Teorema integral de Kirchhoff

El teorema integral de Kirchhoff (a veces denominado teorema integral de Fresnel-Kirchhoff) ^[1] es una integral de superficie para obtener el valor de la solución de la ecuación de onda escalar homogénea en un punto arbitrario P en términos de los valores de la solución y la derivada de primer orden de la solución en todos los puntos de una superficie cerrada arbitraria (en la que se realiza la integración) que encierra P. ^[2] Se deriva utilizando la segunda identidad de Green y la ecuación de onda escalar homogénea que hace que la integración de volumen en la segunda identidad de Green seacero. ^{[2] [3]}

Integral

Onda monocromática

La integral tiene la siguiente forma para una onda monocromática : ^{[2] [3] [4]}

${\displaystyle U(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left[U{\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}\right]dS,}$

donde la integración se realiza sobre una superficie cerrada arbitraria S que encierra el punto de observación , en es el número de onda , en es la distancia desde un elemento de superficie integral (infinitesimalmente pequeño) hasta el punto , es la parte espacial de la solución de la ecuación de onda escalar homogénea (es decir, como la solución de la ecuación de onda escalar homogénea), es el vector unitario hacia adentro desde y normal al elemento de superficie integral, es decir, el vector unitario normal a la superficie hacia adentro, y denota diferenciación a lo largo de la normal a la superficie (es decir, una derivada normal ) es decir, para un campo escalar . Nótese que la normal a la superficie es hacia adentro, es decir, está hacia el interior del volumen encerrado, en esta integral ; si se usa la normal que apunta hacia afuera más usual , la integral tendrá el signo opuesto. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e^{iks}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\frac {e^{iks}}{s}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)=U(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}=\nabla f\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle f}$

Esta integral se puede escribir en una forma más familiar

${\displaystyle U(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left(U\nabla \left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}\nabla U\right)\cdot d{\vec {S}},}$

donde . ^[3] ${\displaystyle d{\vec {S}}=dS{\hat {\mathbf {n} }}}$

Onda no monocromática

Se puede derivar una forma más general para ondas no monocromáticas. La amplitud compleja de la onda se puede representar mediante una integral de Fourier de la forma

${\displaystyle V(r,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int U_{\omega }(r)e^{-i\omega t}\,d\omega ,}$

donde, por inversión de Fourier , tenemos

${\displaystyle U_{\omega }(r)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int V(r,t)e^{i\omega t}\,dt.}$

El teorema integral (arriba) se aplica a cada componente de Fourier y se obtiene la siguiente expresión: ^[2] ${\displaystyle U_{\omega }}$

${\displaystyle V(r,t)={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left\{[V]{\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {1}{s}}\right)-{\frac {1}{cs}}{\frac {\partial s}{\partial n}}\left[{\frac {\partial V}{\partial t}}\right]-{\frac {1}{s}}\left[{\frac {\partial V}{\partial n}}\right]\right\}dS,}$

donde los corchetes en los términos V denotan valores retardados, es decir, los valores en el tiempo t − s / c .

Kirchhoff demostró que la ecuación anterior puede aproximarse a una forma más simple en muchos casos, conocida como la fórmula de difracción de Kirchhoff o de Fresnel-Kirchhoff , que es equivalente a la ecuación de Huygens-Fresnel , excepto que proporciona el factor de inclinación, que no está definido en la ecuación de Huygens-Fresnel. La integral de difracción se puede aplicar a una amplia gama de problemas en óptica.

Derivación integral

En este artículo se presenta la derivación del teorema integral de Kirchhoff. En primer lugar, se utiliza la segunda identidad de Green, que se expresa de la siguiente manera:

$${\displaystyle \int _{V}\left(U_{1}\nabla ^{2}U_{2}-U_{2}\nabla ^{2}U_{1}\right)dV=\oint _{\partial V}\left(U_{2}{\partial U_{1} \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}-U_{1}{\partial U_{2} \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}\right)dS,}$$donde el vector unitario normal a la superficie integral aquí es hacia el volumen cerrado por una superficie integral . Las funciones de campo escalar y se establecen como soluciones de la ecuación de Helmholtz , donde es el número de onda ( es la longitud de onda), que da la parte espacial de una expresión de onda monocromática (frecuencia única en el tiempo) de valor complejo. (El producto entre la parte espacial y la parte temporal de la expresión de onda es una solución de la ecuación de onda escalar ). Entonces, la parte de volumen de la segunda identidad de Green es cero, por lo que solo queda la integral de superficie como Ahora se establece como la solución de la ecuación de Helmholtz para encontrar y se establece como la parte espacial de una onda esférica monocromática de valor complejo donde es la distancia desde un punto de observación en el volumen cerrado . Dado que hay una singularidad para en donde (el valor de no está definido en ), la superficie integral no debe incluir . (De lo contrario, la integral de volumen cero anterior no está justificada). Una superficie integral sugerida es una esfera interior centrada en con el radio de y una superficie cerrada arbitraria exterior . ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}U+k^{2}U=0}$ ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \oint _{\partial V}\left(U_{2}{\partial U_{1} \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}-U_{1}{\partial U_{2} \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}\right)dS=0.}$$ ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{1}={\frac {e^{iks}}{s}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U_{1}={\frac {e^{iks}}{s}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle {\frac {e^{iks}}{s}}}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$

Entonces la integral de superficie se convierte en Para la integral en la esfera interior , y al introducir el ángulo sólido en , debido a . (El sistema de coordenadas esféricas cuyo origen está en se puede utilizar para derivar esta igualdad). $${\displaystyle \oint _{S_{1}}\left(U_{2}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}{\frac {e^{iks}}{s}}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U_{2}\right)dS+\oint _{S_{2}}\left(U_{2}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}{\frac {e^{iks}}{s}}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U_{2}\right)dS=0.}$$ ${\displaystyle S_{1}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}{\frac {e^{iks}}{s}}=\nabla {\frac {e^{iks}}{s}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=\left({\frac {ik}{s}}-{\frac {1}{s^{2}}}\right)e^{iks},}$$ ${\displaystyle d\Omega }$ ${\displaystyle dS=s^{2}d\Omega }$ $${\displaystyle \oint _{S_{1}}\left(U_{2}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}{\frac {e^{iks}}{s}}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U_{2}\right)dS=\oint _{S_{1}}\left(U_{2}\left({\frac {ik}{s}}-{\frac {1}{s^{2}}}\right)e^{iks}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U_{2}\right)s^{2}d\Omega =\oint _{S_{1}}\left(iksU_{2}-U_{2}-s{\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}U_{2}\right)e^{iks}d\Omega }$$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}U_{2}=\nabla U_{2}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}={\frac {\partial }{\partial s}}U_{2}}$ ${\displaystyle P}$

Al contraer la esfera hacia el radio cero (pero sin tocarla nunca para evitar la singularidad), y el primer y el último término de la integral de superficie se vuelven cero, por lo que la integral se convierte en . Como resultado, denotando , la ubicación de , y por , el vector de posición , y respectivamente, ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle e^{iks}\to 1}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle -4\pi U_{2}}$ ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle U(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\left(U{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}{\frac {e^{iks}}{s}}-{\frac {e^{iks}}{s}}{\partial \over \partial {\hat {\mathbf {n} }}}U\right)dS.}$$

Véase también

• Fórmula de difracción de Kirchhoff
• Cálculo vectorial
• Integral
• Principio de Huygens-Fresnel
• Frente de onda
• Integral de superficie

Referencias

1. G. Kirchhoff, Ann. d. Physik. 1883, 2, 18, pág. 663.
2. Max Born y Emil Wolf, Principios de óptica , 7.ª edición, 1999, Cambridge University Press, Cambridge, págs. 418–421.
3. Hecht, Eugene (2017). "Apéndice 2: La teoría de difracción de Kirchhoff". Óptica (quinta edición y edición global). Pearson Education. pág. 680. ISBN 978-1292096933.
4. Introducción a la óptica de Fourier J. Goodman sec. 3.3.3

Lectura adicional

• El manual de Cambridge de fórmulas de física , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 
• Introducción a la electrodinámica (3.ª edición) , DJ Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3 
• Luz y materia: electromagnetismo, óptica, espectroscopia y láseres , banda YB, John Wiley & Sons, 2010, ISBN 978-0-471-89931-0 
• La luz fantástica: Introducción a la óptica clásica y cuántica , IR Kenyon, Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-856646-5 
• Enciclopedia de física (segunda edición) , RG Lerner , GL Trigg, editores VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• Enciclopedia de Física McGraw Hill (2.ª edición) , CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3