Número entero que es a la vez cuadrado perfecto y triangular
Número triangular cuadrado 36 representado como un número triangular y como un número cuadrado.
En matemáticas , un número triangular cuadrado (o número cuadrado triangular ) es un número que es a la vez un número triangular y un número cuadrado . Hay infinitos números triangulares cuadrados; los primeros son:
Escribe para el número triangular cuadrado y escribe y para los lados del cuadrado y triángulo correspondientes, de modo que
Defina la raíz triangular de un número triangular como . A partir de esta definición y la fórmula cuadrática,
Por tanto, es triangular ( es un número entero) si y sólo si es cuadrado. En consecuencia, un número cuadrado también es triangular si y sólo si es cuadrado, es decir, hay números y tales que . Este es un ejemplo de la ecuación de Pell con . Todas las ecuaciones de Pell tienen la solución trivial para cualquiera ; esto se llama solución cero y se indexa como . Si denota la enésima solución no trivial de cualquier ecuación de Pell para un determinado , se puede demostrar mediante el método de descendencia que la siguiente solución es
Por lo tanto, hay infinitas soluciones para cualquier ecuación de Pell para la cual hay una no trivial, que es verdadera siempre que no sea un cuadrado. La primera solución no trivial cuando es fácil de encontrar: es . Una solución a la ecuación de Pell produce un número triangular cuadrado y sus raíces cuadradas y triangulares de la siguiente manera:
Por lo tanto, el primer número triangular cuadrado, derivado de , es , y el siguiente, derivado de , es .
Las secuencias , y son las secuencias OEIS OEIS :A001110 , OEIS :A001109 y OEIS :A001108 respectivamente.
En 1778, Leonhard Euler determinó la fórmula explícita [1] [2] : 12–13
Otras fórmulas equivalentes (obtenidas al expandir esta fórmula) que pueden ser convenientes incluyen
Las fórmulas explícitas correspondientes para y son: [2] : 13
Relaciones de recurrencia
Existen relaciones de recurrencia para los números triangulares cuadrados, así como para los lados del cuadrado y del triángulo involucrados. Tenemos [3] : (12)
AV Sylwester dio una breve demostración de que hay infinitos números triangulares cuadrados: Si el enésimo número triangular es cuadrado, entonces también lo es el enésimo número triangular mayor, ya que:
El lado izquierdo de esta ecuación tiene la forma de un número triangular y, como producto de tres cuadrados, el lado derecho es un cuadrado. [5]
^ a b C Euler, Leonhard (1813). "Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (Una regla fácil para los problemas diofánticos que deben resolverse rápidamente mediante números enteros)". Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg (en latín). 4 : 3–17 . Consultado el 11 de mayo de 2009 . Según los registros, fue presentado a la Academia de San Petersburgo el 4 de mayo de 1778.
^ Pietenpol, JL; Sylwester, AV; Justo, Erwin; Warten, RM (febrero de 1962). "Problemas elementales y soluciones: E 1473, Números triangulares cuadrados". Mensual Matemático Estadounidense . 69 (2). Asociación Matemática de América: 168–169. doi :10.2307/2312558. ISSN 0002-9890. JSTOR 2312558.
^ Plouffe, Simon (agosto de 1992). "1031 Funciones generadoras" (PDF) . Universidad de Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique. pag. A.129. Archivado desde el original (PDF) el 20 de agosto de 2012 . Consultado el 11 de mayo de 2009 .
enlaces externos
Números triangulares que también son cuadrados al cortar el nudo