Un modelo matemático es una descripción abstracta de un sistema concreto utilizando conceptos y lenguaje matemático . El proceso de desarrollar un modelo matemático se denomina modelado matemático . Los modelos matemáticos se utilizan en matemáticas aplicadas y en ciencias naturales (como física , biología , ciencias de la tierra , química ) y disciplinas de ingeniería (como informática , ingeniería eléctrica ), así como en sistemas no físicos como las ciencias sociales. [1] (como economía , psicología , sociología , ciencias políticas ). También se puede enseñar como una materia por derecho propio. [2]
El uso de modelos matemáticos para resolver problemas en operaciones comerciales o militares es una gran parte del campo de la investigación de operaciones . Los modelos matemáticos también se utilizan en música , [3] lingüística , [4] y filosofía (por ejemplo, de forma intensiva en filosofía analítica ). Un modelo puede ayudar a explicar un sistema, estudiar los efectos de diferentes componentes y hacer predicciones sobre el comportamiento.
Los modelos matemáticos pueden adoptar muchas formas, incluidos sistemas dinámicos , modelos estadísticos , ecuaciones diferenciales o modelos de teoría de juegos . Estos y otros tipos de modelos pueden superponerse, y un modelo determinado implica una variedad de estructuras abstractas. En general, los modelos matemáticos pueden incluir modelos lógicos . En muchos casos, la calidad de un campo científico depende de qué tan bien los modelos matemáticos desarrollados en el aspecto teórico coinciden con los resultados de experimentos repetibles. La falta de acuerdo entre los modelos matemáticos teóricos y las mediciones experimentales a menudo conduce a avances importantes a medida que se desarrollan mejores teorías. En las ciencias físicas , un modelo matemático tradicional contiene la mayoría de los siguientes elementos:
Los modelos matemáticos son de diferentes tipos:
En negocios e ingeniería , se pueden utilizar modelos matemáticos para maximizar una determinada producción. El sistema bajo consideración requerirá ciertos insumos. El sistema que relaciona los insumos con los productos depende también de otras variables: variables de decisión , variables de estado , variables exógenas y variables aleatorias . Las variables de decisión a veces se conocen como variables independientes. Las variables exógenas a veces se conocen como parámetros o constantes . Las variables no son independientes entre sí, ya que las variables de estado dependen de las variables de decisión, de entrada, aleatorias y exógenas. Además, las variables de salida dependen del estado del sistema (representado por las variables de estado).
Los objetivos y restricciones del sistema y sus usuarios se pueden representar como funciones de las variables de salida o variables de estado. Las funciones objetivo dependerán de la perspectiva del usuario del modelo. Dependiendo del contexto, una función objetivo también se conoce como índice de desempeño , ya que es alguna medida de interés para el usuario. Aunque no hay límite para la cantidad de funciones objetivo y restricciones que puede tener un modelo, usar u optimizar el modelo se vuelve más complicado (computacionalmente) a medida que aumenta el número. Por ejemplo, los economistas suelen aplicar álgebra lineal cuando utilizan modelos de insumo-producto . Los modelos matemáticos complicados que tienen muchas variables se pueden consolidar mediante el uso de vectores donde un símbolo representa varias variables.
Los problemas de modelado matemático a menudo se clasifican en modelos de caja negra o de caja blanca , según la cantidad de información a priori disponible sobre el sistema. Un modelo de caja negra es un sistema del que no existe información a priori disponible. Un modelo de caja blanca (también llamado caja de cristal o caja transparente) es un sistema donde está disponible toda la información necesaria. Prácticamente todos los sistemas se encuentran en algún punto entre los modelos de caja negra y de caja blanca, por lo que este concepto sólo es útil como guía intuitiva para decidir qué enfoque adoptar.
Generalmente, es preferible utilizar tanta información a priori como sea posible para que el modelo sea más preciso. Por lo tanto, los modelos de caja blanca suelen considerarse más sencillos, porque si se ha utilizado la información correctamente, el modelo se comportará correctamente. A menudo, la información a priori viene en forma de conocer el tipo de funciones que relacionan diferentes variables. Por ejemplo, si hacemos un modelo de cómo funciona un medicamento en un sistema humano, sabemos que normalmente la cantidad de medicamento en la sangre es una función que decae exponencialmente , pero todavía nos quedan varios parámetros desconocidos; ¿Con qué rapidez se desintegra la cantidad de medicamento y cuál es la cantidad inicial de medicamento en la sangre? Por lo tanto, este ejemplo no es un modelo completamente de caja blanca. Estos parámetros deben estimarse mediante algún medio antes de poder utilizar el modelo.
En los modelos de caja negra, se intenta estimar tanto la forma funcional de las relaciones entre variables como los parámetros numéricos de esas funciones. Usando información a priori podríamos terminar, por ejemplo, con un conjunto de funciones que probablemente podrían describir el sistema adecuadamente. Si no hay información a priori intentaríamos utilizar funciones lo más generales posible para cubrir todos los diferentes modelos. Un enfoque utilizado frecuentemente para los modelos de caja negra son las redes neuronales que normalmente no hacen suposiciones sobre los datos entrantes. Alternativamente, los algoritmos NARMAX (modelo de media móvil autorregresiva no lineal con entradas exógenas) que se desarrollaron como parte de la identificación de sistemas no lineales [8] se pueden utilizar para seleccionar los términos del modelo, determinar la estructura del modelo y estimar los parámetros desconocidos en presencia de Ruido correlacionado y no lineal. La ventaja de los modelos NARMAX en comparación con las redes neuronales es que NARMAX produce modelos que pueden escribirse y relacionarse con el proceso subyacente, mientras que las redes neuronales producen una aproximación opaca.
A veces resulta útil incorporar información subjetiva en un modelo matemático. Esto se puede hacer basándose en la intuición , la experiencia o la opinión de expertos , o basándose en la conveniencia de la forma matemática. La estadística bayesiana proporciona un marco teórico para incorporar dicha subjetividad en un análisis riguroso: especificamos una distribución de probabilidad previa (que puede ser subjetiva) y luego actualizamos esta distribución en función de datos empíricos.
Un ejemplo de cuándo tal enfoque sería necesario es una situación en la que un experimentador dobla ligeramente una moneda y la lanza una vez, registrando si sale cara, y luego se le asigna la tarea de predecir la probabilidad de que en el siguiente lanzamiento salga cara. Después de doblar la moneda, se desconoce la verdadera probabilidad de que salga cara; por lo que el experimentador necesitaría tomar una decisión (tal vez observando la forma de la moneda) sobre qué distribución previa utilizar. La incorporación de dicha información subjetiva podría ser importante para obtener una estimación precisa de la probabilidad.
En general, la complejidad del modelo implica un equilibrio entre la simplicidad y la precisión del modelo. La navaja de Occam es un principio particularmente relevante para la modelización, cuya idea esencial es que entre modelos con aproximadamente el mismo poder predictivo, el más simple es el más deseable. Si bien la complejidad adicional generalmente mejora el realismo de un modelo, puede hacer que el modelo sea difícil de entender y analizar, y también puede plantear problemas computacionales, incluida la inestabilidad numérica . Thomas Kuhn sostiene que a medida que la ciencia avanza, las explicaciones tienden a volverse más complejas antes de que un cambio de paradigma ofrezca una simplificación radical. [9]
Por ejemplo, al modelar el vuelo de un avión, podríamos integrar cada parte mecánica del avión en nuestro modelo y así adquiriríamos un modelo del sistema casi en forma de caja blanca. Sin embargo, el costo computacional de agregar una cantidad tan enorme de detalles inhibiría efectivamente el uso de dicho modelo. Además, la incertidumbre aumentaría debido a un sistema demasiado complejo, porque cada parte separada induce cierta cantidad de varianza en el modelo. Por lo tanto, suele ser apropiado hacer algunas aproximaciones para reducir el modelo a un tamaño razonable. Los ingenieros a menudo pueden aceptar algunas aproximaciones para obtener un modelo más robusto y simple. Por ejemplo, la mecánica clásica de Newton es un modelo aproximado del mundo real. Aún así, el modelo de Newton es bastante suficiente para la mayoría de situaciones de la vida ordinaria, es decir, siempre que las velocidades de las partículas estén muy por debajo de la velocidad de la luz y estudiemos sólo macropartículas. Tenga en cuenta que una mayor precisión no significa necesariamente un mejor modelo. Los modelos estadísticos son propensos al sobreajuste, lo que significa que un modelo se ajusta demasiado a los datos y ha perdido su capacidad de generalizar a nuevos eventos que no se observaron antes.
Cualquier modelo que no sea puramente de caja blanca contiene algunos parámetros que pueden usarse para ajustar el modelo al sistema que pretende describir. Si el modelado se realiza mediante una red neuronal artificial u otro aprendizaje automático , la optimización de los parámetros se denomina entrenamiento , mientras que la optimización de los hiperparámetros del modelo se denomina ajuste y, a menudo, utiliza validación cruzada . [10] En el modelado más convencional a través de funciones matemáticas dadas explícitamente, los parámetros a menudo se determinan mediante ajuste de curvas . [ cita necesaria ]
Una parte crucial del proceso de modelado es la evaluación de si un modelo matemático determinado describe o no un sistema con precisión. Esta pregunta puede ser difícil de responder ya que implica varios tipos diferentes de evaluación.
Por lo general, la parte más sencilla de la evaluación de un modelo es comprobar si un modelo predice mediciones experimentales u otros datos empíricos que no se utilizaron en el desarrollo del modelo. En modelos con parámetros, un enfoque común es dividir los datos en dos subconjuntos separados: datos de entrenamiento y datos de verificación. Los datos de entrenamiento se utilizan para estimar los parámetros del modelo. Un modelo preciso coincidirá estrechamente con los datos de verificación aunque estos datos no se hayan utilizado para establecer los parámetros del modelo. Esta práctica se conoce como validación cruzada en estadística.
Definir una métrica para medir distancias entre los datos observados y predichos es una herramienta útil para evaluar el ajuste del modelo. En estadística, teoría de la decisión y algunos modelos económicos , una función de pérdida desempeña un papel similar. Si bien es bastante sencillo probar la idoneidad de los parámetros, puede resultar más difícil probar la validez de la forma matemática general de un modelo. En general, se han desarrollado más herramientas matemáticas para probar el ajuste de modelos estadísticos que modelos que involucran ecuaciones diferenciales . A veces se pueden utilizar herramientas de estadística no paramétrica para evaluar qué tan bien se ajustan los datos a una distribución conocida o para generar un modelo general que solo haga suposiciones mínimas sobre la forma matemática del modelo.
Evaluar el alcance de un modelo, es decir, determinar a qué situaciones es aplicable el modelo, puede ser menos sencillo. Si el modelo se construyó basándose en un conjunto de datos, se debe determinar para qué sistemas o situaciones los datos conocidos son un conjunto de datos "típico". La pregunta de si el modelo describe bien las propiedades del sistema entre puntos de datos se llama interpolación , y la misma pregunta para eventos o puntos de datos fuera de los datos observados se llama extrapolación .
Como ejemplo de las limitaciones típicas del alcance de un modelo, al evaluar la mecánica clásica newtoniana , podemos señalar que Newton realizó sus mediciones sin equipo avanzado, por lo que no pudo medir propiedades de partículas que viajaban a velocidades cercanas a la velocidad de la luz. Asimismo, no midió los movimientos de moléculas y otras partículas pequeñas, sino únicamente macropartículas. No sorprende entonces que su modelo no se pueda extrapolar bien a estos dominios, aunque sea suficiente para la física de la vida ordinaria.
Muchos tipos de modelos implican implícitamente afirmaciones sobre causalidad . Esto suele ser cierto (pero no siempre) en los modelos que implican ecuaciones diferenciales. Como el propósito del modelado es aumentar nuestra comprensión del mundo, la validez de un modelo depende no sólo de su ajuste a las observaciones empíricas, sino también de su capacidad para extrapolar a situaciones o datos más allá de los descritos originalmente en el modelo. Se puede pensar en esto como la diferenciación entre predicciones cualitativas y cuantitativas. También se puede argumentar que un modelo no tiene valor a menos que proporcione alguna información que vaya más allá de lo que ya se sabe a partir de la investigación directa del fenómeno que se está estudiando.
Un ejemplo de tal crítica es el argumento de que los modelos matemáticos de la teoría de la búsqueda óptima de alimento no ofrecen una visión que vaya más allá de las conclusiones de sentido común de la evolución y otros principios básicos de la ecología. [11] También cabe señalar que, si bien el modelado matemático utiliza conceptos y lenguaje matemático, no es en sí mismo una rama de las matemáticas y no necesariamente se ajusta a ninguna lógica matemática , sino que suele ser una rama de alguna ciencia u otra materia técnica, con conceptos y estándares de argumentación correspondientes. [2]
Los modelos matemáticos son de gran importancia en las ciencias naturales, particularmente en física . Las teorías físicas casi invariablemente se expresan utilizando modelos matemáticos. A lo largo de la historia se han desarrollado modelos matemáticos cada vez más precisos. Las leyes de Newton describen con precisión muchos fenómenos cotidianos, pero en ciertos límites se debe utilizar la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica .
Es común utilizar modelos idealizados en física para simplificar las cosas. Cuerdas sin masa, partículas puntuales, gases ideales y la partícula en una caja se encuentran entre los muchos modelos simplificados utilizados en física. Las leyes de la física se representan con ecuaciones simples como las leyes de Newton, las ecuaciones de Maxwell y la ecuación de Schrödinger . Estas leyes son una base para realizar modelos matemáticos de situaciones reales. Muchas situaciones reales son muy complejas y, por lo tanto, modeladas aproximadamente en una computadora, un modelo que es computacionalmente factible de calcular se elabora a partir de las leyes básicas o de modelos aproximados elaborados a partir de las leyes básicas. Por ejemplo, las moléculas se pueden modelar mediante modelos de orbitales moleculares que son soluciones aproximadas de la ecuación de Schrödinger. En ingeniería , los modelos físicos a menudo se elaboran mediante métodos matemáticos como el análisis de elementos finitos .
Los diferentes modelos matemáticos utilizan diferentes geometrías que no son necesariamente descripciones precisas de la geometría del universo. La geometría euclidiana se usa mucho en la física clásica, mientras que la relatividad especial y la relatividad general son ejemplos de teorías que utilizan geometrías que no son euclidianas.
A menudo, cuando los ingenieros analizan un sistema que se va a controlar u optimizar, utilizan un modelo matemático. En el análisis, los ingenieros pueden construir un modelo descriptivo del sistema como una hipótesis de cómo podría funcionar el sistema, o intentar estimar cómo un evento imprevisible podría afectar el sistema. De manera similar, al controlar un sistema, los ingenieros pueden probar diferentes enfoques de control en simulaciones .
Un modelo matemático generalmente describe un sistema mediante un conjunto de variables y un conjunto de ecuaciones que establecen relaciones entre las variables. Las variables pueden ser de muchos tipos; números reales o enteros , valores booleanos o cadenas , por ejemplo. Las variables representan algunas propiedades del sistema, por ejemplo, las salidas medidas del sistema a menudo en forma de señales , datos de sincronización , contadores y ocurrencia de eventos. El modelo real es el conjunto de funciones que describen las relaciones entre las diferentes variables.
Referencia general
Filosófico