Notación vectorial

Uso de coordenadas para representar vectores.

Notación vectorial

En matemáticas y física , la notación vectorial es una notación comúnmente utilizada para representar vectores , ^{[1] [2]} que pueden ser vectores euclidianos o, más generalmente, miembros de un espacio vectorial .

Para representar un vector, la convención tipográfica común es minúscula y negrita vertical, como en v . La Organización Internacional de Normalización (ISO) recomienda serif en cursiva y negrita, como en v , o serif en cursiva sin negrita acentuada por una flecha hacia la derecha, como en . ^[3] ${\displaystyle {\vec {v}}}$

En matemáticas avanzadas, los vectores a menudo se representan en cursiva simple, como cualquier variable . ^{[ cita necesaria ]}

Historia

En 1835, Giusto Bellavitis introdujo la idea de segmentos de línea dirigidos equipolentes , lo que dio como resultado el concepto de vector como una clase de equivalencia de dichos segmentos. ${\displaystyle AB\bumpeq CD}$

El término vector fue acuñado por WR Hamilton alrededor de 1843, cuando reveló cuaterniones , un sistema que utiliza vectores y escalares para abarcar un espacio de cuatro dimensiones. Para un cuaternión q = a + b i + c j + d k, Hamilton usó dos proyecciones: S q = a , para la parte escalar de q , y V q = b i + c j + d k, la parte vectorial. Usando los términos modernos producto cruzado (×) y producto escalar (.), el producto cuaternión de dos vectores p y q se puede escribir pq = – p . q + pag × q . En 1878, WK Clifford separó los dos productos para que la operación del cuaternión fuera útil para los estudiantes en su libro de texto Elementos de dinámica . Josiah Willard Gibbs , que daba clases en la Universidad de Yale , proporcionó la notación para el producto escalar y los productos vectoriales , que se introdujo en Análisis vectorial . ^[4]

En 1891, Oliver Heaviside defendió a Clarendon para distinguir vectores de escalares. Criticó el uso de letras griegas por parte de Tait y de letras góticas por parte de Maxwell . ^[5]

En 1912, JB Shaw contribuyó con su "Notación comparativa para expresiones vectoriales" al Boletín de la Sociedad Quaternion . ^[6] Posteriormente, Alexander Macfarlane describió 15 criterios para una expresión clara con vectores en la misma publicación. ^[7]

Hermann Grassmann propuso ideas sobre vectores en 1841 y nuevamente en 1862 en idioma alemán . Pero los matemáticos alemanes no estaban tan cautivados por los cuaterniones como los matemáticos de habla inglesa. Cuando Felix Klein estaba organizando la enciclopedia matemática alemana , asignó a Arnold Sommerfeld la tarea de estandarizar la notación vectorial. ^[8] En 1950, cuando Academic Press publicó la traducción de G. Kuerti de la segunda edición del volumen 2 de Lectures on Theoretical Physics de Sommerfeld, la notación vectorial fue objeto de una nota a pie de página: "En el texto original alemán, los vectores y sus componentes son impreso en los mismos tipos góticos. Para esta traducción se ha adoptado la forma más habitual de hacer una distinción tipográfica entre los dos ". ^[9]

Coordenadas rectangulares

Rectángulo

cuboide rectangular

Dado un sistema de coordenadas cartesianas , un vector puede especificarse mediante sus coordenadas cartesianas .

Notación de tupla

Un vector se puede especificar usando una tupla (lista ordenada) de coordenadas, encerradas entre paréntesis o corchetes angulares . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En sentido general, un vector v de n dimensiones se puede especificar en cualquiera de las siguientes formas:

• ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n-1},v_{n})}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} =\langle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n-1},v_{n}\rangle }$ ^[10]

Donde v ₁ , v ₂ ,…, v _{n  − 1} , v _n son los componentes de v . ^[11]

Notación matricial

Un vector también se puede especificar como una matriz de filas o columnas que contiene el conjunto ordenado de componentes. Un vector especificado como matriz de filas se conoce como vector de filas ; uno especificado como matriz de columnas se conoce como vector de columnas . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Nuevamente, un vector de n dimensiones se puede especificar en cualquiera de las siguientes formas usando matrices: ${\displaystyle \mathbf {v} }$

• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n-1}&v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n-1}&v_{n}\end{pmatrix}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{pmatrix}}}$

donde v ₁ , v ₂ ,…, v _{n  − 1} , v _n son los componentes de v . En algunos contextos avanzados, un vector de fila y de columna tienen significados diferentes; consulte covarianza y contravarianza de vectores para obtener más información.

Notación de vector unitario

Un vector en (o menos dimensiones, como donde v _z debajo es cero) se puede especificar como la suma de los múltiplos escalares de los componentes del vector con los miembros de la base estándar en . La base se representa con los vectores unitarios , y . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\imath }}}=(1,0,0)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}=(0,1,0)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {k}}}=(0,0,1)}$

Un vector tridimensional se puede especificar de la siguiente forma, utilizando notación de vector unitario: ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$

$${\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+v_{y}{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+v_{z}{\boldsymbol {\hat {k}}}}$$

donde v _x , v _y y v _z son los componentes escalares de v . Los componentes escalares pueden ser positivos o negativos; el valor absoluto de un componente escalar es su magnitud.

Coordenadas polares

Puntos en el sistema de coordenadas polares con polo O y eje polar L. En verde, el punto con coordenada radial 3 y coordenada angular 60 grados, o (3,60°). En azul, el punto (4.210°).

Las dos coordenadas polares de un punto en un plano pueden considerarse como un vector bidimensional. Un vector de este tipo consta de una magnitud (o longitud) y una dirección (o ángulo). La magnitud, normalmente representada como r , es la distancia desde un punto de partida, el origen , hasta el punto representado. El ángulo, típicamente representado como θ (la letra griega theta ), es el ángulo, generalmente medido en sentido antihorario, entre una dirección fija, típicamente la del eje x positivo , y la dirección desde el origen hasta el punto. Por lo general, el ángulo se reduce para que se encuentre dentro del rango de radianes o . ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$ ${\displaystyle 0\leq \theta <360^{\circ }}$

Notaciones matriciales y de conjuntos ordenados

Los vectores se pueden especificar usando notación de pares ordenados (un subconjunto de notación de conjuntos ordenados que usa solo dos componentes) o notación matricial, como con las coordenadas rectangulares. En estas formas, el primer componente del vector es r (en lugar de v ₁ ) y el segundo componente es θ (en lugar de v ₂ ). Para diferenciar las coordenadas polares de las coordenadas rectangulares, el ángulo puede tener como prefijo el símbolo de ángulo, . ${\displaystyle \angle }$

Las coordenadas polares bidimensionales para v se pueden representar como cualquiera de las siguientes, utilizando notación de pares ordenados o matricial:

• ${\displaystyle \mathbf {v} =(r,\angle \theta )}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} =\langle r,\angle \theta \rangle }$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r&\angle \theta \end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r\\\angle \theta \end{bmatrix}}}$

donde r es la magnitud, θ es el ángulo y el símbolo del ángulo ( ) es opcional. ${\displaystyle \angle }$

Notación directa

Los vectores también se pueden especificar utilizando ecuaciones autónomas simplificadas que definen r y θ explícitamente. Esto puede ser difícil de manejar, pero es útil para evitar la confusión con vectores rectangulares bidimensionales que surge al usar notación matricial o de pares ordenados.

Un vector bidimensional cuya magnitud es 5 unidades y cuya dirección es π /9 radianes (20°), se puede especificar mediante cualquiera de las siguientes formas:

• ${\displaystyle r=5,\ \theta ={\pi \over 9}}$
• ${\displaystyle r=5,\ \theta =20^{\circ }}$

Vectores cilíndricos

Un sistema de coordenadas cilíndrico con origen O , eje polar A y eje longitudinal L. El punto es el punto con distancia radial ρ  = 4, coordenada angular φ  = 130° y altura z  = 4.

Un vector cilíndrico es una extensión del concepto de coordenadas polares a tres dimensiones. Es similar a una flecha en el sistema de coordenadas cilíndrico . Un vector cilíndrico se especifica mediante una distancia en el plano xy , un ángulo y una distancia desde el plano xy (una altura). La primera distancia, generalmente representada como r o ρ (la letra griega rho ), es la magnitud de la proyección del vector sobre el plano xy . El ángulo, generalmente representado como θ o φ (la letra griega phi ), se mide como el desplazamiento de la línea colineal con el eje x en la dirección positiva; el ángulo normalmente se reduce para quedar dentro del rango . La segunda distancia, generalmente representada como ho z , es la distancia desde el plano xy hasta el punto final del vector. ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$

Notaciones matriciales y de conjuntos ordenados

Los vectores cilíndricos usan coordenadas polares, donde el segundo componente de distancia se concatena como un tercer componente para formar tripletes ordenados (nuevamente, un subconjunto de notación de conjuntos ordenados) y matrices. El ángulo puede tener como prefijo el símbolo de ángulo ( ); la combinación distancia-ángulo-distancia distingue los vectores cilíndricos en esta notación de los vectores esféricos en notación similar. ${\displaystyle \angle }$

Un vector cilíndrico tridimensional v se puede representar como cualquiera de los siguientes, utilizando notación matricial o triplete ordenado:

• ${\displaystyle \mathbf {v} =(r,\angle \theta ,h)}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} =\langle r,\angle \theta ,h\rangle }$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r&\angle \theta &h\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r\\\angle \theta \\h\end{bmatrix}}}$

Donde r es la magnitud de la proyección de v sobre el plano xy , θ es el ángulo entre el eje x positivo y v , y h es la altura desde el plano xy hasta el punto final de v . Nuevamente, el símbolo del ángulo ( ) es opcional. ${\displaystyle \angle }$

Notación directa

Un vector cilíndrico también se puede especificar directamente, utilizando ecuaciones autónomas simplificadas que definen r (o ρ ), θ (o φ ) y h (o z ). Se debe utilizar coherencia al elegir los nombres que se utilizarán para las variables; ρ no debe mezclarse con θ y así sucesivamente.

Un vector tridimensional, cuya magnitud de proyección sobre el plano xy es de 5 unidades, cuyo ángulo desde el eje x positivo es π /9 radianes (20°), y cuya altura desde el plano xy es de 3 unidades, puede especificarse en cualquiera de las siguientes formas:

• ${\displaystyle r=5,\ \theta ={\pi \over 9},\ h=3}$
• ${\displaystyle r=5,\ \theta =20^{\circ },\ h=3}$
• ${\displaystyle \rho =5,\ \phi ={\pi \over 9},\ z=3}$
• ${\displaystyle \rho =5,\ \phi =20^{\circ },\ z=3}$

Vectores esféricos

Coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) como se usan a menudo en matemáticas : distancia radial r , ángulo azimutal θ y ángulo polar φ . Los significados de θ y φ se han intercambiado en comparación con la convención de física.

Un vector esférico es otro método para ampliar el concepto de vectores polares a tres dimensiones. Es similar a una flecha en el sistema de coordenadas esféricas . Un vector esférico se especifica mediante una magnitud, un ángulo de acimut y un ángulo cenital. La magnitud generalmente se representa como ρ . El ángulo de azimut, generalmente representado como θ , es el desplazamiento (en sentido antihorario) del eje x positivo . El ángulo cenital, generalmente representado como φ , es el desplazamiento del eje z positivo . Ambos ángulos normalmente se reducen para estar dentro del rango de cero (inclusive) a 2 π (exclusivo).

Notaciones matriciales y de conjuntos ordenados

Los vectores esféricos se especifican como vectores polares, donde el ángulo cenital se concatena como un tercer componente para formar matrices y tripletes ordenados. Los ángulos de azimut y cenit pueden tener el prefijo del símbolo de ángulo ( ); el prefijo debe usarse consistentemente para producir la combinación distancia-ángulo-ángulo que distingue los vectores esféricos de los cilíndricos. ${\displaystyle \angle }$

Un vector esférico tridimensional v se puede representar como cualquiera de los siguientes, utilizando notación triplete ordenada o matricial:

• ${\displaystyle \mathbf {v} =(\rho ,\angle \theta ,\angle \phi )}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} =\langle \rho ,\angle \theta ,\angle \phi \rangle }$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\rho &\angle \theta &\angle \phi \end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\rho \\\angle \theta \\\angle \phi \end{bmatrix}}}$

Donde ρ es la magnitud, θ es el ángulo azimutal y φ es el ángulo cenital.

Notación directa

Al igual que los vectores polares y cilíndricos, los vectores esféricos se pueden especificar utilizando ecuaciones autónomas simplificadas, en este caso para ρ , θ y φ .

Un vector tridimensional cuya magnitud es 5 unidades, cuyo ángulo azimutal es π /9 radianes (20°) y cuyo ángulo cenital es π /4 radianes (45°) se puede especificar como:

• ${\displaystyle \rho =5,\ \theta ={\pi \over 9},\ \phi ={\pi \over 4}}$
• ${\displaystyle \rho =5,\ \theta =20^{\circ },\ \phi =45^{\circ }}$

Operaciones

En cualquier espacio vectorial dado , las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar están definidas. Los espacios vectoriales normados también definen una operación conocida como norma (o determinación de magnitud). Los espacios de producto internos también definen una operación conocida como producto interno. En , el producto interno se conoce como producto escalar . En y también se define una operación adicional conocida como producto cruzado . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$

Suma de vectores

La suma de vectores se representa con el signo más utilizado como operador entre dos vectores. La suma de dos vectores u y v quedaría representada como:

$${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} }$$

Multiplicación escalar

La multiplicación escalar se representa de la misma manera que la multiplicación algebraica. Un escalar al lado de un vector (cualquiera de los cuales o ambos pueden estar entre paréntesis) implica una multiplicación escalar. Los dos operadores comunes, un punto y una cruz rotada, también son aceptables (aunque la cruz rotada casi nunca se usa), pero corren el riesgo de confusión con los productos escalares y cruzados, que operan en dos vectores. El producto de un escalar k por un vector v se puede representar de cualquiera de las siguientes formas:

• ${\displaystyle k\mathbf {v} }$
• ${\displaystyle k\cdot \mathbf {v} }$

Resta de vectores y división escalar

Usando las propiedades algebraicas de la resta y la división, junto con la multiplicación escalar, también es posible "restar" dos vectores y "dividir" un vector por un escalar.

La resta de vectores se realiza sumando el múltiplo escalar de −1 con el segundo operando vectorial al primer operando vectorial. Esto se puede representar mediante el uso del signo menos como operador. La diferencia entre dos vectores u y v se puede representar de cualquiera de las siguientes formas:

• ${\displaystyle \mathbf {u} +-\mathbf {v} }$
• ${\displaystyle \mathbf {u} -\mathbf {v} }$

La división escalar se realiza multiplicando el operando vectorial por el inverso numérico del operando escalar. Esto se puede representar mediante el uso de la barra de fracción o signos de división como operadores. El cociente de un vector v y un escalar c se puede representar en cualquiera de las siguientes formas:

• ${\displaystyle {1 \over c}\mathbf {v} }$
• ${\displaystyle {\mathbf {v} \over c}}$
• ${\displaystyle {\mathbf {v} \div c}}$

Norma

La norma de un vector se representa con barras dobles a ambos lados del vector. La norma de un vector v se puede representar como:

$${\displaystyle \|\mathbf {v} \|}$$

A veces, la norma también se representa con barras individuales, como , pero esto puede confundirse con el valor absoluto (que es un tipo de norma). ${\displaystyle |\mathbf {v} |}$

Producto Interno

El producto interno de dos vectores (también conocido como producto escalar, que no debe confundirse con la multiplicación escalar) se representa como un par ordenado encerrado entre paréntesis angulares. El producto interno de dos vectores u y v se representaría como:

$${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }$$

Producto escalar

En , el producto interno también se conoce como producto escalar . Además de la notación de producto interna estándar, también se puede utilizar (y es más común) la notación de producto escalar (usando el punto como operador). El producto escalar de dos vectores u y v se puede representar como: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }$$

En alguna literatura antigua, el producto escalar está implícito entre dos vectores escritos uno al lado del otro. Esta notación puede confundirse con el producto diádico entre dos vectores.

Producto cruzado

El producto vectorial de dos vectores (en ) se representa utilizando la cruz rotada como operador. El producto cruzado de dos vectores u y v se representaría como: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }$$

Según algunas convenciones (por ejemplo, en Francia y en algunas áreas de las matemáticas superiores), esto también se denota por una cuña, ^[12] lo que evita la confusión con el producto de la cuña ya que los dos son funcionalmente equivalentes en tres dimensiones:

$${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }$$

En alguna literatura antigua, se utiliza la siguiente notación para el producto cruzado entre u y v :

$${\displaystyle [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]}$$

Nabla

La notación vectorial se utiliza en cálculo mediante el operador de Nabla :

$${\displaystyle \mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}}$$

fgradiente ${\displaystyle \nabla f\,,}$

con un campo vectorial, F la divergencia se escribe como ${\displaystyle \nabla \cdot F,}$

y con un campo vectorial, F el rizo se escribe como ${\displaystyle \nabla \times F.}$

Ver también

• Vector euclidiano
• ISO 31-11 § Vectores y tensores
• fasor

Referencias

1. Principios y aplicaciones de las matemáticas para la electrónica de las comunicaciones. 1992. pág. 123.
2. Ataúd, Joseph George (1911). Análisis vectorial. J. Wiley e hijos.
3. "ISO 80000-2:2019 Cantidades y unidades - Parte 2: Matemáticas". Organización Internacional de Normalización. Agosto de 2019.
4. Edwin Bidwell Wilson (1901) Análisis vectorial, basado en las conferencias de JW Gibbs en Internet Archive
5. Oliver Heaviside , The Electrical Journal , volumen 28. James Gray, 1891. 109 (alt)
6. JB Shaw (1912) Notación comparativa para expresiones vectoriales, Boletín de la Quaternion Society vía Hathi Trust .
7. Alexander Macfarlane (1912) Un sistema de notación para análisis vectorial; con una discusión de los principios subyacentes del Boletín de la Sociedad Quaternion
8. Karin Reich (1995) Die Rolle Arnold Sommerfeld bei der Diskussion um die Vektorrechnung
9. Mecánica de cuerpos deformables , p. 10, en libros de Google
10. Wright, Ricardo. "Precálculo 6-03 Vectores". www.andrews.edu . Consultado el 25 de julio de 2023 .
11. Weisstein, Eric W. "Vector". mathworld.wolfram.com . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
12. Cajori, Florián (2011). Una historia de las notaciones matemáticas. Publicaciones de Dover. pag. 134 (vol. 2). ISBN 9780486161167.