Método de corrección de presión

El método de corrección de presión es una clase de métodos utilizados en dinámica de fluidos computacional para resolver numéricamente las ecuaciones de Navier-Stokes normalmente para flujos incompresibles .

Propiedades comunes

Las ecuaciones resueltas en este enfoque surgen de la integración temporal implícita de las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes .

${\displaystyle \overbrace {\rho {\Big (}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Unsteady}}\\{\text{acceleration}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {v} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Convective}}\\{\text{acceleration}}\end{smallmatrix}}{\Big )}} ^{\text{Inertia}}=\underbrace {-\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{Pressure}}\\{\text{gradient}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} } _{\text{Viscosity}}+\underbrace {\mathbf {f} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Other}}\\{\text{forces}}\end{smallmatrix}}}$

Debido a la no linealidad del término convectivo en la ecuación de momento escrita anteriormente, este problema se resuelve con un enfoque de bucle anidado. Si bien las llamadas iteraciones globales o internas representan los pasos de tiempo reales y se utilizan para actualizar las variables y , en función de un sistema linealizado y las condiciones de contorno, también hay un bucle externo para actualizar los coeficientes del sistema linealizado. Las iteraciones externas comprenden dos pasos: ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle p}$

1. Resuelva la ecuación de momento para una velocidad provisional basada en la velocidad y la presión del bucle exterior anterior.
2. Inserte la nueva velocidad recién obtenida en la ecuación de continuidad para obtener una corrección.

La corrección para la velocidad que se obtiene de la segunda ecuación se tiene con flujo incompresible, el criterio de no divergencia o ecuación de continuidad

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$

se calcula calculando primero un valor residual , resultante del flujo de masa espurio , y luego utilizando este desequilibrio de masa para obtener un nuevo valor de presión. El valor de presión que se intenta calcular es tal que cuando se introduce en ecuaciones de momento resulta un campo de velocidad sin divergencia. El desequilibrio de masa también se utiliza a menudo para el control del bucle externo. El nombre de esta clase de métodos se deriva del hecho de que la corrección del campo de velocidad se calcula a través del campo de presión. ${\displaystyle {\dot {m}}}$

La discretización de esto se realiza típicamente con el método de elementos finitos o con el método de volúmenes finitos . Con este último, también se puede encontrar la malla dual, es decir, la cuadrícula de cálculo obtenida al conectar los centros de las celdas que arrojó la subdivisión inicial en elementos finitos del dominio de cálculo.

Procedimientos de actualización dividida implícitos

Otro enfoque que se utiliza normalmente en FEM es el siguiente.

El objetivo del paso de corrección es asegurar la conservación de la masa . En forma continua para la masa de sustancias compresibles, la conservación de la masa se expresa por

${\displaystyle \nabla \cdot \left(\rho (\mathbf {x} )\mathbf {v} (\mathbf {x} )\right)={\frac {{\frac {d}{dt}}p(\mathbf {x} )}{c^{2}}}}$

donde es el cuadrado de la "velocidad del sonido". Para números de Mach bajos y medios incompresibles se supone que es infinita, lo que explica por qué la ecuación de continuidad anterior se reduce a ${\displaystyle c^{2}}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\end{aligned}}}$

La forma de obtener un campo de velocidad que satisfaga lo anterior es calcular una presión que, cuando se sustituye en la ecuación de momento, conduce a la corrección deseada de una velocidad intermedia calculada preliminarmente.

Aplicando el operador de divergencia a la ecuación del momento compresible se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \partial _{t}\mathbf {v} &=-\nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla \cdot \nabla ^{2}\mathbf {v} -\nabla ^{2}p\\\partial _{t}\nabla \cdot \mathbf {v} &=-\nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla ^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\nabla ^{2}p\\0&=-\nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} -\nabla ^{2}p\\\nabla ^{2}p&=-\nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} &(\ast )\end{aligned}}}$

${\displaystyle (\ast )}$Luego proporciona la ecuación que rige el cálculo de la presión.

La idea de corrección de presión también existe en el caso de densidad variable y números de Mach altos, aunque en este caso hay un significado físico real detrás del acoplamiento de la presión dinámica y la velocidad que surge de la ecuación de continuidad.

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}\rho &=\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} )\\\partial _{t}\rho &={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}p\end{aligned}}}$

${\displaystyle p}$es con compresibilidad, todavía una variable adicional que puede eliminarse con operaciones algebraicas, pero su variabilidad no es un puro artificio como en el caso compresible, y los métodos para su cálculo difieren significativamente de aquellos con ${\displaystyle \rho ={\text{constant}}.}$

Referencias

• M. Thomadakis, M. Leschziner: UN MÉTODO DE CORRECCIÓN DE PRESIÓN PARA LA SOLUCIÓN DE FLUJOS VISCOSOS INCOMPRESIBLES EN REJILLAS NO ESTRUCTURADAS, Int. Journal for Numerical Meth. in Fluids, Vol. 22, 1996
• A. Meister, J. Struckmeier: Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas, primera edición, Vieweg, 2002

Enlaces externos

• ISNaS – solucionador de flujo incompresible
• Aplicación de factores de corrección de temperatura y/o presión en la medición de gases