Teorema de Paley-Wiener

En matemáticas , un teorema de Paley-Wiener es cualquier teorema que relaciona las propiedades de desintegración de una función o distribución en el infinito con la analiticidad de su transformada de Fourier . Lleva el nombre de Raymond Paley (1907-1933) y Norbert Wiener (1894-1964), quienes, en 1934, introdujeron varias versiones del teorema. ^[1] Los teoremas originales no utilizaban el lenguaje de distribuciones y, en cambio, se aplicaban a funciones integrables al cuadrado . El primer teorema de este tipo que utilizó distribuciones se debió a Laurent Schwartz . Estos teoremas se basan en gran medida en la desigualdad del triángulo (para intercambiar el valor absoluto y la integración).

El trabajo original de Paley y Wiener también se utiliza como homónimo en los campos de la teoría del control y el análisis armónico ; presentando la condición de Paley-Wiener para la factorización espectral y el criterio de Paley-Wiener para series de Fourier no armónicas, respectivamente. ^[2] Estos son conceptos matemáticos relacionados que colocan las propiedades de desintegración de una función en el contexto de problemas de estabilidad .

Transformadas holomorfas de Fourier

Los teoremas clásicos de Paley-Wiener hacen uso de la transformada holomorfa de Fourier en clases de funciones integrables al cuadrado apoyadas en la recta real. Formalmente, la idea es tomar la integral que define la transformada (inversa) de Fourier

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

y permitir que sea un número complejo en el semiplano superior . Entonces se puede esperar diferenciar bajo la integral para verificar que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplan y, por lo tanto, eso define una función analítica. Sin embargo, es posible que esta integral no esté bien definida, incluso en ; de hecho, como está en el semiplano superior, el módulo de crece exponencialmente como ; por lo que la diferenciación bajo el signo integral está fuera de discusión. Es necesario imponer más restricciones para garantizar que esta integral esté bien definida. ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle e^{ix\zeta }}$ ${\displaystyle x\to -\infty }$ ${\displaystyle F}$

La primera de estas restricciones es que se admita en : es decir, . El teorema de Paley-Wiener ahora afirma lo siguiente: ^[3] La transformada holomorfa de Fourier de , definida por ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{0}^{\infty }F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

porque en el semiplano superior hay una función holomorfa. Además, según el teorema de Plancherel , se tiene ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )\right|^{2}\,d\xi \leq \int _{0}^{\infty }|F(x)|^{2}\,dx}$

y por convergencia dominada ,

${\displaystyle \lim _{\eta \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )-f(\xi )\right|^{2}\,d\xi =0.}$

Por el contrario, si es una función holomorfa en el semiplano superior que satisface ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sup _{\eta >0}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )\right|^{2}\,d\xi =C<\infty }$

entonces existe tal que es la transformada holomorfa de Fourier . ${\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$

En términos abstractos, esta versión del teorema describe explícitamente el espacio de Hardy . El teorema establece que ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}H^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(\mathbb {R_{+}} ).}$

Este es un resultado muy útil ya que permite pasar a la transformada de Fourier de una función en el espacio de Hardy y realizar cálculos en el espacio fácilmente comprensible de funciones integrables al cuadrado apoyadas en el eje positivo. ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$

Al imponer la restricción alternativa que se apoya de forma compacta , se obtiene otro teorema de Paley-Wiener. ^[4] Supongamos que es compatible con , de modo que . Entonces la transformada holomorfa de Fourier ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle [-A,A]}$ ${\displaystyle F\in L^{2}(-A,A)}$

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{-A}^{A}F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

es una función completa de tipo exponencial , lo que significa que existe una constante tal que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle |f(\zeta )|\leq Ce^{A|\zeta |},}$

y además, es integrable al cuadrado sobre líneas horizontales: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(\xi +i\eta )|^{2}\,d\xi <\infty .}$

Por el contrario, cualquier función completa de tipo exponencial que sea integrable al cuadrado sobre líneas horizontales es la transformada holomorfa de Fourier de una función admitida en . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle [-A,A]}$

Teorema de Paley-Wiener de Schwartz

El teorema de Paley-Wiener de Schwartz afirma que la transformada de Fourier de una distribución de soporte compacto es una función completa y proporciona estimaciones de su crecimiento en el infinito. Lo demostró Laurent Schwartz (1952). La formulación presentada aquí es de Hörmander (1976) ^{[ cita completa necesaria ]} . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ harvtxt error: no target: CITEREFHörmander1976 (help)

Generalmente, la transformada de Fourier se puede definir para cualquier distribución atemperada ; además, cualquier distribución de soporte compacto es una distribución templada. Si es una distribución de soporte compacto y es una función infinitamente diferenciable, la expresión ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle v(f)=v(x\mapsto f(x))}$

está bien definido.

Se puede demostrar que la transformada de Fourier es una función (a diferencia de una distribución templada general) dada en el valor de ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\hat {v}}(s)=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}v\left(x\mapsto e^{-i\langle x,s\rangle }\right)}$

y que esta función se puede extender a valores de en el espacio complejo . Esta extensión de la transformada de Fourier al dominio complejo se denomina transformada de Fourier-Laplace . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Teorema de Schwartz  :  una función completa es la transformada de Fourier-Laplace de una distribución de soporte compacto si y solo si para todos , ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle |F(z)|\leq C(1+|z|)^{N}e^{B|{\text{Im}}(z)|}}$

para algunas constantes , , . La distribución en efecto estará apoyada en la bola cerrada de centro y radio . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B}$

Condiciones de crecimiento adicionales en toda la función imponen propiedades de regularidad en la distribución . Por ejemplo: ^[5] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle v}$

Teorema  :  si para cada positivo hay una constante tal que para todos , ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C_{N}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle |F(z)|\leq C_{N}(1+|z|)^{-N}e^{B|\mathrm {Im} (z)|}}$

entonces es una función infinitamente diferenciable, y viceversa. ${\displaystyle v}$

Hörmander (1990) ha formulado resultados más nítidos que dan un buen control sobre el soporte singular de . En particular, ^[6] sea un conjunto compacto convexo con función de soporte , definido por ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H(x)=\sup _{y\in K}\langle x,y\rangle .}$

Entonces el soporte singular de está contenido en si y sólo si existe una constante y una secuencia de constantes tales que ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C_{m}}$

${\displaystyle |{\hat {v}}(\zeta )|\leq C_{m}(1+|\zeta |)^{N}e^{H(\mathrm {Im} (\zeta ))}}$

para ${\displaystyle |\mathrm {Im} (\zeta )|\leq m\log(|\zeta |+1).}$

Notas

1. Paley y salchicha 1934.
2. Paley y Wiener 1934, págs. 14-20, 100.
3. Rudin 1987, Teorema 19.2; Strichartz 1994, Teorema 7.2.4; Yosida 1968, §VI.4
4. Rudin 1987, Teorema 19.3; Strichartz 1994, Teorema 7.2.1
5. Strichartz 1994, Teorema 7.2.2; Hörmander 1990, Teorema 7.3.1
6. Hörmander 1990, Teorema 7.3.8

Referencias

• Hörmander, L. (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Springer Verlag.
• Paley, Raymond EAC ; Wiener, Norberto (1934). Transformadas de Fourier en el dominio complejo . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 978-0-8218-1019-4.
• Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, señor  0924157.
• Schwartz, Laurent (1952), "Transformación de Laplace des Distributions", Comm. Sém. Matemáticas. Univ. Lund [Med. Universidad de Lund. Estera. Sem.] , 1952 : 196–206, SEÑOR  0052555
• Strichartz, R. (1994), Una guía para la teoría de la distribución y las transformadas de Fourier , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
• Yosida, K. (1968), Análisis funcional , Academic Press.