número de pellizco

Número natural utilizado para aproximar √2

Los lados de los cuadrados utilizados para construir una espiral plateada son los números de Pell.

En matemáticas , los números de Pell son una secuencia infinita de números enteros , conocida desde la antigüedad, que comprenden los denominadores de las aproximaciones racionales más cercanas a la raíz cuadrada de 2 . Esta secuencia de aproximaciones comienza1/1,3/2,7/5,17/12, y41/29, por lo que la secuencia de números de Pell comienza con 1, 2, 5, 12 y 29. Los numeradores de la misma secuencia de aproximaciones son la mitad de los números de Pell complementarios o los números de Pell-Lucas ; estos números forman una segunda secuencia infinita que comienza con 2, 6, 14, 34 y 82.

Tanto los números de Pell como sus compañeros pueden calcularse mediante una relación de recurrencia similar a la de los números de Fibonacci , y ambas secuencias de números crecen exponencialmente , proporcionalmente a las potencias de la proporción de plata 1 +  √ 2 . Además de usarse para aproximar la raíz cuadrada de dos, los números de Pell se pueden usar para encontrar números triangulares cuadrados , para construir aproximaciones enteras al triángulo isósceles rectángulo y para resolver ciertos problemas de enumeración combinatoria . ^[1]

Al igual que con la ecuación de Pell , el nombre de los números de Pell proviene de la atribución errónea de la ecuación y los números derivados de ella a John Pell por parte de Leonhard Euler . Los números de Pell-Lucas también llevan el nombre de Édouard Lucas , quien estudió secuencias definidas por recurrencias de este tipo; los números de Pell y sus compañeros son secuencias de Lucas .

Números de Pell

Los números de Pell están definidos por la relación de recurrencia :

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

En palabras, la secuencia de números de Pell comienza con 0 y 1, y luego cada número de Pell es la suma del doble del número de Pell anterior y del número de Pell anterior a ese. Los primeros términos de la secuencia son

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860,… (secuencia A000129 en el OEIS ).

De manera análoga a la fórmula de Binet , los números de Pell también se pueden expresar mediante la fórmula de forma cerrada

${\displaystyle P_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}$Para valores grandes de n , el término (1 + √ 2 ) ⁿ domina esta expresión, por lo que los números de Pell son aproximadamente proporcionales a las potencias de la proporción de plata 1 + √ 2 , análoga a la tasa de crecimiento de los números de Fibonacci como potencias del oro. relación .

Una tercera definición es posible, a partir de la fórmula matricial

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}$

Se pueden derivar o probar muchas identidades a partir de estas definiciones; por ejemplo, una identidad análoga a la identidad de Cassini para los números de Fibonacci,

${\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},}$

es una consecuencia inmediata de la fórmula matricial (que se encuentra considerando los determinantes de las matrices en los lados izquierdo y derecho de la fórmula matricial). ^[2]

Aproximación a la raíz cuadrada de dos

Aproximaciones racionales a octágonos regulares , con coordenadas derivadas de los números de Pell.

Los números de Pell surgen históricamente y más notablemente en la aproximación racional a √ 2 . Si dos números enteros grandes xey forman una solución a la ecuación de Pell

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}$

entonces su proporciónX/yproporciona una aproximación cercana a √ 2 . La secuencia de aproximaciones de esta forma es

${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }$

donde el denominador de cada fracción es un número de Pell y el numerador es la suma de un número de Pell y su predecesor en la secuencia. Es decir, las soluciones tienen la forma.

${\displaystyle {\frac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}.}$

la aproximación

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}$

Los matemáticos indios conocían este tipo de objetos en el siglo III o IV a.C. ^[3] Los matemáticos griegos del siglo V a. C. también conocían esta secuencia de aproximaciones: ^[4] Platón se refiere a los numeradores como diámetros racionales . ^[5] En el siglo II d.C., Teón de Esmirna utilizó el término números de lados y diámetros para describir los denominadores y numeradores de esta secuencia. ^[6]

Estas aproximaciones se pueden derivar de la expansión fraccionaria continua de : ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.}$

Truncar esta expansión a cualquier número de términos produce una de las aproximaciones basadas en el número de Pell en esta secuencia; por ejemplo,

${\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.}$

Como describe Knuth (1994), el hecho de que los números de Pell se aproximan a √ 2 permite que se utilicen para aproximaciones racionales precisas a un octágono regular con coordenadas de vértice (±  P _i , ±  P _{i  +1} ) y (±  P _{i  +1} , ±  Pi ₎ .  _ Todos los vértices están igualmente distantes del origen y forman ángulos casi uniformes alrededor del origen. Alternativamente, los puntos , y forman octágonos aproximados en los que los vértices están casi a la misma distancia del origen y forman ángulos uniformes. ${\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)}$ ${\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))}$ ${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})}$

Primos y cuadrados

Un número primo de Pell es un número de Pell que es primo . Los primeros números primos de Pell son

2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, ... (secuencia A086383 en la OEIS ).

Los índices de estos números primos dentro de la secuencia de todos los números de Pell son

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, .. (secuencia A096650 en la OEIS )

Todos estos índices son primos en sí mismos. Al igual que con los números de Fibonacci, un número de Pell P _n sólo puede ser primo si n en sí es primo, porque si d es divisor de n , entonces P _d es divisor de P _n .

Los únicos números de Pell que son cuadrados , cubos o cualquier potencia superior de un número entero son 0, 1 y 169 = 13 ² . ^[7]

Sin embargo, a pesar de tener tan pocos cuadrados u otras potencias, los números de Pell tienen una estrecha conexión con los números triangulares cuadrados . ^[8] Específicamente, estos números surgen de la siguiente identidad de los números Pell:

${\displaystyle {\bigl (}\left(P_{k-1}+P_{k}\right)\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}\cdot \left(\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}$

El lado izquierdo de esta identidad describe un número cuadrado, mientras que el lado derecho describe un número triangular , por lo que el resultado es un número triangular cuadrado.

Falcón y Díaz-Barrero (2006) demostraron otra identidad relacionando los números de Pell con cuadrados y mostrando que la suma de los números de Pell hasta P _{4 n  +1} es siempre un cuadrado:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{\!2}=\left(P_{2n}+P_{2n+1}\right)^{2}.}$

Por ejemplo, la suma de los números de Pell hasta P ₅ , 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49 , es el cuadrado de P ₂ + P ₃ = 2 + 5 = 7 . Los números P _{2 n} + P _{2 n  +1} que forman las raíces cuadradas de estas sumas,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321,… (secuencia A002315 en el OEIS ),

se conocen como números de Newman-Shanks-Williams (NSW) .

Triples pitagóricos

Triángulos rectángulos enteros con catetos casi iguales, derivados de los números de Pell.

Si un triángulo rectángulo tiene longitudes de lados enteras a , b , c (que necesariamente satisfacen el teorema de Pitágoras a ² + b ² = c ² ), entonces ( a , b , c ) se conoce como tripleta de Pitágoras . Como describe Martin (1875), los números de Pell se pueden utilizar para formar ternas pitagóricas en las que a y b están separados por una unidad, lo que corresponde a triángulos rectángulos que son casi isósceles. Cada uno de estos triples tiene la forma.

${\displaystyle \left(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}\right).}$

La secuencia de ternas pitagóricas formadas de esta manera es

(4,3,5), (20,21,29), (120.119.169), (696.697.985),…

Números de Pell-Lucas

Los números de Pell complementarios o números de Pell-Lucas se definen por la relación de recurrencia

${\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\2&{\mbox{if }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

En palabras: los dos primeros números de la secuencia son ambos 2, y cada número sucesivo se forma sumando el doble del número de Pell-Lucas anterior al número de Pell-Lucas anterior, o de manera equivalente, sumando el siguiente número de Pell al anterior. Número de Pell: por lo tanto, 82 es el compañero de 29, y 82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12. Los primeros términos de la secuencia son (secuencia A002203 en el OEIS ): 2 , 2, 6 , 14 , 34 , 82 , 198, 478 , ...

Como la relación entre los números de Fibonacci y los números de Lucas ,

${\displaystyle Q_{n}={\frac {P_{2n}}{P_{n}}}}$

para todos los números naturales n .

Los números de Pell complementarios se pueden expresar mediante la fórmula de forma cerrada

${\displaystyle Q_{n}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}.}$

Todos estos números son pares ; cada uno de esos números es el doble del numerador en una de las aproximaciones racionales analizadas anteriormente. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Como la secuencia de Lucas, si un número de Pell-Lucas1/2Q _n es primo, es necesario que n sea primo o una potencia de 2 . Los primos de Pell-Lucas son

3, 7, 17, 41, 239, 577,… (secuencia A086395 en la OEIS ).

Para estos n son

2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421,… (secuencia A099088 en la OEIS ).

Cálculos y conexiones.

La siguiente tabla proporciona las primeras potencias de la proporción de plata δ = δ _S = 1 +  √ 2 y su conjugado δ = 1 −  √ 2 .

Los coeficientes son los números de Pell semicompañeros H _n y los números de Pell P _n que son las soluciones (no negativas) de H ² − 2 P ² = ±1 . Un número triangular cuadrado es un número.

${\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2},}$

que es tanto el t -ésimo número triangular como el s -ésimo número cuadrado. Una tripleta pitagórica casi isósceles es una solución entera de a ² + b ² = c ² donde a + 1 = b .

La siguiente tabla muestra que dividir el número impar H _n en mitades casi iguales da un número triangular cuadrado cuando n es par y un triple pitagórico casi isósceles cuando n es impar. Todas las soluciones surgen de esta manera.

Definiciones

Los números de Pell semicompañeros H _n y los números de Pell P _n se pueden derivar de varias formas fácilmente equivalentes.

Elevando a poderes

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.}$

De esto se deduce que existen formas cerradas :

${\displaystyle H_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}$

y

${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}$

recurrencias emparejadas

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+2P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Fórmulas de recurrencia recíproca

Sea n al menos 2.

${\displaystyle H_{n}=(3P_{n}-P_{n-2})/2=3P_{n-1}+P_{n-2};}$

${\displaystyle P_{n}=(3H_{n}-H_{n-2})/4=(3H_{n-1}+H_{n-2})/2.}$

Formulaciones matriciales

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.}$

Aproximaciones

La diferencia entre H _n y P _n √ 2 es

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}\approx (-0.41421)^{n},}$

que va rápidamente a cero. Entonces

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

está muy cerca de 2 H _n .

De esta última observación se deduce que las razones enterash _norte/p _norteacercarse rápidamente a √ 2 ; yh _norte/H _{norte  −1}yp _norte/pag _{norte  −1}acercarse rápidamente a 1 +  √ 2 .

H   2  − 2 P   2  = ±1

Como √ 2 es irracional, no podemos tenerh/PAG =  √ 2 , es decir,

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}.}$

Lo mejor que podemos lograr es

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}.}$

Las soluciones (no negativas) de H ² − 2 P ² = 1 son exactamente los pares ( H _n , P _n ) con n par, y las soluciones de H ² − 2 P ² = −1 son exactamente los pares ( H _n , P _n ) con n impar. Para ver esto, tenga en cuenta primero que

${\displaystyle H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=\left(H_{n}+2P_{n}\right)^{2}-2\left(H_{n}+P_{n}\right)^{2}=-\left(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2}\right),}$

de modo que estas diferencias, comenzando con H²
₀− 2 P.²
₀= 1 , son alternativamente 1 y −1. Luego observe que toda solución positiva proviene de esta manera de una solución con números enteros más pequeños ya que

${\displaystyle (2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-\left(H^{2}-2P^{2}\right).}$

La solución más pequeña también tiene números enteros positivos, con la única excepción: H = P = 1 que proviene de H ₀  = 1 y P ₀  = 0.

Números triangulares cuadrados

La ecuación requerida

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$

es equivalente a lo cual se convierte en H ² = 2 P ² + 1 con las sustituciones H  = 2 t  + 1 y P  = 2 s . Por lo tanto, la n -ésima solución es ${\displaystyle 4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1,}$

${\displaystyle t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}\quad {\mbox{and}}\quad s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}.}$

Observe que t y t  + 1 son primos relativos, de modo quet  ( t  +1)/2 =  s ² ocurre exactamente cuando son números enteros adyacentes, uno un cuadrado H ² y el otro dos veces un cuadrado 2 P ² . Como conocemos todas las soluciones de esa ecuación, también tenemos

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}};\\H_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd.}}\end{cases}}}$

y ${\displaystyle s_{n}=H_{n}P_{n}.}$

Esta expresión alternativa se ve en la siguiente tabla.

Triples pitagóricos

La igualdad c ² = a ² + ( a + 1 ) ² = 2 a ² + 2 a + 1 se da exactamente cuando 2 c ² = 4 a ² + 4 a + 2 que se convierte en 2 P ² = H ² + 1 con la sustituciones H = 2 a + 1 y P = c . Por lo tanto, la n -ésima solución es a _n =H _{2 norte  +1} - 1/2y c _norte = P _{2 norte  +1} .

La tabla anterior muestra que, en un orden u otro, a _n y b _n = a _n + 1 son H _n  H _{n  +1} y 2 P _n  P _{n  +1} mientras que c _n = H _{n  +1}  P _n + P _{norte  +1}  H _norte .

Notas

1. Por ejemplo, Sellers (2002) demuestra que el número de coincidencias perfectas en el producto cartesiano de un gráfico de ruta y el gráfico K ₄  -  e se puede calcular como el producto de un número de Pell con el número de Fibonacci correspondiente.
2. Para conocer la fórmula matricial y sus consecuencias, consulte Ercolano (1979) y Kilic y Tasci (2005). Horadam (1971) y Bicknell (1975) enumeran identidades adicionales para los números de Pell.
3. Según lo registrado en los Shulba Sutras ; véase, por ejemplo, Dutka (1986), quien cita a Thibaut (1875) para obtener esta información.
4. Véase Knorr (1976) para la fecha del siglo V, que coincide con la afirmación de Proclo de que los números de lados y diámetros fueron descubiertos por los pitagóricos . Para una exploración más detallada del conocimiento griego posterior de estos números, véase Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998) y Filep (1999).
5. Por ejemplo, como observan varias de las referencias de la nota anterior, en La República de Platón hay una referencia al "diámetro racional de 5", con lo que Platón quiere decir 7, el numerador de la aproximación.7/5del cual 5 es el denominador.
6. Heath, Sir Thomas Little (1921), Historia de las matemáticas griegas: de Tales a Euclides, Publicaciones Courier Dover, p. 112, ISBN 9780486240732.
7. Pethő (1992); Cohn (1996). Aunque los números de Fibonacci se definen por una recurrencia muy similar a los números de Pell, Cohn escribe que un resultado análogo para los números de Fibonacci parece mucho más difícil de probar. (Sin embargo, esto fue demostrado en 2006 por Bugeaud et al.)
8. Sesskin (1962). Consulte el artículo sobre números triangulares cuadrados para obtener una derivación más detallada.

Referencias

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enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número Pell". MundoMatemático .
• Secuencia OEIS A001333 (Numeradores de fracciones continuas convergentes a sqrt(2)): los numeradores de la misma secuencia de aproximaciones