Representación del oscilador

Teoría de la representación del grupo simpléctico.

En matemáticas , la representación del oscilador es una representación unitaria proyectiva del grupo simpléctico , investigada por primera vez por Irving Segal , David Shale y André Weil . Una extensión natural de la representación conduce a un semigrupo de operadores de contracción , introducido como semigrupo oscilador por Roger Howe en 1988. El semigrupo había sido estudiado previamente por otros matemáticos y físicos, sobre todo Felix Berezin en los años 1960. El ejemplo más simple en una dimensión lo da SU(1,1) . Actúa como transformaciones de Möbius en el plano complejo extendido , dejando invariante el círculo unitario . En ese caso la representación del oscilador es una representación unitaria de una doble cobertura de SU(1,1) y el semigrupo del oscilador corresponde a una representación por operadores de contracción del semigrupo en SL(2, C ) correspondiente a transformaciones de Möbius que toman la unidad disco sobre sí mismo.

Los operadores de contracción, determinados sólo hasta un signo, tienen núcleos que son funciones gaussianas . En un nivel infinitesimal , el semigrupo se describe mediante un cono en el álgebra de Lie de SU(1,1) que puede identificarse con un cono de luz . El mismo marco se generaliza al grupo simpléctico en dimensiones superiores, incluido su análogo en dimensiones infinitas. Este artículo explica la teoría de SU(1,1) en detalle y resume cómo se puede ampliar la teoría.

Panorama historico

La formulación matemática de la mecánica cuántica por Werner Heisenberg y Erwin Schrödinger fue originalmente en términos de operadores autoadjuntos ilimitados en un espacio de Hilbert . Los operadores fundamentales correspondientes a la posición y al momento satisfacen las relaciones de conmutación de Heisenberg . Los polinomios cuadráticos en estos operadores, que incluyen el oscilador armónico , también están cerrados al tomar conmutadores.

En las décadas de 1920 y 1930 se desarrolló una gran cantidad de teoría de operadores para proporcionar una base rigurosa para la mecánica cuántica. Parte de la teoría se formuló en términos de grupos unitarios de operadores, en gran parte a través de las contribuciones de Hermann Weyl , Marshall Stone y John von Neumann . A su vez, estos resultados en física matemática se incluyeron en el análisis matemático, comenzando con las notas de clase de 1933 de Norbert Wiener , quien utilizó el núcleo de calor del oscilador armónico para derivar las propiedades de la transformada de Fourier .

La unicidad de las relaciones de conmutación de Heisenberg, tal como se formula en el teorema de Stone-von Neumann , fue interpretada más tarde dentro de la teoría de la representación de grupos , en particular la teoría de las representaciones inducidas iniciada por George Mackey . Los operadores cuadráticos se entendieron en términos de una representación unitaria proyectiva del grupo SU(1,1) y su álgebra de Lie . Irving Segal y David Shale generalizaron esta construcción al grupo simpléctico en dimensiones finitas e infinitas; en física, esto a menudo se denomina cuantificación bosónica : se construye como el álgebra simétrica de un espacio de dimensiones infinitas. Segal y Shale también han tratado el caso de la cuantificación fermiónica , que se construye como el álgebra exterior de un espacio de Hilbert de dimensión infinita. En el caso especial de la teoría de campos conforme en 1+1 dimensiones, las dos versiones se vuelven equivalentes a través de la llamada "correspondencia bosón-fermión". Esto no sólo se aplica en el análisis donde hay operadores unitarios entre espacios de Hilbert bosónicos y fermiónicos, sino también en la teoría matemática de las álgebras de operadores de vértices . Los propios operadores de vértices surgieron originalmente a finales de los años 1960 en la física teórica , particularmente en la teoría de cuerdas .

Más tarde, André Weil amplió la construcción a grupos de Lie p-ádicos , mostrando cómo las ideas podrían aplicarse en la teoría de números , en particular para dar una explicación teórica de grupos de las funciones theta y la reciprocidad cuadrática . Varios físicos y matemáticos observaron que los operadores del núcleo de calor correspondientes al oscilador armónico estaban asociados a una complejización de SU(1,1): no se trataba de la totalidad de SL(2, C ), sino de un semigrupo complejo definido por una geometría natural. condición. La teoría de la representación de este semigrupo, y sus generalizaciones en dimensiones finitas e infinitas, tiene aplicaciones tanto en matemáticas como en física teórica. ^[1]

Semigrupos en SL(2,C)

El grupo:

${\displaystyle G=\operatorname {SU} (1,1)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\right||\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1\right\},}$

es un subgrupo de G _c = SL(2, C ), el grupo de matrices complejas de 2 × 2 con determinante 1. Si G ₁ = SL(2, R ) entonces

${\displaystyle G=CG_{1}C^{-1},\qquad C={\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}.}$

Esto se deduce ya que la transformación de Möbius correspondiente es la transformada de Cayley que lleva el semiplano superior al disco unitario y la línea real al círculo unitario.

El grupo SL(2, R ) se genera como un grupo abstracto por

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

y el subgrupo de matrices triangulares inferiores

${\displaystyle \left\{\left.{\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}}\right|a,b\in \mathbf {R} ,a>0\right\}.}$

De hecho, la órbita del vector

${\displaystyle v={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

bajo el subgrupo generado por estas matrices se ve fácilmente que está el conjunto de R ² y el estabilizador de v en G ₁ se encuentra dentro de este subgrupo.

El álgebra de Lie de SU(1,1) consta de matrices ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ix&w\\{\overline {w}}&-ix\end{pmatrix}},\quad x\in \mathbf {R} .}$

El automorfismo σ del período 2 de G _c

${\displaystyle \sigma (g)=M{\overline {g}}M^{-1},}$

con

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},}$

tiene el subgrupo de punto fijo G desde

${\displaystyle \sigma {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\overline {d}}&{\overline {c}}\\{\overline {b}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}.}$

De manera similar, la misma fórmula define un automorfismo del período dos σ del álgebra de Lie de G _c , las matrices complejas con traza cero. Una base estándar de más de C viene dada por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{c}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{c}}$

${\displaystyle L_{0}={\begin{pmatrix}{1 \over 2}&0\\0&-{1 \over 2}\end{pmatrix}},\quad L_{-1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad L_{1}={\begin{pmatrix}0&0\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

Así, para −1 ≤ m , n ≤ 1

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}.}$

Hay una descomposición de suma directa.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{c}={\mathfrak {g}}\oplus i{\mathfrak {g}},}$

donde está el espacio propio +1 de σ y el espacio propio –1. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle i{\mathfrak {g}}}$

Las matrices X en tienen la forma ${\displaystyle i{\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x&w\\-{\overline {w}}&-x\end{pmatrix}}.}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle -\det X=x^{2}-|w|^{2}.}$

El cono C in está definido por dos condiciones. La primera es que, por definición , esta condición se conserva bajo la conjugación por G. Dado que G es conexo, deja invariantes los dos componentes con x > 0 y x < 0. La segunda condición es ${\displaystyle i{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \det X<0.}$ ${\displaystyle x<0.}$

El grupo G ^c actúa mediante transformaciones de Möbius en el plano complejo extendido. El subgrupo G actúa como automorfismos del disco unitario D. Un semigrupo H de G ^c , considerado por primera vez por Olshanskii (1981), puede definirse mediante la condición geométrica:

${\displaystyle g({\overline {D}})\subset D.}$

El semigrupo se puede describir explícitamente en términos del cono C : ^[2]

${\displaystyle H=G\cdot \exp(C)=\exp(C)\cdot G.}$

De hecho la matriz X puede ser conjugada por un elemento de G a la matriz

${\displaystyle Y={\begin{pmatrix}-y&0\\0&y\end{pmatrix}}}$

con

${\displaystyle y={\sqrt {x^{2}-|w|^{2}}}>0.}$

Dado que la transformación de Möbius correspondiente a exp Y envía z a e ^{−2 y} z , se deduce que el lado derecho se encuentra en el semigrupo. Por el contrario, si g está en H , lleva el disco unitario cerrado a un disco cerrado más pequeño en su interior. Conjugando por un elemento de G , se puede considerar que el disco más pequeño tiene centro 0. Pero luego, para y apropiado , el elemento lleva D sobre sí mismo , por lo que se encuentra en G. ${\displaystyle e^{-Y}g}$

Un argumento similar muestra que la clausura de H , también un semigrupo, viene dada por

${\displaystyle {\overline {H}}=\{g\in \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )|gD\subseteq D\}=G\cdot \exp {\overline {C}}=\exp {\overline {C}}\cdot G.}$

De la afirmación anterior sobre la conjugación, se deduce que

${\displaystyle H=GA_{+}G,}$

dónde

${\displaystyle A_{+}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{-y}&0\\0&e^{y}\end{pmatrix}}\right|y>0\right\}.}$

Si

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in H}$

entonces

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\overline {a}}&{\overline {b}}\\{\overline {c}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}a&-c\\-b&d\end{pmatrix}}\in H,}$

ya que este último se obtiene tomando la transpuesta y conjugando por la matriz diagonal con entradas ±1. Por lo tanto H también contiene

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\overline {a}}&-{\overline {c}}\\-{\overline {b}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}}.}$

lo que da la matriz inversa si la matriz original se encuentra en SU(1,1).

Un resultado adicional sobre la conjugación se sigue al observar que cada elemento de H debe fijar un punto en D , que por conjugación con un elemento de G puede tomarse como 0. Entonces el elemento de H tiene la forma

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}},\qquad |a|<1\quad {\text{and}}\quad |b|<|a|^{-1}-|a|.}$

El conjunto de tales matrices triangulares inferiores forma un subsemigrupo H ₀ de H .

Desde

${\displaystyle M{\begin{pmatrix}x&0\\0&x^{-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x&0\\ba^{-1}(x-x^{-1})&x^{-1}\end{pmatrix}}M,}$

cada matriz en H ₀ está conjugada a una matriz diagonal por una matriz M en H ₀ .

De manera similar, cada semigrupo de un parámetro S ( t ) en H fija el mismo punto en D, por lo que se conjuga mediante un elemento de G a un semigrupo de un parámetro en H ₀ .

Se deduce que existe una matriz M en H ₀ tal que

${\displaystyle MS(t)=S_{0}(t)M,}$

con S ₀ ( t ) diagonal. De manera similar, existe una matriz N en H ₀ tal que

${\displaystyle S(t)N=NS_{0}(t),}$

El semigrupo H ₀ genera el subgrupo L de matrices triangulares inferiores complejas con determinante 1 (dado por la fórmula anterior con a ≠ 0). Su álgebra de Lie consta de matrices de la forma

${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}z&0\\w&-z\end{pmatrix}}.}$

En particular, el semigrupo de un parámetro exp tZ se encuentra en H ₀ para todo t > 0 si y sólo si y ${\displaystyle \Re z<0}$ ${\displaystyle |\Re z|>{\tfrac {1}{2}}|w|.}$

Esto se desprende del criterio para H o directamente de la fórmula

${\displaystyle \exp Z={\begin{pmatrix}e^{z}&0\\f(z)w&e^{-z}\end{pmatrix}},\qquad f(z)={\sinh z \over z}.}$

Se sabe que el mapa exponencial no es sobreyectivo en este caso, aunque lo sea en todo el grupo L. Esto se debe a que la operación de elevar al cuadrado no es sobreyectiva en H. De hecho, dado que el cuadrado de un elemento fija 0 sólo si el elemento original fija 0, basta demostrarlo en H ₀ . Tome α con |α| < 1 y

${\displaystyle \left|\alpha +\alpha ^{-1}\right|<|\alpha |+|\alpha ^{-1}|.}$

Si a = α ² y

${\displaystyle b=(1-\delta )(|a|^{-1}-|a|),}$

con

${\displaystyle (1-\delta )^{2}={|\alpha +\alpha ^{-1}| \over |\alpha |+|\alpha ^{-1}|},}$

entonces la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}}}$

no tiene raíz cuadrada en H ₀ . Para una raíz cuadrada tendría la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &0\\\beta &\alpha ^{-1}\end{pmatrix}}.}$

Por otro lado,

${\displaystyle |\beta |={b \over |\alpha +\alpha ^{-1}|}={|\alpha |^{-1}-|\alpha | \over 1-\delta }>|\alpha |^{-1}-|\alpha |.}$

El semigrupo cerrado es máximo en SL(2, C ): cualquier semigrupo mayor debe ser el conjunto de SL(2, C ). ^{[3] [4] [5] [6] [7]} ${\displaystyle {\overline {H}}}$

Utilizando cálculos motivados por la física teórica, Ferrara et al. (1973) introdujeron el semigrupo , definido a través de un conjunto de desigualdades. Sin identificación como semigrupo de compresión, establecieron la maximalidad de . Usando la definición como semigrupo de compresión, la maximalidad se reduce a verificar qué sucede al agregar una nueva transformación fraccionaria a . La idea de la prueba depende de considerar las posiciones de los dos discos y . En los casos clave, o un disco contiene al otro o están separados. En los casos más simples, es lo inverso de una transformación de escala o . En cualquier caso y generar una vecindad abierta de 1 y por tanto la totalidad de SL(2,C) ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle g(D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(z)=-1/z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle H}$

Posteriormente, Lawson (1998) dio otra forma más directa de demostrar la maximalidad mostrando primero que hay una g en S que envía D al disco D ^c , | z | > 1. De hecho, si entonces hay un pequeño disco D ₁ en D tal que xD ₁ se encuentra en D ^c . Entonces, para algunos h en H , D ₁ = hD . De manera similar yxD ₁ = D ^c para alguna y en H . Entonces g = yxh se encuentra en S y envía D a D ^c . De ello se deduce que g ² fija el disco unitario D de modo que se encuentra en SU(1,1). Entonces g ⁻¹ se encuentra en S . Si t se encuentra en H , entonces tgD contiene gD . Por lo tanto , entonces t ⁻¹ se encuentra en S y, por lo tanto, S contiene una vecindad abierta de 1. Por lo tanto, S = SL(2, C ). ${\displaystyle x\in S\setminus {\overline {H}},}$ ${\displaystyle g^{-1}t^{-1}g\in {\overline {H}}.}$

Exactamente el mismo argumento funciona para las transformaciones de Möbius en R ⁿ y el semigrupo abierto tomando la esfera unitaria cerrada || x || ≤ 1 en la esfera unitaria abierta || x || < 1. La clausura es un semigrupo propio máximo en el grupo de todas las transformaciones de Möbius. Cuando n = 1, el cierre corresponde a transformaciones de Möbius de la recta real tomando el intervalo cerrado [–1,1] en sí mismo. ^[8]

El semigrupo H y su cierre tienen otra parte de la estructura heredada de G , a saber, la inversión en G se extiende a un antiautomorfismo de H y su cierre, que fija los elementos en exp C y su cierre. Para

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

el antiautomorfismo está dado por

${\displaystyle g^{+}={\begin{pmatrix}{\overline {a}}&-{\overline {c}}\\-{\overline {b}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}}}$

y se extiende a un antiautomorfismo de SL(2, C ).

Del mismo modo, el antiautomorfismo

${\displaystyle g^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\overline {d}}&-{\overline {b}}\\-{\overline {c}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}}$

deja G ₁ invariante y fija los elementos en exp C ₁ y su cierre, por lo que tiene propiedades análogas para el semigrupo en G ₁ .

Relaciones de conmutación de Heisenberg y Weyl.

Sea el espacio de funciones de Schwartz en R . Es denso en el espacio de Hilbert L ² ( R ) de funciones integrables al cuadrado en R . Siguiendo la terminología de la mecánica cuántica , el operador de "momento" P y el operador de "posición" Q se definen por ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle Pf(x)=if'(x),\qquad Qf(x)=xf(x).}$

Allí los operadores satisfacen la relación de conmutación de Heisenberg.

${\displaystyle PQ-QP=iI.}$

Tanto P como Q son autoadjuntos para el producto interno heredado de L ² ( R ). ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Se pueden definir dos grupos unitarios de un parámetro U ( s ) y V ( t ) en y L ² ( R ) mediante ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle U(s)f(x)=f(x-s),\qquad V(t)f(x)=e^{ixt}f(x).}$

Por definición

${\displaystyle {d \over ds}U(s)f=iPU(s)f,\qquad {d \over dt}V(t)f=iQV(t)f}$

para , para que formalmente ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle U(s)=e^{iPs},\qquad V(t)=e^{iQt}.}$

De la definición se desprende inmediatamente que los grupos de parámetros U y V satisfacen la relación de conmutación de Weyl.

${\displaystyle U(s)V(t)=e^{-ist}V(t)U(s).}$

La realización de U y V en L ² ( R ) se denomina representación de Schrödinger .

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier está definida por ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }\,dx.}$

Define un mapa continuo de sí mismo por su topología natural. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

La integración del contorno muestra que la función

${\displaystyle H_{0}(x)={e^{-x^{2}/2} \over {\sqrt {2\pi }}}}$

es su propia transformada de Fourier.

Por otro lado, integrando por partes o diferenciando bajo la integral,

${\displaystyle {\widehat {Pf}}=-Q{\widehat {f}},\qquad {\widehat {Qf}}=P{\widehat {f}}.}$

De ello se deduce que el operador definido por ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle Tf(x)={\widehat {\widehat {f}}}(-x)}$

conmuta con Q (y P ). Por otro lado,

${\displaystyle TH_{0}=H_{0}}$

y desde

${\displaystyle g(x)={f(x)-f(a)H_{0}(x)/H_{0}(a) \over x-a}}$

radica en , se deduce que ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle T(x-a)g|_{x=a}=(x-a)Tg|_{x=a}=0}$

y por lo tanto

${\displaystyle Tf(a)=f(a).}$

Esto implica la fórmula de inversión de Fourier :

${\displaystyle f(x)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )e^{ix\xi }\,d\xi }$

y muestra que la transformada de Fourier es un isomorfismo de sobre sí mismo. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Por el teorema de Fubini

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\widehat {g}}(x)\,dx={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\iint f(x)g(\xi )e^{-ix\xi }\,dxd\xi =\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )g(\xi )\,d\xi .}$

Cuando se combina con la fórmula de inversión, esto implica que la transformada de Fourier preserva el producto interno.

${\displaystyle \left({\widehat {f}},{\widehat {g}}\right)=(f,g)}$

así define una isometría de sobre sí mismo. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Por densidad se extiende a un operador unitario en L ² ( R ), como lo afirma el teorema de Plancherel .

Teorema de Stone-von Neumann

Supongamos que U ( s ) y V ( t ) son grupos unitarios de un parámetro en un espacio de Hilbert que satisfacen las relaciones de conmutación de Weyl. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle U(s)V(t)=e^{-ist}V(t)U(s).}$

Para dejar ^{[10] [11]} ${\displaystyle F(s,t)\in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} \times \mathbf {R} ),}$

${\displaystyle F^{\vee }(x,y)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(t,y)e^{-itx}\,dt}$

y definir un operador acotado por ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle T(F)=\iint F^{\vee }(x,x+y)U(x)V(y)\,dxdy.}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}T(F)T(G)&=T(F\star G)\\T(F)^{*}&=T(F^{*})\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}(F\star G)(x,y)&=\int F(x,z)G(z,y)\,dz\\F^{*}(x,y)&={\overline {F(y,x)}}\end{aligned}}}$

Los operadores T ( F ) tienen una importante propiedad de no degeneración : el tramo lineal de todos los vectores T ( F ) ξ es denso en . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

De hecho, si fds y gdt definen medidas de probabilidad con soporte compacto, entonces los operadores difamados

${\displaystyle U(f)=\int U(s)f(s)\,ds,\qquad V(g)=\int V(t)g(t)\,dt}$

satisfacer

${\displaystyle \|U(f)\|,\|V(g)\|\leq 1}$

y converger en la topología de operador fuerte al operador de identidad si los soportes de las medidas disminuyen a 0.

Dado que U ( f ) V ( g ) tiene la forma T ( F ), se sigue la no degeneración.

Cuando la representación de Schrödinger está en L ² ( R ), el operador T ( F ) viene dado por ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle T(F)f(x)=\int F(x,y)f(y)\,dy.}$

De esta fórmula se deduce que U y V actúan conjuntamente de manera irreductible sobre la representación de Schrödinger, ya que esto es cierto para los operadores dados por núcleos que son funciones de Schwartz. Una descripción concreta la proporciona Transformaciones canónicas lineales .

Por el contrario, dada una representación de las relaciones de conmutación de Weyl en , da lugar a una representación no degenerada del *-álgebra de los operadores del núcleo. Pero todas esas representaciones están en una suma directa ortogonal de copias de L ² ( R ) con la acción en cada copia como se indicó anteriormente. Esta es una generalización sencilla del hecho elemental de que las representaciones de las matrices N × N son sumas directas de la representación estándar en C ^N. La prueba que utiliza unidades matriciales funciona igualmente bien en dimensiones infinitas. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Los grupos unitarios de un parámetro U y V dejan invariante a cada componente, lo que induce la acción estándar en la representación de Schrödinger.

En particular, esto implica el teorema de Stone-von Neumann : la representación de Schrödinger es la única representación irreducible de las relaciones de conmutación de Weyl en un espacio de Hilbert.

Representación del oscilador de SL(2,R)

Dado que U y V satisfacen las relaciones de conmutación de Weyl, defina

${\displaystyle W(x,y)=e^{\frac {ixy}{2}}U(x)V(y).}$

Entonces

${\displaystyle W(x_{1},y_{1})W(x_{2},y_{2})=e^{i(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})}W(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),}$

de modo que W define una representación unitaria proyectiva de R ² con cociclo dado por

${\displaystyle \omega (z_{1},z_{2})=e^{iB(z_{1},z_{2})},}$

donde y B es la forma simpléctica de R ² dada por ${\displaystyle z=x+iy=(x,y)}$

${\displaystyle B(z_{1},z_{2})=x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}=\Im z_{1}{\overline {z_{2}}}.}$

Según el teorema de Stone-von Neumann, existe una representación irreducible única correspondiente a este cociclo.

De ello se deduce que si g es un automorfismo de R ² que conserva la forma B , es decir, un elemento de SL(2, R ), entonces hay un π( g ) unitario en L ² ( R ) que satisface la relación de covarianza

${\displaystyle \pi (g)W(z)\pi (g)^{*}=W(g(z)).}$

Según el lema de Schur, el unitario π( g ) es único hasta la multiplicación por un escalar ζ con |ζ| = 1, de modo que π define una representación unitaria proyectiva de SL(2, R ).

Esto se puede establecer directamente utilizando únicamente la irreductibilidad de la representación de Schrödinger. La irreductibilidad fue una consecuencia directa del hecho de que los operadores

${\displaystyle \iint K(x,y)U(x)V(y)\,dxdy,}$

con K una función de Schwartz corresponden exactamente a los operadores dados por núcleos con funciones de Schwartz.

Estos son densos en el espacio de los operadores de Hilbert-Schmidt , que, al contener los operadores de rango finito, actúa de forma irreductible.

La existencia de π se puede demostrar utilizando únicamente la irreductibilidad de la representación de Schrödinger. Los operadores son únicos hasta un cartel con

${\displaystyle \pi (gh)=\pm \pi (g)\pi (h),}$

de modo que el 2-cociclo para la representación proyectiva de SL(2, R ) toma valores ±1.

De hecho, el grupo SL(2, R ) se genera mediante matrices de la forma

${\displaystyle g_{1}={\begin{pmatrix}a&0\\0&a^{-1}\end{pmatrix}},\,\,g_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\b&1\end{pmatrix}},\,\,g_{3}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},}$

y se puede verificar directamente que los siguientes operadores satisfacen las relaciones de covarianza anteriores:

${\displaystyle \pi (g_{1})f(x)=\pm a^{-{\frac {1}{2}}}f(a^{-1}x),\,\,\pi (g_{2})f(x)=\pm e^{-ibx^{2}}f(x),\,\,\pi (g_{3})f(x)=\pm e^{\frac {i\pi }{8}}{\widehat {f}}(x).}$

Los generadores g _i satisfacen las siguientes relaciones de Bruhat , que especifican de forma única el grupo SL(2, R ): ^[12]

${\displaystyle g_{3}^{2}=g_{1}(-1),\,\,g_{3}g_{1}(a)g_{3}^{-1}=g_{1}(a^{-1}),\,\,g_{1}(a)g_{2}(b)g_{1}(a)^{-1}=g_{2}(a^{-2}b),\,\,g_{1}(a)=g_{3}g_{2}(a^{-1})g_{3}g_{2}(a)g_{3}g_{2}(a^{-1}).}$

Se puede comprobar mediante cálculo directo que estas relaciones se cumplen hasta un signo por parte de los operadores correspondientes, lo que establece que el cociclo toma valores ±1.

Existe una explicación más conceptual utilizando una construcción explícita del grupo metapléctico como doble cobertura de SL(2, R ). ^[13] SL(2, R ) actúa mediante transformaciones de Möbius en el semiplano superior H. Es más, si

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

entonces

${\displaystyle {dg(z) \over dz}={1 \over (cz+d)^{2}}.}$

La función

${\displaystyle m(g,z)=cz+d}$

satisface la relación de 1 ciclo

${\displaystyle m(gh,z)=m(g,hz)m(h,z).}$

Para cada g , la función m ( g , z ) no desaparece en H y, por lo tanto, tiene dos posibles raíces cuadradas holomorfas. El grupo metapléctico se define como el grupo

${\displaystyle \operatorname {Mp} (2,\mathbf {R} )=\{(g,G)|G(z)^{2}=m(g,z)\}.}$

Por definición es una doble cubierta de SL(2, R ) y está conexa. La multiplicación está dada por

${\displaystyle (g,G)\cdot (h,H)=(gh,K),}$

dónde

${\displaystyle K(z)=G(hz)H(z).}$

Así, para un elemento g del grupo metapléctico existe una función determinada de forma única m ( g , z ) ^1/2 que satisface la relación de 1 cociclo.

Si entonces ${\displaystyle \Im z>0}$

${\displaystyle f_{z}(x)=e^{izx^{2}/2}}$

se encuentra en L ² y se llama estado coherente .

Estas funciones se encuentran en una única órbita de SL(2, R ) generada por

${\displaystyle f_{i}(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$

ya que para g en SL(2, R )

${\displaystyle \pi ((g^{t})^{-1})f_{z}(x)=\pm m(g,z)^{-1/2}f_{gz}(x).}$

Más específicamente, si g se encuentra en Mp(2, R ), entonces

${\displaystyle \pi ((g^{t})^{-1})f_{z}(x)=m(g,z)^{-1/2}f_{gz}(x).}$

De hecho, si esto es válido para g y h , también es válido para su producto. Por otro lado, la fórmula se comprueba fácilmente si g ^t tiene la forma g _i y estos son generadores.

Esto define una representación unitaria ordinaria del grupo metapléctico.

El elemento (1,–1) actúa como multiplicación por –1 en L ² ( R ), de lo que se deduce que el cociclo en SL(2, R ) toma solo valores ±1.

índice de Maslov

Como se explica en Lion & Vergne (1980), el 2-cociclo en SL(2, R ) asociado con la representación metapléctica, tomando valores ±1, está determinado por el índice de Maslov .

Dados tres vectores distintos de cero u , v , w en el plano, su índice de Maslov se define como la firma de la forma cuadrática en R ³ definida por ${\displaystyle \tau (u,v,w)}$

${\displaystyle Q(a,b,c)=abB(u,v)+bcB(v,w)+caB(w,u).}$

Propiedades del índice de Maslov :

• depende de los subespacios unidimensionales abarcados por los vectores
• es invariante bajo SL(2, R )
• sus argumentos son alternos, es decir, su signo cambia si se intercambian dos de los argumentos.
• desaparece si dos de los subespacios coinciden
• toma los valores –1, 0 y +1: si u y v satisfacen B ( u , v ) = 1 y w = au + bv , entonces el índice de Maslov es cero si ab = 0 y en caso contrario es igual a menos el signo de ab
• ${\displaystyle \displaystyle {\tau (v,w,z)-\tau (u,w,z)+\tau (u,v,z)-\tau (u,v,w)=0}}$

Al elegir un vector distinto de cero u ₀ , se deduce que la función

${\displaystyle \Omega (g,h)=\exp -{\pi i \over 4}\tau (u_{0},gu_{0},ghu_{0})}$

define un 2-cociclo en SL(2, R ) con valores en las raíces octavas de la unidad.

Se puede utilizar una modificación del 2-cociclo para definir un 2-cociclo con valores en ±1 conectados con el cociclo metapléctico. ^[14]

De hecho, dados los vectores u , v distintos de cero en el plano, defina f ( u , v ) como

• i multiplicado por el signo de B ( u , v ) si u y v no son proporcionales
• el signo de λ si u = λ v .

Si

${\displaystyle b(g)=f(u_{0},gu_{0}),}$

entonces

${\displaystyle \Omega (g,h)^{2}=b(gh)b(g)^{-1}b(h)^{-1}.}$

Los representantes π( g ) en la representación metapléctica se pueden elegir de modo que

${\displaystyle \pi (gh)=\omega (g,h)\pi (g)\pi (h)}$

donde el 2-cociclo ω está dado por

${\displaystyle \omega (g,h)=\Omega (g,h)\beta (gh)^{-1}\beta (g)\beta (h),}$

con

${\displaystyle \beta (g)^{2}=b(g).}$

Espacio holomorfo de Fock

El espacio holomórfico de Fock (también conocido como espacio de Segal-Bargmann ) se define como el espacio vectorial de funciones holomorfas f ( z ) en C con ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }|f(z)|^{2}e^{-|z|^{2}}\,dxdy}$

finito. Tiene producto interno.

${\displaystyle (f_{1},f_{2})={1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }f_{1}(z){\overline {f_{2}(z)}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy.}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un espacio de Hilbert con base ortonormal

${\displaystyle e_{n}(z)={z^{n} \over {\sqrt {n!}}},\quad n\geq 0.}$

Además, la expansión en serie de potencias de una función holomorfa da su expansión con respecto a esta base. ^[15] Así, para z en C ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle |f(z)|=\left|\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}\right|\leq \|f\|e^{|z|^{2}/2},}$

de modo que la evaluación en z da un funcional lineal continuo en De hecho ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

${\displaystyle f(a)=(f,E_{a})}$

donde ^[16]

${\displaystyle E_{a}(z)=\sum _{n\geq 0}{(E_{a},e_{n})z^{n} \over {\sqrt {n!}}}=\sum _{n\geq 0}{z^{n}{\overline {a}}^{n} \over n!}=e^{z{\overline {a}}}.}$

Así, en particular, se trata de un espacio de Hilbert con núcleo reproductor . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Para f en yz en C definir ​ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(z)f(w)=e^{-|z|^{2}/2}e^{w{\overline {z}}}f(w-z).}$

Entonces

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(z_{1})W_{\mathcal {F}}(z_{2})=e^{-i\Im z_{1}{\overline {z_{2}}}}W_{\mathcal {F}}(z_{1}+z_{2}),}$

entonces esto da una representación unitaria de las relaciones de conmutación de Weyl. ^[17] Ahora

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(a)E_{0}=e^{-|a|^{2}/2}E_{a}.}$

De ello se deduce que la representación es irreductible. ${\displaystyle W_{\mathcal {F}}}$

De hecho, cualquier función ortogonal a todos los E _a debe desaparecer, de modo que su tramo lineal sea denso en . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Si P es una proyección ortogonal que conmuta con W ( z ), sea f = PE ₀ . Entonces

${\displaystyle f(z)=(PE_{0},E_{z})=e^{|z|^{2}}(PE_{0},W_{\mathcal {F}}(z)E_{0})=(PE_{-z},E_{0})={\overline {f(-z)}}.}$

La única función holomorfa que satisface esta condición es la función constante. Entonces

${\displaystyle PE_{0}=\lambda E_{0},}$

con λ = 0 o 1. Dado que E ₀ es cíclico, se deduce que P = 0 o I .

Según el teorema de Stone-von Neumann, existe un operador unitario desde L ² ( R ) hasta , único hasta la multiplicación por un escalar, que entrelaza las dos representaciones de las relaciones de conmutación de Weyl. Según el lema de Schur y la construcción de Gelfand-Naimark , el coeficiente matricial de cualquier vector determina el vector hasta un múltiplo escalar. Dado que los coeficientes matriciales de F = E ₀ y f = H ₀ son iguales, se deduce que el unitario está determinado únicamente por las propiedades ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(a){\mathcal {U}}={\mathcal {U}}W(a)}$

y

${\displaystyle {\mathcal {U}}H_{0}=E_{0}.}$

Por lo tanto, para f en L ² ( R )

${\displaystyle {\mathcal {U}}f(z)=({\mathcal {U}}f,E_{z})=(f,{\mathcal {U}}^{*}E_{z})=e^{-|z|^{2}}(f,{\mathcal {U}}^{*}W_{\mathcal {F}}(z)E_{0})=e^{-|z|^{2}}(W(-z)f,H_{0}),}$

de modo que

${\displaystyle {\mathcal {U}}f(z)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}e^{-2ixy}f(t+x)e^{-t^{2}/2}\,dt={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }B(z,t)f(t)\,dt,}$

dónde

${\displaystyle B(z,t)=\exp[-z^{2}-t^{2}/2+zt].}$

El operador se llama transformada de Segal-Bargmann ^[18] y B se llama núcleo de Bargmann . ^[19] ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

El adjunto de viene dado por la fórmula: ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle {\mathcal {U}}^{*}F(t)={1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }B({\overline {z}},t)F(z)\,dxdy.}$

modelo fock

Bargmann (1970) e Itzykson (1967) describieron la acción de SU (1,1) en el espacio holomórfico de Fock.

La doble cubierta metapléctica de SU(1,1) se puede construir explícitamente como pares ( g , γ) con

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle \gamma ^{2}=\alpha .}$

Si g = g ₁ g ₂ , entonces

${\displaystyle \gamma =\gamma _{1}\gamma _{2}\left(1+{\beta _{1}{\overline {\beta _{2}}} \over \alpha _{1}\alpha _{2}}\right)^{1/2},}$

usando la expansión en serie de potencias de (1 + z ) ^1/2 para | z | < 1.

La representación metapléctica es una representación unitaria π( g , γ) de este grupo que satisface las relaciones de covarianza

${\displaystyle \pi (g,\gamma )W_{\mathcal {F}}(z)\pi (g,\gamma )^{*}=W_{\mathcal {F}}(g\cdot z),}$

dónde

${\displaystyle g\cdot z=\alpha z+\beta {\overline {z}}.}$

Dado que es un espacio de Hilbert con núcleo reproductor , cualquier operador acotado T en él corresponde a un núcleo dado por una serie de potencias de sus dos argumentos. De hecho si ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle K_{T}(a,b)=(TE_{\overline {b}},E_{a}),}$

y F en , entonces ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle TF(a)=(TF,E_{a})=(F,T^{*}E_{a})={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }F(z){\overline {(T^{*}E_{a},E_{z})}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }K_{T}(a,{\overline {z}})F(z)e^{-|z|^{2}}\,dxdy.}$

Las relaciones de covarianza y la analiticidad del núcleo implican que para S = π( g , γ),

${\displaystyle K_{S}(a,z)=C\cdot \exp \,{1 \over 2\alpha }({\overline {\beta }}z^{2}+2az-\beta a^{2})}$

para alguna constante C . El cálculo directo muestra que

${\displaystyle C=\gamma ^{-1}}$

conduce a una representación ordinaria de la doble portada. ^[20]

Los estados coherentes pueden definirse nuevamente como la órbita de E ₀ bajo el grupo metapléctico.

Para w complejo, establezca

${\displaystyle F_{w}(z)=e^{wz^{2}/2}.}$

Entonces si y sólo si | w | < 1. En particular F ₀ = 1 = E ₀ . Además, ${\displaystyle F_{w}\in {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \pi (g,\gamma )F_{w}=({\overline {\alpha }}+{\overline {\beta }}w)^{-{\frac {1}{2}}}F_{gw}={\frac {1}{\overline {\gamma }}}\left(1+{{\overline {\beta }} \over {\overline {\alpha }}}w\right)^{-1/2}F_{gw},}$

dónde

${\displaystyle gw={\alpha w+\beta \over {\overline {\beta }}w+{\overline {\alpha }}}.}$

De manera similar, las funciones zF _w se encuentran y forman una órbita del grupo metapléctico: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \pi (g,\gamma )[zF_{w}](z)=({\overline {\alpha }}+{\overline {\beta }}w)^{-3/2}zF_{gw}(z).}$

Dado que ( F _w , E ₀ ) = 1, el coeficiente matricial de la función E ₀ = 1 viene dado por ^[21]

${\displaystyle (\pi (g,\gamma )1,1)=\gamma ^{-1}.}$

modelo de disco

La representación proyectiva de SL(2, R ) en L ² ( R ) o en ruptura como suma directa de dos representaciones irreducibles, correspondientes a funciones pares e impares de x o z . Las dos representaciones se pueden realizar en espacios de Hilbert de funciones holomorfas en el disco unitario; o, usando la transformada de Cayley, en el semiplano superior. ^{[22] [23]} ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Las funciones pares corresponden a funciones holomorfas F ₊ para las cuales

${\displaystyle {1 \over 2\pi }\iint |F_{+}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{-1/2}\,dxdy+{2 \over \pi }\iint |F'_{+}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{\frac {1}{2}}\,dxdy}$

es finito; y las funciones impares a funciones holomorfas F _- para las cuales

${\displaystyle {1 \over 2\pi }\iint |F_{-}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{-1/2}\,dxdy}$

es finito. Las formas polarizadas de estas expresiones definen los productos internos.

La acción del grupo metapléctico está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{\pm }(g^{-1})F_{\pm }(z)&=\left({\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}\right)^{-1\pm {\frac {1}{2}}}F_{\pm }(gz)\\&=\left(-{\overline {\beta }}z+\alpha \right)^{-1\pm {\frac {1}{2}}}F_{\pm }\left({{\overline {\alpha }}z-\beta \over -{\overline {\beta }}z+\alpha }\right)&&g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

La irreductibilidad de estas representaciones se establece de forma estándar. ^[24] Cada representación se divide como una suma directa de espacios propios unidimensionales del grupo de rotación, cada uno de los cuales es generado por un vector C ^∞ para todo el grupo. De ello se deduce que cualquier subespacio cerrado invariante es generado por la suma directa algebraica de los espacios propios que contiene y que esta suma es invariante bajo la acción infinitesimal del álgebra de Lie . Por otra parte, esa acción es irreductible. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El isomorfismo con funciones pares e impares se puede demostrar mediante la construcción de Gelfand-Naimark ya que los coeficientes matriciales asociados a 1 y z en las representaciones correspondientes son proporcionales. Itzykson (1967) dio otro método a partir de los mapas ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle U_{+}(F)(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }F(z)e^{{\frac {1}{2}}w{\overline {z}}^{2}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy,}$

${\displaystyle U_{-}(F)(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }F(z){\overline {z}}e^{{\frac {1}{2}}w{\overline {z}}^{2}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy,}$

desde las partes pares e impares hasta funciones en el disco unitario. Estos mapas entrelazan las acciones del grupo metapléctico dado anteriormente y envían z ⁿ a un múltiplo de w ⁿ . Estipular que U _± debe ser unitario determina los productos internos de las funciones en el disco, que se pueden expresar en la forma anterior. ^[25]

Aunque en estas representaciones el operador L ₀ tiene espectro positivo (la característica que distingue las representaciones holomorfas en series discretas de SU(1,1)), las representaciones no se encuentran en las series discretas del grupo metapléctico. De hecho, Kashiwara y Vergne (1978) observaron que los coeficientes matriciales no son integrables al cuadrado, aunque su tercera potencia sí lo es. ^[26]

Oscilador armónico y funciones de Hermite

Considere el siguiente subespacio de L ² ( R ):

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{f\in L^{2}(\mathbf {R} )\left|f(x)=p(x)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},p(x)\in \mathbf {R} [x]\right.\right\}.}$

los operadores

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=Q-iP={d \over dx}+x\\Y&=Q+iP=-{d \over dx}+x\end{aligned}}}$

actuar sobre X se llama operador de aniquilación e Y operador de creación . ellos satisfacen ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=Y^{*}\\XY&=D+I&&D=-{d^{2} \over dx^{2}}+x^{2}\\XY-YX&=2I\\XY^{n}-Y^{n}X&=2nY^{n-1}&&{\text{by induction}}\end{aligned}}}$

Definir las funciones

${\displaystyle F_{n}(x)=Y^{n}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$

Afirmamos que son las funciones propias del oscilador armónico , D. Para demostrar esto utilizamos las relaciones de conmutación anteriores:

${\displaystyle {\begin{aligned}DF_{n}&=DY^{n}F_{0}\\&=(XY-I)Y^{n}F_{0}\\&=\left(XY^{n+1}-Y^{n}\right)F_{0}\\&=\left(\left((2n+2)Y^{n}+Y^{n+1}X\right)-Y^{n}\right)F_{0}\\&=\left((2n+1)Y^{n}+Y^{n+1}X\right)F_{0}\\&=(2n+1)Y^{n}F_{0}+Y^{n+1}XF_{0}\\&=(2n+1)F_{n}&&XF_{0}=0\end{aligned}}}$

A continuación tenemos:

${\displaystyle \|F_{n}\|_{2}^{2}=2^{n}n!{\sqrt {\pi }}.}$

Esto se sabe para n = 0 y la relación de conmutación anterior produce

${\displaystyle (F_{n},F_{n})=\left(XY^{n}F_{0},Y^{n-1}F_{0}\right)=2n(F_{n-1},F_{n-1}).}$

La enésima función de Hermite está definida por

${\displaystyle H_{n}(x)=\|F_{n}\|^{-1}F_{n}(x)=p_{n}(x)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}.}$

p _n se llama enésimo polinomio de Hermite .

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={1 \over {\sqrt {2}}}Y={1 \over {\sqrt {2}}}\left(-{d \over dx}+x\right)\\A^{*}&={1 \over {\sqrt {2}}}X={1 \over {\sqrt {2}}}\left({d \over dx}+x\right)\end{aligned}}}$

De este modo

${\displaystyle AA^{*}-A^{*}A=I.}$

Los operadores P , Q o equivalentemente A , A * actúan irreductiblemente mediante un argumento estándar. ^{[27] [28]} ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

De hecho, bajo el isomorfismo unitario con holomorfo el espacio de Fock se puede identificar con C [ z ], el espacio de polinomios en z , con ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle A={\frac {\partial }{\partial z}},\qquad A^{*}=z.}$

Si un invariante subespacial bajo A y A* contiene un polinomio p ( z ) distinto de cero , entonces, aplicando una potencia de A *, contiene una constante distinta de cero; aplicando entonces una potencia de A , contiene todos los z ⁿ .

Bajo el isomorfismo F _n se envía a un múltiplo de z ⁿ y el operador D viene dado por

${\displaystyle D=2A^{*}A+I.}$

Dejar

${\displaystyle L_{0}={1 \over 2}(A^{*}A+{1 \over 2})={1 \over 2}(z{\partial \over \partial z}+{1 \over 2})}$

de modo que

${\displaystyle L_{0}z^{n}={1 \over 2}(n+{1 \over 2})z^{n}.}$

En la terminología de la física A , A * da un solo bosón y L ₀ es el operador de energía. Es diagonalizable con valores propios 1/2, 1, 3/2, ...., cada uno de multiplicidad uno. Esta representación se llama representación de energía positiva .

Además,

${\displaystyle [L_{0},A]=-{1 \over 2}A,[L_{0},A^{*}]={1 \over 2}A^{*},}$

de modo que el corchete de Lie con L ₀ define una derivación del álgebra de Lie abarcada por A , A * e I . Al unir L ₀ se obtiene el producto semidirecto . La versión infinitesimal del teorema de Stone-von Neumann establece que la representación anterior en C [ z ] es la única representación de energía positiva irreducible de este álgebra de Lie con L ₀ = A * A + 1/2. Porque A reduce la energía y A * aumenta la energía. Entonces, cualquier vector de energía más bajo v es aniquilado por A y el módulo se agota por las potencias de A * aplicadas a v . Por tanto, es un cociente distinto de cero de C [ z ] y, por tanto, puede identificarse con él por irreductibilidad.

Dejar

${\displaystyle L_{-1}={1 \over 2}A^{2},L_{1}={1 \over 2}A^{*2},}$

de modo que

${\displaystyle [L_{-1},A]=0,\,\,\,[L_{-1},A^{*}]=A,\,\,\,[L_{1},A]=-A^{*},\,\,\,[L_{1},A^{*}]=0.}$

Estos operadores satisfacen:

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}}$

y actuar mediante derivaciones en el álgebra de Lie abarcada por A , A * e I .

Son los operadores infinitesimales correspondientes a la representación metapléctica de SU(1,1).

Las funciones F _n están definidas por

${\displaystyle F_{n}(x)=\left(x-{d \over dx}\right)^{n}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x^{2}}\right)=\left(2^{n}x^{n}+\cdots \right)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}.}$

De ello se deduce que las funciones de Hermite son la base ortonormal obtenida aplicando el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt a la base x ⁿ exp - x ^2/2 de . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

La integridad de las funciones de Hermite se deriva del hecho de que la transformada de Bargmann es unitaria y lleva la base ortonormal _en ( z ) del espacio holomórfico de Fock al H _n ( x ).

El operador de calor para el oscilador armónico es el operador en L ² ( R ) definido como el operador diagonal

${\displaystyle e^{-Dt}H_{n}=e^{-(2n+1)t}H_{n}.}$

Corresponde al núcleo de calor dado por la fórmula de Mehler :

${\displaystyle K_{t}(x,y)\equiv \sum _{n\geq 0}e^{-(2n+1)t}H_{n}(x)H_{n}(y)=(4\pi t)^{-{1 \over 2}}\left({2t \over \sinh 2t}\right)^{1 \over 2}\exp \left(-{1 \over 4t}\left[{2t \over \tanh 2t}(x^{2}+y^{2})-{2t \over \sinh 2t}(2xy)\right]\right).}$

Esto se desprende de la fórmula

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}s^{n}H_{n}(x)H_{n}(y)={1 \over {\sqrt {\pi (1-s^{2})}}}\exp {4xys-(1+s^{2})(x^{2}+y^{2}) \over 2(1-s^{2})}.}$

Para probar esta fórmula, tenga en cuenta que si s = σ ² , entonces según la fórmula de Taylor

${\displaystyle F_{\sigma ,x}(z)\equiv \sum _{n\geq 0}\sigma ^{n}e_{n}(z)H_{n}(x)=\pi ^{-{1 \over 4}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\sum _{n\geq 0}{(-z)^{n}\sigma ^{n} \over 2^{n}n!}{d^{n}e^{x^{2}} \over dx^{n}}=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\exp \left(-{x^{2} \over 2}+{\sqrt {2}}xz\sigma -{z^{2}\sigma ^{2} \over 2}\right).}$

Por tanto, F _{σ, x} se encuentra en el espacio holomorfo de Fock y

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}s^{n}H_{n}(x)H_{n}(y)=(F_{\sigma ,x},F_{\sigma ,y})_{\mathcal {F}},}$

un producto interno que se puede calcular directamente.

Wiener (1933, págs. 51-67) establece directamente la fórmula de Mehler y utiliza un argumento clásico para demostrar que

${\displaystyle \int K_{t}(x,y)f(y)\,dy}$

tiende a f en L ² ( R ) a medida que t disminuye a 0. Esto muestra la integridad de las funciones de Hermite y también, dado que

${\displaystyle {\widehat {H_{n}}}=(-i)^{n}H_{n},}$

se puede utilizar para derivar las propiedades de la transformada de Fourier.

Existen otros métodos elementales para demostrar la integridad de las funciones de Hermite, por ejemplo utilizando series de Fourier . ^[29]

espacios de sobolev

Los espacios de Sobolev Hs , a veces llamados espacios _de Hermite-Sobolev , se definen como las terminaciones de con respecto a las normas. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \|f\|_{(s)}^{2}=\sum _{n\geq 0}|a_{n}|^{2}(1+2n)^{s},}$

dónde

${\displaystyle f=\sum a_{n}H_{n}}$

es la expansión de f en funciones de Hermite. ^[30]

De este modo

${\displaystyle \|f\|_{(s)}^{2}=(D^{s}f,f),\qquad (f_{1},f_{2})_{(s)}=(D^{s}f_{1},f_{2}).}$

Los espacios de Sobolev son espacios de Hilbert. Además, H _s y H _{– s} están en dualidad bajo el emparejamiento

${\displaystyle \langle f_{1},f_{2}\rangle =\int f_{1}f_{2}\,dx.}$

Para s ≥ 0,

${\displaystyle \|(aP+bQ)f\|_{(s)}\leq (|a|+|b|)C_{s}\|f\|_{\left(s+{1 \over 2}\right)}}$

para alguna constante positiva C _s .

De hecho, tal desigualdad puede comprobarse para operadores de creación y aniquilación que actúan sobre funciones de Hermite H _n y esto implica la desigualdad general. ^[31]

Se sigue para s arbitrarios por dualidad.

En consecuencia, para un polinomio cuadrático R en P y Q

${\displaystyle \|Rf\|_{(s)}\leq C'_{s}\|f\|_{(s+1)}.}$

La desigualdad de Sobolev se cumple para f en H _s con s > 1/2:

${\displaystyle |f(x)|\leq C_{s,k}\|f\|_{(s+k)}(1+x^{2})^{-k}}$

para cualquier k ≥ 0.

De hecho, el resultado para k general se deriva del caso k = 0 aplicado a Q ^k f .

Para k = 0 la fórmula de inversión de Fourier

${\displaystyle f(x)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(t)e^{itx}\,dt}$

implica

${\displaystyle |f(x)|\leq C\left(\int \left|{\widehat {f}}(t)\right|^{2}(1+t^{2})^{s}\,dt\right)^{1 \over 2}=C\left(\left(I+Q^{2}\right)^{s}{\widehat {f}},{\widehat {f}}\right)^{1 \over 2}\leq C'\left\|{\widehat {f}}\right\|_{(s)}=C'\|f\|_{(s)}.}$

Si s < t , la forma diagonal de D , muestra que la inclusión de H _t en H _s es compacta (lema de Rellich).

De la desigualdad de Sobolev se deduce que la intersección de los espacios H _s es . Las funciones en se caracterizan por la rápida decadencia de sus coeficientes de Hermite a _n . ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Los argumentos estándar muestran que cada espacio de Sobolev es invariante bajo los operadores W ( z ) y el grupo metapléctico. ^[32] De hecho, es suficiente comprobar la invariancia cuando g está lo suficientemente cerca de la identidad. En ese caso

${\displaystyle gDg^{-1}=D+A}$

con D + A un isomorfismo de a ${\displaystyle H_{t+2}}$ ${\displaystyle H_{t}.}$

Resulta que

${\displaystyle \|\pi (g)f\|_{(s)}^{2}=\left|((D+A)^{s}f,f)\right|\leq \left\|(D+A)^{s}f\right\|_{(-s)}\cdot \|f\|_{(s)}\leq C\|f\|_{(s)}^{2}.}$

si entonces ${\displaystyle f\in H_{s},}$

${\displaystyle {d \over ds}U(s)f=iPU(s)f,\qquad {d \over dt}V(t)f=iQV(t)f,}$

donde se encuentran las derivadas ${\displaystyle H_{s-1/2}.}$

De manera similar, las derivadas parciales de grado total k de U ( s ) V ( t ) se encuentran en espacios de Sobolev de orden s – k /2.

En consecuencia, un monomio en P y Q de orden 2k aplicado a moscas se encuentra en H _{s – k} y puede expresarse como una combinación lineal de derivadas parciales de U(s)V(t)f de grado ≤ 2k evaluadas en 0.

Vectores suaves

Los vectores suaves para las relaciones de conmutación de Weyl son aquellos u en L ² ( R ) tales que el mapa

${\displaystyle \Phi (z)=W(z)u}$

es suave. Según el teorema de acotación uniforme , esto equivale al requisito de que cada coeficiente de matriz (W(z)u,v) sea suave.

Un vector es suave si y sólo se encuentra en . ^[33] La suficiencia es clara. Por necesidad, la suavidad implica que las derivadas parciales de W(z)u se encuentran en L ² ( R ) y por tanto también en D ^k u para todo k positivo . Por lo tanto , u se encuentra en la intersección de H _k , por lo que en . ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

De ello se deduce que los vectores suaves también lo son para el grupo metapléctico.

Además, un vector está en si y sólo si es un vector suave para el subgrupo de rotación de SU(1,1). ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Vectores analíticos

Si Π( t ) es un grupo unitario de un parámetro y para f en ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \Pi (f)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\Pi (t)\,dt,}$

entonces los vectores Π( f )ξ forman un conjunto denso de vectores suaves para Π.

de hecho tomando

${\displaystyle f_{\varepsilon }(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \varepsilon }}}e^{-x^{2}/2\varepsilon }}$

los vectores v = Π( f _ε )ξ convergen a ξ cuando ε disminuye a 0 y

${\displaystyle \Phi (t)=\Pi (t)v}$

es una función analítica de t que se extiende a una función completa en C .

El vector se llama vector entero para Π.

El operador de onda asociado al oscilador armónico está definido por

${\displaystyle \Pi (t)=e^{it{\sqrt {D}}}.}$

El operador es diagonal con las funciones de Hermite H _n como funciones propias:

${\displaystyle \Pi (t)H_{n}=e^{i(2n+1)^{1 \over 2}t}H_{n}.}$

Dado que conmuta con D , conserva los espacios de Sobolev.

Los vectores analíticos construidos anteriormente se pueden reescribir en términos del semigrupo de Hermite como

${\displaystyle v=e^{-\varepsilon D}\xi .}$

El hecho de que v sea un vector completo para Π es equivalente a la condición de sumabilidad

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{r^{n}\|D^{n \over 2}v\| \over n!}<\infty }$

para todo r > 0.

Cualquier vector de este tipo es también un vector completo para U(s)V(t) , ese es el mapa

${\displaystyle F(s,t)=U(s)V(t)v}$

definido en R ² se extiende a un mapa analítico en C ² .

Esto se reduce a la estimación de la serie de potencias.

${\displaystyle \left\|\sum _{m,n\geq 0}{1 \over m!n!}z^{m}w^{n}P^{m}Q^{n}v\right\|\leq C\sum _{k\geq 0}{(|z|+|w|)^{k} \over k!}\|D^{k \over 2}v\|<\infty .}$

Entonces estos forman un conjunto denso de vectores completos para U(s)V(t) ; esto también se puede comprobar directamente mediante la fórmula de Mehler.

Los espacios de vectores suaves y enteros para U(s)V(t) son, por definición, invariantes bajo la acción del grupo metapléctico y del semigrupo de Hermite.

Dejar

${\displaystyle W(z,w)=e^{-izw/2}U(z)V(w)}$

ser la continuación analítica de los operadores W ( x , y ) de R ² a C ² tal que

${\displaystyle e^{-izw/2}F(z,w)=W(z,w)v.}$

Entonces W deja invariante el espacio de vectores enteros y satisface

${\displaystyle W(z_{1},w_{1})W(z_{2},w_{2})=e^{i(z_{1}w_{2}-w_{1}z_{2})}W(z_{1}+z_{2},w_{1}+w_{2}).}$

Además, para g en SL(2, R )

${\displaystyle \pi (g)W(u)\pi (g)^{*}=W(gu),}$

utilizando la acción natural de SL(2, R ) en C ² .

Formalmente

${\displaystyle W(z,w)^{*}=W(-{\overline {z}},-{\overline {w}}).}$

Semigrupo de osciladores

Existe una doble cubierta natural del semigrupo H de Olshanski , y su cierre que extiende la doble cubierta de SU(1,1) correspondiente al grupo metapléctico. Está dado por pares ( g , γ) donde g es un elemento de H o su cierre. ${\displaystyle {\overline {H}}}$

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

y γ es una raíz cuadrada de a .

Tal elección determina una rama única de

${\displaystyle \left(-{\overline {b}}z+{\overline {d}}\right)^{1 \over 2}}$

para | z | < 1.

Los operadores unitarios π( g ) para g en SL(2, R ) satisfacen

${\displaystyle \pi (g)W(u)=W(g\cdot u)\pi (g),\,\,\,\pi (g)^{*}W(u)=W(g^{-1}\cdot u)\pi (g)^{*}}$

para ti en C ² .

Se dice que un elemento g de la complexificación SL(2, C ) es implementable si hay un operador acotado T tal que él y su adjunto dejen el espacio de vectores completos para W invariante, ambos tienen imágenes densas y satisfacen las relaciones de covarianza.

${\displaystyle TW(u)=W(g\cdot u)T,\,\,\,T^{*}W(u)=W(g^{\dagger }\cdot u)T^{*}}$

para ti en C ² . El operador implementador T se determina de forma única hasta la multiplicación por un escalar distinto de cero.

Los elementos implementables forman un semigrupo que contiene SL(2, R ). Dado que la representación tiene energía positiva, los operadores autoadjuntos compactos acotados

${\displaystyle S_{0}(t)=e^{-tL_{0}}}$

para t > 0 implemente los elementos del grupo en exp C ₁ .

De ello se deduce que se aplican todos los elementos del semigrupo Olshanski y de su cierre.

La maximalidad del semigrupo de Olshanki implica que no se implementan otros elementos de SL(2, C ). De hecho, de lo contrario, cada elemento de SL(2, C ) sería implementado por un operador acotado, lo que contradiría la no invertibilidad de los operadores S ₀ ( t ) para t > 0.

En la representación de Schrödinger, los operadores S ₀ ( t ) para t > 0 vienen dados por la fórmula de Mehler. Son operadores de contracción , positivos y de todas las clases de Schatten . Además, dejan invariante cada uno de los espacios de Sobolev. La misma fórmula es válida para la continuación analítica. ${\displaystyle \Re \,t>0}$

Se puede ver directamente en el modelo de Fock que los operadores implementadores pueden elegirse de modo que definan una representación ordinaria de la doble cubierta de H construida anteriormente. El semigrupo correspondiente de operadores de contracción se denomina semigrupo de oscilador . El semigrupo de oscilador extendido se obtiene tomando el producto semidirecto con los operadores W ( u ). Estos operadores se encuentran en todas las clases de Schatten y dejan invariantes los espacios de Sobolev y el espacio de vectores completos para W.

la descomposición

${\displaystyle {\overline {H}}=G\cdot \exp {\overline {C}}}$

corresponde a nivel de operador a la descomposición polar de operadores acotados .

Además, dado que cualquier matriz en H está conjugada con una matriz diagonal por elementos en H o H ⁻¹ , cada operador en el semigrupo del oscilador es casi similar a un operador S ₀ ( t ) con . En particular, tiene el mismo espectro que consta de valores propios simples. ${\displaystyle \Re t>0}$

En el modelo de Fock, si el elemento g del semigrupo H de Olshanki corresponde a la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

el operador correspondiente viene dado por

${\displaystyle \pi (g,\gamma )f(w)={1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }K(w,{\overline {z}})f(z)e^{-|z|^{2}}\,dxdy,}$

dónde

${\displaystyle K(w,z)=\gamma ^{-1}\cdot \exp \,{1 \over 2a}(cz^{2}+2wz-bw^{2})}$

y γ es una raíz cuadrada de a . Los operadores π( g ,γ) para g en el semigrupo H son exactamente aquellos que son operadores de Hilbert-Schmidt y corresponden a núcleos de la forma

${\displaystyle K(w,z)=C\cdot \exp \,{1 \over 2}(pz^{2}+2qwz+rw^{2})}$

para lo cual la matriz simétrica compleja

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\q&r\end{pmatrix}}}$

tiene una norma de operador estrictamente menor que uno.

Los operadores en el semigrupo del oscilador extendido vienen dados por expresiones similares con términos lineales adicionales en z y w que aparecen en forma exponencial.

En el modelo de disco para los dos componentes irreducibles de la representación metapléctica, los operadores correspondientes vienen dados por

${\displaystyle \pi _{\pm }(g)F_{\pm }(z)=(-{\overline {b}}z+{\overline {d}})^{-1\pm 1/2}F_{\pm }\left({{\overline {a}}z-{\overline {c}} \over -{\overline {b}}z+{\overline {d}}}\right).}$

También es posible dar una fórmula explícita para los operadores de contracción correspondientes a g en H en la representación de Schrödinger. Fue mediante esta fórmula que Howe (1988) introdujo el semigrupo de osciladores como una familia explícita de operadores en L ² ( R ). ^[34]

De hecho, considere el semiplano superior de Siegel que consta de matrices complejas simétricas de 2x2 con parte real definida positiva:

${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}A&B\\B&D\end{pmatrix}}}$

y definir el núcleo

${\displaystyle K_{Z}(x,y)=e^{-(Ax^{2}+2Bxy+Dy^{2})}.}$

con el operador correspondiente

${\displaystyle T_{Z}f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }K_{Z}(x,y)f(y)\,dy}$

para f en L ² ( R ).

Entonces el cálculo directo da

${\displaystyle T_{Z_{1}}T_{Z_{2}}=(D_{1}+A_{2})^{-1/2}T_{Z_{3}}}$

dónde

${\displaystyle Z_{3}={\begin{pmatrix}A_{1}-B_{1}^{2}(D_{1}+A_{2})^{-1}&-B_{1}B_{2}(D_{1}+A_{2})^{-1}\\-B_{1}B_{2}(D_{1}+A_{2})^{-1}&D_{2}-B_{2}^{2}(D_{1}+A_{2})^{-1}\end{pmatrix}}.}$

Además,

${\displaystyle T_{Z}^{*}=T_{Z^{+}}}$

dónde

${\displaystyle Z^{+}={\begin{pmatrix}{\overline {D}}&{\overline {B}}\\{\overline {B}}&{\overline {A}}\end{pmatrix}}.}$

Por la fórmula de Mehler para ${\displaystyle \Re \,t>0}$

${\displaystyle e^{-t(P^{2}+Q^{2})}=(\mathrm {cosech} \,2t)^{1 \over 2}\cdot T_{Z(t)}}$

con

${\displaystyle Z(t)={\begin{pmatrix}\coth 2t&-\mathrm {cosech} \,2t\\-\mathrm {cosech} \,2t&\coth 2t\end{pmatrix}}.}$

El semigrupo del oscilador se obtiene tomando únicamente matrices con B ≠ 0. De lo anterior, esta condición está cerrada bajo composición.

Un operador normalizado se puede definir mediante

${\displaystyle S_{Z}=B^{1 \over 2}\cdot T_{Z}.}$

La elección de una raíz cuadrada determina una doble cobertura.

En este caso S _Z corresponde al elemento

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}-DB^{-1}&DAB^{-1}-B\\B^{-1}&-AB^{-1}\end{pmatrix}}}$

del semigrupo H de Olshankii .

Además, S _Z es una contracción estricta:

${\displaystyle \|S_{Z}\|<1.}$

Se deduce también que

${\displaystyle S_{Z_{1}}S_{Z_{2}}=\pm S_{Z_{3}}.}$

cálculo de weyl

Para una función a ( x , y ) en R ² = C , sea

${\displaystyle \psi (a)={1 \over 2\pi }\int {\widehat {a}}(x,y)W(x,y)\,dxdy.}$

Entonces

${\displaystyle \psi (a)f(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,}$

dónde

${\displaystyle K(x,y)=\int a(t,{x+y \over 2})e^{i(x-y)t}\,dt.}$

Definiendo en general

${\displaystyle W(F)={1 \over 2\pi }\int F(z)W(z)\,dxdy,}$

el producto de dos de estos operadores viene dado por la fórmula

${\displaystyle W(F)W(G)=W(F\star G),}$

donde la convolución retorcida o producto de Moyal viene dada por

${\displaystyle F\star G(z)={1 \over 2\pi }\int F(z_{1})G(z_{2}-z_{1})e^{i(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})}\,dx_{1}dy_{1}.}$

Los operadores de suavizado corresponden a W ( F ) o ψ ( a ) con F o funciones de Schwartz en R ² . Los operadores correspondientes T tienen núcleos que son funciones de Schwartz. Llevan cada espacio de Sobolev a las funciones de Schwartz. Además, todo operador acotado en L ² ( R ) que tenga esta propiedad tiene esta forma.

Para los operadores ψ( a ), el producto de Moyal se traduce en el cálculo simbólico de Weyl . De hecho, si las transformadas de Fourier de a y b tienen soporte compacto, entonces

${\displaystyle \psi (a)\psi (b)=\psi (a\circ b),}$

dónde

${\displaystyle a\circ b=\sum _{n\geq 0}{i^{n} \over n!}\left({\partial ^{2} \over \partial x_{1}\partial y_{2}}-{\partial ^{2} \over \partial y_{1}\partial x_{2}}\right)^{n}a\otimes b|_{\mathrm {diagonal} }.}$

Esto se debe a que en este caso b debe extenderse a una función completa en C ² según el teorema de Paley-Wiener .

Este cálculo se puede extender a una amplia clase de símbolos, pero el más simple corresponde a la convolución por una clase de funciones o distribuciones que tienen todas la forma T + S donde T es una distribución compacta con soporte singular concentrada en 0 y donde S es una función de Schwartz. Esta clase contiene los operadores P , Q así como D ^1/2 y D ^−1/2 donde D es el oscilador armónico.

Los símbolos de orden m S ^m están dados por funciones suaves a satisfactorias

${\displaystyle |\partial ^{\alpha }a(z)|\leq C_{\alpha }(1+|z|)^{m-|\alpha |}}$

para todos α y Ψ ^m consta de todos los operadores ψ( a ) para tal .

Si a está en S ^m y χ es una función suave de soporte compacto igual a 1 cerca de 0, entonces

${\displaystyle {\widehat {a}}=\chi {\widehat {a}}+(1-\chi ){\widehat {a}}=T+S,}$

con T y S como arriba.

Estos operadores preservan las funciones de Schwartz y satisfacen;

${\displaystyle \Psi ^{m}\cdot \Psi ^{m}\subseteq \Psi ^{m+n},\,\,\,\,[\Psi ^{m},\Psi ^{n}]\subseteq \Psi ^{m+n-2}.}$

Los operadores P y Q se encuentran en Ψ ¹ y D se encuentran en Ψ ² .

Propiedades:

• Un símbolo de orden cero define un operador acotado en L ² ( R ).
• D ⁻¹ se encuentra en Ψ ⁻²
• Si R = R * se está suavizando, entonces D + R tiene un conjunto completo de vectores propios f _n con ( D + R ) f _n = λ _n f _n y λ _n tiende a ≈ cuando n tiende a ≈. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$
• D ^1/2 está en Ψ ¹ y por lo tanto D ^−1/2 está en Ψ ⁻¹ , ya que D ^−1/2 = D ^1/2 · D ⁻¹
• Ψ ⁻¹ consta de operadores compactos, Ψ ^{− s} consta de operadores de clase de traza para s > 1 y Ψ ^k lleva H _m a H _{m – k} .
• ${\displaystyle \mathrm {Tr} \,\psi (a)=\int a}$

La prueba de acotación de Howe (1980) es particularmente simple: si

${\displaystyle T_{a,b}v=(v,b)a,}$

entonces

${\displaystyle T_{W(z)a,b}=e^{|z|^{2}/2}[W(z)T_{a,E_{0}}W(z)^{-1}T_{E_{0},b}],}$

donde el operador entre corchetes tiene una norma menor que . Entonces, si F es compatible con | z | ≤ R , entonces ${\displaystyle \|a\|\cdot \|b\|}$

${\displaystyle \|W(F)\|\leq e^{R^{2}/2}\|{\widehat {F}}\|_{\infty }.}$

La propiedad de D ⁻¹ se prueba tomando

${\displaystyle S=\psi (a)}$

con

${\displaystyle a(z)={1 \over |z|^{2}+1}.}$

Entonces R = I – DS se encuentra en Ψ ⁻¹ , de modo que

${\displaystyle A\sim S+SR+SR^{2}+\cdots }$

se encuentra en Ψ ⁻² y T = DA – I está suavizando. Por eso

${\displaystyle D^{-1}=A-D^{-1}T}$

está en Ψ ⁻² ya que D ⁻¹ T se está suavizando.

La propiedad para D ^1/2 se establece de manera similar construyendo B en Ψ ^1/2 con símbolo real tal que D – B ⁴ es un operador de suavizado. Utilizando el cálculo funcional holomorfo se puede comprobar que D ^1/2 – B ² es un operador de suavizado.

Howe (1980) utilizó el resultado de acotación anterior para establecer la desigualdad más general de Alberto Calderón y Remi Vaillancourt para operadores pseudodiferenciales . Howe (1988) proporcionó una prueba alternativa que se aplica de manera más general a los operadores integrales de Fourier . Demostró que dichos operadores pueden expresarse como integrales sobre el semigrupo del oscilador y luego estimarse utilizando el lema de Cotlar-Stein . ^[35]

Aplicaciones y generalizaciones

Teoría de grupos abelianos finitos.

Weil (1964) señaló que el formalismo del teorema de Stone-von Neumann y la representación del oscilador del grupo simpléctico se extiende desde los números reales R hasta cualquier grupo abeliano localmente compacto . Un ejemplo particularmente simple lo proporcionan los grupos abelianos finitos , donde las pruebas son elementales o simplificaciones de las pruebas para R. ^{[36] [37]}

Sea A un grupo abeliano finito, escrito de forma aditiva, y sea Q una forma cuadrática no degenerada en A con valores en T . De este modo

${\displaystyle (a,b)=Q(a)Q(b)Q(a+b)^{-1}}$

es una forma bilineal simétrica en A que no es degenerada, por lo que permite una identificación entre A y su grupo dual A * = Hom ( A , T ).

Sea el espacio de funciones de valores complejos en A con producto interno ${\displaystyle V=\ell ^{2}(A)}$

${\displaystyle (f,g)=\sum _{x\in A}f(x){\overline {g(x)}}.}$

Definir operadores en V por

${\displaystyle U(x)f(t)=f(t-x),\,\,\,V(y)f(t)=(y,t)f(t)}$

para x , y en A . Entonces U ( x ) y V ( y ) son representaciones unitarias de A en V que satisfacen las relaciones de conmutación.

${\displaystyle U(x)V(y)=(x,y)V(y)U(x).}$

Esta acción es irreductible y es la única representación irreductible de estas relaciones.

Sea G = A × A y para z = ( x , y ) en el conjunto G

${\displaystyle W(z)=U(x)V(y).}$

Entonces

${\displaystyle W(z_{1})W(z_{2})=B(z_{1},z_{2})W(z_{2})W(z_{1}),}$

dónde

${\displaystyle B(z_{1},z_{2})=(x_{1},y_{2})(x_{2},y_{1})^{-1},}$

una forma bilineal alterna no degenerada en G . El resultado de unicidad anterior implica que si W' ( z ) es otra familia de unitarios que dan una representación proyectiva de G tal que

${\displaystyle W'(z_{1})W'(z_{2})=B(z_{1},z_{2})W'(z_{2})W'(z_{1}),}$

entonces existe una U unitaria , única hasta una fase, tal que

${\displaystyle W'(z)=\lambda (z)UW(z)U^{*},}$

para algunos λ( z ) en T .

En particular, si g es un automorfismo de G que preserva B , entonces existe un π( g ) unitario esencialmente único tal que

${\displaystyle W(gz)=\lambda _{g}(z)\pi (g)W(z)\pi (g)^{*}.}$

El grupo de todos estos automorfismos se denomina grupo simpléctico para B y π da una representación proyectiva de G en V.

El grupo SL(2. Z ) actúa naturalmente sobre G = A x A mediante automorfismos simplécticos. Es generado por las matrices.

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\qquad R={\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}.}$

Si Z = – I , entonces Z es central y

${\displaystyle {S^{2}=Z,\,\,\,(SR)^{3}=Z,\,\,\,Z^{2}=I.}}$

Estos automorfismos de G se implementan en V mediante los siguientes operadores:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi (S)f(t)&=|A|^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{x\in A}(-x,t)f(x)&&{\text{the Fourier transform for }}A\\\pi (Z)f(t)&=f(-t)\\\pi (R)f(t)&=Q(t)^{-1}f(t)\\\end{aligned}}}$

Resulta que

${\displaystyle (\pi (S)\pi (R))^{3}=\mu \pi (Z),}$

donde μ se encuentra en T . El cálculo directo muestra que μ viene dada por la suma de Gauss

${\displaystyle \mu =|A|^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{x\in A}Q(x).}$

Leyes de transformación para funciones theta.

El grupo metapléctico se definió como el grupo

${\displaystyle \operatorname {Mp} (2,\mathbf {R} )=\left\{\left(\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},G\right)\right|G(\tau )^{2}=c\tau +d,\tau \in \mathbf {H} \right\},}$

El estado coherente

${\displaystyle f_{\tau }(x)=e^{{\frac {1}{2}}i\tau x^{2}}}$

define un mapa holomórfico de H en L ² ( R ) que satisface

${\displaystyle \pi ((g^{t})^{-1})f_{\tau }=(c\tau +d)^{-{\frac {1}{2}}}f_{g\tau }.}$

De hecho, este es un mapa holomórfico en cada espacio de Sobolev H _k y, por tanto, también . ${\displaystyle H_{\approx }={\mathcal {S}}}$

Por otro lado, en ( de hecho en H _–1 ) hay un espacio de dimensiones finitas de distribuciones invariantes bajo SL(2, Z ) e isomorfo a la representación del oscilador N -dimensional en donde A = Z / N Z. ${\displaystyle H_{-\approx }={\mathcal {S}}'}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(A)}$

De hecho, sea m > 0 y establezca N = 2 m . Dejar

${\displaystyle M={\sqrt {2\pi m}}\cdot \mathbf {Z} .}$

Los operadores U ( x ), V ( y ) con x e y en M todos conmutan y tienen un subespacio de dimensión finita de vectores fijos formado por las distribuciones

${\displaystyle \Psi _{b}=\sum _{x\in M}\delta _{x+b}}$

con b en M ₁ , donde

${\displaystyle M_{1}={1 \over 2m}M\supset M.}$

La suma que define Ψ _b converge y depende únicamente de la clase de b en M ₁ / M . Por otro lado, los operadores U ( x ) y V ( y ) con ' x , y en M ₁ conmutan con todos los operadores correspondientes para M . Entonces M ₁ deja el subespacio V ₀ abarcado por el invariante Ψ _b . Por tanto, el grupo A = M ₁ actúa sobre V ₀ . Esta acción se puede identificar inmediatamente con la acción en V para la representación del oscilador N -dimensional asociada con A , ya que ${\displaystyle H_{-1}\subset {\mathcal {S}}'}$

${\displaystyle U(b)\Psi _{b'}=\Psi _{b+b'},\qquad V(b)\Psi _{b'}=e^{-imbb'}\Psi _{b'}.}$

Dado que los operadores π( R ) y π( S ) normalizan los dos conjuntos de operadores U y V correspondientes a M y M ₁ , se deduce que dejan V ₀ invariante y en V ₀ deben ser múltiplos constantes de los operadores asociados con el representación del oscilador de A . De hecho coinciden. De R esto es inmediato a partir de las definiciones, que muestran que

${\displaystyle R(\Psi _{b})=e^{\pi imb^{2}}\Psi _{b}.}$

Para S se deduce de la fórmula de suma de Poisson y de las propiedades de conmutación con los operadores U ) x ) y V ( y ). La suma de Poisson se demuestra clásicamente de la siguiente manera. ^[38]

Para a > 0 y f en let ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle F(t)=\sum _{x\in M}f(x+t).}$

F es una función suave en R con período a :

${\displaystyle F(t+a)=F(t).}$

La teoría de las series de Fourier muestra que

${\displaystyle F(0)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }c_{n}}$

con la suma absolutamente convergente y los coeficientes de Fourier dados por

${\displaystyle c_{n}=a^{-1}\int _{0}^{a}F(t)e^{-{\frac {2\pi int}{a}}}\,dt=a^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-{\frac {2\pi int}{a}}}\,dt={{\sqrt {2\pi }} \over a}{\widehat {f}}\left({\tfrac {2\pi n}{a}}\right).}$

Por eso

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbf {Z} }f(na)={\frac {\sqrt {2\pi }}{a}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\widehat {f}}\left({\tfrac {2\pi n}{a}}\right),}$

la fórmula habitual de suma de Poisson.

Esta fórmula muestra que S actúa de la siguiente manera

${\displaystyle S(\Psi _{b})=(2m)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{b'\in M_{1}/M}e^{-imbb'}\Psi _{b'},}$

y por lo tanto concuerda exactamente con la fórmula para la representación del oscilador en A.

Identificando A con Z /2 m Z , con

${\displaystyle b(n)={\frac {{\sqrt {2\pi }}n}{2m}}}$

asignadas a un número entero n módulo 2 m , las funciones theta se pueden definir directamente como coeficientes matriciales: ^[39]

${\displaystyle \Theta _{m,n}(\tau ,z)=(W(z)f_{\tau },\Psi _{b(n)}).}$

Para τ en H yz en C conjunto

${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau },\qquad u=e^{\pi iz}}$

para que | q | < 1. Las funciones theta concuerdan con las fórmulas clásicas estándar para las funciones theta de Jacobi-Riemann:

${\displaystyle \Theta _{n,m}(\tau ,z)=\sum _{k\in {\frac {n}{2m}}+\mathbf {Z} }q^{mk^{2}}u^{2mk}.}$

Por definición definen funciones holomorfas en H × C. Las propiedades de covarianza de la función f _τ y la distribución Ψ _b conducen inmediatamente a las siguientes leyes de transformación:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{n,m}(\tau ,z+a)&=\Theta _{n,m}(\tau ,z)&&a\in \mathbf {Z} \\\Theta _{n,m}(\tau ,z+b\tau )&=q^{-b^{2}}u^{-b}\Theta _{n,m}(\tau ,z)&&b\in \mathbf {Z} \\\Theta _{n,m}(\tau +1,z)&=e^{\frac {\pi in^{2}}{m}}\Theta _{n,m}(\tau ,z)\\\Theta _{n,m}(-{\tfrac {1}{\tau }},{\tfrac {z}{\tau }})&=\tau ^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {i\pi }{8}}}(2m)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{n'\in \mathbf {Z} /2m\mathbf {Z} }e^{-{\frac {\pi inn'}{m}}}\Theta _{n',m}(\tau ,z)\end{aligned}}}$

Derivación de la ley de reciprocidad cuadrática

Debido a que los operadores π( S ), π ( R ) y π( J ) en L ² ( R ) se restringen a los operadores correspondientes en V ₀ para cualquier elección de m , los signos de las cociclos se pueden determinar tomando m = 1. En en este caso la representación es bidimensional y la relación

${\displaystyle {(\pi (S)\pi (R))^{3}=\pi (J)}}$

en L ² ( R ) se puede comprobar directamente en V ₀ .

Pero en este caso

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e^{\frac {i\pi }{4}}+e^{-{\frac {i\pi }{4}}}\right)=1.}$

La relación también se puede comprobar directamente aplicando ambos lados al estado fundamental exp - x ^2/2 .

En consecuencia, se deduce que para m ≥ 1 se puede evaluar la suma de Gauss: ^[40]

${\displaystyle \sum _{x\in \mathbf {Z} /2m\mathbf {Z} }e^{\pi ix^{2}/2m}={\sqrt {m}}(1+i).}$

Para m impar, defina

${\displaystyle {G(c,m)=\sum _{x\in \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} }e^{2\pi icx^{2}/m}.}}$

Si m es impar, entonces, dividiendo la suma anterior en dos partes, se deduce que G (1, m ) es igual a m ^1/2 si m es congruente con 1 mod 4 y es igual a im ^1/2 en caso contrario. Si p es un primo impar y c no es divisible por p , esto implica

${\displaystyle {G(c,p)=\left({c \over p}\right)G(1,p)}}$

donde el símbolo de Legendre es igual a 1 si c es un cuadrado mod p y –1 en caso contrario. Además, si p y q son primos impares distintos, entonces ${\displaystyle \left({c \over p}\right)}$

${\displaystyle {G(1,pq)/G(1,p)G(1,q)=\left({p \over q}\right)\left({q \over p}\right)}.}$

De la fórmula para G (1, p ) y esta relación, se sigue la ley de reciprocidad cuadrática:

${\displaystyle {\left({p \over q}\right)\left({q \over p}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}.}}$

Teoría en dimensiones superiores.

La teoría de la representación del oscilador se puede ampliar de R a R ⁿ con el grupo SL(2, R ) reemplazado por el grupo simpléctico Sp(2n, R ). Los resultados pueden demostrarse mediante generalizaciones sencillas del caso unidimensional como en Folland (1989) o utilizando el hecho de que el caso n -dimensional es un producto tensorial de n casos unidimensionales, lo que refleja la descomposición:

${\displaystyle L^{2}({\mathbf {R} }^{n})=L^{2}({\mathbf {R} })^{\otimes n}.}$

Sea el espacio de funciones de Schwartz sobre R ⁿ , un subespacio denso de L ² ( R ⁿ ). Para s , t en R ⁿ , defina U ( s ) y V ( t ) en y L ² ( R ) por ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle U(s)f(x)=f(x-s),\qquad V(t)f(tx)=e^{ix\cdot t}f(x).}$

De la definición U y V satisfacen la relación de conmutación de Weyl

${\displaystyle U(s)V(t)=e^{-is\cdot t}V(t)U(s).}$

Como antes, esto se llama representación de Schrödinger.

La transformada de Fourier se define por ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle {{\widehat {f}}(t)={1 \over (2\pi )^{n/2}}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}f(x)e^{-ix\cdot t}\,dx.}}$

La fórmula de inversión de Fourier

${\displaystyle {f(x)={1 \over (2\pi )^{n/2}}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}{\widehat {f}}(t)e^{ix\cdot t}\,dt}}$

muestra que la transformada de Fourier es un isomorfismo de sobre sí mismo que se extiende a una aplicación unitaria de L ² ( R ⁿ ) sobre sí mismo ( teorema de Plancherel ). ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

El teorema de Stone-von Neumann afirma que la representación de Schrödinger es irreducible y es la única representación irreducible de las relaciones de conmutación: cualquier otra representación es una suma directa de copias de esta representación.

Si U y V satisfacen las relaciones de conmutación de Weyl, defina

${\displaystyle {W(x,y)=e^{ix\cdot y/2}U(x)V(y).}}$

Entonces

${\displaystyle {W(x_{1},y_{1})W(x_{2},y_{2})=e^{i(x_{1}\cdot y_{2}-y_{1}\cdot x_{2})}W(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),}}$

de modo que W define una representación unitaria proyectiva de R ^{2 n} con cociclo dado por

${\displaystyle \omega (z_{1},z_{2})=e^{iB(z_{1},z_{2})},}$

donde y B es la forma simpléctica de R ^{2 n} dada por ${\displaystyle z=x+iy=(x,y)}$

${\displaystyle B(z_{1},z_{2})=x_{1}\cdot y_{2}-y_{1}\cdot x_{2}=\Im \,z_{1}\cdot {\overline {z_{2}}}.}$

El grupo simpléctico Sp (2 n , R ) se define como un grupo de automorfismos g de R ^{2 n} que conservan la forma B. Del teorema de Stone-von Neumann se deduce que para cada g hay un π( g ) unitario en L ² ( R ) que satisface la relación de covarianza

${\displaystyle \pi (g)W(z)\pi (g)^{*}=W(g(z)).}$

Según el lema de Schur, el unitario π( g ) es único hasta la multiplicación por un escalar ζ con |ζ| = 1, de modo que π define una representación unitaria proyectiva de Sp( n ). Se pueden elegir representantes para π( g ), únicos hasta un signo, que muestran que el 2-cociclo para la representación proyectiva de Sp(2 n , R ) toma valores ±1. De hecho, los elementos del grupo Sp( n , R ) están dados por matrices reales g de 2 n × 2 n que satisfacen

${\displaystyle {gJg^{t}=J,}}$

dónde

${\displaystyle {J={\begin{pmatrix}0&-I\\I&0\end{pmatrix}}.}}$

Sp(2 n , R ) se genera mediante matrices de la forma

${\displaystyle g_{1}={\begin{pmatrix}A&0\\0&(A^{t})^{-1}\end{pmatrix}},\,\,g_{2}={\begin{pmatrix}I&0\\B&I\end{pmatrix}},\,\,g_{3}={\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}},}$

y los operadores

${\displaystyle {\pi (g_{1})f(x)=\pm \det(A)^{-{\frac {1}{2}}}f(A^{-1}x),\,\,\pi (g_{2})f(x)=\pm e^{-ix^{t}Bx}f(x),\,\,\pi (g_{3})f(x)=\pm e^{in\pi /8}{\widehat {f}}(x)}}$

satisfacer las relaciones de covarianza anteriores. Esto da una representación unitaria ordinaria del grupo metapléctico , una doble cobertura de Sp(2 n , R ). De hecho, Sp( n , R ) actúa mediante transformaciones de Möbius en el semiplano superior generalizado de Siegel H _n que consta de matrices simétricas complejas n × n Z con parte estrictamente imaginaria por

${\displaystyle {gZ=(AZ+B)(CZ+D)^{-1}}}$

si

${\displaystyle {g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}.}}$

La función

${\displaystyle {m(g,z)=\det(CZ+D)}}$

satisface la relación de 1 ciclo

${\displaystyle {m(gh,Z)=m(g,hZ)m(h,Z).}}$

El grupo metapléctico Mp(2 n , R ) se define como el grupo

${\displaystyle {Mp(2,\mathbf {R} )=\{(g,G):\,G(Z)^{2}=m(g,Z)\}}}$

y es un grupo de cobertura doble conectado de Sp(2 n , R ).

Si , entonces define un estado coherente ${\displaystyle \Im Z>0}$

${\displaystyle {f_{z}(x)=e^{ix^{t}Zx/2}}}$

en L ² , que se encuentra en una única órbita de Sp(2 n ) generada por

${\displaystyle {f_{iI}(x)=e^{-x\cdot x/2}.}}$

Si g está en Mp(2n, R ) entonces

${\displaystyle {\pi ((g^{t})^{-1})f_{Z}(x)=m(g,Z)^{-1/2}f_{gZ}(x)}}$

define una representación unitaria ordinaria del grupo metapléctico, de la cual se deduce que el cociclo en Sp(2 n , R ) toma solo valores ±1.

El espacio holomorfo de Fock es el espacio de Hilbert de funciones holomorfas f ( z ) en C _n con norma finita ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

${\displaystyle {{1 \over \pi ^{n}}\int _{{\mathbf {C} }^{n}}|f(z)|^{2}e^{-|z|^{2}}\,dx\cdot dy}}$

producto Interno

${\displaystyle {(f_{1},f_{2})={1 \over \pi ^{n}}\int _{{\mathbf {C} }^{n}}f_{1}(z){\overline {f_{2}(z)}}e^{-|z|^{2}}\,dx\cdot dy.}}$

y base ortonormal

${\displaystyle {e_{\alpha }(z)={z^{\alpha } \over {\sqrt {\alpha !}}}}}$

para α un multinomio . Para f in y z en C ⁿ , los operadores ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

${\displaystyle {W_{{\mathcal {F}}_{n}}(z)f(w)=e^{-|z|^{2}}e^{w{\overline {z}}}f(w-z).}}$

definir una representación unitaria irreducible de las relaciones de conmutación de Weyl. Según el teorema de Stone-von Neumann, existe un operador unitario desde L ² ( R ⁿ ) para entrelazar las dos representaciones. Está dada por la transformada de Bargmann. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

${\displaystyle {{\mathcal {U}}f(z)={1 \over (2\pi )^{n/2}}\int B(z,t)f(t)\,dt,}}$

dónde

${\displaystyle B(z,t)=\exp[-z\cdot z-t\cdot t/2+z\cdot t].}$

Su adjunto viene dado por la fórmula: ${\displaystyle {\mathcal {U}}^{*}}$

${\displaystyle {{\mathcal {U}}^{*}F(t)={1 \over \pi ^{n}}\int _{{\mathbf {C} }^{n}}B({\overline {z}},t)F(z)\,dx\cdot dy.}}$

Los espacios de Sobolev, los vectores suaves y analíticos se pueden definir como en el caso unidimensional usando la suma de n copias del oscilador armónico.

${\displaystyle \Delta _{n}=\sum _{i=1}^{n}-{\partial ^{2} \over \partial x_{i}^{2}}+x_{i}^{2}.}$

El cálculo de Weyl se extiende de manera similar al caso n -dimensional.

La complejización Sp(2 n , C ) del grupo simpléctico se define por la misma relación, pero permitiendo que las matrices A , B , C y D sean complejas. El subsemigrupo de elementos del grupo que acogen el semiplano superior de Siegel tiene una doble cubierta natural. Las representaciones de Mp(2 n , R ) en L ² ( R ⁿ ) y se extienden naturalmente a una representación de este semigrupo mediante operadores de contracción definidos por núcleos, que generalizan el caso unidimensional (tomando determinantes cuando sea necesario). La acción de Mp(2 n , R ) sobre estados coherentes se aplica igualmente bien a los operadores de este semigrupo más grande. ^[41] ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

Como en el caso unidimensional, donde el grupo SL(2, R ) tiene una contraparte SU(1,1) a través de la transformada de Cayley con el semiplano superior reemplazado por el disco unitario, el grupo simpléctico tiene una contraparte compleja. De hecho, si C es la matriz unitaria

${\displaystyle {C={1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}I&iI\\I&-iI\end{pmatrix}}}}$

entonces C Sp(2n) C ⁻¹ es el grupo de todas las matrices

${\displaystyle {g={\begin{pmatrix}A&B\\{\overline {B}}&{\overline {A}}\end{pmatrix}}}}$

tal que

${\displaystyle {AA^{*}-BB^{*}=I,\,\,\,AB^{t}=BA^{t};}}$

o equivalente

${\displaystyle gKg^{*}=K,}$

dónde

${\displaystyle {K={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}.}}$

El disco generalizado de Siegel D _n se define como el conjunto de matrices W n x n simétricas complejas con norma de operador menor que 1.

Consiste precisamente en las transformadas de Cayley de los puntos Z en el semiplano superior generalizado de Siegel:

${\displaystyle {W=(Z-iI)(Z+iI)^{-1}.}}$

Los elementos g actúan sobre D _n

${\displaystyle {gW=(AW+B)({\overline {B}}W+{\overline {A}})^{-1}}}$

y, como en el caso unidimensional, esta acción es transitiva. El subgrupo estabilizador de 0 consta de matrices con A unitaria y B = 0.

Para W en D _n, los estados coherentes metaplécticos en el espacio holomórfico de Fock se definen por

${\displaystyle {f_{W}(z)=e^{z^{t}Wz/2}.}}$

El producto interno de dos de esos estados está dado por

${\displaystyle {(f_{W_{1}},f_{W_{2}})=\det(1-W_{1}{\overline {W_{2}}})^{-1/2}.}}$

Además, la representación metapléctica π satisface

${\displaystyle {\pi (g)f_{W}=\det({\overline {A}}+{\overline {B}}W)^{-1/2}f_{gW}.}}$

El tramo lineal cerrado de estos estados da la parte par del espacio holomórfico de Fock . La incorporación de Sp(2 n ) en Sp(2( n +1)) y la identificación compatible ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}^{+}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n+1}^{+}={\mathcal {F}}_{n}^{+}\oplus {\mathcal {F}}_{n}^{-}}$

conducir a una acción sobre el conjunto de . Se puede comprobar directamente que es compatible con la acción de los operadores W ( z ). ^[42] ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

Dado que el semigrupo complejo tiene como límite de Shilov el grupo simpléctico, el hecho de que esta representación tenga una extensión contractiva bien definida del semigrupo se deriva del principio del módulo máximo y del hecho de que los operadores de semigrupo están cerrados bajo adjuntos. De hecho, basta comprobar, para dos de estos operadores S , T y vectores v _i proporcionales a estados coherentes metaplécticos, que

${\displaystyle \left|\sum _{i,j}(STv_{i},v_{j})\right|\leq \|\sum _{i}v_{i}\|^{2},}$

lo cual se sigue porque la suma depende holomorfamente de S y T , que son unitarios en la frontera.

Teoremas de índice para operadores de Toeplitz

Sea S la esfera unitaria en C ⁿ y defina el espacio de Hardy H ² ( S ) como la clausura en L ² ( S ) de la restricción de polinomios en las coordenadas z ₁ , ..., z _n . Sea P la proyección sobre el espacio de Hardy. Se sabe que si m ( f ) denota multiplicación por una función continua f en S , entonces el conmutador [P, m ( f )] es compacto. En consecuencia, definir el operador de Toeplitz por

${\displaystyle {T(f)=Pm(f)P}}$

en el espacio de Hardy, se deduce que T ( fg ) – T ( f ) T ( g ) es compacto para f y g continuos . Lo mismo se aplica si f y g son funciones matriciales (de modo que los operadores de Toeplitz correspondientes son matrices de operadores en H ² ( S )). En particular, si f es una función de S que toma valores en matrices invertibles, entonces

${\displaystyle {T(f)T(f^{-1})-I,\qquad T(f^{-1})T(f)-I}}$

son compactos y por lo tanto T ( f ) es un operador de Fredholm con un índice definido como

${\displaystyle \operatorname {ind} T(f)=\dim \ker T(f)-\dim \ker T(f)^{*}.}$

El índice ha sido calculado utilizando los métodos de la teoría K de Coburn (1973) y coincide hasta un signo con el grado de f como una aplicación continua de S al grupo lineal general.

Helton y Howe (1975) dieron una forma analítica de establecer este teorema del índice, simplificado posteriormente por Howe. Su prueba se basa en el hecho de que si f es suave entonces el índice viene dado por la fórmula de McKean y Singer : ^[43]

${\displaystyle \operatorname {ind} T(f)=\operatorname {Tr} (I-T(f^{-1})T(f))^{n}-\operatorname {Tr} (I-T(f)T(f^{-1}))^{n}.}$

Howe (1980) notó que había un isomorfismo unitario natural entre H ² ( S ) y L ² ( R ⁿ ) que llevaban los operadores de Toeplitz.

${\displaystyle {T_{j}=T(z_{j})}}$

a los operadores

${\displaystyle {(P_{j}+iQ_{j})\Delta ^{-1/2}.}}$

Estos son ejemplos de operadores de orden cero construidos dentro del cálculo de Weyl. Las trazas de la fórmula de McKean-Singer se pueden calcular directamente utilizando el cálculo de Weyl, lo que lleva a otra demostración del teorema del índice. ^[44] Este método de demostrar teoremas de índices fue generalizado por Alain Connes en el marco de la cohomología cíclica . ^[45]

Teoría en infinitas dimensiones.

La teoría de la representación del oscilador en infinitas dimensiones se debe a Irving Segal y David Shale. ^[46] Graeme Segal lo utilizó para dar una construcción matemáticamente rigurosa de representaciones proyectivas de grupos de bucles y el grupo de difeomorfismos del círculo. A nivel infinitesimal, la construcción de las representaciones de las álgebras de Lie, en este caso el álgebra afín de Kac-Moody y el álgebra de Virasoro , ya era conocida por los físicos, a través de la teoría de la resonancia dual y más tarde la teoría de cuerdas . Aquí sólo se considerará el caso más simple, que involucra el grupo de bucles LU(1) de aplicaciones suaves del círculo en U(1) = T. El semigrupo oscilador, desarrollado independientemente por Neretin y Segal, permite definir operadores de contracción para el semigrupo de mapas holomórficos univalentes del disco unitario en sí mismo, ampliando los operadores unitarios correspondientes a difeomorfismos del círculo. Cuando se aplica al subgrupo SU(1,1) del grupo de difeomorfismo, esto da una generalización de la representación del oscilador en L ² ( R ) y su extensión al semigrupo de Olshanskii.

La representación de la conmutación en el espacio de Fock se generaliza a dimensiones infinitas reemplazando C ⁿ (o su espacio dual) por un espacio de Hilbert complejo arbitrario H. El grupo simétrico S _k actúa sobre H ^{⊗ k} . S ^k ( H ) se define como el subespacio de punto fijo de S _k y el álgebra simétrica es la suma directa algebraica

${\displaystyle {\bigoplus _{k\geq 0}S^{k}(H).}}$

Tiene un producto interno natural heredado de H ^{⊗ k} :

${\displaystyle {(x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{k},y_{1}\otimes \cdots \otimes y_{k})=k!\cdot \prod _{i=1}^{k}(x_{i},y_{i}).}}$

Tomando los componentes S ^k ( H ) como mutuamente ortogonales, el espacio de Fock simétrico S ( H ) se define como la compleción del espacio de Hilbert de esta suma directa.

Para ξ en H, defina el estado coherente e ^ξ por

${\displaystyle {e^{\xi }=\sum _{k\geq 0}(k!)^{-1}\xi ^{\otimes k}.}}$

De ello se deduce que su tramo lineal es denso en S ( H ), que los estados coherentes correspondientes a n vectores distintos son linealmente independientes y que

${\displaystyle {(e^{\xi },e^{\eta })=e^{(\xi ,\eta )}.}}$

Cuando H es de dimensión finita, S ( H ) puede identificarse naturalmente con el espacio de Fock holomórfico para H *, ya que en la forma estándar S ^k ( H ) son simplemente polinomios homogéneos de grado k en H * y los productos internos coinciden. Además, S ( H ) tiene propiedades funcionales. Más importante

${\displaystyle S(H_{1}\oplus H_{2})=S(H_{1})\otimes S(H_{2}),\qquad e^{x_{1}\oplus x_{2}}=e^{x_{1}}\otimes e^{x_{2}}.}$

Un resultado similar es válido para sumas directas ortogonales finitas y se extiende a sumas directas ortogonales infinitas, utilizando la definición de von Neumman del producto tensorial infinito con 1 como vector unitario de referencia en S ⁰ ( H _i ). Cualquier operador de contracción entre espacios de Hilbert induce un operador de contracción entre los espacios de Fock simétricos correspondientes de forma funtorial.

Un operador unitario en S ( H ) está determinado únicamente por sus valores en estados coherentes. Además, para cualquier asignación v _ξ tal que

${\displaystyle {(v_{\xi },v_{\eta })=e^{(\xi ,\eta )}}}$

existe un operador unitario único U en S ( H ) tal que

${\displaystyle {v_{\xi }=U(e^{\xi }).}}$

Como en el caso de dimensión finita, esto permite definir los operadores unitarios W ( x ) para x en H :

${\displaystyle {W(x)e^{y}=e^{-\|x\|^{2}/2}e^{-(x,y)}e^{x+y}.}}$

Del caso de dimensión finita se deduce inmediatamente que estos operadores son unitarios y satisfacen

${\displaystyle {W(x)W(y)=e^{-{i \over 2}\Im (x,y)}W(x+y).}}$

En particular, se satisfacen las relaciones de conmutación de Weyl:

${\displaystyle {W(x)W(y)=e^{-i\Im (x,y)}W(y)W(x).}}$

Tomando una base ortonormal e _n de H , S ( H ) se puede escribir como un producto tensorial infinito de S ( C e _n ). La irreductibilidad de W en cada uno de estos espacios implica la irreductibilidad de W en el conjunto de S ( H ). W se llama representación de onda compleja .

Para definir el grupo simpléctico en infinitas dimensiones, sea H _R el espacio vectorial real subyacente de H con la forma simpléctica

${\displaystyle {B(x,y)=-\Im (x,y)}}$

y producto interior real

${\displaystyle {(x,y)_{\mathbf {R} }=\Re (x,y).}}$

La estructura compleja luego está definida por el operador ortogonal

${\displaystyle {J(x)=ix}}$

de modo que

${\displaystyle {B(x,y)=-(Jx,y)_{\mathbf {R} }.}}$

Un operador lineal real acotado invertible T en H _R se encuentra en el grupo simpléctico si él y su inverso preservan B . Esto es equivalente a las condiciones:

${\displaystyle {TJT^{t}=J=T^{t}JT.}}$

Se dice que el operador T es implementable en S ( H ) siempre que exista un π ( T ) unitario tal que

${\displaystyle \pi (T)W(x)\pi (T)^{*}=W(Tx).}$

Los operadores implementables forman un subgrupo del grupo simpléctico, el grupo simpléctico restringido . Según el lema de Schur, π( T ) está determinado de forma única hasta un escalar en T , por lo que π da una representación unitaria proyectiva de este subgrupo.

El criterio de cuantificación de Segal-Shale establece que T es implementable, es decir, se encuentra en el grupo simpléctico restringido, si y sólo si el conmutador TJ – JT es un operador de Hilbert-Schmidt .

A diferencia del caso de dimensión finita en el que se podía elegir un levantamiento π de modo que fuera multiplicativo hasta un signo, esto no es posible en el caso de dimensión infinita. (Esto se puede ver directamente usando el ejemplo de la representación proyectiva del grupo de difeomorfismo del círculo construido a continuación).

La representación proyectiva del grupo simpléctico restringido se puede construir directamente sobre estados coherentes como en el caso de dimensión finita. ^[47]

De hecho, al elegir un subespacio de Hilbert real de H del cual H es una complejización, para cualquier operador T en H también se define un conjugado complejo de T. Entonces el análogo de dimensión infinita de SU(1,1) consta de operadores acotados invertibles

${\displaystyle {g={\begin{pmatrix}A&B\\{\overline {B}}&{\overline {A}}\end{pmatrix}}}}$

satisfaciendo gKg * = K (o equivalentemente las mismas relaciones que en el caso de dimensión finita). Estos pertenecen al grupo simpléctico restringido si y sólo si B es un operador de Hilbert-Schmidt. Este grupo actúa transitivamente sobre el análogo de dimensión infinita D _≈ del disco unitario generalizado de Seigel que consta de operadores de Hilbert-Schmidt W que son simétricos con una norma de operador menor que 1 mediante la fórmula

${\displaystyle {gZ=(AW+B)({\overline {B}}W+{\overline {A}})^{-1}.}}$

Nuevamente, el subgrupo estabilizador de 0 consta de g con A unitario y B = 0. Los estados coherentes metaplécticos f _W se pueden definir como antes y su producto interno viene dado por la misma fórmula, usando el determinante de Fredholm :

${\displaystyle {(f_{W_{1}},f_{W_{2}})=\det(I-W_{2}^{*}W_{1})^{-{\frac {1}{2}}}.}}$

Definir vectores unitarios por

${\displaystyle {e_{W}=\det(I-W^{*}W)^{1/4}f_{W}}}$

y establecer

${\displaystyle {\pi (g)e_{W}=\mu (\det(I+{\overline {A}}^{-1}{\overline {B}}W)^{-{\frac {1}{2}}})e_{gW},}}$

donde μ(ζ) = ζ/|ζ|. Como antes, esto define una representación proyectiva y, si g ₃ = g ₁ g ₂ , el cociclo viene dado por

${\displaystyle {\omega (g_{1},g_{2})=\mu [\det(A_{3}(A_{1}A_{2})^{-1})^{-{\frac {1}{2}}}].}}$

Esta representación se extiende por continuación analítica para definir operadores de contracción para el semigrupo complejo mediante el mismo argumento de continuación analítica que en el caso de dimensión finita. También se puede demostrar que son contracciones estrictas.

Ejemplo Sea H _R el espacio real de Hilbert que consta de funciones de valores reales en el círculo con media 0

${\displaystyle f(\theta )=\sum _{n\neq 0}a_{n}e^{in\theta }}$

y para cual

${\displaystyle {\sum _{n\neq 0}|n||a_{n}|^{2}<\infty .}}$

El producto interior está dado por

${\displaystyle \left(\sum a_{n}e^{in\theta },\sum b_{m}e^{im\theta }\right)=\sum _{n\neq 0}|n|a_{n}{\overline {b_{n}}}.}$

Una base ortogonal está dada por la función sin( n θ) y cos( n θ) para n > 0. La transformada de Hilbert en el círculo definido por

${\displaystyle J\sin(n\theta )=\cos(n\theta ),\qquad J\cos(n\theta )=-\sin(n\theta )}$

define una estructura compleja en H _R . J también se puede escribir

${\displaystyle J\sum _{n\neq 0}a_{n}e^{in\theta }=\sum _{n\neq 0}i\operatorname {sign} (n)a_{n}e^{in\theta },}$

donde signo n = ±1 denota el signo de n . La forma simpléctica correspondiente es proporcional a

${\displaystyle B(f,g)=\int _{S^{1}}fdg.}$

En particular, si φ es un difeomorfismo del círculo que preserva la orientación y

${\displaystyle {T_{\varphi }f(\theta )=f(\varphi ^{-1}(\theta ))-{1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }f(\varphi ^{-1}(\theta ))\,d\theta ,}}$

entonces T _φ es implementable. ^[48]

Los operadores W ( f ) con f suave corresponden a un subgrupo del grupo de bucles L T invariante bajo el grupo de difeomorfismo del círculo. Los operadores infinitesimales correspondientes a los campos vectoriales.

${\displaystyle {L_{n}=-\pi \left(ie^{in\theta }{d \over d\theta }\right)}}$

se puede calcular explícitamente. Satisfacen las relaciones de Virasoro

${\displaystyle {[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{m^{3}-m \over 12}\delta _{m+n,0}.}}$

En particular, no se pueden ajustar añadiendo operadores escalares para eliminar el segundo término del lado derecho. Esto muestra que el cociclo en el grupo simpléctico restringido no es equivalente a uno que toma solo los valores ±1.

Ver también

• grupo metapléctico
• Cono convexo invariante

Notas

1. Follando 1989
2. Hilgert y Neeb 1993, págs. 59–60
3. Hilgert y Neeb 1993, págs. 250-253
4. Lawson 1998, págs. 146-147
5. Ferrara y col. 1973
6. Lawson 2011, pag. 140
7. Helgason 1978
8. Ver: Lawson 1998 y Hilgert & Neeb 1993, págs. 48–56
9. Hörmander 1983, págs. 160-163
10. Folland 1989, págs. 35-36
11. Von Neumann 1929 harvnb error: no target: CITEREFvon_Neumann1929 (help)
12. Lang 1985, pag. 209
13. Pressley y Segal 1986
14. Lion y Vergne 1980, págs. 73–83
15. Follando 1989
16. Salón 2013, págs. 299–300
17. Salón 2013, págs. 297–299
18. Salón 2013, págs. 300–301
19. Follando 1989
20. Folland 1989, págs. 181-184
21. Él 2007
22. Itzykson 1967
23. Follando 1989
24. Folland 1989, pag. 94
25. Folland (1989, págs. 210-215)
26. Él 2007
27. Howe y Tan 1992
28. Kac y Raina 1987
29. Igusa 1972
30. Sohrab 1981
31. Goodman y Wallach 1984
32. Goodman y Wallach 1984
33. Buen hombre 1969
34. Folland 1989, págs. 223-255
35. Folland 1989, págs. 121-129
36. Mumford, Nori y Norman 2006
37. Igusa 1972
38. Hörmander 1983, págs. 178-179
39. Ver:
    • Igusa 1972
    • León y Vergne 1980
    • Kac y Raina 1990 harvnb error: no target: CITEREFKacRaina1990 (help)
    • kac 1990
    • Mumford, Nori y Norman 2006
40. Lion y Vergne 1980, págs. 149-161
41. Follando 1989
42. Segal 1981, págs. 315–320
43. Hörmander 1985, pag. 188
44. Ver:
    • Helton y Howe 1975
    • Hörmander 1985, Capítulo XIX
45. Connes 1990
46. Ver:
    • Báez et al. 1992
    • Segal 1981
    • Pressley y Segal 1986
    • Neretina 1996
47. Segal 1981, págs. 315–320
48. Ver:
    • Segal 1981
    • Pressley y Segal 1986

Referencias

• Báez, JC; Segal, es decir; Zhou, Z.-F.; Kon, Mark A. (1992), "Introducción a la teoría cuántica de campos algebraica y constructiva", Physics Today , 46 (12), Princeton University Press: 43, Bibcode :1993PhT....46l..43B, doi :10.1063/ 1.2809125, ISBN 0-691-08546-3, S2CID  120693408
• Bargmann, V. (1970), Representaciones grupales en espacios de Hilbert de funciones analíticas , Métodos analíticos en física matemática, Gordon y Breach, págs.
• Berg, MC (2000), La prueba analítica de Fourier de la reciprocidad cuadrática , Matemática pura y aplicada, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-35830-4
• Brunet, M.; Kramer, P. (1980), "Extensión compleja de la representación del grupo simpléctico asociado con las relaciones de conmutación canónicas", Reports on Mathematical Physics , 17 (2): 205–215, Bibcode :1980RpMP...17..205B , doi :10.1016/0034-4877(80)90063-4
• Đokovic, DZ; Hofmann, K.-H. (1997), "La cuestión de la sobreyectividad de la función exponencial de grupos de Lie reales: un informe de estado", Journal of Lie Theory , 7 : 171–199
• Coburn, LA (1973), "Operadores integrales singulares y operadores de Toeplitz en esferas impares", Indiana University Mathematics Journal , 23 (5): 433–439, doi : 10.1512/iumj.1974.23.23036
• Connes, A. (1990), Géométrie no conmutativa , InterEditions, ISBN 2-7296-0284-4
• Ferrara, S.; Mattiolia, G.; Rossic, G.; Toller, M. (1973), "Enfoque de semigrupo para la dinámica multiperiférica", Física Nuclear B , 53 (2): 366–394, Bibcode :1973NuPhB..53..366F, doi :10.1016/0550-3213(73 )90451-3
• Folland, GB (1989), Análisis armónico en el espacio de fases , Annals of Mathematics Studies, vol. 122, Prensa de la Universidad de Princeton, ISBN 9780691085289
• Goddard, Pedro ; Olive, David (1988), Kac-Moody and Virasoro Algebras: A Reprint Volume for Physicists , Serie avanzada en física matemática, vol. 3, Científico Mundial , ISBN 9789971504205
• Goodman, R. (1969), "Vectores analíticos y completos para representaciones de grupos de Lie", Transactions of the American Mathematical Society , 143 : 55–76, doi : 10.1090/s0002-9947-1969-0248285-6
• Goodman, R.; Wallach, NR (1984), "Estructura y representaciones de ciclo unitario de grupos de bucles y el grupo de difeomorfismos del círculo", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 347 : 69–133
• Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Springer
• Él, H. (2007), "Funciones en espacios simétricos y representación de osciladores", Journal of Functional Analysis , 244 (2): 536–564, doi : 10.1016/j.jfa.2006.11.008
• Helton, JW; Howe, RE (1975), "Rastros de conmutadores de operadores integrales", Acta Mathematica , 135 : 271–305, doi : 10.1007/bf02392022
• Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Academic Press, ISBN 978-0-8218-2848-9
• Hilgert, J.; Neeb, K.-H. (1993), Semigrupos de Lie y sus aplicaciones , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1552, Springer-Verlag, ISBN 0387569545
• Hille, E. (1940), "Contribuciones a la teoría de las series hermitianas. II. El problema de la representación", Transactions of the American Mathematical Society , 47 : 80–94, doi : 10.1090/s0002-9947-1940-0000871-3
• Hörmander, Lars (1983), Análisis de operadores diferenciales parciales I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-12104-8
• Hörmander, Lars (1985), Análisis de operadores diferenciales parciales III , Springer-Verlag, ISBN 3-540-13828-5
• Howe, R. (1980), "Mecánica cuántica y ecuaciones diferenciales parciales", Journal of Functional Analysis , 38 (2): 188–254, doi : 10.1016/0022-1236(80)90064-6
• Howe, R. (1988), "The Oscillator Semigroup", Actas de simposios de matemáticas puras , 48 , Sociedad Matemática Estadounidense: 61–132, doi :10.1090/pspum/048/974332, ISBN 9780821814826
• Howe, R.; Tan, Eng-Chye (1992), Análisis armónico no abeliano: aplicaciones de SL(2,R) , Universitext, Springer-Verlag, ISBN 0387977686
• Igusa, J. (1972), Funciones Theta , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 194, Springer-Verlag
• Itzykson, C. (1967), "Observaciones sobre las reglas de conmutación de bosones", Communications in Mathematical Physics , 4 (2): 92–122, Bibcode :1967CMaPh...4...92I, doi :10.1007/bf01645755, S2CID  121928828
• Kashiwara, M.; Vergne, M. (1978), "Sobre las representaciones de Segal-Shale-Weil y los polinomios armónicos", Inventiones Mathematicae , 44 : 1–47, Bibcode :1978InMat..44....1K, doi :10.1007/bf01389900, S2CID  121545402
• Kac, VG; Raina, AK (1987), Conferencias de Bombay sobre representaciones de mayor peso , World Scientific, ISBN 9971503956
• Kac, VG (1990), Álgebras de mentira de dimensión infinita (3.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 0521466938
• Kramer, P.; Moshinsky, M.; Seligman, TH (1975), Extensiones complejas de transformaciones canónicas y mecánica cuántica , Teoría de grupos y sus aplicaciones, vol. 3, prensa académica
• Lang, S. (1985), SL ₂ (R) , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 105, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96198-4
• Lawson, JD (1998), "Semigrupos en geometría de Möbius y Lorentz", Geometriae Dedicata , 70 (2): 139–180, doi :10.1023/a:1004906126006, S2CID  116687780
• Lawson, JD (2011), "Semigrupos de tipo Olshanski", en Hofmann, KH; Lawson, JD; Vinberg, EB (eds.), Semigrupos en álgebra, geometría y análisis , Walter de Gruyter, págs. 121-158, ISBN 9783110885583
• León, G.; Vergne, M. (1980), La representación de Weil, índice de Maslov y series theta , Progress in Mathematics, vol. 6, Birkhäuser, ISBN 3-7643-3007-4
• Mackey, GW (1989), Representaciones de grupos unitarios en física, probabilidad y teoría de números (2ª ed.), Addison-Wesley, ISBN 0-201-51009-X
• Mumford, D .; Nori, M.; Norman, P. (2006), Tata Lectures on Theta III , Progreso en matemáticas, Springer, ISBN 0817645705
• Neretin, YA (1996), Categorías de simetrías y grupos de dimensiones infinitas , Monografías de la London Mathematical Society, vol. 16, prensa de la Universidad de Oxford, ISBN 0-19-851186-8
• von Neumann, J. (1932), "Ueber Einen Satz Von Herrn MH Stone", Annals of Mathematics , 33 (3): 567–573, doi :10.2307/1968535, JSTOR  1968535
• Olshanskii, GI (1981), "Conos invariantes en álgebras de Lie, semigrupos de Lie y series discretas holomorfas", Análisis funcional y sus aplicaciones , 15 (4): 275–285, doi :10.1007/bf01106156, S2CID  121254166
• Pressley, A.; Segal, GB (1986), Grupos de bucles , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 0-19-853535-X
• Segal, GB (1981), "Representaciones unitarias de algunos grupos de dimensiones infinitas", Communications in Mathematical Physics , 80 (3): 301–342, Bibcode :1981CMaPh..80..301S, doi :10.1007/bf01208274, S2CID  121367853
• Sohrab, HH (1981), "El álgebra C∗ del oscilador armónico n-dimensional", Manuscripta Mathematica , 34 : 45–70, doi :10.1007/bf01168709, S2CID  119837229
• Thangavelu, S. (1993), Conferencias sobre las expansiones de Hermite y Laguerre , Notas matemáticas, vol. 42, Prensa de la Universidad de Princeton, ISBN 0-691-00048-4
• Weil, A. (1964), "Sur ciertos grupos de operadores unitarios", Acta Mathematica , 111 : 143–211, doi : 10.1007/BF02391012
• Wiener, N. (1933), La integral de Fourier y algunas de sus aplicaciones (reimpresión de 1988 de la edición de 1933) , Cambridge University Press, ISBN 0-521-35884-1
• Yoshida, H. (1992), "Observaciones sobre las representaciones metaplécticas de SL(2)", Revista de la Sociedad Matemática de Japón , 44 (3): 351–373, doi : 10.2969/jmsj/04430351