${\displaystyle \square _{x}={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}$es el operador d'alembertiano que actúa sobre las coordenadas x ,
• δ ( x − y ) es la función delta de Dirac .

(Como es típico en los cálculos de la teoría cuántica de campos relativista , utilizamos unidades donde la velocidad de la luz c y la constante de Planck reducida ħ se establecen en la unidad).

Limitaremos la atención al espacio-tiempo de Minkowski de 4 dimensiones . Podemos realizar una transformada de Fourier de la ecuación del propagador, obteniendo

$${\displaystyle \left(-p^{2}+m^{2}\right)G(p)=-1.}$$

Esta ecuación se puede invertir en el sentido de distribuciones , observando que la ecuación xf ( x )=1 tiene la solución (ver teorema de Sokhotski-Plemelj )

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}={\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$$

ε

La solucion es

${\displaystyle G(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}\pm i\varepsilon }},}$

dónde

$${\displaystyle p(x-y):=p_{0}(x^{0}-y^{0})-{\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {y}})}$$

de 4 vectores

Las diferentes opciones sobre cómo deformar el contorno de integración en la expresión anterior conducen a varias formas para el propagador. La elección del contorno suele expresarse en términos de la integral. ${\displaystyle p_{0}}$

El integrando entonces tiene dos polos en

$${\displaystyle p_{0}=\pm {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}},}$$

Propagadores causales

propagador retardado

Un contorno que va en el sentido de las agujas del reloj sobre ambos polos da el propagador retardado causal . Esto es cero si xy es similar al espacio o y es al futuro de x , por lo que es cero si x ⁰< y ⁰ .

Esta elección del contorno equivale a calcular el límite ,

$${\displaystyle G_{\text{ret}}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}+i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=-{\frac {\Theta (x^{0}-y^{0})}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+\Theta (x^{0}-y^{0})\Theta (\tau _{xy}^{2}){\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}.}$$

Aquí

$${\displaystyle \Theta (x):={\begin{cases}1&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$$

función de paso de Heaviside

$${\displaystyle \tau _{xy}:={\sqrt {(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2}}}}$$

tiempo propioxayde Bessel del primery precede causalmente a x ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle y\prec x}$

${\displaystyle y^{0}\leq x^{0}}$y ${\displaystyle \tau _{xy}^{2}\geq 0~.}$

Esta expresión se puede relacionar con el valor esperado de vacío del conmutador del operador de campo escalar libre,

$${\displaystyle G_{\text{ret}}(x,y)=-i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (x^{0}-y^{0})}$$

$${\displaystyle \left[\Phi (x),\Phi (y)\right]:=\Phi (x)\Phi (y)-\Phi (y)\Phi (x)}$$

conmutador

propagador avanzado

Un contorno que va en sentido antihorario debajo de ambos polos da el propagador causal avanzado . Esto es cero si xy es espacial o si y está en el pasado de x , por lo que es cero si x ⁰> y ⁰ .

Esta elección del contorno equivale a calcular el límite ^[6]

$${\displaystyle G_{\text{adv}}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}-i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=-{\frac {\Theta (y^{0}-x^{0})}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+\Theta (y^{0}-x^{0})\Theta (\tau _{xy}^{2}){\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}.}$$

Esta expresión también se puede expresar en términos del valor esperado de vacío del conmutador del campo escalar libre. En este caso,

$${\displaystyle G_{\text{adv}}(x,y)=i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (y^{0}-x^{0})~.}$$

propagador feynman

Un contorno que pasa por debajo del polo izquierdo y por encima del polo derecho da como resultado el propagador de Feynman , introducido por Richard Feynman en 1948. ^[7]

Esta elección del contorno equivale a calcular el límite ^[8]

$${\displaystyle G_{F}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}={\begin{cases}-{\frac {1}{4\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+{\frac {m}{8\pi \tau _{xy}}}H_{1}^{(1)}(m\tau _{xy})&\tau _{xy}^{2}\geq 0\\-{\frac {im}{4\pi ^{2}{\sqrt {-\tau _{xy}^{2}}}}}K_{1}(m{\sqrt {-\tau _{xy}^{2}}})&\tau _{xy}^{2}<0.\end{cases}}}$$

Aquí, H ₁ ⁽¹⁾ es una función de Hankel y K ₁ es una función de Bessel modificada .

Esta expresión se puede derivar directamente de la teoría de campos como el valor esperado de vacío del producto ordenado en el tiempo del campo escalar libre, es decir, el producto siempre tomado de manera que el ordenamiento temporal de los puntos espacio-temporales sea el mismo.

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{F}(x-y)&=-i\langle 0|T(\Phi (x)\Phi (y))|0\rangle \\[4pt]&=-i\left\langle 0|\left[\Theta (x^{0}-y^{0})\Phi (x)\Phi (y)+\Theta (y^{0}-x^{0})\Phi (y)\Phi (x)\right]|0\right\rangle .\end{aligned}}}$$

Esta expresión es invariante de Lorentz , siempre que los operadores de campo conmuten entre sí cuando los puntos xey están separados por un intervalo espacial .

La derivación habitual es insertar un conjunto completo de estados de momento de una sola partícula entre los campos con normalización covariante de Lorentz, y luego mostrar que las funciones Θ que proporcionan el orden temporal causal pueden obtenerse mediante una integral de contorno a lo largo del eje de energía, si el el integrando es como arriba (de ahí la parte imaginaria infinitesimal), para mover el polo fuera de la línea real.

El propagador también se puede derivar utilizando la formulación integral de trayectoria de la teoría cuántica.

propagador de dirac

Introducido por Paul Dirac en 1938. ^{[9] [10]}

Propagador espacial de impulso

La transformada de Fourier de los propagadores del espacio de posición se puede considerar como propagadores en el espacio de momento . Estos adoptan una forma mucho más simple que los propagadores del espacio de posición.

A menudo se escriben con un término ε explícito , aunque se entiende que esto es un recordatorio sobre qué contorno de integración es apropiado (ver arriba). Este término ε se incluye para incorporar condiciones de contorno y causalidad (ver más abajo).

Para un momento p de 4 , los propagadores causales y de Feynman en el espacio de momento son:

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\text{ret}}(p)={\frac {1}{(p_{0}+i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\text{adv}}(p)={\frac {1}{(p_{0}-i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{F}(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

Para los cálculos de diagramas de Feynman, generalmente es conveniente escribirlos con un factor general adicional de i (las convenciones varían).

¿Más rapido que la luz?

El propagador de Feynman tiene algunas propiedades que parecen desconcertantes al principio. En particular, a diferencia del conmutador, el propagador es distinto de cero fuera del cono de luz , aunque cae rápidamente durante intervalos espaciales. Interpretado como una amplitud del movimiento de partículas, esto se traduce en que la partícula virtual viaja más rápido que la luz. No resulta inmediatamente obvio cómo se puede conciliar esto con la causalidad: ¿podemos utilizar partículas virtuales más rápidas que la luz para enviar mensajes más rápidos que la luz?

La respuesta es no: mientras que en la mecánica clásica los intervalos a lo largo de los cuales pueden viajar las partículas y los efectos causales son los mismos, esto ya no es cierto en la teoría cuántica de campos, donde son los conmutadores los que determinan qué operadores pueden afectarse entre sí.

Entonces, ¿qué representa la parte espacial del propagador? En QFT, el vacío es un participante activo y el número de partículas y los valores de campo están relacionados por un principio de incertidumbre ; Los valores de campo son inciertos incluso para la partícula número cero . Existe una amplitud de probabilidad distinta de cero para encontrar una fluctuación significativa en el valor del vacío del campo Φ( x ) si se mide localmente (o, para ser más precisos, si se mide un operador obtenido promediando el campo en una región pequeña) . Además, la dinámica de los campos tiende a favorecer hasta cierto punto las fluctuaciones espacialmente correlacionadas. El producto ordenado en el tiempo distinto de cero para campos separados en forma espacial simplemente mide la amplitud de una correlación no local en estas fluctuaciones del vacío, análoga a una correlación EPR . De hecho, al propagador se le suele denominar función de correlación de dos puntos para el campo libre .

Dado que, según los postulados de la teoría cuántica de campos, todos los operadores observables conmutan entre sí en una separación similar al espacio, los mensajes no pueden enviarse a través de estas correlaciones más de lo que pueden enviarse a través de otras correlaciones EPR; las correlaciones están en variables aleatorias.

Con respecto a las partículas virtuales, el propagador en una separación similar al espacio puede considerarse como un medio para calcular la amplitud para crear un par virtual partícula- antipartícula que finalmente desaparece en el vacío, o para detectar un par virtual que emerge del vacío. En lenguaje de Feynman , tales procesos de creación y aniquilación equivalen a una partícula virtual que viaja hacia adelante y hacia atrás en el tiempo, lo que puede sacarla del cono de luz. Sin embargo, no se permite ninguna señalización retrospectiva en el tiempo.

Explicación usando límites

Esto se puede aclarar escribiendo el propagador de la siguiente forma para una partícula sin masa:

$${\displaystyle G_{F}^{\varepsilon }(x,y)={\frac {\varepsilon }{(x-y)^{2}+i\varepsilon ^{2}}}.}$$

Esta es la definición habitual pero normalizada por un factor de . Entonces la regla es que sólo se toma el límite al final de un cálculo. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$

Uno ve que

$${\displaystyle G_{F}^{\varepsilon }(x,y)={\frac {1}{\varepsilon }}\quad {\text{if}}~~~(x-y)^{2}=0,}$$

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}G_{F}^{\varepsilon }(x,y)=0\quad {\text{if}}~~~(x-y)^{2}\neq 0.}$$

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\int |G_{F}^{\varepsilon }(0,x)|^{2}\,dx^{3}=\lim _{\varepsilon \to 0}\int {\frac {\varepsilon ^{2}}{(\mathbf {x} ^{2}-t^{2})^{2}+\varepsilon ^{4}}}\,dx^{3}=2\pi ^{2}|t|.}$$

Propagadores en diagramas de Feynman

El uso más común del propagador es calcular amplitudes de probabilidad para interacciones de partículas utilizando diagramas de Feynman . Estos cálculos suelen realizarse en el espacio de momento. En general, la amplitud obtiene un factor del propagador para cada línea interna , es decir, cada línea que no representa una partícula entrante o saliente en el estado inicial o final. También obtendrá un factor proporcional y similar en forma a un término de interacción en el lagrangiano de la teoría para cada vértice interno donde se encuentran las líneas. Estas prescripciones se conocen como reglas de Feynman .

Las líneas internas corresponden a partículas virtuales. Dado que el propagador no desaparece para combinaciones de energía y momento no permitidas por las ecuaciones de movimiento clásicas, decimos que a las partículas virtuales se les permite estar fuera de su capa . De hecho, dado que el propagador se obtiene invirtiendo la ecuación de onda, en general tendrá singularidades en la capa.

La energía transportada por la partícula en el propagador puede ser incluso negativa . Esto puede interpretarse simplemente como el caso en el que, en lugar de que una partícula vaya en una dirección, su antipartícula va en la otra dirección y, por tanto, lleva un flujo opuesto de energía positiva. El propagador abarca ambas posibilidades. Significa que hay que tener cuidado con los signos menos en el caso de los fermiones , cuyos propagadores ni siquiera son funciones de energía y momento (ver más abajo).

Las partículas virtuales conservan energía y impulso. Sin embargo, dado que pueden estar fuera de la capa, siempre que el diagrama contenga un circuito cerrado , las energías y los momentos de las partículas virtuales que participan en el circuito no estarán parcialmente restringidos, ya que un cambio en una cantidad para una partícula en el circuito puede equilibrarse por un cambio igual y opuesto en otro. Por lo tanto, cada bucle en un diagrama de Feynman requiere una integral sobre un continuo de posibles energías y momentos. En general, estas integrales de productos de propagadores pueden divergir, situación que debe ser manejada mediante el proceso de renormalización .

Otras teorías

Girar 1 ⁄ 2

Si la partícula posee espín, entonces su propagador es en general algo más complicado, ya que implicará el espín de la partícula o los índices de polarización. La ecuación diferencial satisfecha por el propagador para una partícula de espín 1 ⁄ 2 viene dada por ^[11]

${\displaystyle (i\not \nabla '-m)S_{F}(x',x)=I_{4}\delta ^{4}(x'-x),}$

donde I ₄ es la matriz unitaria en cuatro dimensiones, y empleando la notación de barra diagonal de Feynman . Esta es la ecuación de Dirac para una fuente de función delta en el espacio-tiempo. Usando la representación del impulso,

$${\displaystyle S_{F}(x',x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}{\tilde {S}}_{F}(p),}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}&(i\not \nabla '-m)\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\tilde {S}}_{F}(p)\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}(\not p-m){\tilde {S}}_{F}(p)\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}I_{4}\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&I_{4}\delta ^{4}(x'-x),\end{aligned}}}$

donde en el lado derecho se utiliza una representación integral de la función delta de cuatro dimensiones. De este modo

${\displaystyle (\not p-mI_{4}){\tilde {S}}_{F}(p)=I_{4}.}$

Multiplicando desde la izquierda por

$${\displaystyle (\not p+m)}$$

matrices gamma

$${\displaystyle {\begin{aligned}\not p\not p&={\tfrac {1}{2}}(\not p\not p+\not p\not p)\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{\mu }p^{\mu }\gamma _{\nu }p^{\nu }+\gamma _{\nu }p^{\nu }\gamma _{\mu }p^{\mu })\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })p^{\mu }p^{\nu }\\[6pt]&=g_{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=p^{2},\end{aligned}}}$$

Se descubre que el propagador de momento-espacio utilizado en los diagramas de Feynman para un campo de Dirac que representa al electrón en la electrodinámica cuántica tiene forma.

${\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={\frac {(\not p+m)}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}={\frac {(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m)}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

El iε de abajo es una receta sobre cómo manejar los polos en el plano complejo p ₀ . Automáticamente produce el contorno de integración de Feynman al desplazar los polos de manera apropiada. A veces se escribe

${\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={1 \over \gamma ^{\mu }p_{\mu }-m+i\varepsilon }={1 \over \not p-m+i\varepsilon }}$

para abreviar. Debe recordarse que esta expresión es solo una notación abreviada para ( γ _μ p ^μ − m ) ⁻¹ . "Uno sobre matriz" no tiene sentido. En el espacio de posiciones se tiene

$${\displaystyle S_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\,e^{-ip\cdot (x-y)}{\frac {\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}=\left({\frac {\gamma ^{\mu }(x-y)_{\mu }}{|x-y|^{5}}}+{\frac {m}{|x-y|^{3}}}\right)J_{1}(m|x-y|).}$$

Esto está relacionado con el propagador de Feynman por

${\displaystyle S_{F}(x-y)=(i\not \partial +m)G_{F}(x-y)}$

dónde . ${\displaystyle \not \partial :=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$

Giro 1

El propagador de un bosón de calibre en una teoría de calibre depende de la elección de la convención para fijar el calibre. Para el calibre utilizado por Feynman y Stueckelberg , el propagador de un fotón es

${\displaystyle {-ig^{\mu \nu } \over p^{2}+i\varepsilon }.}$

La forma general con el parámetro de calibre λ , hasta el signo general y el factor de , dice ${\displaystyle i}$

${\displaystyle -i{\frac {g^{\mu \nu }+\left(1-{\frac {1}{\lambda }}\right){\frac {p^{\mu }p^{\nu }}{p^{2}}}}{p^{2}+i\varepsilon }}.}$

El propagador de un campo vectorial masivo puede derivarse del Lagrangiano de Stueckelberg. La forma general con el parámetro de calibre λ , hasta el signo general y el factor de , dice ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}+{\frac {\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}{k^{2}-{\frac {m^{2}}{\lambda }}+i\varepsilon }}.}$

Con estas formas generales se obtienen los propagadores en ancho unitario para λ = 0 , el propagador en ancho Feynman o 't Hooft para λ = 1 y en ancho Landau o Lorenz para λ = ∞ . También hay otras notaciones donde el parámetro de calibre es el inverso de λ , generalmente denotado como ξ (ver R _ξ calibres ). El nombre del propagador, sin embargo, se refiere a su forma final y no necesariamente al valor del parámetro de calibre.

Calibre unitario:

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

Calibre Feynman ('t Hooft):

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

Ancho de vía Landau (Lorenz):

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

propagador de gravitones

El propagador de gravitones para el espacio de Minkowski en la relatividad general es ^[12]

$${\displaystyle G_{\alpha \beta ~\mu \nu }={\frac {{\mathcal {P}}_{\alpha \beta ~\mu \nu }^{2}}{k^{2}}}-{\frac {{\mathcal {P}}_{s}^{0}{}_{\alpha \beta ~\mu \nu }}{2k^{2}}}={\frac {g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu }+g_{\beta \mu }g_{\alpha \nu }-{\frac {2}{D-2}}g_{\mu \nu }g_{\alpha \beta }}{k^{2}}},}$$

operador de proyección de espín-2multipleteel espacio (Anti) de Sitter ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{s}^{0}}$

$${\displaystyle G={\frac {{\mathcal {P}}^{2}}{2H^{2}-\Box }}+{\frac {{\mathcal {P}}_{s}^{0}}{2(\Box +4H^{2})}},}$$

constante de Hubble^[13] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\to 0}$ ${\displaystyle \Box \to -k^{2}}$

Funciones singulares relacionadas

Los propagadores escalares son funciones de Green para la ecuación de Klein-Gordon. Hay funciones singulares relacionadas que son importantes en la teoría cuántica de campos . Seguimos la notación de Bjorken y Drell. ^[14] Véase también Bogolyubov y Shirkov (Apéndice A). ^[15] Estas funciones se definen de forma más sencilla en términos del valor esperado de vacío de los productos de los operadores de campo.

Soluciones a la ecuación de Klein-Gordon

Función Pauli-Jordania

El conmutador de dos operadores de campo escalar define la función Pauli – Jordan mediante ^{[16] [14]} ${\displaystyle \Delta (x-y)}$

${\displaystyle \langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle =i\,\Delta (x-y)}$

con

${\displaystyle \,\Delta (x-y)=G_{\text{ret}}(x-y)-G_{\text{adv}}(x-y)}$

Esto satisface

${\displaystyle \Delta (x-y)=-\Delta (y-x)}$

y es cero si . ${\displaystyle (x-y)^{2}<0}$

Partes de frecuencia positiva y negativa (propagadores cortados)

Podemos definir las partes de frecuencia positiva y negativa de , a veces llamadas propagadores de corte, de una manera relativista invariante. ${\displaystyle \Delta (x-y)}$

Esto nos permite definir la parte de frecuencia positiva:

${\displaystyle \Delta _{+}(x-y)=\langle 0|\Phi (x)\Phi (y)|0\rangle ,}$

y la parte de frecuencia negativa:

${\displaystyle \Delta _{-}(x-y)=\langle 0|\Phi (y)\Phi (x)|0\rangle .}$

Estos satisfacen ^[14]

${\displaystyle \,i\Delta =\Delta _{+}-\Delta _{-}}$

y

${\displaystyle (\Box _{x}+m^{2})\Delta _{\pm }(x-y)=0.}$

Función auxiliar

El anticonmutador de dos operadores de campo escalar define la función por ${\displaystyle \Delta _{1}(x-y)}$

${\displaystyle \langle 0|\left\{\Phi (x),\Phi (y)\right\}|0\rangle =\Delta _{1}(x-y)}$

con

${\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{+}(x-y)+\Delta _{-}(x-y).}$

Esto satisface ${\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{1}(y-x).}$

Funciones de Green para la ecuación de Klein-Gordon

Los propagadores retardados, avanzados y de Feynman definidos anteriormente son todas funciones de Green para la ecuación de Klein-Gordon.

Están relacionados con las funciones singulares por ^[14]

${\displaystyle G_{\text{ret}}(x-y)=\Delta (x-y)\Theta (x^{0}-y^{0})}$

${\displaystyle G_{\text{adv}}(x-y)=-\Delta (x-y)\Theta (y^{0}-x^{0})}$

${\displaystyle 2G_{F}(x-y)=-i\,\Delta _{1}(x-y)+\varepsilon (x^{0}-y^{0})\,\Delta (x-y)}$

¿ Dónde está el signo de ? ${\displaystyle \varepsilon (x^{0}-y^{0})}$ ${\displaystyle x^{0}-y^{0}}$

Ver también

• Campo fuente
• Fórmula de reducción de LSZ

Notas

1. Las matemáticas de las PDE y la ecuación de onda, p. 32., Michael P. Lamoureux, Universidad de Calgary, Escuela de verano de imágenes sísmicas, 7 al 11 de agosto de 2006, Calgary.
2. Capítulo: 9 funciones de Green, p 6., J Peacock, CURSO DE CONFERENCIAS DE ANÁLISIS DE FOURIER: CONFERENCIA 15.
3. EU Condon, "Inmersión de la transformada de Fourier en un grupo continuo de transformaciones funcionales", Proc. Nacional. Acad. Ciencia. Estados Unidos 23 , (1937) 158–164.
4. Wolfgang Pauli , Mecánica de ondas: volumen 5 de las conferencias Pauli sobre física (Dover Books on Physics, 2000) ISBN  0486414620 . Artículo 44.
5. Kolsrud, M. (1956). Soluciones dinámicas cuánticas exactas para sistemas similares a osciladores, Physical Review 104 (4), 1186.
6. Scharf, Günter (13 de noviembre de 2012). Electrodinámica cuántica finita, el enfoque causal . Saltador. pag. 89.ISBN _ 978-3-642-63345-4.
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Referencias

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enlaces externos

• Tres métodos para calcular el propagador de Feynman