Función armónica positiva

En matemáticas , una función armónica positiva en el disco unitario en los números complejos se caracteriza como la integral de Poisson de una medida positiva finita en el círculo. Este resultado, el teorema de representación de Herglotz-Riesz , fue demostrado de forma independiente por Gustav Herglotz y Frigyes Riesz en 1911. Puede usarse para dar una fórmula y caracterización relacionadas para cualquier función holomorfa en el disco unitario con parte real positiva. Estas funciones ya habían sido caracterizadas en 1907 por Constantin Carathéodory en términos de la precisión positiva de sus coeficientes de Taylor .

Teorema de representación de Herglotz-Riesz para funciones armónicas

Una función positiva f en el disco unitario con f (0) = 1 es armónica si y sólo si hay una medida de probabilidad μ en el círculo unitario tal que

${\displaystyle f(re^{i\theta })=\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}\,d\mu (\varphi ).}$

La fórmula define claramente una función armónica positiva con f (0) = 1.

Por el contrario, si f es positiva y armónica y r _n aumenta a 1, defina

${\displaystyle f_{n}(z)=f(r_{n}z).\,}$

Entonces

${\displaystyle f_{n}(re^{i\theta })={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}\,f_{n}(\varphi )\,d\phi =\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}d\mu _{n}(\varphi )}$

dónde

${\displaystyle d\mu _{n}(\varphi )={1 \over 2\pi }f(r_{n}e^{i\varphi })\,d\varphi }$

es una medida de probabilidad.

Por un argumento de compacidad (o equivalentemente en este caso el teorema de selección de Helly para integrales de Stieltjes ), una subsecuencia de estas medidas de probabilidad tiene un límite débil que también es una medida de probabilidad μ.

Dado que r _n aumenta a 1, de modo que f _n ( z ) tiende a f ( z ), se sigue la fórmula de Herglotz.

Teorema de representación de Herglotz-Riesz para funciones holomorfas

Una función holomorfa f en el disco unitario con f (0) = 1 tiene parte real positiva si y sólo si hay una medida de probabilidad μ en el círculo unitario tal que

${\displaystyle f(z)=\int _{0}^{2\pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\mu (\theta ).}$

Esto se sigue del teorema anterior porque:

• el núcleo de Poisson es la parte real del integrando anterior
• la parte real de una función holomorfa es armónica y determina la función holomorfa hasta la adición de un escalar
• la fórmula anterior define una función holomorfa, cuya parte real está dada por el teorema anterior

Criterio de positividad de Carathéodory para funciones holomorfas

Dejar

${\displaystyle f(z)=1+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots }$

ser una función holomorfa en el disco unitario. Entonces f ( z ) tiene parte real positiva en el disco si y sólo si

${\displaystyle \sum _{m}\sum _{n}a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}\geq 0}$

para cualquier número complejo λ ₀ , λ ₁ , ..., λ _N , donde

${\displaystyle a_{0}=2,\,\,\,a_{-m}={\overline {a_{m}}}}$

para m > 0.

De hecho, de la representación de Herglotz para n > 0

${\displaystyle a_{n}=2\int _{0}^{2\pi }e^{-in\theta }\,d\mu (\theta ).}$

Por eso

${\displaystyle \sum _{m}\sum _{n}a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}=\int _{0}^{2\pi }\left|\sum _{n}\lambda _{n}e^{-in\theta }\right|^{2}\,d\mu (\theta )\geq 0.}$

Por el contrario, estableciendo λ _n  =  z ⁿ ,

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}=2(1-|z|^{2})\,\Re \,f(z).}$

Ver también

• teorema de bochner

Referencias

• Carathéodory, C. (1907), "Über den Variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen", Math. Ana. , 64 : 95–115, doi : 10.1007/bf01449883, S2CID  116695038
• Duren, PL (1983), Funciones univalentes , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 259, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
• Herglotz, G. (1911), "Über Potenzreihen mit positivm, reellen Teil im Einheitskreis", Ber. Verh. Sachs. Akád. Wiss. Leipzig , 63 : 501–511
• Pommerenke, C. (1975), Funciones univalentes, con un capítulo sobre diferenciales cuadráticas de Gerd Jensen , Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol. 15, Vandenhoeck y Ruprecht
• Riesz, F. (1911), "Sur sures systèmes singuliers d'équations intégrale", Ann. Ciencia. CE. Norma. Súper. , 28 : 33–62, doi : 10.24033/asens.633