Producto tensorial de espacios de Hilbert

Espacio de producto tensorial dotado de un producto interior especial.

En matemáticas , y en particular en análisis funcional , el producto tensorial de espacios de Hilbert es una forma de extender la construcción del producto tensorial de modo que el resultado de tomar un producto tensorial de dos espacios de Hilbert sea otro espacio de Hilbert. En términos generales, el producto tensorial es la terminación espacial métrica del producto tensorial ordinario. Este es un ejemplo de un producto tensor topológico . El producto tensorial permite agrupar los espacios de Hilbert en una categoría monoidal simétrica . ^[1]

Definición

Dado que los espacios de Hilbert tienen productos internos , nos gustaría introducir un producto interno y, por lo tanto, una topología en el producto tensorial que surge naturalmente de los productos internos de los factores. Sean y dos espacios de Hilbert con productos internos y respectivamente. Construya el producto tensorial de y como espacios vectoriales como se explica en el artículo sobre productos tensoriales . Podemos convertir este producto tensorial del espacio vectorial en un espacio de producto interno definiendo ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{1}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2},}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

$${\displaystyle \left\langle \phi _{1}\otimes \phi _{2},\psi _{1}\otimes \psi _{2}\right\rangle =\left\langle \phi _{1},\psi _{1}\right\rangle _{1}\,\left\langle \phi _{2},\psi _{2}\right\rangle _{2}\quad {\mbox{for all }}\phi _{1},\psi _{1}\in H_{1}{\mbox{ and }}\phi _{2},\psi _{2}\in H_{2}}$$

mapas bilinealesfuncionales linealesterminación ${\displaystyle H_{1}\times H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}.}$

Construcción explícita

El producto tensorial también se puede definir sin recurrir a la terminación del espacio métrico. Si y son dos espacios de Hilbert, se asocia a cada producto tensorial simple el operador de rango uno de a que asigna un dado como ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}\otimes x_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}^{*}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle x^{*}\in H_{1}^{*}}$

$${\displaystyle x^{*}\mapsto x^{*}(x_{1})\,x_{2}.}$$

Esto se extiende a una identificación lineal entre y el espacio de operadores de rango finito desde hasta Los operadores de rango finito están integrados en el espacio de Hilbert de los operadores de Hilbert-Schmidt desde hasta El producto escalar en está dado por ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}^{*}}$ ${\displaystyle H_{2}.}$ ${\displaystyle HS(H_{1}^{*},H_{2})}$ ${\displaystyle H_{1}^{*}}$ ${\displaystyle H_{2}.}$ ${\displaystyle HS(H_{1}^{*},H_{2})}$

$${\displaystyle \langle T_{1},T_{2}\rangle =\sum _{n}\left\langle T_{1}e_{n}^{*},T_{2}e_{n}^{*}\right\rangle ,}$$

${\displaystyle \left(e_{n}^{*}\right)}$ ${\displaystyle H_{1}^{*}.}$

Bajo la identificación anterior, se puede definir el producto tensor hilbertiano de y que es isométrica y linealmente isomorfo a ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2},}$ ${\displaystyle HS(H_{1}^{*},H_{2}).}$

propiedad universal

El producto tensor de Hilbert se caracteriza por la siguiente propiedad universal (Kadison & Ringrose 1997, Teorema 2.6.4): ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$

Teorema  :  existe un mapeo débil de Hilbert-Schmidt tal que, dado cualquier mapeo débil de Hilbert-Schmidt a un espacio de Hilbert, existe un operador acotado único tal que ${\displaystyle p:H_{1}\times H_{2}\to H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle L:H_{1}\times H_{2}\to K}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle T:H_{1}\otimes H_{2}\to K}$ ${\displaystyle L=Tp.}$

Un mapeo débil de Hilbert-Schmidt se define como un mapeo bilineal para el cual existe un número real, tal que ${\displaystyle L:H_{1}\times H_{2}\to K}$ ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{\infty }{\bigl |}\left\langle L(e_{i},f_{j}),u\right\rangle {\bigr |}^{2}\leq d^{2}\,\|u\|^{2}}$$

${\displaystyle u\in K}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots }$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ ${\displaystyle H_{2}.}$

Como ocurre con cualquier propiedad universal, esto caracteriza al producto tensorial H de forma única, hasta el isomorfismo. La misma propiedad universal, con modificaciones obvias, también se aplica al producto tensorial de cualquier número finito de espacios de Hilbert. Es esencialmente la misma propiedad universal compartida por todas las definiciones de productos tensoriales, independientemente de los espacios que se tensorizan: esto implica que cualquier espacio con un producto tensorial es una categoría monoidal simétrica , y los espacios de Hilbert son un ejemplo particular de ello.

Productos tensoriales infinitos

Históricamente se han propuesto dos definiciones diferentes para el producto tensorial de una colección de espacios de Hilbert de tamaño arbitrario . La definición tradicional de Von Neumann simplemente toma el producto tensorial "obvio": para calcular , primero recopile todos los tensores simples de la forma tal que . Este último describe un producto pre-interno a través de la identidad de polarización , así que tome el tramo cerrado de módulos de tensores tan simples que los subespacios de isotropía del producto interno. Esta definición casi nunca es separable, en parte porque, en aplicaciones físicas , "la mayor parte" del espacio describe estados imposibles. Los autores modernos suelen utilizar en su lugar una definición debida a Guichardet: para calcular , primero seleccione un vector unitario en cada espacio de Hilbert y luego recopile todos los tensores simples de la forma , en los que sólo un número finito no lo son . Luego completa estos tensores simples. ^{[2] [3]} ${\textstyle \{H_{n}\}_{n\in N}}$ ${\textstyle \bigotimes _{n}{H_{n}}}$ ${\textstyle \bigotimes _{n\in N}{e_{n}}}$ ${\textstyle \prod _{n\in N}{\|e_{n}\|}<\infty }$ ${\textstyle \bigotimes _{n}{H_{n}}}$ ${\textstyle v_{n}\in H_{n}}$ ${\textstyle \bigotimes _{n\in N}{e_{n}}}$ ${\textstyle e_{n}}$ ${\textstyle v_{n}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Álgebras de operadores

Sea el álgebra de von Neumann de operadores acotados en for Entonces el producto tensorial de von Neumann de las álgebras de von Neumann es la terminación fuerte del conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de productos tensoriales simples donde for Esto es exactamente igual al álgebra de von Neumann de operadores acotados de A diferencia de los espacios de Hilbert, se pueden tomar productos tensoriales infinitos de álgebras de von Neumann y, de hecho, álgebras C* de operadores, sin definir estados de referencia. ^[3] Ésta es una ventaja del método "algebraico" en la mecánica estadística cuántica. ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{i}}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2.}$ ${\displaystyle A_{1}\otimes A_{2}}$ ${\displaystyle A_{i}\in {\mathfrak {A}}_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2.}$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}.}$

Propiedades

Si y tienen bases ortonormales y respectivamente, entonces es una base ortonormal para En particular, la dimensión de Hilbert del producto tensorial es el producto (como números cardinales ) de las dimensiones de Hilbert. ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle \left\{\phi _{k}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\psi _{l}\right\},}$ ${\displaystyle \left\{\phi _{k}\otimes \psi _{l}\right\}}$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}.}$

Ejemplos y aplicaciones

Los siguientes ejemplos muestran cómo surgen naturalmente los productos tensoriales.

Dados dos espacios de medida y , con medidas y respectivamente, se puede observar el espacio de funciones en que son integrables al cuadrado con respecto a la medida del producto. Si es una función integrable al cuadrado en y es una función integrable al cuadrado en entonces podemos definir una función on by La definición de la medida del producto garantiza que todas las funciones de esta forma sean integrables al cuadrado, por lo que esto define un mapeo bilineal Las combinaciones lineales de funciones de la forma también están en Resulta que el conjunto de combinaciones lineales es de hecho denso en if y son separables. ^[4] Esto muestra que es isomorfo y también explica por qué necesitamos completar la construcción del producto tensorial espacial de Hilbert. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y),}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \mu \times \nu .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle h(x,y)=f(x)g(y).}$ ${\displaystyle L^{2}(X)\times L^{2}(Y)\to L^{2}(X\times Y).}$ ${\displaystyle f(x)g(y)}$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y).}$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y),}$ ${\displaystyle L^{2}(X)}$ ${\displaystyle L^{2}(Y)}$ ${\displaystyle L^{2}(X)\otimes L^{2}(Y)}$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y),}$

De manera similar, podemos demostrar que , que denota el espacio de funciones cuadradas integrables, es isomorfo a si este espacio es separable. El isomorfismo se asigna a Podemos combinar esto con el ejemplo anterior y concluir que y ambos son isomorfos a ${\displaystyle L^{2}(X;H)}$ ${\displaystyle X\to H,}$ ${\displaystyle L^{2}(X)\otimes H}$ ${\displaystyle f(x)\otimes \phi \in L^{2}(X)\otimes H}$ ${\displaystyle f(x)\phi \in L^{2}(X;H)}$ ${\displaystyle L^{2}(X)\otimes L^{2}(Y)}$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y)}$ ${\displaystyle L^{2}\left(X;L^{2}(Y)\right).}$

Los productos tensoriales de los espacios de Hilbert surgen a menudo en la mecánica cuántica . Si una partícula se describe mediante el espacio de Hilbert y otra partícula se describe mediante el sistema que consta de ambas partículas se describe mediante el producto tensorial de y. Por ejemplo, el espacio de estados de un oscilador armónico cuántico es entonces el espacio de estados de dos osciladores es que es isomorfo a Por lo tanto, el sistema de dos partículas se describe mediante funciones de onda de la forma. Un ejemplo más complejo lo proporcionan los espacios de Fock , que describen un número variable de partículas. ${\displaystyle H_{1},}$ ${\displaystyle H_{2},}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}.}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\otimes L^{2}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} ^{2}\right).}$ ${\displaystyle \psi \left(x_{1},x_{2}\right).}$

Referencias

1. B. Coecke y EO Paquette, Categorías para el físico practicante, en: New Structures for Physics, B. Coecke (ed.), Springer Lecture Notes in Physics, 2009. arXiv:0905.3010
2. Nik Weaver (8 de marzo de 2020). Respuesta al Resultado del producto tensor continuo de espacios de Hilbert. Desbordamiento matemático . Intercambio de pila .
3. Bratteli, O. y Robinson, D: Álgebras de operadores y mecánica estadística cuántica v.1, 2ª ed. , página 144. Springer-Verlag, 2002.
4. Kolmogorov, AN ; Fomin, SV (1961) [1960]. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional . vol. 2: Medida, integral de Lebesgue y espacio de Hilbert. Traducido por Kamel, Hyman; Komm, Horacio. Albany, Nueva York : Graylock. pag. 100, ej. 3. LCCN  57-4134.

Bibliografía

• Kadison, Richard V .; Ringrose, John R. (1997). Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores. vol. I . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 15. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-0819-1. SEÑOR  1468229..
• Weidmann, Joaquín (1980). Operadores lineales en espacios de Hilbert . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 68. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90427-6. SEÑOR  0566954..