Cálculo funcional holomorfo

En matemáticas , el cálculo funcional holomorfo es un cálculo funcional con funciones holomorfas . Es decir, dada una función holomorfa f de un argumento complejo z y un operador T , el objetivo es construir un operador, f ( T ), que naturalmente extiende la función f de un argumento complejo a un argumento de operador. Más precisamente, el cálculo funcional define un homomorfismo de álgebra continuo desde las funciones holomorfas en una vecindad del espectro de T hasta los operadores acotados.

Este artículo discutirá el caso en el que T es un operador lineal acotado en algún espacio de Banach . En particular, T puede ser una matriz cuadrada con entradas complejas, un caso que se utilizará para ilustrar el cálculo funcional y proporcionar algunas ideas heurísticas para los supuestos involucrados en la construcción general.

Motivación

Necesidad de un cálculo funcional general.

En esta sección se supondrá que T es una matriz n  ×  n con entradas complejas.

Si una función dada f es de cierto tipo especial, existen formas naturales de definir f ( T ). Por ejemplo, si

${\displaystyle p(z)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}z^{i}}$

es un polinomio complejo , uno puede simplemente sustituir T por z y definir

${\displaystyle p(T)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}T^{i}}$

donde T ⁰ = I , la matriz identidad . Este es el cálculo funcional polinómico . Es un homomorfismo del anillo de polinomios al anillo de matrices n × n .

Extendiendo ligeramente los polinomios, si f  : C → C es holomorfa en todas partes, es decir, una función completa , con series de MacLaurin

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i},}$

imitar el caso polinómico sugiere que definamos

${\displaystyle f(T)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}.}$

Dado que la serie de MacLaurin converge en todas partes, la serie anterior convergerá en una norma de operador elegida . Un ejemplo de esto es la exponencial de una matriz. Reemplazar z por T en la serie de MacLaurin de f ( z ) = e ^z da

${\displaystyle f(T)=e^{T}=I+T+{\frac {T^{2}}{2!}}+{\frac {T^{3}}{3!}}+\cdots .}$

El requisito de que la serie de MacLaurin de f converja en todas partes se puede relajar un poco. Desde arriba es evidente que todo lo que realmente se necesita es que el radio de convergencia de la serie de MacLaurin sea mayor que ǁ T ǁ, la norma del operador de T . Esto amplía un poco la familia de f para la cual f ( T ) puede definirse utilizando el enfoque anterior. Sin embargo, no es del todo satisfactorio. Por ejemplo, es un hecho de la teoría de matrices que todo T no singular tiene un logaritmo S en el sentido de que e ^S = T. Es deseable disponer de un cálculo funcional que permita definir, para una T no singular , ln( T ) tal que coincida con S. Esto no se puede hacer mediante series de potencias , por ejemplo, la serie logarítmica.

${\displaystyle \ln(z+1)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\cdots ,}$

converge sólo en el disco unitario abierto. Sustituir z por T en la serie no da una expresión bien definida para ln( T  +  I ) para T + I invertible con ǁ T ǁ ≥ 1. Por lo tanto, se necesita un cálculo funcional más general.

Cálculo funcional y el espectro.

Se espera que una condición necesaria para que f ( T ) tenga sentido sea que f esté definido en el espectro de T. Por ejemplo, el teorema espectral para matrices normales establece que toda matriz normal es unitariamente diagonalizable. Esto lleva a una definición de f ( T ) cuando T es normal. Uno encuentra dificultades si f (λ) no está definido para algún valor propio λ de T.

Otras indicaciones también refuerzan la idea de que f ( T ) sólo puede definirse si f se define en el espectro de T. Si T no es invertible, entonces (recordando que T es una matriz nxn) 0 es un valor propio. Dado que el logaritmo natural no está definido en 0, uno esperaría que ln( T ) no pudiera definirse naturalmente. De hecho, este es el caso. Como otro ejemplo, para

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-2)(z-5)}}}$

la forma razonable de calcular f ( T ) parecería ser

${\displaystyle f(T)=(T-2I)^{-1}(T-5I)^{-1}.\,}$

Sin embargo, esta expresión no está definida si los inversos del lado derecho no existen, es decir, si 2 o 5 son valores propios de T.

Para una matriz T dada , los valores propios de T dictan hasta qué punto se puede definir f ( T ); es decir, f (λ ) debe definirse para todos los valores propios λ de T. Para un operador acotado general, esta condición se traduce en " f debe definirse en el espectro de T ". Esta suposición resulta ser una condición habilitante para que el mapa de cálculo funcional, f → f ( T ), tenga ciertas propiedades deseables.

Cálculo funcional para un operador acotado.

El espectro σ(T) en azul claro y el camino γ en rojo.

El caso en el que el espectro tiene múltiples componentes conectados y el camino correspondiente γ.

El caso en el que el espectro no está simplemente conectado .

Sea X un espacio de Banach complejo y L ( X ) denote la familia de operadores acotados en X .

Recuerde la fórmula integral de Cauchy de la teoría de funciones clásica. Sea f  : C → C holomórfico en algún conjunto abierto D ⊂ C , y Γ sea una curva de Jordan rectificable en D , es decir, una curva cerrada de longitud finita sin autointersecciones. Supongamos que el conjunto U de puntos que se encuentran en el interior de Γ, es decir, tal que el número de devanados de Γ alrededor de z es 1, está contenido en D. La fórmula integral de Cauchy establece

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta }$

para cualquier z en U .

La idea es extender esta fórmula a funciones que toman valores en el espacio de Banach L ( X ). La fórmula integral de Cauchy sugiere la siguiente definición (puramente formal, por ahora):

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta ,}$

donde (ζ− T ) ⁻¹ es el resolutivo de T en ζ.

Suponiendo que esta integral valorada en el espacio de Banach esté definida apropiadamente, este cálculo funcional propuesto implica las siguientes condiciones necesarias:

1. Como la versión escalar de la fórmula integral de Cauchy se aplica a la f holomorfa , anticipamos que ese también es el caso para el caso del espacio de Banach, donde debería haber una noción adecuada de holomorfia para funciones que toman valores en el espacio de Banach L ( X ).
2. Como el mapeo resolutivo ζ → (ζ− T ) ⁻¹ no está definido en el espectro de T , σ( T ), la curva de Jordan Γ no debe cruzar σ( T ). Ahora, el mapeo resolutivo será holomorfo en el complemento de σ( T ). Entonces, para obtener un cálculo funcional no trivial, Γ debe encerrar (al menos parte de) σ( T ).
3. El cálculo funcional debe estar bien definido en el sentido de que f ( T ) tiene que ser independiente de Γ.

La definición completa del cálculo funcional es la siguiente: Para T ∈ L ( X ), defina

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta ,}$

donde f es una función holomorfa definida en un conjunto abierto D ⊂ C que contiene σ( T ), y Γ = {γ ₁ , ..., γ _m } es una colección de curvas de Jordan disjuntas en D que limitan un conjunto "interior" U , tal que σ( T ) se encuentra en U , y cada γ _i está orientado en el sentido de frontera.

El conjunto abierto D puede variar con f y no necesita estar conectado o simplemente conectado , como se muestra en las figuras de la derecha.

Las siguientes subsecciones precisan las nociones invocadas en la definición y muestran que f ( T ) está realmente bien definida bajo supuestos dados.

Integral valorada en el espacio de Banach

Cf. integral de bochner

Para una función continua g definida en una vecindad abierta de Γ y tomando valores en L ( X ), la integral de contorno ∫ _Γ g se define de la misma manera que para el caso escalar. Se puede parametrizar cada γ _i ∈ Γ mediante un intervalo real [ a , b ], y la integral es el límite de las sumas de Riemann obtenidas a partir de particiones cada vez más finas de [ a , b ]. Las sumas de Riemann convergen en la topología de operador uniforme . Definimos

${\displaystyle \int _{\Gamma }g=\sum \nolimits _{i}\int _{\gamma _{i}}g.}$

En la definición del cálculo funcional, se supone que f es holomorfa en una vecindad abierta de Γ. A continuación se mostrará que el mapeo resolutivo es holomórfico en el conjunto resolutivo. Por lo tanto, la integral

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta }$

tiene sentido.

El mapeo resolutivo

El mapeo ζ → (ζ− T ) ⁻¹ se llama mapeo resolutivo de T . Se define en el complemento de σ( T ), llamado conjunto resolutivo de T y se denotará por ρ( T ).

Gran parte de la teoría de funciones clásica depende de las propiedades de la integral.

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}}.}$

El cálculo funcional holomórfico es similar en que el mapeo resolutivo juega un papel crucial en la obtención de las propiedades que uno requiere de un buen cálculo funcional. Esta subsección describe las propiedades del mapa resolutivo que son esenciales en este contexto.

La primera fórmula solvente

El cálculo directo muestra, para z ₁ , z ₂ ∈ ρ( T ),

${\displaystyle (z_{1}-T)^{-1}-(z_{2}-T)^{-1}=(z_{1}-T)^{-1}(z_{2}-z_{1})(z_{2}-T)^{-1}.\,}$

Por lo tanto,

${\displaystyle (z_{1}-T)^{-1}(z_{2}-T)^{-1}={\frac {(z_{1}-T)^{-1}-(z_{2}-T)^{-1}}{(z_{2}-z_{1})}}.}$

Esta ecuación se llama primera fórmula resolutiva . La fórmula muestra ( z ₁ − T ) ⁻¹ y ( z ₂ − T ) ⁻¹ conmutados, lo que insinúa el hecho de que la imagen del cálculo funcional será un álgebra conmutativa. Dejar z ₂ → z ₁ muestra que el mapa resolutivo es (complejo) diferenciable en cada z ₁ ∈ ρ( T ); entonces la integral en la expresión del cálculo funcional converge en L ( X ).

Analiticidad

Se puede hacer una afirmación más contundente que la diferenciabilidad con respecto al mapa resolutivo. El conjunto resolutivo ρ( T ) es en realidad un conjunto abierto en el que el mapa resolutivo es analítico. Esta propiedad se utilizará en argumentos posteriores para el cálculo funcional. Para verificar esta afirmación, sea z ₁ ∈ ρ( T ) y observe la expresión formal

${\displaystyle {\frac {1}{z_{2}-T}}={\frac {1}{z_{1}-T}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z_{1}-z_{2}}{z_{1}-T}}}}}$

sugiere que consideremos

${\displaystyle (z_{1}-T)^{-1}\sum _{n\geq 0}\left((z_{1}-z_{2})(z_{1}-T)^{-1}\right)^{n}}$

para ( z ₂ − T ) ⁻¹ . La serie anterior converge en L ( X ), lo que implica la existencia de ( z ₂ − T ) ⁻¹ , si

${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|<{\frac {1}{\left\|(z_{1}-T)^{-1}\right\|}}.}$

Por lo tanto, el conjunto resolutivo ρ( T ) es abierto y la expresión en serie de potencias en un disco abierto centrado en z ₁ ∈ ρ( T ) muestra que el mapa resolutivo es analítico en ρ( T ).

serie neumann

También será útil otra expresión para ( z − T ) ⁻¹ . La expresión formal

${\displaystyle {\frac {1}{z-T}}={\frac {1}{z}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {T}{z}}}}}$

lleva a uno a considerar

${\displaystyle {\frac {1}{z}}\sum _{n\geq 0}\left({\frac {T}{z}}\right)^{n}.}$

Esta serie, la serie de Neumann , converge a ( z − T ) ⁻¹ si

${\displaystyle \left\|{\frac {T}{z}}\right\|<1,\;{\text{i.e.}}\;|z|>\|T\|.}$

Compacidad de σ( T )

De las dos últimas propiedades del resolutivo podemos deducir que el espectro σ( T ) de un operador acotado T es un subconjunto compacto de C . Por lo tanto, para cualquier conjunto abierto D tal que σ( T ) ⊂ D , existe un sistema suave y orientado positivamente de curvas de Jordan Γ = {γ ₁ , ..., γ _m } tal que σ( T ) está en el interior de Γ y el complemento de D está contenido en el exterior de Γ. Por lo tanto, para la definición del cálculo funcional, de hecho se puede encontrar una familia adecuada de curvas de Jordan para cada f que sea holomorfa en algún D.

Bien definido

La discusión anterior ha demostrado que la integral tiene sentido, es decir, existe una colección adecuada Γ de curvas de Jordan para cada f y la integral converge en el sentido apropiado. Lo que no se ha demostrado es que la definición del cálculo funcional sea inequívoca, es decir, no dependa de la elección de Γ. Este problema ahora intentamos resolverlo.

Un hecho preliminar

Para una colección de curvas de Jordan Γ = {γ ₁ , ..., γ _m } y un punto a ∈ C , el número de devanados de Γ con respecto a a es la suma de los números de devanados de sus elementos. Si definimos:

${\displaystyle n(\Gamma ,a)=\sum \nolimits _{i}n(\gamma _{i},a),}$

el siguiente teorema es de Cauchy:

Teorema. Sea G ⊂ C un conjunto abierto y Γ ⊂ G . Si g  : G → C es holomórfico, y para todo a en el complemento de G , n (Γ, a ) = 0, entonces la integral de contorno de g en Γ es cero.

Necesitaremos el análogo de este resultado con valores vectoriales cuando g tome valores en L ( X ). Para este fin, sea g  : G → L ( X ) holomórfico, con los mismos supuestos en Γ. La idea es utilizar el espacio dual L ( X )* de L ( X ) y pasar al teorema de Cauchy para el caso escalar.

Considere la integral

${\displaystyle \int _{\Gamma }g\in L(X),}$

Si podemos demostrar que todos los φ ∈ L ( X )* desaparecen en esta integral, entonces la integral en sí tiene que ser cero. Como φ está acotada y la integral converge en norma, tenemos:

${\displaystyle \phi \left(\int _{\Gamma }g\right)=\int _{\Gamma }\phi (g).}$

Pero g es holomorfa, de ahí la composición φ( g ): G ⊂ C → C es holomorfa y por lo tanto según el teorema de Cauchy

${\displaystyle \int _{\Gamma }\phi (g)=0.}$

Argumento principal

La bien definida definición del cálculo funcional es ahora una consecuencia fácil. Sea D un conjunto abierto que contenga σ( T ). Supongamos que Γ = {γ _i } y Ω = {ω _j } son dos colecciones (finitas) de curvas de Jordan que satisfacen el supuesto dado para el cálculo funcional. Deseamos mostrar

${\displaystyle \int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =\int _{\Omega }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta .}$

Dejemos que Ω′ se obtenga de Ω invirtiendo la orientación de cada ω _j , entonces

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =-\int _{\Omega '}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta .}$

Considere la unión de las dos colecciones Γ ∪ Ω′. Tanto Γ ∪ Ω′ como σ( T ) son compactos. Entonces hay algún conjunto abierto U que contiene Γ ∪ Ω′ tal que σ( T ) se encuentra en el complemento de U . Cualquier a en el complemento de U tiene un número de devanado n (Γ ∪ Ω′, a ) = 0 ^{[ se necesita aclaración ]} y la función

${\displaystyle \zeta \rightarrow {\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}}$

es holomorfo en U . Entonces, la versión vectorial del teorema de Cauchy da

${\displaystyle \int _{\Gamma \cup \Omega '}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =0}$

es decir

${\displaystyle \int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta +\int _{\Omega '}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta -\int _{\Omega }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =0.}$

Por tanto, el cálculo funcional está bien definido.

En consecuencia, si f ₁ y f ₂ son dos funciones holomorfas definidas en las vecindades D ₁ y D ₂ de σ( T ) y son iguales en un conjunto abierto que contiene σ( T ), entonces f ₁ ( T ) = f ₂ ( T ). Además, aunque D ₁ puede no ser D ₂ , el operador ( f ₁ + f ₂ ) ( T ) está bien definido. Lo mismo se aplica a la definición de ( f ₁ · f ₂ )( T ).

Suponiendo que f sea holomorfa sobre una vecindad abierta de σ( T )

Hasta ahora no se ha utilizado toda la fuerza de esta suposición. Para la convergencia de la integral sólo se utilizó la continuidad. Para una buena definición, solo necesitábamos que f fuera holomorfa en un conjunto abierto U que contiene los contornos Γ ∪ Ω′ pero no necesariamente σ( T ). El supuesto se aplicará en su totalidad al mostrar la propiedad de homomorfismo del cálculo funcional.

Propiedades

Caso polinómico

La linealidad del mapa f ↦ f ( T ) se deriva de la convergencia de la integral y que las operaciones lineales en un espacio de Banach son continuas.

Recuperamos el cálculo funcional polinomial cuando f ( z ) = Σ _{0 ≤ i ≤ m} a _i z ⁱ es un polinomio. Para probar esto, es suficiente demostrar que, para k ≥ 0 y f ( z ) = z ^k , es cierto que f ( T ) = T ^k , es decir

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {\zeta ^{k}}{\zeta -T}}\,d\zeta =T^{k}}$

para cualquier Γ adecuado que incluya σ ( T ). Elija Γ para que sea un círculo de radio mayor que la norma del operador de T. Como se indicó anteriormente, en tal Γ, el mapa resolutivo admite una representación en serie de potencias

${\displaystyle (z-T)^{-1}={\frac {1}{z}}\sum _{n\geq 0}\left({\frac {T}{z}}\right)^{n}.}$

La sustitución da

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }\left(\sum _{n\geq 0}{\frac {T^{n}}{\zeta ^{n+1-k}}}\right)\,d\zeta }$

cual es

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}T^{n}\cdot {\frac {1}{2\pi i}}\left(\int _{\Gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta ^{n+1-k}}}\right)=\sum _{n\geq 0}T^{n}\cdot \delta _{nk}=T^{k}.}$

El δ es el símbolo delta de Kronecker.

La propiedad del homomorfismo

Para cualquier f ₁ y f ₂ que satisfaga los supuestos apropiados, la propiedad del homomorfismo establece

${\displaystyle f_{1}(T)f_{2}(T)=(f_{1}\cdot f_{2})(T).\,}$

Esbozamos un argumento que invoca la primera fórmula resolutiva y los supuestos establecidos en f . Primero elegimos las curvas de Jordan de modo que Γ ₁ se encuentre en el interior de Γ ₂ . La razón de esto quedará clara a continuación. Comience calculando directamente

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&=\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \right)\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -T}}\,d\omega \right)\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{1}(\zeta )f_{2}(\omega )}{(\zeta -T)(\omega -T)}}\;d\omega \,d\zeta \\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}\int _{\Gamma _{2}}f_{1}(\zeta )f_{2}(\omega )\left({\frac {(\zeta -T)^{-1}-(\omega -T)^{-1}}{\omega -\zeta }}\right)d\omega \,d\zeta &&{\text{First Resolvent Formula}}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\left\{\left(\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \right)-\left(\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -T}}\left[\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\omega -\zeta }}d\zeta \right]d\omega \right)\right\}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \end{aligned}}}$

La última línea se deriva del hecho de que ω ∈ Γ ₂ se encuentra fuera de Γ ₁ y f ₁ es holomorfa en alguna vecindad abierta de σ( T ) y por lo tanto el segundo término desaparece. Por tanto, tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[f_{2}(\zeta )\right]d\zeta &&{\text{Cauchy's Integral Formula}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )f_{2}(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \\&=(f_{1}\cdot f_{2})(T)\end{aligned}}}$

Continuidad respecto a la convergencia compacta

Sea G ⊂ C abierto con σ( T ) ⊂ G . Supongamos que una secuencia { f _k } de funciones holomorfas en G converge uniformemente en subconjuntos compactos de G (esto a veces se denomina convergencia compacta ). Entonces { f _k ( T )} es convergente en L ( X ):

Supongamos por simplicidad que Γ consta de una sola curva de Jordan. Estimamos

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|f_{k}(T)-f_{l}(T)\right\|&={\frac {1}{2\pi }}\left\|\int _{\Gamma }{\frac {(f_{k}-f_{l})(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \right\|\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\left|(f_{k}-f_{l})(\zeta )\right|\cdot \left\|(\zeta -T)^{-1}\right\|d\zeta \end{aligned}}}$

Combinando el supuesto de convergencia uniforme y varias consideraciones de continuidad, vemos que lo anterior tiende a 0 cuando k , l → ∞. Entonces { f _k ( T )} es Cauchy, por lo tanto convergente.

Unicidad

Para resumir, hemos demostrado que el cálculo funcional holomorfo, f → f ( T ), tiene las siguientes propiedades:

1. Amplía el cálculo funcional polinomial.
2. Es un homomorfismo de álgebra del álgebra de funciones holomorfas definidas en una vecindad de σ( T ) a L ( X )
3. Preserva la convergencia uniforme en conjuntos compactos.

Se puede demostrar que un cálculo que satisface las propiedades anteriores es único.

Observamos que todo lo discutido hasta ahora se cumple textualmente si la familia de operadores acotados L ( X ) se reemplaza por un álgebra de Banach A. El cálculo funcional se puede definir exactamente de la misma manera para un elemento en A.

Consideraciones espectrales

Teorema del mapeo espectral

Se sabe que el teorema de mapeo espectral se cumple para el cálculo funcional polinómico: para cualquier polinomio p , σ ( p ( T )) = p ( σ ( T )). Esto se puede extender al cálculo holomorfo. Para mostrar f ( σ ( T )) ⊂ σ ( f ( T ) ), sea μ cualquier número complejo. Como resultado de un análisis complejo, existe una función g holomorfa en una vecindad de σ ( T ) tal que

${\displaystyle f(z)-f(\mu )=(z-\mu )g(z).\,}$

Según la propiedad del homomorfismo, f ( T ) −  f ( μ ) = ( T  −  μ ) g ( T ). Por lo tanto, μ ∈ σ ( T ) implica f ( μ ) ∈ σ ( f ( T )).

Para la otra inclusión, si μ no está en f ( σ ( T )), entonces el cálculo funcional es aplicable a

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-\mu }}.}$

Entonces g ( T )( f ( T ) − μ ) = I . Por lo tanto, μ no se encuentra en σ ( f ( T )).

Proyecciones espectrales

La idea subyacente es la siguiente. Supongamos que K es un subconjunto de σ ( T ) y U , V son vecindades disjuntas de K y σ ( T ) \  K respectivamente. Defina e ( z ) = 1 si z ∈ U y e ( z ) = 0 si z ∈ V . Entonces e es una función holomorfa con [ e ( z )] ² = e ( z ) y así, para un contorno adecuado Γ que se encuentra en U ∪ V y que encierra a σ( T ), el operador lineal

${\displaystyle e(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {e(z)}{z-T}}\,dz}$

será una proyección acotada que conmuta con T y proporciona una gran cantidad de información útil.

Resulta que este escenario es posible si y sólo si K es abierto y cerrado en la topología subespacial en σ ( T ). Además, el conjunto V puede ignorarse con seguridad ya que e es cero en él y, por lo tanto, no contribuye a la integral. La proyección e ( T ) se llama proyección espectral de T en K y se denota por P ( K ; T ). Así, cada subconjunto K de σ ( T ) que es abierto y cerrado en la topología subespacial tiene una proyección espectral asociada dada por

${\displaystyle P(K;T)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {dz}{z-T}}}$

donde Γ es un contorno que encierra a K pero no a otros puntos de σ( T ).

Dado que P = P ( K ; T ) está acotado y conmuta con T , permite que T se exprese en la forma U ⊕ V donde U = T | _PX y V = T | ₍₁ - _{P ) X.} Tanto PX como (1 −  P ) X son subespacios invariantes de T además σ ( U ) = K y σ ( V ) = σ ( T ) \  K . Una propiedad clave es la ortogonalidad mutua. Si L es otro conjunto abierto y cerrado en la topología subespacial en σ ( T ), entonces P ( K ; T ) P ( L ; T ) = P ( L ; T ) P ( K ; T ) = P ( K ∩ L ; T ) que es cero siempre que K y L sean disjuntos.

Las proyecciones espectrales tienen numerosas aplicaciones. Cualquier punto aislado de σ( T ) es abierto y cerrado en la topología subespacial y por lo tanto tiene una proyección espectral asociada. Cuando X tiene una dimensión finita, σ ( T ) consta de puntos aislados y las proyecciones espectrales resultantes conducen a una variante de la forma normal de Jordan en la que todos los bloques de Jordan correspondientes al mismo valor propio se consolidan. En otras palabras, hay precisamente un bloque por cada valor propio distinto. La siguiente sección considera esta descomposición con más detalle.

A veces las proyecciones espectrales heredan propiedades de sus operadores principales. Por ejemplo, si T es una matriz positiva con radio espectral r, entonces el teorema de Perron-Frobenius afirma que r ∈ σ ( T ). La proyección espectral asociada P = P ( r ; T ) también es positiva y por ortogonalidad mutua ninguna otra proyección espectral puede tener una fila o columna positiva. De hecho TP = rP y ( T / r ) ⁿ → P cuando n → ∞ por lo que esta proyección P (que se llama proyección de Perron) se aproxima a ( T / r ) ⁿ a medida que n aumenta, y cada una de sus columnas es un vector propio de  T.​

De manera más general , si T es un operador compacto, entonces todos los puntos distintos de cero en σ( T ) están aislados y, por lo tanto, cualquier subconjunto finito de ellos puede usarse para descomponer T. La proyección espectral asociada siempre tiene un rango finito. Aquellos operadores en L ( X ) con características espectrales similares se conocen como operadores de Riesz . Muchas clases de operadores Riesz (incluidos los operadores compactos) son ideales en L ( X ) y proporcionan un rico campo para la investigación. Sin embargo, si X es un espacio de Hilbert, hay exactamente un ideal cerrado intercalado entre los operadores de Riesz y los de rango finito.

Gran parte de la discusión anterior puede ubicarse en el contexto más general de un álgebra de Banach compleja . Aquí, las proyecciones espectrales se denominan idempotentes espectrales, ya que es posible que ya no haya espacio para proyectar.

Descomposición subespacial invariante

Si el espectro σ ( T ) no es conexo, X se puede descomponer en subespacios invariantes de T usando el cálculo funcional. Sea σ ( T ) una unión disjunta

${\displaystyle \sigma (T)=\bigcup _{i=1}^{m}F_{i}.}$

Defina e _i como 1 en alguna vecindad que contenga sólo el componente _Fi y 0 en otros lugares. Por la propiedad del homomorfismo, e _i ( T ) es una proyección para todo i . De hecho, es sólo la proyección espectral P ( F _i ; T ) descrita anteriormente. La relación e _i ( T ) T = T e _i ( T ) significa que el rango de cada e _i ( T ), denotado por X _i , es un subespacio invariante de T . Desde

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}(T)=I,\,}$

X se puede expresar en términos de estos subespacios complementarios:

${\displaystyle X=\sum _{i}X_{i}.\,}$

De manera similar, si Ti _es T restringido a Xi _, entonces

${\displaystyle T=\sum _{i}T_{i}.\,}$

Considere la suma directa

${\displaystyle X'=\bigoplus _{i}X_{i}.}$

con la norma

${\displaystyle \left\|\bigoplus _{i}x_{i}\right\|=\sum _{i}\|x_{i}\|,}$

X' es un espacio de Banach. El mapeo R : X' → X definido por

${\displaystyle R\left(\bigoplus _{i}x_{i}\right)=\sum _{i}x_{i}}$

es un isomorfismo del espacio de Banach, y vemos que

${\displaystyle RTR^{-1}=\bigoplus _{i}T_{i}.}$

Esto puede verse como una diagonalización en bloque de T .

Cuando X es de dimensión finita, σ ( T ) = { λ _i } es un conjunto finito de puntos en el plano complejo. Elija e _i para que sea 1 en un disco abierto que contenga solo λ _i del espectro. La matriz diagonal de bloque correspondiente

${\displaystyle \bigoplus _{i}T_{i}}$

es la forma canónica jordana de T.

Resultados relacionados

Con suposiciones más sólidas, cuando T es un operador normal que actúa sobre un espacio de Hilbert , se puede ampliar el dominio del cálculo funcional. Al comparar los dos resultados, se puede hacer una analogía aproximada con la relación entre el teorema espectral para matrices normales y la forma canónica de Jordan. Cuando T es un operador normal, se puede obtener un cálculo funcional continuo , es decir, se puede evaluar f ( T ) siendo f una función continua definida sobre σ ( T ). Utilizando la maquinaria de la teoría de la medida, esto se puede extender a funciones que sólo son mensurables (ver Cálculo funcional de Borel ). En ese contexto, si E ⊂ σ( T ) es un conjunto de Borel y 1 _E es la función característica de E , el operador de proyección 1 _E (T) es un refinamiento de e _i (T ) discutido anteriormente.

El cálculo funcional de Borel se extiende a operadores autoadjuntos ilimitados en un espacio de Hilbert.

En un lenguaje un poco más abstracto, el cálculo funcional holomórfico se puede extender a cualquier elemento de un álgebra de Banach , utilizando esencialmente los mismos argumentos que antes. De manera similar, el cálculo funcional continuo es válido para elementos normales en cualquier álgebra C* y el cálculo funcional medible para elementos normales en cualquier álgebra de von Neumann .

Operadores ilimitados

Un cálculo funcional holomórfico se puede definir de manera similar para operadores cerrados ilimitados con un conjunto resolutivo no vacío.

Ver también

• Formalismo solvente
• Forma canónica de Jordan , donde se analiza con cierto detalle el caso de dimensión finita.

Referencias

• N. Dunford y JT Schwartz, Operadores lineales, Parte I: Teoría general , Interscience, 1958.
• Steven G Krantz. Diccionario de Álgebra, Aritmética y Trigonometría . Prensa CRC, 2000. ISBN  1-58488-052-X .
• Israel Gohberg, Seymour Goldberg y Marinus A. Kaashoek, Clases de operadores lineales: Volumen 1 . Birkhauser, 1991. ISBN 978-0817625313 .