álgebra de Banach

Tipo particular de estructura algebraica.

En matemáticas , especialmente en análisis funcional , un álgebra de Banach , que lleva el nombre de Stefan Banach , es un álgebra asociativa sobre números reales o complejos (o sobre un campo normado completo no de Arquímedes ) que al mismo tiempo también es un espacio de Banach , es decir. , un espacio normado que es completo en la métrica inducida por la norma. La norma debe satisfacer ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad {\text{ for all }}x,y\in A.}$$

Esto asegura que la operación de multiplicación sea continua .

Un álgebra de Banach se llama unital si tiene un elemento identidad para la multiplicación cuya norma es conmutativa y si su multiplicación es conmutativa . Cualquier álgebra de Banach (ya sea que tenga un elemento de identidad o no) se puede incrustar isométricamente en un álgebra de Banach unital para formar un ideal cerrado de . A menudo se supone a priori que el álgebra bajo consideración es unital: porque se puede desarrollar gran parte de la teoría considerando y luego aplicando el resultado del álgebra original. Sin embargo, este no es el caso todo el tiempo. Por ejemplo, no se pueden definir todas las funciones trigonométricas en un álgebra de Banach sin identidad. ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{e}}$ ${\displaystyle A_{e}}$ ${\displaystyle A_{e}}$

La teoría de las álgebras de Banach reales puede ser muy diferente de la teoría de las álgebras de Banach complejas. Por ejemplo, el espectro de un elemento de un álgebra de Banach compleja no trivial nunca puede estar vacío, mientras que en un álgebra de Banach real podría estar vacío para algunos elementos.

Las álgebras de Banach también se pueden definir sobre campos de números -ádicos . Esto es parte del análisis -ádico . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Ejemplos

El ejemplo prototípico de un álgebra de Banach es el espacio de funciones continuas (de valores complejos), definido en un espacio de Hausdorff localmente compacto , que desaparece en el infinito . es unitario si y sólo si es compacto . La conjugación compleja, al ser una involución , es de hecho un álgebra C* . De manera más general, cada álgebra C* es un álgebra de Banach por definición. ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$

• El conjunto de números reales (o complejos) es un álgebra de Banach con norma dada por el valor absoluto .
• El conjunto de todas las matrices reales o complejas -por- se convierte en un álgebra de Banach unital si la equipamos con una norma matricial submultiplicativa . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• Tome el espacio de Banach (o ) con norma y defina la multiplicación por componentes: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \|x\|=\max _{}|x_{i}|}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).}$
• Los cuaterniones forman un álgebra de Banach real de 4 dimensiones, cuya norma viene dada por el valor absoluto de los cuaterniones.
• El álgebra de todas las funciones acotadas de valores reales o complejos definidas en algún conjunto (con multiplicación puntual y la norma suprema ) es un álgebra unital de Banach.
• El álgebra de todas las funciones continuas acotadas de valores reales o complejos en algún espacio localmente compacto (nuevamente con operaciones puntuales y norma suprema) es un álgebra de Banach.
• El álgebra de todos los operadores lineales continuos en un espacio de Banach (con composición funcional como multiplicación y norma del operador como norma) es un álgebra de Banach unital. El conjunto de todos los operadores compactos es un álgebra de Banach y un ideal cerrado. Es sin identidad si ^[1] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \dim E=\infty .}$
• Si es un grupo topológico de Hausdorff localmente compacto y es su medida de Haar , entonces el espacio de Banach de todas las funciones integrables se convierte en un álgebra de Banach bajo la convolución para ^[2] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle xy(g)=\int x(h)y\left(h^{-1}g\right)d\mu (h)}$ ${\displaystyle x,y\in L^{1}(G).}$
• Álgebra uniforme : Un álgebra de Banach que es una subálgebra del álgebra compleja con norma suprema y que contiene las constantes y separa los puntos de (que debe ser un espacio compacto de Hausdorff). ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$
• Álgebra natural de funciones de Banach : un álgebra uniforme cuyos caracteres son evaluaciones en puntos de ${\displaystyle X.}$
• C*-álgebra : Álgebra de Banach que es una subálgebra * cerrada del álgebra de operadores acotados en algún espacio de Hilbert .
• Álgebra de medidas : Álgebra de Banach que consta de todas las medidas de radón en algún grupo localmente compacto , donde el producto de dos medidas viene dado por la convolución de medidas . ^[2]
• El álgebra de los cuaterniones es un álgebra de Banach real, pero no es un álgebra compleja (y por tanto no es un álgebra de Banach compleja) por la sencilla razón de que el centro de los cuaterniones son los números reales, que no pueden contener una copia del complejo. números. ${\displaystyle \mathbb {H} }$
• Un álgebra afinoide es un cierto tipo de álgebra de Banach sobre un campo no arquímedes. Las álgebras afinoides son los componentes básicos de la geometría analítica rígida .

Propiedades

Varias funciones elementales que se definen mediante series de potencias se pueden definir en cualquier álgebra unital de Banach; los ejemplos incluyen la función exponencial y las funciones trigonométricas y, en general, cualquier función completa . (En particular, el mapa exponencial se puede utilizar para definir grupos de índices abstractos ). La fórmula para la serie geométrica sigue siendo válida en las álgebras unitarias generales de Banach. El teorema del binomio también es válido para dos elementos conmutadores de un álgebra de Banach.

El conjunto de elementos invertibles en cualquier álgebra unital de Banach es un conjunto abierto , y la operación de inversión en este conjunto es continua (y por tanto es un homeomorfismo), de modo que forma un grupo topológico bajo multiplicación. ^[3]

Si un álgebra de Banach tiene unidad, entonces no puede ser un conmutador ; es decir,   para cualquier Esto se debe a que y tienen el mismo espectro excepto posiblemente ${\displaystyle \mathbf {1} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle xy-yx\neq \mathbf {1} }$ ${\displaystyle x,y\in A.}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle yx}$ ${\displaystyle 0.}$

Las diversas álgebras de funciones dadas en los ejemplos anteriores tienen propiedades muy diferentes de los ejemplos estándar de álgebras como las reales. Por ejemplo:

• Cada álgebra real de Banach que es un álgebra de división es isomorfa a los reales, los complejos o los cuaterniones. Por lo tanto, el único álgebra compleja de Banach que es un álgebra de división son los complejos. (Esto se conoce como teorema de Gelfand-Mazur ).
• Todo álgebra de Banach real unital sin divisores de cero , y en la que todo ideal principal es cerrado , es isomorfa a los reales, los complejos o los cuaterniones. ^[4]
• Cada álgebra de Noetherian Banach unital real conmutativa sin divisores de cero es isomorfa a los números reales o complejos.
• Cada álgebra de Noetherian Banach unital real conmutativa (posiblemente con divisores cero) es de dimensión finita.
• Los elementos permanentemente singulares en las álgebras de Banach son divisores topológicos de cero , es decir, considerando extensiones de las álgebras de Banach, algunos elementos que son singulares en el álgebra dada tienen un elemento inverso multiplicativo en una extensión del álgebra de Banach. Los divisores topológicos de cero en son permanentemente singulares en cualquier Banach. extensión de ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$

Teoría espectral

Las álgebras de Unital Banach sobre el campo complejo proporcionan un marco general para desarrollar la teoría espectral. El espectro de un elemento denotado por , consta de todos aquellos escalares complejos tales que no son invertibles en El espectro de cualquier elemento es un subconjunto cerrado del disco cerrado en con radio y centro y por lo tanto es compacto . Además, el espectro de un elemento no está vacío y satisface la fórmula del radio espectral : ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle \sigma (x)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x-\lambda \mathbf {1} }$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \|x\|}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \sigma (x)}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.}$$

Dado que el cálculo funcional holomórfico permite definir para cualquier función holomorfa en una vecindad de Además, el teorema de mapeo espectral se cumple: ^[5] ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle f(x)\in A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma (x).}$ $${\displaystyle \sigma (f(x))=f(\sigma (x)).}$$

Cuando el álgebra de Banach es el álgebra de operadores lineales acotados en un espacio de Banach complejo (por ejemplo, el álgebra de matrices cuadradas), la noción de espectro coincide con la habitual en la teoría de operadores . Para (con un espacio compacto de Hausdorff ), se ve que: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f\in C(X)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \sigma (f)=\{f(t):t\in X\}.}$$

La norma de un elemento normal de un álgebra C* coincide con su radio espectral. Esto generaliza un hecho análogo para los operadores normales. ${\displaystyle x}$

Sea un álgebra de Banach unital compleja en la que cada elemento distinto de cero es invertible (un álgebra de división). Para cada existe algo que no es invertible (porque el espectro de no está vacío), por lo tanto, esta álgebra es naturalmente isomórfica (el caso complejo del teorema de Gelfand-Mazur). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a-\lambda \mathbf {1} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=\lambda \mathbf {1} :}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Ideales y personajes

Sea un álgebra de Banach conmutativa unital sobre Dado que es entonces un anillo conmutativo con unidad, todo elemento no invertible de pertenece a algún ideal máximo de Dado que un ideal máximo en es cerrado, es un álgebra de Banach que es un campo, y se sigue de el teorema de Gelfand-Mazur de que existe una biyección entre el conjunto de todos los ideales máximos de y el conjunto de todos los homomorfismos distintos de cero de a. El conjunto se denomina " espacio de estructura " o "espacio de caracteres" de y sus miembros "caracteres". ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Delta (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \Delta (A)}$ ${\displaystyle A,}$

Un carácter es una función lineal que es al mismo tiempo multiplicativa y satisface. Cada carácter es automáticamente continuo desde hasta, ya que el núcleo de un carácter es un ideal máximo, que es cerrado. Además, la norma (es decir, la norma del operador) de un personaje es uno. Equipado con la topología de convergencia puntual en (es decir, la topología inducida por la topología débil-* de ), el espacio de caracteres es un espacio compacto de Hausdorff. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b),}$ ${\displaystyle \chi (\mathbf {1} )=1.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \Delta (A),}$

Para cualquier lugar, la representación de Gelfand se define de la siguiente manera: es la función continua desde a dada por El espectro de en la fórmula anterior, es el espectro como elemento del álgebra de funciones continuas complejas en el espacio compacto Explícitamente, ${\displaystyle x\in A,}$ $${\displaystyle \sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})}$$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle \Delta (A)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\hat {x}}(\chi )=\chi (x).}$ ${\displaystyle {\hat {x}},}$ ${\displaystyle C(\Delta (A))}$ ${\displaystyle \Delta (A).}$ $${\displaystyle \sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}.}$$

Como álgebra, un álgebra de Banach conmutativa unital es semisimple (es decir, su radical de Jacobson es cero) si y sólo si su representación de Gelfand tiene un núcleo trivial. Un ejemplo importante de este tipo de álgebra es el álgebra C* conmutativa. De hecho, cuando es un álgebra C* unital conmutativa, la representación de Gelfand es entonces un isomorfismo * isométrico entre y ^[a] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(\Delta (A)).}$

Banach *-álgebras

Un álgebra de Banach * es un álgebra de Banach sobre el campo de números complejos , junto con un mapa que tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{*}:A\to A}$

1. ${\displaystyle \left(x^{*}\right)^{*}=x}$para todos (por lo que el mapa es una involución ). ${\displaystyle x\in A}$
2. ${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$para todos ${\displaystyle x,y\in A.}$
3. ${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}}$para todos y cada aquí, denota el conjugado complejo de ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\in A;}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda .}$
4. ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$para todos ${\displaystyle x,y\in A.}$

En otras palabras, un álgebra * de Banach es un álgebra de Banach que también es un álgebra * . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

En la mayoría de los ejemplos naturales, también se tiene que la involución es isométrica , es decir, algunos autores incluyen esta propiedad isométrica en la definición de un álgebra de Banach *. $${\displaystyle \|x^{*}\|=\|x\|\quad {\text{ for all }}x\in A.}$$

Un álgebra de Banach * que satisface es un álgebra de C* . ${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|}$

Ver también

• Identidad aproximada  – más abstractamentePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• La conjetura de Kaplansky  – Numerosas conjeturas del matemático Irving KaplanskyPages displaying short descriptions of redirect targets
• Álgebra de operadores  - Rama del análisis funcional
• Límite de Shilov

Notas

1. Prueba: dado que cada elemento de un álgebra C* conmutativa es normal, la representación de Gelfand es isométrica; en particular, es inyectivo y su imagen es cerrada. Pero la imagen de la representación de Gelfand es densa según el teorema de Stone-Weierstrass .

Referencias

1. Conway 1990, Ejemplo VII.1.8.
2. Conway 1990, Ejemplo VII.1.9.
3. Conway 1990, Teorema VII.2.2.
4. García, Miguel Cabrera; Palacios, Ángel Rodríguez (1995). "Una nueva prueba simple del teorema de Gelfand-Mazur-Kaplansky". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 123 (9): 2663–2666. doi :10.2307/2160559. ISSN  0002-9939. JSTOR  2160559.
5. Takesaki 1979, Proposición 2.8.

• Bollobás, B (1990). Análisis lineal . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-38729-9.
• Bonsall, FF ; Duncan, J. (1973). Completar álgebras normadas . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2.
• Conway, JB (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 96. Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5.
• Valles, HG; Aeina, P.; Eschmeier, J; Laursen, K.; Willis, GA (2003). Introducción a las Álgebras de Banach, Operadores y Análisis Armónicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/CBO9780511615429. ISBN 0-521-53584-0.
• Mosak, RD (1975). Álgebras de Banach . Conferencias de Matemáticas de Chicago. Prensa de la Universidad de Chicago). ISBN 0-226-54203-3.
• Takesaki, M. (1979). Teoría de Álgebras de Operadores I. Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. vol. 124 (1ª ed.). Berlín Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42248-8. ISSN  0938-0396.