Contracción (teoría del operador)

Operadores acotados con norma de subunidad

En la teoría de operadores , un operador acotado T : X → Y entre espacios vectoriales normados X e Y se dice que es una contracción si su operador norma || T || ≤ 1. Esta noción es un caso especial del concepto de mapeo de contracción , pero cada operador acotado se convierte en una contracción después de un escalado adecuado. El análisis de las contracciones proporciona información sobre la estructura de los operadores o una familia de operadores. La teoría de las contracciones en el espacio de Hilbert se debe en gran medida a Béla Szőkefalvi-Nagy y Ciprian Foias .

Contracciones en un espacio de Hilbert

Si T es una contracción que actúa sobre un espacio de Hilbert , se pueden definir los siguientes objetos básicos asociados con T. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Los operadores de defecto de T son los operadores D _T  = (1 −  T*T ) ^½ y D _T*  = (1 −  TT* ) ^½ . La raíz cuadrada es la semidefinida positiva dada por el teorema espectral . Los espacios defectuosos y son el cierre de los rangos Ran( D _T ) y Ran( D _T* ) respectivamente. El operador positivo D _T induce un producto interno en . El espacio del producto interno se puede identificar naturalmente con Ran ( D _T ). Una afirmación similar es válida para . ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{T}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{T*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{T*}}$

Los índices de defectos de T son el par

${\displaystyle (\dim {\mathcal {D}}_{T},\dim {\mathcal {D}}_{T^{*}}).}$

Los operadores de defectos y los índices de defectos son una medida de la no unitaridad de T.

Una contracción T en un espacio de Hilbert se puede descomponer canónicamente en una suma directa ortogonal

${\displaystyle T=\Gamma \oplus U}$

donde U es un operador unitario y Γ es completamente no unitario en el sentido de que no tiene subespacios reductores distintos de cero en los que su restricción sea unitaria. Si U  = 0, se dice que T es una contracción completamente no unitaria . Un caso especial de esta descomposición es la descomposición de Wold para una isometría , donde Γ es una isometría propia.

Las contracciones en los espacios de Hilbert pueden verse como operadores análogos de cos θ y en algunos contextos se denominan ángulos de operador . La descripción explícita de las contracciones conduce a parametrizaciones (operadoras) de matrices positivas y unitarias.

Teorema de dilatación para las contracciones.

El teorema de dilatación de Sz.-Nagy , demostrado en 1953, establece que para cualquier contracción T en un espacio de Hilbert H , existe un operador unitario U en un espacio de Hilbert más grande K ⊇ H tal que si P es la proyección ortogonal de K sobre H entonces T ⁿ = P U ⁿ P para todo n > 0. El operador U se llama dilatación de T y se determina de forma única si U es mínimo, es decir, K es el invariante de subespacio cerrado más pequeño bajo U y U * que contiene H.

De hecho define ^[1]

${\displaystyle \displaystyle {{\mathcal {H}}=H\oplus H\oplus H\oplus \cdots ,}}$

la suma directa ortogonal de un número contable de copias de H .

Sea V la isometría definida por ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \displaystyle {V(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\dots )=(T\xi _{1},{\sqrt {I-T^{*}T}}\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\dots ).}}$

Dejar

${\displaystyle \displaystyle {{\mathcal {K}}={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {H}}.}}$

Defina una W unitaria por ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle \displaystyle {W(x,y)=(Vx+(I-VV^{*})y,-V^{*}y).}}$

W es entonces una dilatación unitaria de T con H considerado como el primer componente de . ${\displaystyle {\mathcal {H}}\subset {\mathcal {K}}}$

La dilatación mínima U se obtiene tomando la restricción de W al subespacio cerrado generado por potencias de W aplicadas a H.

Teorema de dilatación para semigrupos de contracción.

Existe una prueba alternativa del teorema de dilatación de Sz.-Nagy, que permite una generalización significativa. ^[2]

Sea G un grupo, U ( g ) una representación unitaria de G en un espacio de Hilbert K y P una proyección ortogonal sobre un subespacio cerrado H = PK de K.

La función valorada por el operador

${\displaystyle \displaystyle {\Phi (g)=PU(g)P,}}$

con valores en operadores en K satisface la condición de definición positiva

${\displaystyle \sum \lambda _{i}{\overline {\lambda _{j}}}\Phi (g_{j}^{-1}g_{i})=PT^{*}TP\geq 0,}$

dónde

${\displaystyle \displaystyle {T=\sum \lambda _{i}U(g_{i}).}}$

Además,

${\displaystyle \displaystyle {\Phi (1)=P.}}$

Por el contrario, toda función definida positiva valorada por un operador surge de esta manera. Recuerde que toda función definida positiva (continua) con valor escalar en un grupo topológico induce un producto interno y una representación de grupo φ( g ) = 〈U _g v , v〉 donde U _g es una representación unitaria (fuertemente continua) (ver la representación de Bochner ). teorema ). Reemplazar v , una proyección de rango 1, por una proyección general da la declaración valorada por el operador. De hecho la construcción es idéntica; esto se esboza a continuación.

Sea el espacio de funciones sobre G de soporte finito con valores en H con producto interior ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \displaystyle {(f_{1},f_{2})=\sum _{g,h}(\Phi (h^{-1}g)f_{1}(g),f_{2}(h)).}}$

G actúa unitariamente por ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \displaystyle {U(g)f(x)=f(g^{-1}x).}}$

Además, H se puede identificar con un subespacio cerrado utilizando la incrustación isométrica enviando v en H a f _v con ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle f_{v}(g)=\delta _{g,1}v.\,}$

Si P es la proyección de sobre H , entonces ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \displaystyle {PU(g)P=\Phi (g),}}$

utilizando la identificación anterior.

Cuando G es un grupo topológico separable, Φ es continua en la topología de operador fuerte (o débil) si y sólo si U lo es.

En este caso, las funciones soportadas en un subgrupo denso contable de G son densas en , por lo que son separables. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Cuando G = Z cualquier operador de contracción T define tal función Φ mediante

${\displaystyle \displaystyle \Phi (0)=I,\,\,\,\Phi (n)=T^{n},\,\,\,\Phi (-n)=(T^{*})^{n},}$

para n > 0. La construcción anterior produce entonces una dilatación unitaria mínima.

El mismo método se puede aplicar para demostrar un segundo teorema de dilatación de Sz._Nagy para un semigrupo de contracción fuertemente continuo de un parámetro T ( t ) ( t ≥ 0) en un espacio de Hilbert H. Cooper (1947) había demostrado previamente el resultado para semigrupos de isometrías de un parámetro, ^[3]

El teorema establece que existe un espacio de Hilbert K más grande que contiene H y una representación unitaria U ( t ) de R tal que

${\displaystyle \displaystyle {T(t)=PU(t)P}}$

y las traslaciones U ( t ) H generan K.

De hecho, T ( t ) define una función definida positiva positiva valorada por el operador Φ en R hasta

${\displaystyle \displaystyle {\Phi (0)=I,\,\,\,\Phi (t)=T(t),\,\,\,\Phi (-t)=T(t)^{*},}}$

para t > 0. Φ es definida positiva en subgrupos cíclicos de R , por el argumento de Z , y por tanto en R mismo por continuidad.

La construcción anterior produce una representación unitaria mínima U ( t ) y una proyección P.

El teorema de Hille-Yosida asigna un operador cerrado ilimitado A a cada semigrupo contractivo de un parámetro T' ( t ) a través de

${\displaystyle \displaystyle {A\xi =\lim _{t\downarrow 0}{1 \over t}(T(t)-I)\xi ,}}$

donde el dominio de A consta de todos los ξ para los que existe este límite.

A se llama generador del semigrupo y satisface

${\displaystyle \displaystyle {-\Re (A\xi ,\xi )\geq 0}}$

en su dominio. Cuando A es un operador autoadjunto

${\displaystyle \displaystyle {T(t)=e^{At},}}$

en el sentido del teorema espectral y esta notación se usa más generalmente en la teoría de semigrupos.

El cogenerador del semigrupo es la contracción definida por

${\displaystyle \displaystyle {T=(A+I)(A-I)^{-1}.}}$

A se puede recuperar de T usando la fórmula

${\displaystyle \displaystyle {A=(T+I)(T-I)^{-1}.}}$

En particular, una dilatación de T en K ⊃ H da inmediatamente una dilatación del semigrupo. ^[4]

calculo funcional

Sea T una contracción totalmente no unitaria en H . Entonces la dilatación unitaria mínima U de T en K ⊃ H es unitariamente equivalente a una suma directa de copias del operador de desplazamiento bilateral, es decir, la multiplicación por z en L ² ( S ¹ ). ^[5]

Si P es la proyección ortogonal sobre H entonces para f en L ^∞ = L ^∞ ( S ¹ ) se deduce que el operador f ( T ) puede definirse por

${\displaystyle \displaystyle {f(T)\xi =Pf(U)\xi .}}$

Sea H ^∞ el espacio de funciones holomorfas acotadas en el disco unitario D . Cualquier función de este tipo tiene valores límite en L ^∞ y está determinada únicamente por estos, de modo que hay una incrustación H ^∞ ⊂ L ^∞ .

Para f en H ^∞ , f ( T ) se puede definir sin referencia a la dilatación unitaria.

De hecho si

${\displaystyle \displaystyle {f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}}$

para | z | < 1, entonces para r < 1

${\displaystyle \displaystyle {f_{r}(z))=\sum _{n\geq 0}r^{n}a_{n}z^{n}}}$

es holomorfo en | z | < 1/ r .

En ese caso, f _r ( T ) se define mediante el cálculo funcional holomorfo y f ( T ) se puede definir mediante

${\displaystyle \displaystyle {f(T)\xi =\lim _{r\rightarrow 1}f_{r}(T)\xi .}}$

El mapa que envía f a f ( T ) define un homomorfismo de álgebra de H ^∞ en operadores acotados en H . Es más, si

${\displaystyle \displaystyle {f^{\sim }(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}{\overline {z}}^{n},}}$

entonces

${\displaystyle \displaystyle {f^{\sim }(T)=f(T^{*})^{*}.}}$

Este mapa tiene la siguiente propiedad de continuidad: si una secuencia uniformemente acotada f _n tiende casi en todas partes a f , entonces f _n ( T ) tiende a f ( T ) en la topología de operador fuerte.

Para t ≥ 0, sea e _t la función interna

${\displaystyle \displaystyle {e_{t}(z)=\exp t{z+1 \over z-1}.}}$

Si T es el cogenerador de un semigrupo de un parámetro de contracciones completamente no unitarias T ( t ), entonces

${\displaystyle \displaystyle {T(t)=e_{t}(T)}}$

y

${\displaystyle \displaystyle {T={1 \over 2}I-{1 \over 2}\int _{0}^{\infty }e^{-t}T(t)\,dt.}}$

C 0 contracciones

Se dice que una contracción T completamente no unitaria pertenece a la clase C ₀ si y sólo si f ( T ) = 0 para alguna f distinta de cero en H ^∞ . En este caso el conjunto de tales f forma un ideal en H ^∞ . Tiene la forma φ ⋅ H ^∞ donde g es una función interna , es decir, tal que |φ| = 1 en S ¹ : φ se determina unívocamente hasta la multiplicación por un número complejo de módulo 1 y se llama función mínima de T . Tiene propiedades análogas al polinomio mínimo de una matriz.

La función mínima φ admite una factorización canónica

${\displaystyle \displaystyle {\varphi (z)=cB(z)e^{-P(z)},}}$

donde | c |=1, B ( z ) es un producto de Blaschke

${\displaystyle \displaystyle {B(z)=\prod \left[{|\lambda _{i}| \over \lambda _{i}}{\lambda _{i}-z \over 1-{\overline {\lambda }}_{i}}\right]^{m_{i}},}}$

con

${\displaystyle \displaystyle {\sum m_{i}(1-|\lambda _{i}|)<\infty ,}}$

y P ( z ) es holomorfa con parte real no negativa en D. Por el teorema de representación de Herglotz ,

${\displaystyle \displaystyle {P(z)=\int _{0}^{2\pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\mu (\theta )}}$

para alguna medida finita no negativa μ en el círculo: en este caso, si es distinto de cero, μ debe ser singular con respecto a la medida de Lebesgue. En la descomposición anterior de φ, cualquiera de los dos factores puede estar ausente.

La función mínima φ determina el espectro de T. Dentro del disco unitario, los valores espectrales son los ceros de φ. Hay como mucho muchos de estos λ _i , todos valores propios de T , los ceros de B ( z ). Un punto del círculo unitario no se encuentra en el espectro de T si y sólo si φ tiene una continuación holomorfa en una vecindad de ese punto.

φ se reduce a un producto de Blaschke exactamente cuando H es igual al cierre de la suma directa (no necesariamente ortogonal) de los espacios propios generalizados ^[6]

${\displaystyle \displaystyle {H_{i}=\{\xi :(T-\lambda _{i}I)^{m_{i}}\xi =0\}.}}$

Cuasi-similitud

Se dice que dos contracciones T ₁ y T ₂ son casi similares cuando hay operadores acotados A , B con núcleo trivial y rango denso tales que

${\displaystyle \displaystyle {AT_{1}=T_{2}A,\,\,\,BT_{2}=T_{1}B.}}$

Las siguientes propiedades de una contracción T se conservan bajo cuasi-similitud:

• siendo unitario
• siendo completamente no unitario
• estar en la clase C ₀
• ser libre de multiplicidad , es decir, tener un conmutante conmutativo

_{Dos contracciones C 0} casi similares tienen la misma función mínima y, por tanto, el mismo espectro.

El teorema de clasificación de las contracciones C ₀ establece que dos contracciones C ₀ libres de multiplicidad son casi similares si y sólo si tienen la misma función mínima (hasta un múltiplo escalar). ^[7]

Un modelo para contracciones C ₀ libres de multiplicidad con función mínima φ viene dado tomando

${\displaystyle \displaystyle {H=H^{2}\ominus \varphi H^{2},}}$

donde H ² es el espacio de Hardy del círculo y siendo T multiplicado por z . ^[8]

Estos operadores se denominan bloques Jordan y se denotan por S (φ).

Como generalización del teorema de Beurling , el conmutante de tal operador consiste exactamente en operadores ψ( T ) con ψ en H ^≈ , es decir, operadores de multiplicación en H ² correspondientes a funciones en H ^≈ .

El operador de contracción AC ₀ T es libre de multiplicidad si y solo si es casi similar a un bloque de Jordan (necesariamente correspondiente al correspondiente a su función mínima).

Ejemplos.

• Si una contracción T es casi similar a un operador S con

${\displaystyle \displaystyle {Se_{i}=\lambda _{i}e_{i}}}$

con el λ _i 's distinto, de módulo menor que 1, tal que

${\displaystyle \displaystyle {\sum (1-|\lambda _{i}|)<1}}$

y ( e _i ) es una base ortonormal, entonces S , y por tanto T , es C ₀ y libre de multiplicidad. Por tanto, H es la clausura de la suma directa de los λ _i -espacios propios de T , cada uno de los cuales tiene multiplicidad uno. Esto también se puede ver directamente utilizando la definición de cuasi-similitud.

• Los resultados anteriores se pueden aplicar igualmente bien a semigrupos de un parámetro, ya que, según el cálculo funcional, dos semigrupos son casi similares si y sólo si sus cogeneradores son casi similares. ^[9]

Teorema de clasificación para contracciones C ₀ : Cada contracción C ₀ es canónicamente casi similar a una suma directa de bloques de Jordan.

De hecho, cada contracción C ₀ es casi similar a un operador único de la forma

${\displaystyle \displaystyle {S=S(\varphi _{1})\oplus S(\varphi _{1}\varphi _{2})\oplus S(\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3})\oplus \cdots }}$

donde los φ _n son funciones internas determinadas de forma única, siendo φ ₁ la función mínima de S y, por tanto , T. ^[10]

Ver también

• Mapeo de contracción  : función que reduce la distancia entre todos los puntos
• Desigualdad de Kallman-Rota
• Teorema de dilatación de Stinespring
• Teorema de Hille-Yosida para semigrupos de contracción

Notas

1. Sz.-Nagy et al. 2010, págs. 10-14
2. Sz.-Nagy et al. 2010, págs. 24-28
3. Sz.-Nagy et al. 2010, págs. 28-30
4. Sz.-Nagy et al. 2010, págs. 143, 147
5. Sz.-Nagy et al. 2010, págs. 87–88
6. Sz.-Nagy et al. 2010, pág. 138
7. Sz.-Nagy et al. 2010, págs. 395–440
8. Sz.-Nagy et al. 2010, pág. 126
9. Bercovici 1988, pag. 95
10. Bercovici 1988, págs. 35–66

Referencias

• Bercovici, H. (1988), Teoría de operadores y aritmética en H ^∞ , Encuestas y monografías matemáticas, vol. 26, Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-1528-8
• Cooper, JLB (1947), "Semigrupos de operadores isométricos de un parámetro en el espacio de Hilbert", Ann. de Matemáticas. , 48 (4): 827–842, doi :10.2307/1969382, JSTOR  1969382
• Gamelin, TW (1969), Álgebras uniformes , Prentice-Hall
• Hoffman, K. (1962), Espacios de Banach de funciones analíticas , Prentice-Hall
• Sz.-Nagy, B.; Foiás, C.; Bercovici, H.; Kérchy, L. (2010), Análisis armónico de operadores en el espacio de Hilbert , Universitext (Segunda ed.), Springer, ISBN 978-1-4419-6093-1
• Riesz, F.; Sz.-Nagy, B. (1995), Análisis funcional. Reimpresión del original de 1955 , Dover Books on Advanced Mathematics, Dover, págs. 466–472, ISBN 0-486-66289-6