Cerca del polígono

Un polígono cercano denso con diámetro d  = 2

En matemáticas , un polígono cercano es una geometría de incidencia introducida por Ernest E. Shult y Arthur Yanushka en 1980. ^[1] Shult y Yanushka mostraron la conexión entre los llamados sistemas de líneas tetraédricas cerradas en espacios euclidianos y una clase de puntos- geometrías de líneas a las que llamaron polígonos cercanos. Estas estructuras generalizan la noción de polígono generalizado, ya que cada 2 n -gon generalizado es un 2 n -gon cercano a un tipo particular. Los polígonos cercanos se estudiaron exhaustivamente y en los años 1980 y principios de los 1990 se demostró la conexión entre ellos y los espacios polares duales ^[2] . Algunos grupos simples esporádicos , por ejemplo el grupo Hall-Janko y los grupos Mathieu , actúan como grupos de automorfismos de polígonos cercanos.

Definición

Un gon cercano a 2 d es una estructura de incidencia ( ), donde es el conjunto de puntos, es el conjunto de rectas y es la relación de incidencia , tal que: ${\displaystyle P,L,I}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle I\subseteq P\times L}$

• La distancia máxima entre dos puntos (el llamado diámetro) es d .
• Para cada punto y cada línea existe un punto único en el que está más cercano a . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$

Tenga en cuenta que las distancias se miden en el gráfico de colinealidad de puntos, es decir, el gráfico formado tomando puntos como vértices y uniendo un par de vértices si inciden con una línea común. También podemos dar una definición teórica de gráfico alternativa , un 2 d -gon cercano es un gráfico conectado de diámetro finito d con la propiedad de que para cada vértice x y cada camarilla máxima M existe un vértice único x' en M más cercano a x . Las camarillas máximas de dicho gráfico corresponden a las líneas en la definición de la estructura de incidencia. Un gon cercano a 0 ( d = 0) es un solo punto, mientras que un gon cercano a 2 ( d = 1) es solo una línea, es decir, un gráfico completo . Un cuadrilátero cercano ( d = 2) es lo mismo que un cuadrilátero generalizado (posiblemente degenerado) . De hecho, se puede demostrar que cada 2 d -gon generalizado es un 2 d -gon cercano que satisface las dos condiciones adicionales siguientes:

• Cada punto incide con al menos dos líneas.
• Por cada dos puntos x ,  y a una distancia i  <  d , existe un vecino único de y a una distancia i  − 1 de  x .

Un polígono cercano se llama denso si cada línea incide con al menos tres puntos y si cada dos puntos a distancia dos tienen al menos dos vecinos comunes. Se dice que tiene orden ( s ,  t ) si cada línea incide precisamente con s  + 1 puntos y cada punto incide precisamente con t  + 1 líneas. Los polígonos cercanos densos tienen una rica teoría y varias clases de ellos (como los polígonos cercanos densos delgados) se han clasificado por completo. ^[3]

Ejemplos

• Todos los gráficos bipartitos conectados están cerca de polígonos. De hecho, cualquier polígono cercano que tenga exactamente dos puntos por línea debe ser un gráfico bipartito conectado.
• Todos los polígonos finitos generalizados excepto los planos proyectivos.
• Todos los espacios polares duales .
• El octágono cercano a Hall-Janko, también conocido como el octágono cercano a Cohen- Tits ^[4] asociado con el grupo Hall-Janko . Se puede construir eligiendo la clase de conjugación de 315 involuciones centrales del grupo Hall-Janko como puntos y líneas como subconjuntos de tres elementos {x, y, xy} siempre que xey conmutan.
• El hexágono cercano M _{24 está relacionado con el} grupo M24 de Mathieu y el código binario extendido Golay . Se construye tomando como puntos las 759 octadas (bloques) del diseño Witt S (5, 8, 24) correspondientes al código Golay y como líneas una terna de tres octadas disjuntas por pares. ^[5]
• Tome las particiones de {1, 2, ..., 2 n + 2} en n + 1 2 subconjuntos como puntos y las particiones en n − 1 2 subconjuntos y un 4 subconjuntos como líneas. Un punto es incidente a una recta si como partición es un refinamiento de la recta. Esto nos da un -gon cercano a 2 n con tres puntos en cada línea, generalmente denotado como H _n . Su grupo de automorfismo completo es el grupo simétrico S _{2 n +2} . ^{[6] [7]}

Regular cerca de polígonos

Un finito cercano a -gon S se llama regular si tiene un orden y si existen constantes , de modo que por cada dos puntos y a una distancia de , hay precisamente líneas que contienen un punto (necesariamente único) a una distancia de . Resulta que los casi -gonos regulares son precisamente aquellos casi -gonos cuyo gráfico de puntos (también conocido como gráfico de colinealidad ) es un gráfico de distancia regular . Un -gon generalizado de orden es un casi -gon regular con parámetros ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle (s,t)}$ ${\displaystyle t_{i},i\in \{1,\ldots ,d\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t_{i}+1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle i-1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle (s,t)}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle t_{1}=0,t_{2}=0,\ldots ,t_{d}=t}$

Ver también

• geometría finita
• Espacio polar
• Espacio lineal parcial
• Esquema de asociación
• Gráfico de Hall-Janko

Notas

1. Shult, Ernesto; Yanushka, Arturo. "Cerca de n-gons y sistemas de líneas".
2. Cameron, Peter J. "Espacios polares duales".
3. De Bruyn, Bart. Cerca de polígonos
4. "El cercano octágono de 315 puntos".
5. «Los diseños de Witt, los códigos de Golay y los grupos de Mathieu» (PDF) . mar.nl. ​Consultado el 25 de abril de 2023 .
6. Brouwer, AE; Wilbrink, HA, Dos secuencias infinitas de polígonos cercanos (PDF)
7. De Bruyn, Bart, Incrustaciones isométricas entre el polígono cercano Hn y Gn (PDF)

Referencias

• Brouwer, AE; Cohen, AM; Wilbrink, HA; Hall, JJ (1994), "Cerca de polígonos y espacios de Fischer" (PDF) , Geometriae Dedicata , 49 (3): 349–368, doi : 10.1007/BF01264034.

• Brouwer, AE ; Cohen, AM; Neumaier, A. (1989), Gráficos regulares de distancia , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag., ISBN 3-540-50619-5, SEÑOR  1002568.

• Brouwer, AE ; Wilbrink, HA (1983), Dos secuencias infinitas de polígonos cercanos (PDF) , Informe ZW194/83, Mathematisch Centrum.

• Cameron, Peter J. (1982), "Espacios polares duales", Geometriae Dedicata , 12 : 75–85, doi : 10.1007/bf00147332 , SEÑOR  0645040.

• Cameron, Peter J. (1991), Espacios proyectivos y polares, QMW Maths Notes, vol. 13, Londres: Escuela de Ciencias Matemáticas Queen Mary and Westfield College, MR  1153019.
• De Bruyn, Bart (2006), Cerca de polígonos , fronteras en las matemáticas, Birkhäuser Verlag, doi :10.1007/978-3-7643-7553-9, ISBN 3-7643-7552-3, señor  2227553.

• De Clerck, F.; Van Maldeghem, H. (1995), "Algunas clases de geometrías de rango 2", Manual de geometría de incidencia , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs..
• Shult, Ernest E. (2011), Puntos y líneas , Universitext, Springer, doi :10.1007/978-3-642-15627-4, ISBN 978-3-642-15626-7.

• Shult, Ernesto; Yanushka, Arthur (1980), "Cerca de n-gons y sistemas de líneas", Geometriae Dedicata , 9 : 1–72, doi : 10.1007/BF00156473 , MR  0566437.