Ecuaciones de Navier-Stokes

Ecuaciones que describen el movimiento de sustancias fluidas viscosas.

Las ecuaciones de Navier-Stokes ( / n æ v ˈ j eɪ s t oʊ k s / nav- YAY STOHKS ) son ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de sustancias fluidas viscosas . Llevan el nombre del ingeniero y físico francés Claude-Louis Navier y del físico y matemático irlandés George Gabriel Stokes . Se desarrollaron a lo largo de varias décadas de construcción progresiva de las teorías, desde 1822 (Navier) hasta 1842-1850 (Stokes).

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente el equilibrio de momento de los fluidos newtonianos y utilizan la conservación de la masa . A veces van acompañados de una ecuación de estado que relaciona la presión , la temperatura y la densidad . ^[1] Surgen de la aplicación de la segunda ley de Isaac Newton al movimiento del fluido , junto con el supuesto de que la tensión en el fluido es la suma de un término viscoso de difusión (proporcional al gradiente de velocidad) y un término de presión , describiendo de ahí el flujo viscoso. . La diferencia entre ellas y las ecuaciones de Euler estrechamente relacionadas es que las ecuaciones de Navier-Stokes tienen en cuenta la viscosidad, mientras que las ecuaciones de Euler solo modelan el flujo no viscoso . Como resultado, las ecuaciones de Navier-Stokes son una ecuación parabólica y, por lo tanto, tienen mejores propiedades analíticas, a expensas de tener menos estructura matemática (por ejemplo, nunca son completamente integrables ).

Las ecuaciones de Navier-Stokes son útiles porque describen la física de muchos fenómenos de interés científico y de ingeniería . Se pueden utilizar para modelar el clima, las corrientes oceánicas , el flujo de agua en una tubería y el flujo de aire alrededor de un ala . Las ecuaciones de Navier-Stokes, en sus formas completa y simplificada, ayudan en el diseño de aviones y automóviles, el estudio del flujo sanguíneo , el diseño de centrales eléctricas , el análisis de la contaminación y muchos otros problemas. Junto con las ecuaciones de Maxwell , se pueden utilizar para modelar y estudiar la magnetohidrodinámica .

Las ecuaciones de Navier-Stokes también son de gran interés en un sentido puramente matemático. A pesar de su amplia gama de usos prácticos, aún no se ha demostrado si siempre existen soluciones suaves en tres dimensiones, es decir, si son infinitamente diferenciables (o incluso simplemente acotadas) en todos los puntos del dominio . Esto se denomina problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes . El Clay Mathematics Institute lo ha calificado como uno de los siete problemas abiertos más importantes de las matemáticas y ha ofrecido un premio de un millón de dólares por una solución o un contraejemplo. ^{[2] [3]}

Velocidad de flujo

La solución de las ecuaciones es una velocidad de flujo . Es un campo vectorial : a cada punto de un fluido, en cualquier momento de un intervalo de tiempo, le da un vector cuya dirección y magnitud son las de la velocidad del fluido en ese punto del espacio y en ese momento del tiempo. Por lo general, se estudia en tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal, aunque a menudo se utilizan como modelos casos de dos dimensiones (espaciales) y de estado estacionario, y los análogos de dimensiones superiores se estudian tanto en matemáticas puras como aplicadas. Una vez calculado el campo de velocidades, se pueden encontrar otras cantidades de interés, como la presión o la temperatura, utilizando ecuaciones y relaciones dinámicas. Esto es diferente de lo que normalmente se ve en la mecánica clásica , donde las soluciones son típicamente trayectorias de posición de una partícula o deflexión de un continuo . Estudiar la velocidad en lugar de la posición tiene más sentido para un fluido, aunque con fines de visualización se pueden calcular varias trayectorias . En particular, las líneas de corriente de un campo vectorial, interpretadas como velocidad del flujo, son los caminos a lo largo de los cuales viajaría una partícula de fluido sin masa. Estos caminos son las curvas integrales cuya derivada en cada punto es igual al campo vectorial, y pueden representar visualmente el comportamiento del campo vectorial en un momento dado.

Ecuaciones generales del continuo

La ecuación de impulso de Navier-Stokes se puede derivar como una forma particular de la ecuación de impulso de Cauchy , cuya forma convectiva general es Al establecer el tensor de tensión de Cauchy como la suma de un término de viscosidad (la tensión desviatoria ) y un término de presión (la tensión volumétrica ), llegamos a $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {g} .}$$ ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\textstyle -p\mathbf {I} }$

Ecuación del momento de Cauchy (forma convectiva)

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \,\mathbf {f} }$

dónde

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$es la derivada material , definida como , ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla }$
• ${\textstyle \rho }$es la densidad (de masa),
• ${\textstyle \mathbf {u} }$es la velocidad del flujo,
• ${\textstyle \nabla \cdot \,}$es la divergencia ,
• ${\textstyle p}$es la presión ,
• ${\textstyle t}$es hora ,
• ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$es el tensor de tensión desviador , que tiene orden 2,
• ${\textstyle \mathbf {f} }$representa aceleraciones corporales que actúan sobre el continuo, por ejemplo la gravedad , las aceleraciones inerciales , las aceleraciones electrostáticas , etc.

De esta forma, es evidente que en el supuesto de un fluido no viscoso (sin tensión desviatoria) las ecuaciones de Cauchy se reducen a las ecuaciones de Euler .

Suponiendo la conservación de la masa , con las propiedades conocidas de divergencia y gradiente podemos usar la ecuación de continuidad de masa, que representa la masa por unidad de volumen de un fluido homogéneo con respecto al espacio y el tiempo (es decir, derivada material ) de cualquier volumen finito ( V ) para representar el cambio de velocidad en medios fluidos: donde ${\displaystyle {\frac {\mathbf {D} }{\mathbf {Dt} }}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}&={\iiint \limits _{V}}({{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )})dV\\{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot {\mathbf {u} })&={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\nabla \rho })\cdot {\mathbf {u} }+{\rho }(\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0\end{aligned}}}$$

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} m}{\mathrm {D} t}}}$es la derivada material de la masa por unidad de volumen ( densidad , ), ${\displaystyle \rho }$
• ${\textstyle {\iiint \limits _{V}}(F(x_{1},x_{2},x_{3},t))dV}$es la operación matemática para la integración a lo largo del volumen ( V ),
• ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$es el operador matemático derivada parcial ,
• ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} \,}$es la divergencia de la velocidad del flujo ( ), que es un campo escalar , ^{Nota 1} ${\displaystyle \mathbf {u} }$
• ${\textstyle {\nabla \rho }\,}$es el gradiente de densidad ( ), que es la derivada vectorial de un campo escalar , ^{Nota 1} ${\displaystyle \rho }$

^{Nota 1: consulte el operador matemático del representado por el símbolo nabla ( ) . ${\displaystyle \nabla }$}

llegar a la forma de conservación de las ecuaciones de movimiento. Esto se escribe a menudo: ^[4]

Ecuación del momento de Cauchy (forma de conservación)

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \,\mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \,\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \,\mathbf {f} }$

donde es el producto exterior de la velocidad del flujo ( ): ${\textstyle \otimes }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ $${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }}$$

El lado izquierdo de la ecuación describe la aceleración y puede estar compuesto de componentes convectivos y dependientes del tiempo (también los efectos de las coordenadas no inerciales, si están presentes). El lado derecho de la ecuación es, de hecho, una suma de los efectos hidrostáticos, la divergencia de la tensión desviatoria y las fuerzas corporales (como la gravedad).

Todas las ecuaciones de equilibrio no relativistas, como las ecuaciones de Navier-Stokes, se pueden derivar comenzando con las ecuaciones de Cauchy y especificando el tensor de tensión mediante una relación constitutiva . Al expresar el tensor de tensión desviatoria (cortante) en términos de viscosidad y el gradiente de velocidad del fluido , y suponiendo una viscosidad constante, las ecuaciones de Cauchy anteriores conducirán a las ecuaciones de Navier-Stokes siguientes.

aceleración convectiva

Un ejemplo de convección. Aunque el flujo puede ser constante (independiente del tiempo), el fluido se desacelera a medida que desciende por el conducto divergente (suponiendo un flujo incompresible o compresible subsónico), por lo que se produce una aceleración sobre la posición.

Una característica importante de la ecuación de Cauchy y, en consecuencia, de todas las demás ecuaciones del continuo (incluidas las de Euler y Navier-Stokes) es la presencia de aceleración convectiva: el efecto de la aceleración de un flujo con respecto al espacio. Si bien las partículas de fluido individuales experimentan una aceleración que depende del tiempo, la aceleración convectiva del campo de flujo es un efecto espacial, un ejemplo de ello es la aceleración del fluido en una boquilla.

Flujo compresible

Observación: aquí, el tensor de tensión desviatoria se denota como en las ecuaciones generales del continuo y en la sección de flujo incompresible. ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$

La ecuación del momento compresible de Navier-Stokes resulta de los siguientes supuestos sobre el tensor de tensión de Cauchy: ^[5]

• la tensión es invariante galileana : no depende directamente de la velocidad del flujo, sino sólo de las derivadas espaciales de la velocidad del flujo. Entonces, la variable de tensión es el gradiente del tensor , o más simplemente el tensor de tasa de deformación : ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$ ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{T}}$
• la tensión desviatoria es lineal en esta variable: , donde es independiente del tensor de velocidad de deformación, es el tensor de cuarto orden que representa la constante de proporcionalidad, llamado tensor de viscosidad o elasticidad , y : es el producto de doble punto . ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\mathbf {C} :{\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle \mathbf {C} }$
• se supone que el fluido es isotrópico , como ocurre con los gases y los líquidos simples, y en consecuencia es un tensor isotrópico; además, como el tensor de tensiones desviatorias es simétrico, mediante descomposición de Helmholtz se puede expresar en términos de dos parámetros escalares de Lamé , la segunda viscosidad y la viscosidad dinámica , como es habitual en la elasticidad lineal : ${\textstyle \mathbf {C} }$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \mu }$
  Ecuación constitutiva de tensiones lineales (expresión similar a la del sólido elástico)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  donde es el tensor de identidad y es la traza del tensor de tasa de deformación. Entonces esta descomposición se puede definir explícitamente como: ${\textstyle \mathbf {I} }$ ${\textstyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right).}$$

Dado que la traza del tensor de tasa de deformación en tres dimensiones es la divergencia (es decir, tasa de expansión) del flujo: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Dada esta relación, y dado que la traza del tensor de identidad en tres dimensiones es tres: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {I}})=3.}$$

la traza del tensor de tensión en tres dimensiones se convierte en: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})=-3p+(3\lambda +2\mu )\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Entonces, descomponiendo alternativamente el tensor de tensión en partes isotrópicas y desviatorias , como es habitual en la dinámica de fluidos: ^[6] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-\left[p-\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right]\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)}$$

Introduciendo la viscosidad aparente , ${\textstyle \zeta }$ $${\displaystyle \zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu ,}$$

llegamos a la ecuación constitutiva lineal en la forma habitualmente empleada en hidráulica térmica : ^[5]

Ecuación constitutiva de tensiones lineales (expresión utilizada para fluidos)

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-[p-\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]\mathbf {I} +\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

que también se puede disponer en la otra forma habitual: ^[7] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right)+\left(\zeta -{\frac {2}{3}}\mu \right)(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} .}$$

Tenga en cuenta que en el caso compresible la presión ya no es proporcional al término de tensión isotrópica , ya que existe el término adicional de viscosidad aparente: ${\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )}$

y el tensor de tensión desviatoria sigue coincidiendo con el tensor de tensión de corte (es decir, la tensión desviatoria en un fluido newtoniano no tiene componentes de tensión normales), y tiene un término de compresibilidad además del caso incompresible, que es proporcional a la viscosidad de corte: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

Tanto la viscosidad aparente como la viscosidad dinámica no necesitan ser constantes; en general, dependen de dos variables termodinámicas si el fluido contiene una sola especie química, digamos, por ejemplo, presión y temperatura. Cualquier ecuación que haga explícito uno de estos coeficientes de transporte en las variables de conservación se llama ecuación de estado . ^[8] ${\textstyle \zeta }$ ${\textstyle \mu }$

La más general de las ecuaciones de Navier-Stokes se convierte en

Ecuación de impulso de Navier-Stokes ( forma convectiva )

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left\{\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right\}+\nabla [\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]+\rho \mathbf {f} .}$

en notación de índice, la ecuación se puede escribir como ^[9]

Ecuación de impulso de Navier-Stokes ( notación de índice )

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{k}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left[\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}\delta _{ik}{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{l}}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(\zeta {\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{l}}}\right)+\rho f_{i}.}$

La ecuación correspondiente en forma de conservación se puede obtener considerando que, dada la ecuación de continuidad de masa , el lado izquierdo equivale a:

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )}$

Para dar finalmente:

Ecuación de impulso de Navier-Stokes (forma conservadora )

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +[p-\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]\mathbf {I} -\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right)=\rho \mathbf {f} .}$

Aparte de su dependencia de la presión y la temperatura, el segundo coeficiente de viscosidad también depende del proceso, es decir, el segundo coeficiente de viscosidad no es sólo una propiedad del material. Ejemplo: en el caso de una onda sonora con una frecuencia definitiva que comprime y expande alternativamente un elemento fluido, el segundo coeficiente de viscosidad depende de la frecuencia de la onda. Esta dependencia se llama dispersión . En algunos casos, se puede suponer que la segunda viscosidad es constante, en cuyo caso el efecto de la viscosidad volumétrica es que la presión mecánica no es equivalente a la presión termodinámica : ^[10] como se demuestra a continuación. Sin embargo, esta diferencia generalmente se ignora la mayor parte del tiempo (es decir, cuando no estamos tratando con procesos como la absorción del sonido y la atenuación de ondas de choque, ^[11] donde el segundo coeficiente de viscosidad se vuelve importante) al asumir explícitamente . El supuesto de configuración se denomina hipótesis de Stokes . ^[12] La validez de la hipótesis de Stokes puede demostrarse para gases monoatómicos tanto experimentalmente como a partir de la teoría cinética; ^[13] para otros gases y líquidos, la hipótesis de Stokes es generalmente incorrecta. Con la hipótesis de Stokes, las ecuaciones de Navier-Stokes se convierten en ${\textstyle \zeta }$ ${\textstyle \zeta }$ $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} ),}$$ $${\displaystyle {\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,}$$ ${\textstyle \zeta =0}$ ${\textstyle \zeta =0}$

Ecuación del momento de Navier-Stokes ( forma convectiva, hipótesis de Stokes )

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left\{\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right\}+\rho \mathbf {f} .}$

Si se supone que las viscosidades dinámicas μ y aparente son uniformes en el espacio, las ecuaciones en forma convectiva se pueden simplificar aún más. Al calcular la divergencia del tensor de tensión, dado que la divergencia del tensor es y la divergencia del tensor es , finalmente se llega a la ecuación de momento compresible de Navier-Stokes: ^[14] ${\displaystyle \zeta }$ ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$ ${\textstyle \nabla ^{2}\mathbf {u} }$ ${\textstyle \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }}$ ${\textstyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}$

Ecuación de momento de Navier-Stokes con viscosidades de corte uniforme y aparente ( forma convectiva )

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} +({\tfrac {1}{3}}\nu +\xi )\,\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mathbf {f} .}$

¿Dónde está la derivada material ? es la viscosidad cinemática de corte y es la viscosidad cinemática aparente. El lado izquierdo cambia en la forma de conservación de la ecuación de momento de Navier-Stokes. Al acercar al operador a la velocidad del flujo en el lado izquierdo, también se tiene: ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$ ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$ ${\displaystyle \xi ={\frac {\zeta }{\rho }}}$

Ecuación de momento de Navier-Stokes con viscosidades de corte uniforme y aparente ( forma convectiva )

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla -\nu \,\nabla ^{2}-({\tfrac {1}{3}}\nu +\xi )\,\nabla (\nabla \cdot )\right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {f} .}$

El término de aceleración convectiva también se puede escribir como donde el vector se conoce como vector Lamb . $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\tfrac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} ^{2},}$$ ${\textstyle (\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} }$

Para el caso especial de un flujo incompresible , la presión restringe el flujo de modo que el volumen de los elementos fluidos sea constante: flujo isocórico que resulta en un campo de velocidad solenoidal con . ^[15] ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

Flujo incompresible

La ecuación del momento incompresible de Navier-Stokes resulta de los siguientes supuestos sobre el tensor de tensión de Cauchy: ^[5]

• la tensión es invariante galileana : no depende directamente de la velocidad del flujo, sino sólo de las derivadas espaciales de la velocidad del flujo. Entonces la variable de tensión es el gradiente tensorial . ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$
• se supone que el fluido es isotrópico , como ocurre con los gases y los líquidos simples, y en consecuencia es un tensor isotrópico; además, dado que el tensor de tensión desviatoria se puede expresar en términos de viscosidad dinámica : ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\textstyle \mu }$
  Ecuación constitutiva de la tensión de Stokes (expresión utilizada para sólidos elásticos incompresibles)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  donde es el tensor de tasa de deformación . Entonces esta descomposición puede hacerse explícita como: ^[5] $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\mathrm {T} }\right)}$$

  Ecuación constitutiva de tensiones de Stokes (expresión utilizada para fluidos viscosos incompresibles)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}$

Esta ecuación constitutiva también se llama ley newtoniana de la viscosidad . La viscosidad dinámica μ no tiene por qué ser constante; en flujos incompresibles puede depender de la densidad y de la presión. Cualquier ecuación que haga explícito uno de estos coeficientes de transporte en las variables conservadoras se llama ecuación de estado . ^[8]

La divergencia de la tensión desviatoria en caso de viscosidad uniforme viene dada por: porque para un fluido incompresible. $${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mu \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\right)=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }$$ ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

La incompresibilidad descarta las ondas de densidad y presión como las ondas de sonido o de choque , por lo que esta simplificación no es útil si estos fenómenos son de interés. La suposición de flujo incompresible generalmente se cumple con todos los fluidos con números de Mach bajos (digamos hasta aproximadamente Mach 0,3), como para modelar vientos de aire a temperaturas normales. ^[16] las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes se visualizan mejor dividiendo por la densidad: ^[17]

Ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles con viscosidad uniforme ( forma convectiva )

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} -{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {f} .}$

donde se llama viscosidad cinemática . Aislando la velocidad del fluido, también se puede afirmar: ${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$

Ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles con viscosidad constante ( forma convectiva alternativa )

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla -\nu \,\nabla ^{2}\right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {f} .}$

Si la densidad es constante en todo el dominio del fluido, o, en otras palabras, si todos los elementos del fluido tienen la misma densidad, entonces tenemos ${\textstyle \rho }$

Ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles con densidad y viscosidad constantes ( forma convectiva )

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} -\nabla {\frac {p}{\rho }}+\mathbf {f} ,}$

donde se llama carga de presión unitaria . ${\textstyle p/\rho }$

En flujos incompresibles, el campo de presión satisface la ecuación de Poisson , ^[9]

${\displaystyle \nabla ^{2}p=-\rho {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=-\rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}u_{k}}{\partial x_{k}x_{i}}},}$

que se obtiene tomando la divergencia de las ecuaciones de momento.

Un ejemplo de flujo laminar

Perfil de velocidad (flujo laminar): para la dirección x , simplifique la ecuación de Navier-Stokes: $${\displaystyle u_{x}=u(y),\quad u_{y}=0,\quad u_{z}=0}$$ $${\displaystyle 0=-{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}+\mu \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}\right)}$$

Integre dos veces para encontrar el perfil de velocidad con condiciones de contorno y = h , u = 0 , y = − h , u = 0 : $${\displaystyle u={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}y^{2}+Ay+B}$$

A partir de esta ecuación, sustituya las dos condiciones de contorno para obtener dos ecuaciones: $${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}+Ah+B\\0&={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}-Ah+B\end{aligned}}}$$

Suma y resuelve para B : $${\displaystyle B=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}}$$

Sustituye y resuelve para A : $${\displaystyle A=0}$$

Finalmente esto da el perfil de velocidad: $${\displaystyle u={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}\left(y^{2}-h^{2}\right)}$$

Vale la pena observar el significado de cada término (compárese con la ecuación del momento de Cauchy ):

$${\displaystyle \overbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\text{Variation}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\text{Divergence}}} ^{\text{Inertia (per volume)}}=\overbrace {{\vphantom {\frac {\partial }{\partial }}}\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Internal}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Diffusion}}} ^{\text{Divergence of stress}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}.}$$

El término de orden superior, es decir, la divergencia del esfuerzo cortante , simplemente se ha reducido al término vectorial laplaciano . ^[18] Este término laplaciano puede interpretarse como la diferencia entre la velocidad en un punto y la velocidad media en un pequeño volumen circundante. Esto implica que, para un fluido newtoniano, la viscosidad opera como una difusión del momento , de manera muy similar a la conducción de calor . De hecho, al ignorar el término de convección, las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles conducen a una ecuación de difusión vectorial (es decir, ecuaciones de Stokes ), pero en general el término de convección está presente, por lo que las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles pertenecen a la clase de ecuaciones de convección-difusión . ${\textstyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\textstyle \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} }$

En el caso habitual de que un campo externo sea un campo conservador : definiendo la altura hidráulica : $${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \varphi }$$ $${\displaystyle h\equiv w+\varphi }$$

finalmente se puede condensar toda la fuente en un término, llegando a la ecuación incompresible de Navier-Stokes con campo externo conservador: $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla h.}$$

Las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes con densidad y viscosidad uniformes y campo externo conservador son la ecuación fundamental de la hidráulica . El dominio de estas ecuaciones suele ser un espacio euclidiano de 3 o menos dimensiones , para el cual generalmente se establece un sistema de referencia de coordenadas ortogonales para explicitar el sistema de ecuaciones diferenciales parciales escalares que se van a resolver. En tridimensionales los sistemas de coordenadas ortogonales son 3: cartesianos , cilíndricos y esféricos . Expresar la ecuación vectorial de Navier-Stokes en coordenadas cartesianas es bastante sencillo y no está muy influenciado por el número de dimensiones del espacio euclidiano empleado, y este es el caso también para los términos de primer orden (como los de variación y convección) también en sistemas de coordenadas ortogonales no cartesianos. Pero para los términos de orden superior (los dos que provienen de la divergencia de la tensión desviatoria que distingue las ecuaciones de Navier-Stokes de las ecuaciones de Euler) se requiere algo de cálculo tensorial para deducir una expresión en sistemas de coordenadas ortogonales no cartesianos. Un caso especial de la ecuación fundamental de la hidráulica es la ecuación de Bernoulli .

La ecuación incompresible de Navier-Stokes es compuesta, la suma de dos ecuaciones ortogonales, donde y son operadores de proyección solenoidal e irrotacional que satisfacen , y y son las partes conservadoras y no conservativas de la fuerza del cuerpo. Este resultado se deriva del teorema de Helmholtz (también conocido como teorema fundamental del cálculo vectorial). La primera ecuación es una ecuación que gobierna la velocidad sin presión, mientras que la segunda ecuación para la presión es funcional de la velocidad y está relacionada con la ecuación de Poisson de presión. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}&=\Pi ^{S}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{S}\\\rho ^{-1}\,\nabla p&=\Pi ^{I}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{I}\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \Pi ^{S}}$ ${\textstyle \Pi ^{I}}$ ${\textstyle \Pi ^{S}+\Pi ^{I}=1}$ ${\textstyle \mathbf {f} ^{S}}$ ${\textstyle \mathbf {f} ^{I}}$

La forma funcional explícita del operador de proyección en 3D se encuentra en el Teorema de Helmholtz: con una estructura similar en 2D. Por tanto, la ecuación gobernante es una ecuación integro-diferencial similar a la ley de Coulomb y Biot-Savart , no conveniente para el cálculo numérico. $${\displaystyle \Pi ^{S}\,\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int {\frac {\nabla ^{\prime }\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V',\quad \Pi ^{I}=1-\Pi ^{S}}$$

Una forma equivalente débil o variacional de la ecuación, que produce la misma solución de velocidad que la ecuación de Navier-Stokes, ^[19] viene dada por, $${\displaystyle \left(\mathbf {w} ,{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} ,\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} {\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} :\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\mathbf {w} ,\mathbf {f} ^{S}\right)}$$

para funciones de prueba libres de divergencia que satisfacen condiciones de contorno apropiadas. Aquí, las proyecciones se logran mediante la ortogonalidad de los espacios funcionales solenoidal e irrotacional. La forma discreta de esto es eminentemente adecuada para el cálculo de elementos finitos de flujo libre de divergencia, como veremos en la siguiente sección. Allí se podrá abordar la pregunta "¿Cómo se especifican problemas impulsados ​​por presión (Poiseuille) con una ecuación gobernante sin presión?". ${\textstyle \mathbf {w} }$

La ausencia de fuerzas de presión en la ecuación de velocidad gobernante demuestra que la ecuación no es dinámica, sino más bien una ecuación cinemática donde la condición libre de divergencia cumple el papel de una ecuación de conservación. Todo esto parecería refutar las frecuentes afirmaciones de que la presión incompresible impone la condición libre de divergencia.

Forma débil de las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes

forma fuerte

Considere las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes para un fluido newtoniano de densidad constante en un dominio con límite y partes del límite donde se aplica, respectivamente, una condición de frontera de Dirichlet y Neumann ( ): ^[20] es la velocidad del fluido, la presión del fluido , un término de forzamiento dado, el vector normal unitario dirigido hacia afuera a y el tensor de tensión viscoso definido como: ^[20] Sea la viscosidad dinámica del fluido, el tensor de identidad de segundo orden y el tensor de velocidad de deformación definido como: ^{[ 20]} Las funciones y reciben datos de límites de Dirichlet y Neumann, mientras que es la condición inicial . La primera ecuación es la ecuación de equilibrio del momento, mientras que la segunda representa la conservación de la masa , es decir, la ecuación de continuidad . Suponiendo una viscosidad dinámica constante, utilizando la identidad vectorial y aprovechando la conservación de la masa, la divergencia del tensor de tensión total en la ecuación del momento también se puede expresar como: ^[20] Además, tenga en cuenta que las condiciones de contorno de Neumann se pueden reordenar como: ^[20] ${\textstyle \rho }$ $${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}\quad (d=2,3)}$$ $${\displaystyle \partial \Omega =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N},}$$ ${\textstyle \Gamma _{D}}$ ${\textstyle \Gamma _{N}}$ ${\textstyle \Gamma _{D}\cap \Gamma _{N}=\emptyset }$ $${\displaystyle {\begin{cases}\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)=\mathbf {f} &{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\nabla \cdot \mathbf {u} =0&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\mathbf {u} =\mathbf {g} &{\text{ on }}\Gamma _{D}\times (0,T)\\{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p){\hat {\mathbf {n} }}=\mathbf {h} &{\text{ on }}\Gamma _{N}\times (0,T)\\\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} _{0}&{\text{ in }}\Omega \times \{0\}\end{cases}}}$$ ${\textstyle \mathbf {u} }$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\textstyle \Gamma _{N}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)=-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} ).}$$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle \mathbf {I} }$ ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )={\frac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right).}$$ ${\textstyle \mathbf {g} }$ ${\textstyle \mathbf {h} }$ ${\textstyle \mathbf {u} _{0}}$ $${\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {f} \right)^{\mathrm {T} }=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)&=\nabla \cdot \left(-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\right)\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot \left[{\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right)\right]\\&=-\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {u} +\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right)\\&=-\nabla p+\mu {\bigl (}\Delta \mathbf {u} +\nabla \underbrace {(\nabla \cdot \mathbf {u} )} _{=0}{\bigr )}=-\nabla p+\mu \,\Delta \mathbf {u} .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p){\hat {\mathbf {n} }}=\left(-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\right){\hat {\mathbf {n} }}=-p{\hat {\mathbf {n} }}+\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}.}$$

Forma debil

Para encontrar la forma débil de las ecuaciones de Navier-Stokes, en primer lugar, considere la ecuación del momento ^[20] multiplíquela para una función de prueba , definida en un espacio adecuado , e integre ambos miembros con respecto al dominio : ^[20] Contador -integrando por partes los términos de difusión y presión y utilizando el teorema de Gauss: ^[20] $${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\mu \Delta \mathbf {u} +\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nabla p=\mathbf {f} }$$ ${\textstyle \mathbf {v} }$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \Omega }$ $${\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }\mu \Delta \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\nabla p\cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}-\int \limits _{\Omega }\mu \Delta \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} &=\int _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} -\int \limits _{\partial \Omega }\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}\cdot \mathbf {v} \\\int \limits _{\Omega }\nabla p\cdot \mathbf {v} &=-\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\partial \Omega }p\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\end{aligned}}}$$

Utilizando estas relaciones se obtiene: ^[20] De la misma manera, la ecuación de continuidad se multiplica para una función de prueba q perteneciente a un espacio e integrada en el dominio : ^[20] Las funciones espaciales se eligen de la siguiente manera: Considerando que la prueba la función v desaparece en la frontera de Dirichlet y considerando la condición de Neumann, la integral en la frontera se puede reordenar como: ^[20] Teniendo esto en cuenta, la formulación débil de las ecuaciones de Navier-Stokes se expresa como: ^[20] $${\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V.}$$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle \Omega }$ $${\displaystyle \int \limits _{\Omega }q\nabla \cdot \mathbf {u} =0.\quad \forall q\in Q.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V=\left[H_{0}^{1}(\Omega )\right]^{d}&=\left\{\mathbf {v} \in \left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}:\quad \mathbf {v} =\mathbf {0} {\text{ on }}\Gamma _{D}\right\},\\Q&=L^{2}(\Omega )\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \int \limits _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} =\underbrace {\int \limits _{\Gamma _{D}}\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} } _{\mathbf {v} =\mathbf {0} {\text{ on }}\Gamma _{D}\ }+\int \limits _{\Gamma _{N}}\underbrace {{\vphantom {\int \limits _{\Gamma _{N}}}}\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)} _{=\mathbf {h} {\text{ on }}\Gamma _{N}}\cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Gamma _{N}}\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{find }}\mathbf {u} \in L^{2}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}\right)\cap C^{0}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[L^{2}(\Omega )\right]^{d}\right){\text{ such that: }}\\[5pt]&\quad {\begin{cases}\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Gamma _{N}}\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V,\\\displaystyle \int \limits _{\Omega }q\nabla \cdot \mathbf {u} =0\quad \forall q\in Q.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

velocidad discreta

Con la partición del dominio del problema y la definición de funciones básicas en el dominio particionado, la forma discreta de la ecuación gobernante es $${\displaystyle \left(\mathbf {w} _{i},{\frac {\partial \mathbf {u} _{j}}{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}{\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {w} _{i},\mathbf {f} ^{S}\right).}$$

Es deseable elegir funciones base que reflejen la característica esencial del flujo incompresible: los elementos deben estar libres de divergencia. Si bien la velocidad es la variable de interés, la existencia de la función de corriente o potencial vectorial es necesaria según el teorema de Helmholtz. Además, para determinar el flujo de fluido en ausencia de un gradiente de presión, se puede especificar la diferencia de los valores de la función de la corriente a través de un canal 2D, o la integral de línea del componente tangencial del potencial vectorial alrededor del canal en 3D, dado el flujo. por el teorema de Stokes . La discusión se limitará a 2D a continuación.

Además, restringimos la discusión a elementos finitos continuos de Hermite que tienen al menos grados de libertad de primera derivada. Con esto, se puede dibujar una gran cantidad de elementos candidatos triangulares y rectangulares de la literatura sobre doblado de placas . Estos elementos tienen derivados como componentes del gradiente. En 2D, el gradiente y la curvatura de un escalar son claramente ortogonales, dados por las expresiones, $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{\mathrm {T} },\\[5pt]\nabla \times \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\,-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$$

La adopción de elementos continuos de flexión de placas, el intercambio de los grados de libertad derivados y el cambio del signo apropiado proporciona muchas familias de elementos de función de flujo.

Al tomar la curvatura de los elementos de la función de flujo escalar se obtienen elementos de velocidad libres de divergencia. ^{[21] [22]} El requisito de que los elementos de la función de corriente sean continuos asegura que la componente normal de la velocidad sea continua a través de las interfaces de los elementos, todo lo que es necesario para anular la divergencia en estas interfaces.

Las condiciones de contorno son fáciles de aplicar. La función de la corriente es constante en superficies sin flujo, con condiciones de velocidad sin deslizamiento en las superficies. Las diferencias en la función del flujo entre canales abiertos determinan el flujo. No se necesitan condiciones de contorno en límites abiertos, aunque se pueden usar valores consistentes con algunos problemas. Todas estas son condiciones de Dirichlet.

Las ecuaciones algebraicas a resolver son fáciles de configurar, pero por supuesto no son lineales y requieren la iteración de las ecuaciones linealizadas.

Se aplican consideraciones similares a las tres dimensiones, pero la extensión desde 2D no es inmediata debido a la naturaleza vectorial del potencial y no existe una relación simple entre el gradiente y la curvatura como era el caso en 2D.

Recuperación de presión

Recuperar la presión del campo de velocidades es fácil. La ecuación débil discreta para el gradiente de presión es, $${\displaystyle (\mathbf {g} _{i},\nabla p)=-\left(\mathbf {g} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}\right)-\nu \left(\nabla \mathbf {g} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {g} _{i},\mathbf {f} ^{I}\right)}$$

donde las funciones prueba/peso son irrotacionales. Se puede utilizar cualquier elemento finito escalar conforme. Sin embargo, el campo del gradiente de presión también puede ser de interés. En este caso, se pueden utilizar elementos escalares de Hermite para la presión. Para las funciones de prueba/peso se elegirían los elementos del vector irrotacional obtenidos del gradiente del elemento de presión. ${\textstyle \mathbf {g} _{i}}$

Marco de referencia no inercial

El marco de referencia giratorio introduce algunas pseudofuerzas interesantes en las ecuaciones a través del término de derivada material . Considere un marco de referencia inercial estacionario  y un marco de referencia no inercial , que se traslada con velocidad y gira con velocidad angular con respecto al marco estacionario. La ecuación de Navier-Stokes observada desde el marco no inercial se convierte entonces en ${\textstyle K}$ ${\textstyle K'}$ ${\textstyle \mathbf {U} (t)}$ ${\textstyle \Omega (t)}$

Ecuación del momento de Navier-Stokes en un marco no inercial

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left\{\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right\}+\nabla [\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]+\rho \mathbf {f} -\rho \left[2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} +\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} )+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {U} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {\Omega } }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {x} \right].}$

Aquí y se miden en el marco no inercial. El primer término entre paréntesis representa la aceleración de Coriolis , el segundo término se debe a la aceleración centrífuga , el tercero se debe a la aceleración lineal de con respecto a y el cuarto término se debe a la aceleración angular de con respecto a . ${\textstyle \mathbf {x} }$ ${\textstyle \mathbf {u} }$ ${\textstyle K'}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K'}$ ${\textstyle K}$

Otras ecuaciones

Las ecuaciones de Navier-Stokes son estrictamente una declaración del equilibrio del impulso. Para describir completamente el flujo de fluidos, se necesita más información, cuya cantidad depende de las suposiciones realizadas. Esta información adicional puede incluir datos de límites ( antideslizamiento , superficie capilar , etc.), conservación de masa, equilibrio de energía y/o una ecuación de estado .

Ecuación de continuidad para fluido incompresible.

Independientemente de los supuestos de flujo, generalmente es necesaria una declaración de la conservación de la masa . Esto se logra mediante la ecuación de continuidad de masa , como se analizó anteriormente en las "Ecuaciones generales del continuo" de este artículo, de la siguiente manera: Un medio fluido para el cual la densidad ( ) es constante se llama incompresible . Por tanto, la tasa de cambio de densidad ( ) con respecto al tiempo y el gradiente de densidad son iguales a cero . En este caso la ecuación general de continuidad, , se reduce a: . Además, asumir que la densidad ( ) es una constante distinta de cero significa que el lado derecho de la ecuación es divisible por la densidad ( ). Por lo tanto, la ecuación de continuidad para un fluido incompresible se reduce aún más a: Esta relación, , identifica que la divergencia del vector velocidad del flujo ( ) es igual a cero , lo que significa que para un fluido incompresible el campo de velocidad del flujo es un campo vectorial solenoidal o un campo vectorial libre de divergencia . Tenga en cuenta que esta relación se puede ampliar debido a su singularidad con el operador vectorial de Laplace y la vorticidad que ahora se expresa así, para un fluido incompresible : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}&={\iiint \limits _{V}}({{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )})dV\\{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot {\mathbf {u} })&={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\nabla \rho })\cdot {\mathbf {u} }+{\rho }(\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle ({\frac {\partial \rho }{\partial t}})}$ ${\displaystyle (\nabla \rho )}$ ${\displaystyle (0)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla ({\rho \mathbf {u} })=0}$ ${\displaystyle \rho (\nabla {\cdot }{\mathbf {u} })=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle (\rho \neq 0)}$ ${\displaystyle (0)}$ ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}$$ ${\textstyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle (0)}$ ${\displaystyle (\nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))}$ ${\displaystyle ({\vec {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} )}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} =-(\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))=-(\nabla \times {\vec {\omega }})}$$

Función de flujo para fluido 2D incompresible

Tomar el rizo de la ecuación incompresible de Navier-Stokes da como resultado la eliminación de la presión. Esto es especialmente fácil de ver si se supone un flujo cartesiano 2D (como en el caso 3D degenerado sin dependencia de nada ), donde las ecuaciones se reducen a: ${\textstyle u_{z}=0}$ ${\textstyle z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{x}\\\rho \left({\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{y}.\end{aligned}}}$$

Diferenciar la primera con respecto a , la segunda con respecto a y restar las ecuaciones resultantes eliminará la presión y cualquier fuerza conservativa . Para un flujo incompresible, definir la función de la corriente a través da como resultado que la continuidad de la masa se cumpla incondicionalmente (dado que la función de la corriente es continua), y luego el impulso 2D newtoniano incompresible y la conservación de la masa se condensan en una ecuación: ${\textstyle y}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle \psi }$ $${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}};\quad u_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi }$$

donde es el operador biarmónico 2D y es la viscosidad cinemática . También podemos expresar esto de forma compacta usando el determinante jacobiano : ${\textstyle \nabla ^{4}}$ ${\textstyle \nu }$ ${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{p}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \left(\psi ,\nabla ^{2}\psi \right)}{\partial (y,x)}}=\nu \nabla ^{4}\psi .}$$

Esta única ecuación, junto con las condiciones límite apropiadas, describe el flujo de fluido 2D, tomando solo la viscosidad cinemática como parámetro. Tenga en cuenta que la ecuación para el flujo progresivo resulta cuando el lado izquierdo se supone cero.

En el flujo axisimétrico se puede utilizar otra formulación de función de corriente, llamada función de corriente de Stokes , para describir los componentes de velocidad de un flujo incompresible con una función escalar .

La ecuación incompresible de Navier-Stokes es una ecuación algebraica diferencial , que tiene la inconveniente característica de que no existe un mecanismo explícito para hacer avanzar la presión en el tiempo. En consecuencia, se ha invertido mucho esfuerzo en eliminar la presión de todo o parte del proceso computacional. La formulación de la función de corriente elimina la presión pero sólo en dos dimensiones y a costa de introducir derivadas más altas y eliminar la velocidad, que es la principal variable de interés.

Propiedades

No linealidad

Las ecuaciones de Navier-Stokes son ecuaciones diferenciales parciales no lineales en el caso general y, por lo tanto, permanecen en casi todas las situaciones reales. ^{[23] [24]} En algunos casos, como el flujo unidimensional y el flujo de Stokes (o flujo progresivo), las ecuaciones se pueden simplificar a ecuaciones lineales. La no linealidad hace que la mayoría de los problemas sean difíciles o imposibles de resolver y es el principal contribuyente a la turbulencia que modelan las ecuaciones.

La no linealidad se debe a la aceleración convectiva , que es una aceleración asociada con el cambio de velocidad con respecto a la posición. Por tanto, cualquier flujo convectivo, sea turbulento o no, implicará no linealidad. Un ejemplo de flujo convectivo pero laminar (no turbulento) sería el paso de un fluido viscoso (por ejemplo, petróleo) a través de una pequeña boquilla convergente . Dichos flujos, ya sea que tengan solución exacta o no, a menudo pueden estudiarse y comprenderse a fondo. ^[25]

Turbulencia

La turbulencia es el comportamiento caótico dependiente del tiempo que se observa en muchos flujos de fluidos. Generalmente se cree que se debe a la inercia del fluido en su conjunto: la culminación de la aceleración convectiva y dependiente del tiempo; por lo tanto, los flujos donde los efectos inerciales son pequeños tienden a ser laminares (el número de Reynolds cuantifica cuánto se ve afectado el flujo por la inercia). Se cree, aunque no se sabe con certeza, que las ecuaciones de Navier-Stokes describen la turbulencia correctamente. ^[26]

La solución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes para el flujo turbulento es extremadamente difícil y, debido a las escalas de longitud de mezcla significativamente diferentes que intervienen en el flujo turbulento, la solución estable de esto requiere una resolución de malla tan fina que el tiempo de cálculo se vuelve significativamente inviable para cálculo o simulación numérica directa . Los intentos de resolver el flujo turbulento utilizando un solucionador laminar generalmente dan como resultado una solución inestable en el tiempo, que no logra converger adecuadamente. Para contrarrestar esto, en aplicaciones prácticas de dinámica de fluidos computacional (CFD) se utilizan ecuaciones promediadas en el tiempo, como las ecuaciones de Navier-Stokes (RANS) promediadas por Reynolds , complementadas con modelos de turbulencia, al modelar flujos turbulentos. Algunos modelos incluyen los modelos Spalart-Allmaras , k – ω , k – ε y SST , que agregan una variedad de ecuaciones adicionales para cerrar las ecuaciones RANS. La simulación de grandes remolinos (LES) también se puede utilizar para resolver numéricamente estas ecuaciones. Este enfoque es computacionalmente más costoso (en tiempo y en memoria de computadora) que RANS, pero produce mejores resultados porque resuelve explícitamente las escalas turbulentas más grandes.

Aplicabilidad

Junto con ecuaciones suplementarias (por ejemplo, conservación de masa) y condiciones de contorno bien formuladas, las ecuaciones de Navier-Stokes parecen modelar con precisión el movimiento de los fluidos; Incluso los flujos turbulentos parecen (en promedio) concordar con las observaciones del mundo real.

Las ecuaciones de Navier-Stokes suponen que el fluido que se estudia es un continuo (es infinitamente divisible y no está compuesto de partículas como átomos o moléculas) y no se mueve a velocidades relativistas . A escalas muy pequeñas o en condiciones extremas, los fluidos reales formados por moléculas discretas producirán resultados diferentes a los fluidos continuos modelados por las ecuaciones de Navier-Stokes. Por ejemplo, la capilaridad de las capas internas de los fluidos aparece en flujos con gradientes elevados. ^{[27] Para} un número de Knudsen grande del problema, la ecuación de Boltzmann puede ser un reemplazo adecuado. ^[28] En caso contrario, es posible que haya que recurrir a la dinámica molecular o a diversos métodos híbridos. ^[29]

Otra limitación es simplemente la naturaleza complicada de las ecuaciones. Existen formulaciones probadas en el tiempo para familias de fluidos comunes, pero la aplicación de las ecuaciones de Navier-Stokes a familias menos comunes tiende a dar como resultado formulaciones muy complicadas y, a menudo, a problemas de investigación abiertos. Por esta razón, estas ecuaciones suelen escribirse para fluidos newtonianos donde el modelo de viscosidad es lineal ; No existen modelos verdaderamente generales para el flujo de otros tipos de fluidos (como la sangre). ^[30]

Aplicación a problemas específicos.

Las ecuaciones de Navier-Stokes, incluso cuando están escritas explícitamente para fluidos específicos, son de naturaleza bastante genérica y su aplicación adecuada a problemas específicos puede ser muy diversa. Esto se debe en parte a que existe una enorme variedad de problemas que pueden modelarse, desde tan simples como la distribución de presión estática hasta tan complicados como el flujo multifásico impulsado por la tensión superficial .

Generalmente, la aplicación a problemas específicos comienza con algunas suposiciones de flujo y la formulación de condiciones iniciales/de frontera; esto puede ir seguido de un análisis de escala para simplificar aún más el problema.

Visualización de (a) flujo paralelo y (b) flujo radial.

flujo paralelo

Suponiendo un flujo estable, paralelo, unidimensional y no convectivo impulsado por presión entre placas paralelas, el problema de valor límite escalado (adimensional) resultante es: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-1;\quad u(0)=u(1)=0.}$$

La condición de frontera es la condición de no deslizamiento . Este problema se resuelve fácilmente para el campo de flujo: $${\displaystyle u(y)={\frac {y-y^{2}}{2}}.}$$

A partir de este punto, se pueden obtener fácilmente más cantidades de interés, como la fuerza de arrastre viscosa o el caudal neto.

flujo radial

Pueden surgir dificultades cuando el problema se vuelve un poco más complicado. Una variación aparentemente modesta del flujo paralelo anterior sería el flujo radial entre placas paralelas; esto implica convección y, por tanto, no linealidad. El campo de velocidades puede representarse mediante una función f ( z ) que debe satisfacer: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+Rf^{2}=-1;\quad f(-1)=f(1)=0.}$$

Esta ecuación diferencial ordinaria es la que se obtiene cuando se escriben las ecuaciones de Navier-Stokes y se aplican los supuestos de flujo (además, se resuelve el gradiente de presión). El término no lineal hace que este sea un problema muy difícil de resolver analíticamente ( se puede encontrar una solución implícita larga que involucra integrales elípticas y raíces de polinomios cúbicos ). Surgen problemas con la existencia real de soluciones para (aproximadamente; esto no es √ 2 ), el parámetro es el número de Reynolds con escalas elegidas adecuadamente. ^[31] Este es un ejemplo de supuestos de flujo que pierden su aplicabilidad, y un ejemplo de la dificultad en los flujos con un número de Reynolds "alto". ^[31] ${\textstyle R>1.41}$ ${\textstyle R}$

Convección

Un tipo de convección natural que puede describirse mediante la ecuación de Navier-Stokes es la convección de Rayleigh-Bénard . Es uno de los fenómenos de convección más estudiados debido a su accesibilidad analítica y experimental.

Soluciones exactas de las ecuaciones de Navier-Stokes

Existen algunas soluciones exactas a las ecuaciones de Navier-Stokes. Ejemplos de casos degenerados (con los términos no lineales en las ecuaciones de Navier-Stokes iguales a cero) son el flujo de Poiseuille , el flujo de Couette y la capa límite oscilatoria de Stokes . Pero también existen ejemplos más interesantes, soluciones a las ecuaciones no lineales completas, como el flujo de Jeffery-Hamel , el flujo en remolino de Von Kármán , el flujo de punto de estancamiento , el chorro de Landau-Squire y el vórtice Taylor-Green . ^{[32] [33] [34]} Tenga en cuenta que la existencia de estas soluciones exactas no implica que sean estables: se pueden desarrollar turbulencias con números de Reynolds más altos.

Bajo suposiciones adicionales, los componentes pueden separarse. ^[35]

Un ejemplo bidimensional

Por ejemplo, en el caso de un dominio plano ilimitado con flujo bidimensional (incompresible y estacionario) en coordenadas polares ( r , φ ) , los componentes de la velocidad ( u _r , u _φ ) y la presión p son: ^[36] $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}&={\frac {A}{r}},\\u_{\varphi }&=B\left({\frac {1}{r}}-r^{{\frac {A}{\nu }}+1}\right),\\p&=-{\frac {A^{2}+B^{2}}{2r^{2}}}-{\frac {2B^{2}\nu r^{\frac {A}{\nu }}}{A}}+{\frac {B^{2}r^{\left({\frac {2A}{\nu }}+2\right)}}{{\frac {2A}{\nu }}+2}}\end{aligned}}}$$

donde A y B son constantes arbitrarias. Esta solución es válida en el dominio r ≥ 1 y para A < −2 ν .

En coordenadas cartesianas, cuando la viscosidad es cero ( ν = 0 ), esto es: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (x,y)&={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}{\begin{pmatrix}Ax+By\\Ay-Bx\end{pmatrix}},\\p(x,y)&=-{\frac {A^{2}+B^{2}}{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}}\end{aligned}}}$$

Un ejemplo tridimensional

Por ejemplo, en el caso de un dominio euclidiano ilimitado con flujo radial tridimensional (incompresible, estacionario y con viscosidad cero ( ν = 0 ), en coordenadas cartesianas ( x , y , z ) , el vector velocidad v y la presión p son : ^{[ cita necesaria ]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (x,y,z)&={\frac {A}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}},\\p(x,y,z)&=-{\frac {A^{2}}{2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}}.\end{aligned}}}$$

Hay una singularidad en x = y = z = 0 .

Una solución de vórtice tridimensional en estado estacionario

Modelo alámbrico de líneas de flujo a lo largo de una fibración de Hopf .

Un ejemplo de estado estacionario sin singularidades proviene de considerar el flujo a lo largo de la línea de una fibración de Hopf . Sea un radio constante de la bobina interior. Un conjunto de soluciones viene dado por: ^[37] ${\textstyle r}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {3B}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\\mathbf {u} (x,y,z)&={\frac {A}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}{\begin{pmatrix}2(-ry+xz)\\2(rx+yz)\\r^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{pmatrix}}\\g&=0\\\mu &=0\end{aligned}}}$$

para constantes arbitrarias y . Se trata de una solución en un gas no viscoso (fluido comprimible) cuya densidad, velocidades y presión llegan a cero lejos del origen. (Tenga en cuenta que esto no es una solución al problema de Clay Millennium porque se refiere a fluidos incompresibles donde es una constante, y tampoco aborda la unicidad de las ecuaciones de Navier-Stokes con respecto a cualquier propiedad de turbulencia ). También vale la pena señalarlo. Observe que las componentes del vector velocidad son exactamente las de la parametrización cuádruple pitagórica . Son posibles otras opciones de densidad y presión con el mismo campo de velocidades: ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle \rho }$

Otras opciones de densidad y presión.

Otra opción de presión y densidad con el mismo vector de velocidad anterior es aquella en la que la presión y la densidad caen a cero en el origen y son más altas en el circuito central en z = 0 , x ² + y ² = r ² : $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {20B\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{4}}}+{\frac {-4A^{2}B\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{5}}}.\end{aligned}}}$$

De hecho, en general existen soluciones simples para cualquier función polinómica f donde la densidad es: $${\displaystyle \rho (x,y,z)={\frac {1}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}f\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\right).}$$

Soluciones periódicas tridimensionales viscosas.

^{En [38]} se describen dos ejemplos de soluciones viscosas periódicas totalmente tridimensionales. Estas soluciones se definen en un toro tridimensional y se caracterizan por una helicidad positiva y negativa respectivamente. La solución con helicidad positiva viene dada por: donde está el número de onda y los componentes de la velocidad están normalizados de modo que la energía cinética promedio por unidad de masa sea . El campo de presión se obtiene del campo de velocidad como (donde y son valores de referencia para los campos de presión y densidad respectivamente). Dado que ambas soluciones pertenecen a la clase de flujo de Beltrami , el campo de vorticidad es paralelo a la velocidad y, para el caso de helicidad positiva, viene dado por . Estas soluciones pueden considerarse como una generalización en tres dimensiones del clásico vórtice Taylor-Green Taylor-Green bidimensional . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=[0,L]^{3}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(kx-\pi /3)\cos(ky+\pi /3)\sin(kz+\pi /2)-\cos(kz-\pi /3)\sin(kx+\pi /3)\sin(ky+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\\u_{y}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(ky-\pi /3)\cos(kz+\pi /3)\sin(kx+\pi /2)-\cos(kx-\pi /3)\sin(ky+\pi /3)\sin(kz+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\\u_{z}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(kz-\pi /3)\cos(kx+\pi /3)\sin(ky+\pi /2)-\cos(ky-\pi /3)\sin(kz+\pi /3)\sin(kx+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle k=2\pi /L}$ ${\displaystyle U_{0}^{2}/2}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle p=p_{0}-\rho _{0}\|{\boldsymbol {u}}\|^{2}/2}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \omega ={\sqrt {3}}\,k\,{\boldsymbol {u}}}$

diagramas wyld

Los diagramas de Wyld son gráficos contables que corresponden a las ecuaciones de Navier-Stokes mediante una expansión perturbativa de la mecánica del continuo fundamental . Similares a los diagramas de Feynman en la teoría cuántica de campos , estos diagramas son una extensión de la técnica de Keldysh para procesos de desequilibrio en dinámica de fluidos. En otras palabras, estos diagramas asignan gráficos a los (a menudo) fenómenos turbulentos en fluidos turbulentos al permitir que las partículas de fluido correlacionadas e interactuantes obedezcan a procesos estocásticos asociados a funciones pseudoaleatorias en distribuciones de probabilidad . ^[39]

Representaciones en 3D

Tenga en cuenta que las fórmulas de esta sección utilizan la notación de una sola línea para derivadas parciales, donde, por ejemplo, significa la derivada parcial de con respecto a y significa la derivada parcial de segundo orden de con respecto a . ${\textstyle \partial _{x}u}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle \partial _{y}^{2}f_{\theta }}$ ${\textstyle f_{\theta }}$ ${\textstyle y}$

Un artículo de 2022 proporciona una solución menos costosa, dinámica y recurrente de la ecuación de Navier-Stokes para flujos de fluidos turbulentos en 3D. En escalas de tiempo suficientemente cortas, la dinámica de la turbulencia es determinista. ^[40]

Coordenadas cartesianas

A partir de la forma general de Navier-Stokes, con el vector velocidad expandido como , a veces denominado respectivamente , , , podemos escribir la ecuación vectorial explícitamente, ${\textstyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y},u_{z})}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle w}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{x}}+u_{x}\,{\partial _{x}u_{x}}+u_{y}\,{\partial _{y}u_{x}}+u_{z}\,{\partial _{z}u_{x}}\right)\\&\quad =-\partial _{x}p+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{x}}+{\partial _{y}^{2}u_{x}}+{\partial _{z}^{2}u_{x}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{x}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{x}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}y:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{y}}+u_{x}{\partial _{x}u_{y}}+u_{y}{\partial _{y}u_{y}}+u_{z}{\partial _{z}u_{y}}\right)\\&\quad =-{\partial _{y}p}+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{y}}+{\partial _{y}^{2}u_{y}}+{\partial _{z}^{2}u_{y}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{y}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{y}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}z:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{x}{\partial _{x}u_{z}}+u_{y}{\partial _{y}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\quad =-{\partial _{z}p}+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{z}}+{\partial _{y}^{2}u_{z}}+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{z}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{z}.\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que la gravedad se ha considerado como una fuerza corporal y los valores de , , dependerán de la orientación de la gravedad con respecto al conjunto de coordenadas elegido. ${\textstyle g_{x}}$ ${\textstyle g_{y}}$ ${\textstyle g_{z}}$

La ecuación de continuidad dice: $${\displaystyle \partial _{t}\rho +\partial _{x}(\rho u_{x})+\partial _{y}(\rho u_{y})+\partial _{z}(\rho u_{z})=0.}$$

Cuando el flujo es incompresible, no cambia para ninguna partícula del fluido, y su derivada material desaparece: . La ecuación de continuidad se reduce a: ${\textstyle \rho }$ ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}=0}$ $${\displaystyle \partial _{x}u_{x}+\partial _{y}u_{y}+\partial _{z}u_{z}=0.}$$

Por tanto, para la versión incompresible de la ecuación de Navier-Stokes, la segunda parte de los términos viscosos desaparece (ver Flujo incompresible ).

Este sistema de cuatro ecuaciones comprende la forma más utilizada y estudiada. Aunque comparativamente más compacto que otras representaciones, sigue siendo un sistema no lineal de ecuaciones diferenciales parciales cuyas soluciones son difíciles de obtener.

Coordenadas cilíndricas

Un cambio de variables en las ecuaciones cartesianas producirá ^[16] las siguientes ecuaciones de momento para , y ^[41] ${\textstyle r}$ ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\partial _{z}^{2}u_{r}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+u_{z}{\partial _{z}u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }}{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\ \partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\partial _{z}^{2}u_{\varphi }}-{\frac {u_{\varphi }}{r^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{r}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}z:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{r}{\partial _{r}u_{z}}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\quad =-{\partial _{z}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{z}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{z}}+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{z}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{z}.\end{aligned}}}$$

Los componentes de la gravedad generalmente no serán constantes; sin embargo, para la mayoría de las aplicaciones, las coordenadas se eligen de manera que los componentes de la gravedad sean constantes o se supone que la gravedad es contrarrestada por un campo de presión (por ejemplo, el flujo en una tubería horizontal se trata normalmente sin gravedad y sin gradiente de presión vertical). La ecuación de continuidad es: $${\displaystyle {\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(\rho ru_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }\left(\rho u_{\varphi }\right)}+{\partial _{z}\left(\rho u_{z}\right)}=0.}$$

Esta representación cilíndrica de las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes es la segunda más común (la primera es cartesiana arriba). Las coordenadas cilíndricas se eligen para aprovechar la simetría, de modo que un componente de velocidad pueda desaparecer. Un caso muy común es el flujo axisimétrico con el supuesto de que no hay velocidad tangencial ( ), y las cantidades restantes son independientes de : ${\textstyle u_{\phi }=0}$ ${\textstyle \phi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}}\right)&=-{\partial _{r}p}+\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\partial _{z}^{2}u_{r}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}\right)+\rho g_{r}\\\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{r}{\partial _{r}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)&=-{\partial _{z}p}+\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{z}}\right)+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)+\rho g_{z}\\{\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(ru_{r}\right)+{\partial _{z}u_{z}}&=0.\end{aligned}}}$$

Coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas , las ecuaciones de momento , y son ^[16] (tenga en cuenta la convención utilizada: es ángulo polar o colatitud , ^[42] ): ${\textstyle r}$ ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle 0\leq \theta \leq \pi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{r}}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}+u_{\theta }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{r}}\right)-2{\frac {u_{r}+{\partial _{\theta }u_{\theta }}+u_{\theta }\cot \theta }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }+u_{\varphi }u_{\theta }\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\varphi }}\right)+{\frac {2\sin \theta {\partial _{\varphi }u_{r}}+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\theta }}-u_{\varphi }}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\theta }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\theta }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\theta }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\theta }}+{\frac {u_{r}u_{\theta }-u_{\varphi }^{2}\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\theta }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\theta }}\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\theta }+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\varphi }}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\theta }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\theta }.\end{aligned}}}$$

La continuidad masiva dirá: $${\displaystyle {\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(\rho r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }(\rho u_{\varphi })}+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta \rho u_{\theta }\right)=0.}$$

Estas ecuaciones podrían compactarse (ligeramente), por ejemplo, factorizando a partir de los términos viscosos. Sin embargo, hacerlo alteraría indeseablemente la estructura del laplaciano y otras cantidades. ${\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}}$

Uso de las ecuaciones de Navier-Stokes en juegos

Las ecuaciones de Navier-Stokes se utilizan ampliamente en videojuegos para modelar una amplia variedad de fenómenos naturales. Las simulaciones de fluidos gaseosos a pequeña escala, como fuego y humo, a menudo se basan en el artículo fundamental "Real-Time Fluid Dynamics for Games" ^[43] de Jos Stam , que elabora uno de los métodos propuestos en el anterior y más famoso trabajo de Stam. artículo "Stable Fluids" ^[44] de 1999. Stam propone una simulación de fluidos estables utilizando un método de solución de Navier-Stokes de 1968, junto con un esquema de advección semi-Lagrangiana incondicionalmente estable , como se propuso por primera vez en 1992.

Implementaciones más recientes basadas en este trabajo se ejecutan en la unidad de procesamiento de gráficos (GPU) del sistema de juego en lugar de en la unidad central de procesamiento (CPU) y logran un grado mucho mayor de rendimiento. ^{[45] [46]} Se han propuesto muchas mejoras al trabajo original de Stam, que sufre inherentemente una alta disipación numérica tanto en velocidad como en masa.

Se puede encontrar una introducción a la simulación interactiva de fluidos en el curso ACM SIGGRAPH 2007 , Simulación de fluidos para animación por computadora. ^[47]

Ver también

• Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant
• ecuación de Boltzmann
• Ecuación del impulso de Cauchy
• Tensor de tensión de Cauchy
• Teoría de Chapman-Enskog
• Ecuación de Churchill-Bernstein
• efecto coanda
• Dinámica de fluidos computacional
• Mecánica de Medios Continuos
• Ecuación de convección-difusión
• Derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes
• Ecuación de Einstein-Stokes
• ecuaciones de Euler
• Flujo de Hagen-Poiseuille a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes
• Problemas del Premio del Milenio
• fluido newtoniano
• Adimensionalización y escalamiento de las ecuaciones de Navier-Stokes.
• Método de corrección de presión
• Ecuaciones primitivas
• Convección de Rayleigh-Bénard
• Teorema del transporte de Reynolds
• Ecuaciones de Stokes
• Flujo supersónico sobre una placa plana.
• ecuación de vlasov

Citas

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Referencias generales

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enlaces externos

• Derivación simplificada de las ecuaciones de Navier-Stokes
• Forma inestable tridimensional de las ecuaciones de Navier-Stokes Glenn Research Center, NASA