Las identidades de Green

Fórmulas de cálculo vectorial que relacionan el volumen con el límite de una región

En matemáticas , las identidades de Green son un conjunto de tres identidades en el cálculo vectorial que relacionan el volumen con el límite de una región en la que actúan los operadores diferenciales. Reciben su nombre en honor al matemático George Green , que descubrió el teorema de Green .

La primera identidad de Green

Esta identidad se deriva del teorema de divergencia aplicado al campo vectorial F = ψ ∇ φ mientras se usa una extensión de la regla del producto que ∇ ⋅ ( ψ X ) = ∇ ψ ⋅ X + ψ ∇⋅ X : Sean φ y ψ funciones escalares definidas en alguna región U ⊂ R ^d , y supongamos que φ es dos veces continuamente diferenciable , y ψ es una vez continuamente diferenciable. Usando la regla del producto anterior, pero dejando X = ∇ φ , integre ∇⋅( ψ ∇ φ ) sobre U . Entonces ^[1] donde ∆ ≡ ∇ ² es el operador de Laplace , ∂ U es el límite de la región U , n es la unidad que apunta hacia afuera normal al elemento de superficie dS y d S = n dS es el elemento de superficie orientado. $${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\Delta \varphi +\nabla \psi \cdot \nabla \varphi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} \right)\,dS=\oint _{\partial U}\psi \,\nabla \varphi \cdot d\mathbf {S} }$$

Este teorema es un caso especial del teorema de divergencia y es esencialmente el equivalente de dimensión superior de la integración por partes con ψ y el gradiente de φ reemplazando a u y v .

Nótese que la primera identidad de Green anterior es un caso especial de la identidad más general derivada del teorema de divergencia al sustituir F = ψ Γ , $${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\nabla \cdot \mathbf {\Gamma } +\mathbf {\Gamma } \cdot \nabla \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\mathbf {\Gamma } \cdot \mathbf {n} \right)\,dS=\oint _{\partial U}\psi \mathbf {\Gamma } \cdot d\mathbf {S} ~.}$$

La segunda identidad de Green

Si φ y ψ son ambos dos veces continuamente diferenciables en U ⊂ R ³ , y ε es una vez continuamente diferenciable, se puede elegir F = ψε ∇ φ − φε ∇ ψ para obtener $${\displaystyle \int _{U}\left[\psi \,\nabla \cdot \left(\varepsilon \,\nabla \varphi \right)-\varphi \,\nabla \cdot \left(\varepsilon \,\nabla \psi \right)\right]\,dV=\oint _{\partial U}\varepsilon \left(\psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }-\varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }\right)\,dS.}$$

Para el caso especial de ε = 1 en todo U ⊂ R ³ , entonces, $${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\nabla ^{2}\varphi -\varphi \,\nabla ^{2}\psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }-\varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }\right)\,dS.}$$

En la ecuación anterior, ∂ φ /∂ n es la derivada direccional de φ en la dirección de la normal a la superficie que apunta hacia afuera n del elemento de superficie dS , $${\displaystyle {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }=\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }\varphi .}$$

Incorporar explícitamente esta definición en la segunda identidad de Green con ε = 1 da como resultado $${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\nabla ^{2}\varphi -\varphi \,\nabla ^{2}\psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi \nabla \varphi -\varphi \nabla \psi \right)\cdot d\mathbf {S} .}$$

En particular, esto demuestra que el laplaciano es un operador autoadjunto en el producto interno L ² para funciones que se desvanecen en el límite, de modo que el lado derecho de la identidad anterior es cero.

La tercera identidad de Green

La tercera identidad de Green se deriva de la segunda identidad eligiendo φ = G , donde la función de Green G se toma como una solución fundamental del operador de Laplace , ∆. Esto significa que: $${\displaystyle \Delta G(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\eta }})=\delta (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\eta }})~.}$$

Por ejemplo, en R ³ , una solución tiene la forma $${\displaystyle G(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\eta }})={\frac {-1}{4\pi \|\mathbf {x} -{\boldsymbol {\eta }}\|}}~.}$$

La tercera identidad de Green establece que si ψ es una función que es dos veces continuamente diferenciable en U , entonces $${\displaystyle \int _{U}\left[G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})\,\Delta \psi (\mathbf {y} )\right]\,dV_{\mathbf {y} }-\psi ({\boldsymbol {\eta }})=\oint _{\partial U}\left[G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}){\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }(\mathbf {y} )-\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}) \over \partial \mathbf {n} }\right]\,dS_{\mathbf {y} }.}$$

Una simplificación surge si ψ es en sí misma una función armónica , es decir, una solución de la ecuación de Laplace . Entonces ∇ ² ψ = 0 y la identidad se simplifica a $${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {\eta }})=\oint _{\partial U}\left[\psi (\mathbf {y} ){\frac {\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})}{\partial \mathbf {n} }}-G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}){\frac {\partial \psi }{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {y} )\right]\,dS_{\mathbf {y} }.}$$

El segundo término de la integral anterior se puede eliminar si se elige G como la función de Green que se desvanece en el límite de U ( condición de límite de Dirichlet ). $${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {\eta }})=\oint _{\partial U}\psi (\mathbf {y} ){\frac {\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})}{\partial \mathbf {n} }}\,dS_{\mathbf {y} }~.}$$

Esta forma se utiliza para construir soluciones a problemas de condiciones de contorno de Dirichlet. Las soluciones a problemas de condiciones de contorno de Neumann también se pueden simplificar, aunque el teorema de divergencia aplicado a la ecuación diferencial que define las funciones de Green muestra que la función de Green no puede integrarse a cero en el contorno y, por lo tanto, no puede anularse en el contorno. Véase Funciones de Green para el laplaciano o ^[2] para un argumento detallado, con una alternativa.

Se puede verificar además que la identidad anterior también se aplica cuando ψ es una solución de la ecuación de Helmholtz o ecuación de onda y G es la función de Green adecuada. En tal contexto, esta identidad es la expresión matemática del principio de Huygens y conduce a la fórmula de difracción de Kirchhoff y otras aproximaciones.

Sobre colectores

Las identidades de Green se cumplen en una variedad de Riemann. En este contexto, las dos primeras son donde u y v son funciones reales suaves en M , dV es la forma de volumen compatible con la métrica, es la forma de volumen inducida en el límite de M , N es el campo vectorial unitario orientado hacia afuera normal al límite y Δ u = div(grad u ) es el laplaciano. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{M}u\,\Delta v\,dV+\int _{M}\langle \nabla u,\nabla v\rangle \,dV&=\int _{\partial M}uNv\,d{\widetilde {V}}\\\int _{M}\left(u\,\Delta v-v\,\Delta u\right)\,dV&=\int _{\partial M}(uNv-vNu)\,d{\widetilde {V}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle d{\widetilde {V}}}$

Identidad vectorial de Green

La segunda identidad de Green establece una relación entre las derivadas de segundo orden y (la divergencia de) primer orden de dos funciones escalares. En forma diferencial donde p _m y q _m son dos campos escalares arbitrarios dos veces continuamente diferenciables. Esta identidad es de gran importancia en física porque así se pueden establecer ecuaciones de continuidad para campos escalares como la masa o la energía. ^[3] $${\displaystyle p_{m}\,\Delta q_{m}-q_{m}\,\Delta p_{m}=\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\,\nabla p_{m}\right),}$$

En la teoría de difracción vectorial, se introducen dos versiones de la segunda identidad de Green.

Una variante invoca la divergencia de un producto vectorial ^{[4] [5] [6]} y establece una relación en términos del rizo-rizo del campo. $${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {P} \right)=\nabla \cdot \left(\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)-\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)\right).}$$

Esta ecuación se puede escribir en términos de los laplacianos,

$${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} +\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]=\nabla \cdot \left(\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right).}$$

Sin embargo, los términos no pueden escribirse fácilmente en términos de divergencia. $${\displaystyle \mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right],}$$

El otro enfoque introduce bivectores; esta formulación requiere una función de Green diádica. ^{[7] [8]} La derivación presentada aquí evita estos problemas. ^[9]

Consideremos que los campos escalares en la segunda identidad de Green son los componentes cartesianos de los campos vectoriales, es decir, $${\displaystyle \mathbf {P} =\sum _{m}p_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m},\qquad \mathbf {Q} =\sum _{m}q_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m}.}$$

Resumiendo la ecuación para cada componente, obtenemos $${\displaystyle \sum _{m}\left[p_{m}\Delta q_{m}-q_{m}\Delta p_{m}\right]=\sum _{m}\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right).}$$

El LHS según la definición del producto escalar se puede escribir en forma vectorial como $${\displaystyle \sum _{m}\left[p_{m}\,\Delta q_{m}-q_{m}\,\Delta p_{m}\right]=\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} .}$$

El RHS es un poco más complicado de expresar en términos de operadores vectoriales. Debido a la distributividad del operador de divergencia sobre la suma, la suma de la divergencia es igual a la divergencia de la suma, es decir, $${\displaystyle \sum _{m}\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right)=\nabla \cdot \left(\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}\right).}$$

Recordemos la identidad vectorial para el gradiente de un producto escalar, que, escrita en componentes vectoriales, viene dada por $${\displaystyle \nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)+\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right),}$$

$${\displaystyle \nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\nabla \sum _{m}p_{m}q_{m}=\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}+\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}.}$$

Este resultado es similar a lo que deseamos demostrar en términos vectoriales 'excepto' por el signo menos. Dado que los operadores diferenciales en cada término actúan sobre un vector (por ejemplo, 's) o sobre el otro ( 's), la contribución a cada término debe ser ${\displaystyle p_{m}}$ ${\displaystyle q_{m}}$ $${\displaystyle \sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right),}$$ $${\displaystyle \sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right).}$$

Estos resultados se pueden demostrar rigurosamente como correctos mediante la evaluación de los componentes vectoriales. Por lo tanto, el RHS se puede escribir en forma vectorial como

$${\displaystyle \sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right).}$$

Juntando estos dos resultados se obtiene un resultado análogo al teorema de Green para campos escalares,
Teorema para campos vectoriales: $${\displaystyle \color {OliveGreen}\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\left[\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].}$$

El rizo de un producto vectorial se puede escribir como $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right);}$$

La identidad vectorial de Green puede entonces reescribirse como $${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)-\nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)+\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].}$$

Como la divergencia de un rizo es cero, el tercer término se desvanece para producir la identidad vectorial de Green : $${\displaystyle \color {OliveGreen}\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)+\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].}$$

Con un procedimiento similar, el Laplaciano del producto escalar se puede expresar en términos de los Laplacianos de los factores $${\displaystyle \Delta \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} +2\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].}$$

Como corolario, los términos extraños ahora pueden escribirse en términos de una divergencia en comparación con la ecuación vectorial de Green, $${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]-\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]=\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right].}$$

Este resultado se puede verificar expandiendo la divergencia de un escalar por un vector en el lado derecho.

Véase también

• Función de Green
• Teorema integral de Kirchhoff
• Identidad de Lagrange (problema de valor en la frontera)

Referencias

1. Strauss, Walter. Ecuaciones diferenciales parciales: una introducción . Wiley.
2. Jackson, John David (14 de agosto de 1998). Electrodinámica clásica . John Wiley & Sons. pág. 39.
3. Guasti, M Fernández (17 de marzo de 2004). "Ecuación de conservación de campos complementarios derivada de la ecuación de onda escalar". Journal of Physics A: Mathematical and General . 37 (13). IOP Publishing: 4107–4121. Bibcode :2004JPhA...37.4107F. doi :10.1088/0305-4470/37/13/013. ISSN  0305-4470.
4. Love, Augustus EH (1901). "I. La integración de las ecuaciones de propagación de ondas eléctricas". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático o físico . 197 (287–299). The Royal Society: 1–45. doi : 10.1098/rsta.1901.0013 . ISSN  0264-3952.
5. Stratton, JA; Chu, LJ (1 de julio de 1939). "Teoría de la difracción de ondas electromagnéticas". Physical Review . 56 (1). American Physical Society (APS): 99–107. Bibcode :1939PhRv...56...99S. doi :10.1103/physrev.56.99. ISSN  0031-899X.
6. Bruce, Neil C (22 de julio de 2010). "Dispersión de Kirchhoff de ondas vectoriales de doble dispersión a partir de superficies perfectamente conductoras con pendientes infinitas". Journal of Optics . 12 (8). IOP Publishing: 085701. Bibcode :2010JOpt...12h5701B. doi :10.1088/2040-8978/12/8/085701. ISSN  2040-8978. S2CID  120636008.
7. Franz, W (1950-09-01). "Sobre la teoría de la difracción". Actas de la Physical Society. Sección A . 63 (9). IOP Publishing: 925–939. Bibcode :1950PPSA...63..925F. doi :10.1088/0370-1298/63/9/301. ISSN  0370-1298.
8. Chen-To Tai (1972). "Teoría de Kirchhoff: ¿escalar, vectorial o diádica?". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 20 (1). Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE): 114–115. Bibcode :1972ITAP...20..114T. doi :10.1109/tap.1972.1140146. ISSN  0096-1973.
9. Fernández-Guasti, M. (2012). "Segunda identidad de Green para campos vectoriales". ISRN Mathematical Physics . 2012 . Hindawi Limited: 1–7. doi : 10.5402/2012/973968 . ISSN  2090-4681.

Enlaces externos

• "Fórmulas verdes", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• [1] Identidades de Green en Wolfram MathWorld