Hamiltoniano (mecánica cuántica)

Operador cuántico para la suma de energías de un sistema.

En mecánica cuántica , el hamiltoniano de un sistema es un operador correspondiente a la energía total de ese sistema, incluyendo tanto la energía cinética como la energía potencial . Su espectro , el espectro de energía del sistema o su conjunto de valores propios de energía , es el conjunto de posibles resultados que se pueden obtener a partir de una medición de la energía total del sistema. Debido a su estrecha relación con el espectro de energía y la evolución temporal de un sistema, es de fundamental importancia en la mayoría de las formulaciones de la teoría cuántica .

El hamiltoniano lleva el nombre de William Rowan Hamilton , quien desarrolló una reformulación revolucionaria de la mecánica newtoniana , conocida como mecánica hamiltoniana , que fue históricamente importante para el desarrollo de la física cuántica. Similar a la notación vectorial , normalmente se indica con , donde el sombrero indica que es un operador. También se puede escribir como o . ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\check {H}}}$

Introducción

El hamiltoniano de un sistema representa la energía total del sistema; es decir, la suma de las energías cinética y potencial de todas las partículas asociadas al sistema. El hamiltoniano toma diferentes formas y puede simplificarse en algunos casos teniendo en cuenta las características concretas del sistema bajo análisis, como una o varias partículas en el sistema, interacción entre partículas, tipo de energía potencial, potencial variable en el tiempo o independiente del tiempo. uno.

Hamiltoniano de Schrödinger

una partícula

Por analogía con la mecánica clásica , el hamiltoniano se expresa comúnmente como la suma de operadores correspondientes a las energías cinética y potencial de un sistema en la forma

$${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}},}$$

dónde

$${\displaystyle {\hat {V}}=V=V(\mathbf {r} ,t),}$$

energético potencial

$${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2},}$$

de energía cinéticamasaproducto escalar ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \nabla ,}$$

operador de impulsooperador delproducto escalarlaplacianocoordenadas cartesianas, ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}}$$

Aunque ésta no es la definición técnica del hamiltoniano en la mecánica clásica , es la forma que adopta más comúnmente. Combinando estos se obtiene la forma utilizada en la ecuación de Schrödinger :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\[6pt]&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{aligned}}}$$

lo que permite aplicar el hamiltoniano a sistemas descritos por una función de onda . Este es el enfoque comúnmente adoptado en los tratamientos introductorios de la mecánica cuántica, utilizando el formalismo de la mecánica ondulatoria de Schrödinger. ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$

También se pueden hacer sustituciones de ciertas variables para adaptarse a casos específicos, como algunos que involucran campos electromagnéticos.

Valor esperado

Se puede demostrar que el valor esperado del hamiltoniano que da el valor esperado de energía siempre será mayor o igual al potencial mínimo del sistema.

Considere calcular el valor esperado de la energía cinética:

${\displaystyle {\begin{aligned}KE&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^{*}\left({\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\right)\,dx\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\left[\psi '(x)\psi ^{*}(x)\right]_{-\infty }^{+\infty }}-\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)^{*}\,dx\right)\\&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}\,dx\geq 0\end{aligned}}}$

Por tanto, el valor esperado de la energía cinética siempre es no negativo. Este resultado se puede utilizar para calcular el valor esperado de la energía total que se da para una función de onda normalizada como:

${\displaystyle E=KE+\langle V(x)\rangle =KE+\int _{-\infty }^{+\infty }V(x)|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)}$

que completan la prueba. De manera similar, la condición se puede generalizar a cualquier dimensión superior utilizando el teorema de divergencia .

Muchas partículas

El formalismo se puede extender a partículas: ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}}$$

dónde

$${\displaystyle {\hat {V}}=V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t),}$$

$${\displaystyle {\hat {T}}_{n}={\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{n}}}\nabla _{n}^{2}}$$

n ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nabla _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nabla _{n}^{2}}$

$${\displaystyle \nabla _{n}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{n}^{2}}},}$$

Combinando estos se obtiene el hamiltoniano de Schrödinger para el caso de partículas: ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\end{aligned}}}$$

Sin embargo, pueden surgir complicaciones en el problema de muchos cuerpos . Dado que la energía potencial depende de la disposición espacial de las partículas, la energía cinética también dependerá de la configuración espacial para conservar energía. El movimiento debido a cualquier partícula variará debido al movimiento de todas las demás partículas del sistema. Por esta razón, pueden aparecer términos cruzados para la energía cinética en el hamiltoniano; una mezcla de los gradientes de dos partículas:

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla _{i}\cdot \nabla _{j}}$$

donde denota la masa del conjunto de partículas que resultan de esta energía cinética adicional. Los términos de esta forma se conocen como términos de polarización de masa y aparecen en el hamiltoniano de muchos átomos de electrones (ver más abajo). ${\displaystyle M}$

Para partículas que interactúan, es decir, partículas que interactúan entre sí y constituyen una situación de muchos cuerpos, la función de energía potencial no es simplemente una suma de los potenciales separados (y ciertamente no es un producto, ya que esto es dimensionalmente incorrecto). La función de energía potencial sólo puede escribirse como arriba: una función de todas las posiciones espaciales de cada partícula. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$

Para partículas que no interactúan, es decir, partículas que no interactúan entre sí y se mueven de forma independiente, el potencial del sistema es la suma de la energía potencial separada para cada partícula, ^[1] es decir

$${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{N}V(\mathbf {r} _{i},t)=V(\mathbf {r} _{1},t)+V(\mathbf {r} _{2},t)+\cdots +V(\mathbf {r} _{N},t)}$$

La forma general del hamiltoniano en este caso es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}V_{i}\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+V_{i}\right)\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}{\hat {H}}_{i}\end{aligned}}}$$

donde se toma la suma de todas las partículas y sus potenciales correspondientes; el resultado es que el hamiltoniano del sistema es la suma de los hamiltonianos separados para cada partícula. Ésta es una situación idealizada: en la práctica, las partículas casi siempre están influenciadas por algún potencial y hay interacciones entre muchos cuerpos. Un ejemplo ilustrativo de una interacción de dos cuerpos donde esta forma no se aplicaría es para los potenciales electrostáticos debidos a partículas cargadas, porque interactúan entre sí mediante la interacción de Coulomb (fuerza electrostática), como se muestra a continuación.

ecuación de Schrödinger

El hamiltoniano genera la evolución temporal de los estados cuánticos. Si es el estado del sistema en ese momento , entonces ${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .}$$

Esta ecuación es la ecuación de Schrödinger . Toma la misma forma que la ecuación de Hamilton-Jacobi , que es una de las razones por las que también se llama hamiltoniana. Dado el estado en algún momento inicial ( ), podemos resolverlo para obtener el estado en cualquier momento posterior. En particular, si es independiente del tiempo, entonces ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .}$$

El operador exponencial en el lado derecho de la ecuación de Schrödinger generalmente se define mediante la serie de potencias correspondiente en . Se podría observar que tomar polinomios o series de potencias de operadores ilimitados que no están definidos en todas partes puede no tener sentido matemático. Rigurosamente, para tomar funciones de operadores ilimitados, se requiere un cálculo funcional . En el caso de la función exponencial, es suficiente el cálculo funcional continuo o simplemente holomórfico . Sin embargo, volvemos a señalar que para los cálculos comunes la formulación de los físicos es más que suficiente. ${\displaystyle H}$

Por la propiedad *- homomorfismo del cálculo funcional, el operador

$${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$$

es un operador unitario . Es el operador de evolución temporal o propagador de un sistema cuántico cerrado. Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, forme un grupo unitario de un parámetro (más que un semigrupo ); esto da lugar al principio físico del equilibrio detallado . ${\displaystyle \{U(t)\}}$

Formalismo de Dirac

Sin embargo, en el formalismo más general de Dirac , el hamiltoniano normalmente se implementa como operador en un espacio de Hilbert de la siguiente manera:

Los automercados ( vectores propios ) de , denotados , proporcionan una base ortonormal para el espacio de Hilbert. El espectro de niveles de energía permitidos del sistema viene dado por el conjunto de valores propios, denotado , resolviendo la ecuación: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left|a\right\rangle }$ ${\displaystyle \{E_{a}\}}$

$${\displaystyle H\left|a\right\rangle =E_{a}\left|a\right\rangle .}$$

Como es un operador hermitiano , la energía es siempre un número real . ${\displaystyle H}$

Desde un punto de vista matemáticamente riguroso, se debe tener cuidado con los supuestos anteriores. Los operadores en espacios de Hilbert de dimensión infinita no necesitan tener valores propios (el conjunto de valores propios no necesariamente coincide con el espectro de un operador ). Sin embargo, todos los cálculos rutinarios de la mecánica cuántica se pueden realizar utilizando la formulación física. ^{[ se necesita aclaración ]}

Expresiones para el hamiltoniano

A continuación se muestran expresiones para el hamiltoniano en varias situaciones. ^[2] Las formas típicas de clasificar las expresiones son el número de partículas, el número de dimensiones y la naturaleza de la función de energía potencial (principalmente la dependencia del espacio y el tiempo). Las masas se denotan por y las cargas por . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$

Formas generales para una partícula.

partícula libre

La partícula no está limitada por ninguna energía potencial, por lo que el potencial es cero y este hamiltoniano es el más simple. Para una dimensión:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}$$

y en dimensiones superiores:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}$$

Pozo de potencial constante

Para una partícula en una región de potencial constante (sin dependencia del espacio o del tiempo), en una dimensión, el hamiltoniano es: ${\displaystyle V=V_{0}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}}$$

en tres dimensiones

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}}$$

Esto se aplica al problema elemental de la " partícula en una caja " y a los potenciales de paso .

Oscilador armónico simple

Para un oscilador armónico simple en una dimensión, el potencial varía con la posición (pero no con el tiempo), según:

$${\displaystyle V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}$$

donde la frecuencia angular , la constante efectiva del resorte y la masa del oscilador satisfacen: ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}$$

entonces el hamiltoniano es:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}$$

Para tres dimensiones, esto se convierte en

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2}}$$

donde el vector de posición tridimensional usando coordenadas cartesianas es , su magnitud es ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

$${\displaystyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$$

Escribir el hamiltoniano en su totalidad muestra que es simplemente la suma de los hamiltonianos unidimensionales en cada dirección:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\\[6pt]&=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\end{aligned}}}$$

Rotor rígido

Para un rotor rígido , es decir, un sistema de partículas que pueden girar libremente alrededor de cualquier eje, sin estar ligadas a ningún potencial (como moléculas libres con grados de libertad vibratorios insignificantes , por ejemplo debido a enlaces químicos dobles o triples ), el hamiltoniano es:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{xx}}}{\hat {J}}_{x}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{yy}}}{\hat {J}}_{y}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{zz}}}{\hat {J}}_{z}^{2}}$$

donde , y son los componentes del momento de inercia (técnicamente, los elementos diagonales del tensor de momento de inercia ) , y , y son los operadores de momento angular total (componentes), alrededor de los ejes , y respectivamente. ${\displaystyle I_{xx}}$ ${\displaystyle I_{yy}}$ ${\displaystyle I_{zz}}$ ${\displaystyle {\hat {J}}_{x}}$ ${\displaystyle {\hat {J}}_{y}}$ ${\displaystyle {\hat {J}}_{z}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Potencial electrostático (Coulomb)

La energía potencial de Coulomb para dos cargas puntuales y (es decir, aquellas que no tienen extensión espacial de forma independiente), en tres dimensiones, es (en unidades SI , en lugar de unidades gaussianas que se utilizan frecuentemente en electromagnetismo ): ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$

$${\displaystyle V={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} |}}}$$

Sin embargo, esto es sólo la posibilidad de que un cargo puntual se deba a otro. Si hay muchas partículas cargadas, cada carga tiene una energía potencial debida a todas las demás cargas puntuales (excepto a sí misma). Para las cargas, la energía potencial de la carga debida a todas las demás cargas es (ver también Energía potencial electrostática almacenada en una configuración de cargas puntuales discretas ): ^[3] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q_{j}}$

$${\displaystyle V_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}$$

¿ Dónde está el potencial electrostático de la carga en ? El potencial total del sistema es entonces la suma de : ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} _{i})}$ ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle j}$

$${\displaystyle V={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}$$

entonces el hamiltoniano es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {1}{m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\\&=\sum _{j=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\right)\\\end{aligned}}}$$

Dipolo eléctrico en un campo eléctrico.

Para un momento dipolar eléctrico que constituye cargas de magnitud , en un campo electrostático uniforme (independiente del tiempo) , colocado en un lugar, el potencial es: ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

$${\displaystyle V=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} }$$

el momento dipolar en sí es el operador

$${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}} }$$

Como la partícula está estacionaria, no hay energía cinética de traslación del dipolo, por lo que el hamiltoniano del dipolo es solo la energía potencial:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} =-q\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {E} }$$

Dipolo magnético en un campo magnético.

Para un momento dipolar magnético en un campo magnetostático uniforme (independiente del tiempo) , colocado en un lugar, el potencial es: ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle V=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$$

Como la partícula está estacionaria, no hay energía cinética de traslación del dipolo, por lo que el hamiltoniano del dipolo es solo la energía potencial:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$$

Para una partícula de espín 1 ⁄ 2 , el momento magnético de espín correspondiente es: ^[4]

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} }$$

donde está el " factor de espín " (que no debe confundirse con la relación giromagnética ), es la carga del electrón, es el vector operador de espín , cuyos componentes son las matrices de Pauli , por lo tanto ${\displaystyle g_{s}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {B} }$$

Partícula cargada en un campo electromagnético.

Para una partícula con masa y carga en un campo electromagnético, descrita por el potencial escalar y el potencial vectorial , el hamiltoniano tiene dos partes que sustituir. ^[1] El operador de momento canónico , que incluye una contribución del campo y cumple la relación de conmutación canónica , debe ser cuantificado; ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} ,}$$

¿ Dónde está el momento cinético ? La prescripción de cuantificación dice ${\displaystyle m{\dot {\mathbf {r} }}}$

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla ,}$$

entonces el operador de energía cinética correspondiente es

$${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}}$$

y la energía potencial, que se debe al campo, está dada por ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\hat {V}}=q\phi .}$$

Introducir todo esto en el hamiltoniano da

$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \right)^{2}+q\phi .}$$

Leyes de conservación, simetría y degeneración del mercado propio de la energía

En muchos sistemas, dos o más estados propios de energía tienen la misma energía. Un ejemplo simple de esto es una partícula libre, cuyos estados propios de energía tienen funciones de onda que se propagan como ondas planas. La energía de cada una de estas ondas planas es inversamente proporcional al cuadrado de su longitud de onda . Una onda que se propaga en la dirección es un estado diferente de una que se propaga en la dirección, pero si tienen la misma longitud de onda, entonces sus energías serán las mismas. Cuando esto sucede, se dice que los estados son degenerados . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Resulta que la degeneración ocurre siempre que un operador unitario no trivial conmuta con el hamiltoniano. Para ver esto, supongamos que se trata de un mercado propio de energía. Entonces es un mercado propio de energía con el mismo valor propio, ya que ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |a\rangle }$ ${\displaystyle U|a\rangle }$

$${\displaystyle UH|a\rangle =UE_{a}|a\rangle =E_{a}(U|a\rangle )=H\;(U|a\rangle ).}$$

Como no es trivial, al menos un par de y deben representar estados distintos. Por tanto, tiene al menos un par de mercados propios de energía degenerados. En el caso de la partícula libre, el operador unitario que produce la simetría es el operador de rotación , que gira las funciones de onda en algún ángulo preservando por lo demás su forma. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |a\rangle }$ ${\displaystyle U|a\rangle }$ ${\displaystyle H}$

La existencia de un operador de simetría implica la existencia de un observable conservado . Sea el generador hermitiano de : ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle U=I-i\varepsilon G+O(\varepsilon ^{2})}$$

Es sencillo demostrar que si viaja con , también lo hace : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle [H,G]=0}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\langle \psi (t)|G|\psi (t)\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi (t)|[G,H]|\psi (t)\rangle =0.}$$

Para obtener este resultado hemos utilizado la ecuación de Schrödinger, así como su dual ,

$${\displaystyle \langle \psi (t)|H=-i\hbar {\partial \over \partial t}\langle \psi (t)|.}$$

Por tanto, el valor esperado del observable se conserva para cualquier estado del sistema. En el caso de la partícula libre, la cantidad conservada es el momento angular . ${\displaystyle G}$

ecuaciones de hamilton

Las ecuaciones de Hamilton en la mecánica hamiltoniana clásica tienen una analogía directa en la mecánica cuántica. Supongamos que tenemos un conjunto de estados básicos , que no necesariamente tienen que ser estados propios de la energía. Por simplicidad, asumimos que son discretos y que son ortonormales, es decir, ${\displaystyle \left\{\left|n\right\rangle \right\}}$

$${\displaystyle \langle n'|n\rangle =\delta _{nn'}}$$

Tenga en cuenta que se supone que estos estados básicos son independientes del tiempo. Supondremos que el hamiltoniano también es independiente del tiempo.

El estado instantáneo del sistema en el tiempo , , se puede expandir en términos de estos estados básicos: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle }$

$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle }$$

dónde

$${\displaystyle a_{n}(t)=\langle n|\psi (t)\rangle .}$$

Los coeficientes son variables complejas . Podemos tratarlas como coordenadas que especifican el estado del sistema, como las coordenadas de posición y momento que especifican un sistema clásico. Al igual que las coordenadas clásicas, generalmente no son constantes en el tiempo y su dependencia del tiempo da lugar a la dependencia del tiempo del sistema en su conjunto. ${\displaystyle a_{n}(t)}$

El valor esperado del hamiltoniano de este estado, que también es la energía media, es

$${\displaystyle \langle H(t)\rangle \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \langle \psi (t)|H|\psi (t)\rangle =\sum _{nn'}a_{n'}^{*}a_{n}\langle n'|H|n\rangle }$$

donde el último paso se obtuvo expandiendo en términos de los estados base. ${\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle }$

En realidad, cada uno corresponde a dos grados de libertad independientes, ya que la variable tiene una parte real y una parte imaginaria. Ahora realizamos el siguiente truco: en lugar de usar las partes real e imaginaria como variables independientes, usamos y su conjugado complejo . Con esta elección de variables independientes, podemos calcular la derivada parcial. ${\displaystyle a_{n}(t)}$ ${\displaystyle a_{n}(t)}$ ${\displaystyle a_{n}^{*}(t)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=\sum _{n}a_{n}\langle n'|H|n\rangle =\langle n'|H|\psi \rangle }$$

Al aplicar la ecuación de Schrödinger y utilizar la ortonormalidad de los estados básicos, esto se reduce aún más a

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=i\hbar {\frac {\partial a_{n'}}{\partial t}}}$$

De manera similar, se puede demostrar que

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-i\hbar {\frac {\partial a_{n}^{*}}{\partial t}}}$$

Si definimos variables de "momento conjugado" por ${\displaystyle \pi _{n}}$

$${\displaystyle \pi _{n}(t)=i\hbar a_{n}^{*}(t)}$$

entonces las ecuaciones anteriores se convierten en

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial \pi _{n}}}={\frac {\partial a_{n}}{\partial t}},\quad {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-{\frac {\partial \pi _{n}}{\partial t}}}$$

que es precisamente la forma de las ecuaciones de Hamilton, con s como coordenadas generalizadas, s como momentos conjugados, y tomando el lugar del hamiltoniano clásico. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \langle H\rangle }$

Ver también

• Mecánica hamiltoniana
• Sistema cuántico de dos estados
• Operador (física)
• Notación bra-ket
• Estado cuántico
• Álgebra lineal
• Conservacion de energia
• Teoría potencial
• problema de muchos cuerpos
• Electrostática
• Campo eléctrico
• Campo magnético
• Lieb-desigualdad sedienta

Referencias

1. Resnick, R.; Eisberg, R. (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 0-471-87373-X.
2. Atkins, PW (1974). Quanta: un manual de conceptos . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-855493-1.
3. Conceder, ES; Phillips, WR (2008). Electromagnetismo . Serie de Física de Manchester (2ª ed.). ISBN 978-0-471-92712-9.
4. Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Física de Átomos y Moléculas . Longman. ISBN 0-582-44401-2.

enlaces externos

• Citas relacionadas con el hamiltoniano (mecánica cuántica) en Wikiquote