Geometría de incidencia

En matemáticas , la geometría de incidencia es el estudio de las estructuras de incidencia . Una estructura geométrica como el plano euclidiano es un objeto complicado que involucra conceptos como longitud, ángulos, continuidad, intermediación e incidencia . Una estructura de incidencia es lo que se obtiene cuando se eliminan todos los demás conceptos y lo único que queda son los datos sobre qué puntos se encuentran en qué líneas. Incluso con esta grave limitación, se pueden demostrar teoremas y emergen hechos interesantes sobre esta estructura. Estos resultados fundamentales siguen siendo válidos cuando se añaden conceptos adicionales para formar una geometría más rica. A veces sucede que los autores desdibujan la distinción entre un estudio y los objetos de ese estudio, por lo que no es sorprendente encontrar que algunos autores se refieren a las estructuras de incidencia como geometrías de incidencia. ^[1]

Las estructuras de incidencia surgen de forma natural y han sido estudiadas en diversas áreas de las matemáticas. En consecuencia, existen diferentes terminologías para describir estos objetos. En teoría de grafos se les llama hipergrafos , y en teoría del diseño combinatorio se les llama diseños de bloques . Además de la diferencia de terminología, cada área aborda el tema de manera diferente y se interesa por preguntas sobre estos objetos relevantes para esa disciplina. El uso del lenguaje geométrico, como se hace en geometría de incidencia, da forma a los temas y ejemplos que normalmente se presentan. Sin embargo, es posible traducir los resultados de una disciplina a la terminología de otra, pero esto a menudo conduce a declaraciones incómodas y complicadas que no parecen ser una consecuencia natural de los temas. En los ejemplos seleccionados para este artículo utilizamos sólo aquellos con un sabor geométrico natural.

Un caso especial que ha generado mucho interés trata de conjuntos finitos de puntos en el plano euclidiano y lo que se puede decir sobre el número y los tipos de líneas (rectas) que determinan. Algunos resultados de esta situación pueden extenderse a entornos más generales ya que sólo se consideran las propiedades de incidencia.

Estructuras de incidencia

Una estructura de incidencia $(P, L, I)$ consta de un conjunto $P$ cuyos elementos se llaman puntos , un conjunto disjunto $L$ cuyos elementos se llaman rectas y una relación de incidencia $I$ entre ellos, es decir, un subconjunto de $P \times L$ cuyos elementos son llamados banderas . ^[2] Si $(A, l)$ es una bandera, decimos que $A$ incide con $l$ o que $l$ incide con $A$ (la terminología es simétrica), y escribimos $A I l$ . Intuitivamente, un punto y una recta están en esta relación si y sólo si el punto está sobre la recta. Dado un punto $B$ y una recta $m$ que no forman una bandera, es decir, el punto no está en la recta, el par $(B, m)$ se llama antibandera .

Distancia en una estructura de incidencia

No existe un concepto natural de distancia (una métrica ) en una estructura de incidencia. Sin embargo, existe una métrica combinatoria en el gráfico de incidencia correspondiente (gráfico de Levi) , a saber, la longitud del camino más corto entre dos vértices en este gráfico bipartito . La distancia entre dos objetos de una estructura de incidencia (dos puntos, dos líneas o un punto y una línea) se puede definir como la distancia entre los vértices correspondientes en el gráfico de incidencia de la estructura de incidencia.

Otra forma de definir una distancia nuevamente utiliza una noción de teoría de grafos en una estructura relacionada, esta vez el gráfico de colinealidad de la estructura de incidencia. Los vértices del gráfico de colinealidad son los puntos de la estructura de incidencia y dos puntos se unen si existe una línea incidente con ambos puntos. La distancia entre dos puntos de la estructura de incidencia se puede definir como su distancia en el gráfico de colinealidad.

Cuando se considera la distancia en una estructura de incidencia, es necesario mencionar cómo se está definiendo.

Espacios lineales parciales

Las estructuras de incidencia más estudiadas son aquellas que satisfacen algunas propiedades adicionales (axiomas), como planos proyectivos , planos afines , polígonos generalizados , geometrías parciales y polígonos cercanos . Se pueden obtener estructuras de incidencia muy generales imponiendo condiciones "leves", como por ejemplo:

Un espacio lineal parcial es una estructura de incidencia para la cual se cumplen los siguientes axiomas: ^[3]

Cada par de puntos distintos determina como máximo una recta.
Cada línea contiene al menos dos puntos distintos.

En un espacio lineal parcial también es cierto que cada par de rectas distintas se encuentran como máximo en un punto. No es necesario asumir esta afirmación, ya que se demuestra fácilmente a partir del axioma uno anterior.

Las condiciones de regularidad proporcionan restricciones adicionales:

RLk : Cada línea incide con el mismo número de puntos. Si es finito, este número suele denotarse por $k$ .

RPr : Cada punto incide con el mismo número de líneas. Si es finito, este número suele denotarse por $r$ .

El segundo axioma de un espacio lineal parcial implica que $k > 1$ . Ninguna condición de regularidad implica la otra, por lo que se debe suponer que $r > 1$ .

Un espacio lineal parcial finito que satisface ambas condiciones de regularidad con $k, r > 1$ se denomina configuración táctica . ^[4] Algunos autores se refieren a estas simplemente como configuraciones , ^[5] o configuraciones proyectivas . ^[6] Si una configuración táctica tiene $n$ puntos y $m$ líneas, entonces, contando dos veces las banderas, se establece la relación $nr = mk$ . Una notación común se refiere a configuraciones $(n r, m k)$ . En el caso especial donde $n$ $=$ $m$ (y por tanto, $r$ $=$ $k$ ), la notación $($ $n$ $k$ $,$ $n$ $k$ $)$ a menudo se escribe simplemente como $($ $n$ $k$ $)$ .

Un espacio lineal es un espacio lineal parcial tal que: ^[7]

Cada par de puntos distintos determina exactamente una recta.

Algunos autores añaden un axioma de "no degeneración" (o "no trivialidad") a la definición de un espacio lineal (parcial), como por ejemplo:

Existen al menos dos líneas distintas. ^[8]

Esto se utiliza para descartar algunos ejemplos muy pequeños (principalmente cuando los conjuntos $P$ o $L$ tienen menos de dos elementos) que normalmente serían excepciones a declaraciones generales hechas sobre las estructuras de incidencia. Una alternativa a agregar el axioma es referirse a las estructuras de incidencia que no satisfacen el axioma como triviales y a aquellas que sí lo satisfacen como no triviales .

Cada espacio lineal no trivial contiene al menos tres puntos y tres líneas, por lo que el espacio lineal no trivial más simple que puede existir es un triángulo.

Un espacio lineal que tiene al menos tres puntos en cada línea es un diseño de Sylvester-Gallai .

Ejemplos geométricos fundamentales

Algunos de los conceptos y terminología básicos surgen de ejemplos geométricos, particularmente planos proyectivos y planos afines .

Planos proyectivos

Un plano proyectivo es un espacio lineal en el que:

Cada par de rectas distintas se encuentran exactamente en un punto,

y que satisface la condición de no degeneración:

Existen cuatro puntos, de los cuales no hay tres colineales .

Hay una biyección entre $P$ y $L$ en un plano proyectivo. Si $P$ es un conjunto finito, el plano proyectivo se denomina plano proyectivo finito . El orden de un plano proyectivo finito es $n = k - 1$ , es decir, uno menos que el número de puntos de una recta. Todos los planos proyectivos conocidos tienen órdenes que son potencias primarias . Un plano proyectivo de orden $n$ es una configuración $((n 2 + n + 1) n + 1) .$

El plano proyectivo más pequeño tiene orden dos y se conoce como plano de Fano .

avion fano

Esta famosa geometría de incidencia fue desarrollada por el matemático italiano Gino Fano . En su trabajo ^[9] sobre la demostración de la independencia del conjunto de axiomas para el espacio n proyectivo que desarrolló, ^[10] produjo un espacio tridimensional finito con 15 puntos, 35 líneas y 15 planos, en el que cada línea tenía sólo tres puntos al respecto. ^[11] Los planos en este espacio constaban de siete puntos y siete líneas y ahora se conocen como planos de Fano .

El plano de Fano no se puede representar en el plano euclidiano utilizando sólo puntos y segmentos de recta (es decir, no es realizable). Esto es una consecuencia del teorema de Sylvester-Gallai , según el cual toda geometría de incidencia realizable debe incluir una recta ordinaria , una recta que contenga sólo dos puntos. El avión Fano no tiene tal línea (es decir, es una configuración Sylvester-Gallai ), por lo que no es realizable. ^[12]

Un cuadrilátero completo consta de cuatro puntos, de los cuales tres no son colineales. En el plano de Fano, los tres puntos que no están en un cuadrilátero completo son los puntos diagonales de ese cuadrilátero y son colineales. Esto contradice el axioma de Fano , utilizado a menudo como axioma del plano euclidiano, que establece que los tres puntos diagonales de un cuadrilátero completo nunca son colineales.

Planos afines

Un plano afín es un espacio lineal que satisface:

Para cualquier punto $A$ y la línea $l$ que no incide con él (una anti-bandera ), hay exactamente una línea $m$ que incide con $A$ (es decir, $A I m$ ), que no cumple con $l$ (conocido como axioma de Playfair ),

y satisfaciendo la condición de no degeneración:

Existe un triángulo, es decir, tres puntos no colineales.

Se dice que las líneas $l$ y $m$ en el enunciado del axioma de Playfair son paralelas . Cada plano afín puede extenderse únicamente a un plano proyectivo. El orden de un plano afín finito es $k$ , el número de puntos en una recta. Un plano afín de orden $n$ es una configuración $((n 2) n + 1, (n 2 + n) n .$

Configuración de Hesse

El plano afín de orden tres es una configuración $(9 4, 12 3)$ . Cuando se incrusta en algún espacio ambiental se le llama configuración de Hesse . No es realizable en el plano euclidiano pero sí en el plano proyectivo complejo como los nueve puntos de inflexión de una curva elíptica con las 12 líneas incidentes con tripletas de éstas.

Las 12 líneas se pueden dividir en cuatro clases de tres líneas cada una donde, en cada clase, las líneas están mutuamente separadas. Estas clases se llaman clases paralelas de rectas. Al agregar cuatro nuevos puntos, cada uno de los cuales se suma a todas las líneas de una única clase paralela (por lo que ahora todas estas líneas se cruzan), y una nueva línea que contiene solo estos cuatro nuevos puntos produce el plano proyectivo de orden tres, a $(13 4)$ configuración. Por el contrario, comenzar con el plano proyectivo de orden tres (es único) y eliminar cualquier línea y todos los puntos de esa línea produce este plano afín de orden tres (también es único).

Quitar un punto y las cuatro líneas que pasan por ese punto (pero no los otros puntos sobre ellos) produce la configuración $(8 3)$ de Möbius-Kantor .

Geometrías parciales

Dado un número entero $α \geq 1$ , una configuración táctica que satisface:

Para cada anti-bandera $(B, m)$ hay banderas $α$ $(A, l)$ tales que $B I l$ y $A I m$ ,

se llama geometría parcial . Si hay $s + 1$ puntos en una línea y $t + 1$ líneas que pasan por un punto, la notación para una geometría parcial es $pg(s, t, α)$ .

Si $α = 1$ estas geometrías parciales son cuadrángulos generalizados .

Si $α = s + 1$ se denominan sistemas Steiner .

Polígonos generalizados

Para $n > 2$ , ^[13] un $n$ -gon generalizado es un espacio lineal parcial cuyo gráfico de incidencia $Γ$ tiene la propiedad:

La circunferencia de $Γ$ (longitud del ciclo más corto ) es el doble del diámetro de $Γ$ (la distancia más grande entre dos vértices, $n$ en este caso).

Un 2-gon generalizado es una estructura de incidencia, que no es un espacio lineal parcial, que consta de al menos dos puntos y dos líneas, donde cada punto incide con cada línea. El gráfico de incidencia de un 2 gon generalizado es un gráfico bipartito completo.

Un $n$ -gon generalizado no contiene un m -gon ordinario para $2 \leq m < n$ y para cada par de objetos (dos puntos, dos líneas o un punto y una línea) hay un $n$ -gon ordinario que los contiene a ambos.

Los 3 gons generalizados son planos proyectivos. Los 4 gónos generalizados se denominan cuadrángulos generalizados . Según el teorema de Feit-Higman, los únicos $n$ -gonos finitos generalizados con al menos tres puntos por línea y tres líneas por punto tienen $n$ = 2, 3, 4, 6 u 8.

Cerca de polígonos

Para un entero no negativo $d$ a cerca de $2 d$ -gon es una estructura de incidencia tal que:

La distancia máxima (medida en el gráfico de colinealidad) entre dos puntos es $d$ , y
Para cada punto $X$ y línea $l$ hay un punto único en $l$ que es el más cercano a $X.$

Un gon cercano a 0 es un punto, mientras que un gon cercano a 2 es una línea. El gráfico de colinealidad de un 2-gon cercano es un gráfico completo . Un 4-gon cercano es un cuadrilátero generalizado (posiblemente degenerado). Todo polígono finito generalizado, excepto los planos proyectivos, es un polígono cercano. Cualquier gráfico bipartito conectado es un polígono cercano y cualquier polígono cercano con exactamente dos puntos por línea es un gráfico bipartito conectado. Además, todos los espacios polares duales están cerca de polígonos.

Muchos polígonos cercanos están relacionados con grupos finitos simples como los grupos de Mathieu y el grupo J2 de Janko . Además, los 2 d -gons generalizados, que están relacionados con grupos de tipo Lie , son casos especiales de cerca de 2 d -gons.

aviones de moebius

Un plano de Möbius abstracto (o plano inverso) es una estructura de incidencia donde, para evitar posibles confusiones con la terminología del caso clásico, las líneas se denominan ciclos o bloques .

En concreto, un plano de Möbius es una estructura de incidencia de puntos y ciclos tal que:

Cada tripleta de puntos distintos incide precisamente en un ciclo.
Para cualquier bandera $(P, z)$ y cualquier punto $Q$ que no incide con $z$ hay un ciclo único $z *$ con $P I z *, Q I z *$ y $z \cap z * = {P}$ . (Se dice que los ciclos se tocan en $P$ .)
Cada ciclo tiene al menos tres puntos y existe al menos un ciclo.

La estructura de incidencia obtenida en cualquier punto $P$ de un plano de Möbius tomando como puntos todos los puntos distintos de $P$ y como rectas sólo aquellos ciclos que contienen $P$ (sin $P$ ), es un plano afín. Esta estructura se llama residual en $P$ en la teoría del diseño.

Un plano de Möbius finito de orden $m$ es una configuración táctica con $k = m + 1$ puntos por ciclo que es un diseño de 3 , específicamente un diseño de $3 bloques (m 2 + 1, m + 1, 1) .$

Teoremas de incidencia en el plano euclidiano

El teorema de Sylvester-Gallai

Una cuestión planteada por JJ Sylvester en 1893 y finalmente resuelta por Tibor Gallai se refería a las incidencias de un conjunto finito de puntos en el plano euclidiano.

Teorema (Sylvester-Gallai) : Un conjunto finito de puntos en el plano euclidiano es colineal o existe una línea incidente con exactamente dos de los puntos.

Una línea que contiene exactamente dos de los puntos se llama línea ordinaria en este contexto. A Sylvester probablemente se le ocurrió esta pregunta mientras reflexionaba sobre la integrabilidad de la configuración de Hesse.

El teorema de Bruijn-Erdős

Un resultado relacionado es el teorema de De Bruijn-Erdős . Nicolaas Govert de Bruijn y Paul Erdős demostraron el resultado en el contexto más general de planos proyectivos, pero aún se cumple en el plano euclidiano. El teorema es: ^[14]

En un plano proyectivo , cada conjunto no colineal de

n

puntos determina al menos

n

líneas distintas.

Como señalaron los autores, dado que su prueba fue combinatoria, el resultado es válido en un entorno más amplio, de hecho, en cualquier geometría de incidencia en la que haya una línea única que pase por cada par de puntos distintos. También mencionan que la versión del plano euclidiano se puede demostrar a partir del teorema de Sylvester-Gallai mediante inducción .

El teorema de Szemerédi-Trotter

Un límite en el número de banderas determinado por un conjunto finito de puntos y las líneas que determinan viene dado por:

Teorema (Szemerédi-Trotter) : dados $n$ puntos $ym$ líneas en el plano, el número de banderas (pares punto-línea incidentes) es:

O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right),

y este límite no puede mejorarse, excepto en términos de las constantes implícitas.

Este resultado se puede utilizar para demostrar el teorema de Beck.

Se conjetura un límite similar para el número de incidencias para las incidencias punto-círculo, pero sólo se conocen límites superiores más débiles. ^[15]

teorema de beck

El teorema de Beck dice que conjuntos finitos de puntos en el plano caen en uno de dos extremos; uno en el que una gran fracción de puntos se encuentra en una sola línea y otro en el que se necesita una gran cantidad de líneas para conectar todos los puntos.

El teorema afirma la existencia de constantes positivas $C, K$ tales que dados $n$ puntos cualesquiera en el plano, al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

Hay una línea que contiene al menosnorte/Cde los puntos.
Existen al menosnorte ²/krectas, cada una de las cuales contiene al menos dos de los puntos.

En el argumento original de Beck, $C$ es 100 y $K$ es una constante no especificada; no se sabe cuáles son los valores óptimos de $C$ y $K.$

Más ejemplos

Ver también

Notas

^ Como hace, por ejemplo, L. Storme en su capítulo sobre Geometría finita en Colbourn & Dinitz (2007, pág. 702)
^ Técnicamente, esta es una estructura de incidencia de rango dos, donde el rango se refiere a la cantidad de tipos de objetos bajo consideración (aquí, puntos y líneas). También se estudian estructuras de rango superior, pero varios autores se limitan al caso de rango dos, y lo haremos aquí.
^ Moorhouse, página 5
^ Dembowski 1968, pag. 5
^ Coxeter, HSM (1969), Introducción a la geometría , Nueva York: John Wiley & Sons, p. 233, ISBN 978-0-471-50458-0
^ Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometría e imaginación (2ª ed.), Chelsea, págs. 94-170, ISBN 978-0-8284-1087-8
^ Moorhouse, pág. 5
^ Existen varias alternativas para este axioma de "no trivialidad". Esto podría reemplazarse por "existen tres puntos que no están en la misma línea", como lo hacen Batten y Beutelspacher (1993, pág. 1). Hay otras opciones, pero siempre deben ser declaraciones de existencia que descarten los casos muy simples de excluir.
^ Fano, G. (1892), "Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva", Giornale di Matematiche , 30 : 106-132
^ Collino, Conte y Verra 2013, pág. 6
^ ¿ Geometrías finitas de Malkevitch? una columna destacada de AMS
^ Aigner y Ziegler (2010).
^ El uso de $n$ en el nombre es estándar y no debe confundirse con la cantidad de puntos en una configuración.
^ Weisstein, Eric W., "Teorema de Bruijn-Erdős" de MathWorld
^ Arónov, Boris; Sharir, Micha (1 de noviembre de 2002). "Cortar círculos en pseudosegmentos y límites mejorados para el% de incidencias y la complejidad de muchas caras". Geometría discreta y computacional . 28 (4): 475–490. doi : 10.1007/s00454-001-0084-1 .

Referencias

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Buekenhout, Francis (1995), Manual de geometría de incidencia: edificios y cimientos, Elsevier, ISBN 978-0-444-88355-1
Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Manual de diseños combinatorios (2ª ed.), Boca Ratón: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-506-1
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Malkevitch, Joe. "¿Geometrías finitas?" . Consultado el 2 de diciembre de 2013 .
Moorhouse, G. Eric. «Geometría de incidencia» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 29 de octubre de 2013 . Consultado el 20 de octubre de 2012 .
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enlaces externos

Medios relacionados con la geometría de incidencia en Wikimedia Commons
sistema de incidencia en la Enciclopedia de Matemáticas